专题03 解三角形十种考法（知识清单+方法讲解+重难点例题及变式+限时冲刺练）-2024-2025学年高一数学下学期期末复习专题（苏教版2019必修第二册）（新高考地区专用）

专题03 解三角形十种考法 1、 知识清单 知识梳理 正余弦定理及面积公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； 实际应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． 2、方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． 3、方向角：相对于某一正方向的水平角． （1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． （2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． （3）南偏西等其他方向角类似． 4、坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． （2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比 二、方法讲解 1.利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： （1）选定理. ①已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； ②已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； ③已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； ④已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； ⑤已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理． （2）巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简． （3）得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等 2.三角形形状的判定 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如，等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如，；或等． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如，等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断 3.三角形面积公式及其应用 与三角形面积有关问题的解题策略 （1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； （2）把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量 4.三角形中解的个数 三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 5.三角形中的中线问题 若是的中线，则①向量法； ②双余弦定理法：在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以，所以①+②式即可 6.三角形中的角平分线问题 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， (1)利用角度的倍数关系： (2)内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷． (3)等面积法： 因为，所以，所以 整理的：（角平分线长公式） 7.三角形中的面积与周长问题 一般用公式进行求解,可分为以下两种情况: （1）若所求面积为多边形的面积,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积. （2）若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解 8.解三角形中的实际问题 (1)求距离、高度问题 ①选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量． ②确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． (2)求角度问题 ①分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角． ②将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用 9. 三角形中的最值范围问题 求最值范围的两种方法： （1）利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”； （2）利用正弦定理，边角互化来求。化角后，再统一成一个角，要注意角的取值范围限制 10. 正、余弦定理与三角函数性质的综合应用 正、余弦定理与三角函数性质的结合应用，主要体现在解三角形问题中。通过利用正弦定理和余弦定理，可以方便地求解三角形的边长和角度。同时，结合三角函数的性质，如和差化积、积化和差等，可以进一步简化计算过程，提高解题效率。 三、重难点例题及变式 类型一、利用正、余弦定理解三角形 例．（1）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（ ） A．2 B．3 C．1 D．4 （2）在中，，是边上的点，，，. ①求cos B与的面积； ②求边AC的长. 【变式训练1】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C对边，若，则=（ ） A. B. C. D. 【变式训练2】在中，角所对的边分别是．已知． （1）求的值； （2）求的值． 类型二、三角形形状的判定 例．（1） 在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则一定是（ ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 （2）（多选）下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则必是等腰直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则 D. 在中，若，则必等边三角形 【变式训练1】在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【变式训练2】（多选）在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则一定是锐角三角形 C. 若，则一定是钝角三角形 D. 若，则有两解 类型三、三角形面积公式及其应用 例．已知的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若，求的面积． 【变式训练1】已知的内角所对的边分别为，满足，，且，则边 ． 【变式训练2】在中，角对应的边分别为，. (1)求角A； (2)若，，求的面积. 类型四、三角形中解的个数 例．已知的内角的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围是_____. 【变式训练1】(多选)在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【变式训练2】在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 类型五、三角形中的中线问题 例．在中，内角的对边分别为． (1)求； (2)若为的中线，且，求的面积． 【变式训练1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)设D为边AB的中点，若，且，求a． 【变式训练2】（多选）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即(S为三角形的面积，为三角形的三边).现有满足， 且的面积，则（ ） A. 的最长边长为14 B. 的三个内角满足 C. 的三条高的和为 D. 的中线的长为 类型六、三角形中的角平分线问题 例．已知中，，，，若的平分线交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】已知在△ABC中， AB=AC，∠ABC的角平分线与边AC交于M点， 线段AB的中垂线过点 M，则 =_______，_______ 【变式训练2】在 中， 内角的对边分别为，且． （1） 求角B； （2） 若边的面积为角A的平分线交边于点D，求． 类型七、三角形中的面积与周长问题 例．在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若，求周长的最大值； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 【变式训练1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D在边BC上，AD是角A的平分线，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【变式训练2】在中，，，为，，的对边，. (1)求； (2)若为的角平分线，交于点，，，求的面积. 类型八、解三角形中的实际问题 例．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ） A. B. C. －1 D. －1 【变式训练1】如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 200 m B. 400 m C. D. 【变式训练2】某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高 m. 类型九、三角形中的最值范围问题 例．在中，角对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且， （i）求角的取值范围； （ii）求面积的取值范围. 【变式训练1】在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是________. 【变式训练2】在中，角A，B，所对的边分别为，，，且． （1）求的值； （2）点在边上，，． （i）求面积的最大值； （ii）求的最小值． 类型十、正、余弦定理与三角函数性质的综合应用 例．记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【变式训练1】记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求； （2）若，求面积的取值范围. 【变式训练2】已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长． 四、限时冲刺练 1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2．在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（ ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3．在中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4．在中，角所对的边的长分别为.下列命题中错误的个数是（ ） ①若，则 ②已知，则最小内角的度数为 ③若，则是锐角三角形 ④若，且结合长解三角形，有两解，则长的取值范围是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5．如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进若干米后到达D处，又测得山顶的仰角为，已知山的高度BC为1千米，则该登山队从A到D前进了（ ） A. 千米 B. 千米 C. 1千米 D. 1.5千米 6.设内角，，所对的边分别为，，.若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 7.（多选）在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且，为的内心，则 D. 若，则的取值范围为 8．（多选）在锐角中，角，，对边分别为，，，设向量，，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的取值范围是 D. 9．（多选）在中，，，，M是BC的中点，则（ ） A. 线段AM的长度为 B. C. D. 在线段AB的延长线上存在点P，使得的最大值为 10．在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为 ． 11.《数书九章>是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a，b，c，求面积S的公式．这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即： ，现有的三边满足，则的最大值______． 12.在中，角所对的边分别为．已知． （1）求角； （2）设为边上一点，记，的面积分别为，若，且． ①求；②求的值． 13.在①，其中为角的平分线的长（，交于点）；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： 在中，内角，，的对边分别为，，，______. （1）求角大小； （2）若，，为重心，求的长； （3）求的取值范围. 14.在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答， 问题：在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且______． （1）求角B； （2）已知，D为线段AC上的一点． ①若BD是边AC上的高，求BD的最大值； ②若，求BD的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 解三角形十种考法 1、 知识清单 知识梳理 正余弦定理及面积公式 （1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； ． 常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ． （2）面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．） 相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； 实际应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． 2、方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． 3、方向角：相对于某一正方向的水平角． （1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． （2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． （3）南偏西等其他方向角类似． 4、坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． （2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比 二、方法讲解 1.利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： （1）选定理. ①已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； ②已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； ③已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； ④已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； ⑤已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理． （2）巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简． （3）得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等 2.三角形形状的判定 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如，等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如，；或等． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如，等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断 3.三角形面积公式及其应用 与三角形面积有关问题的解题策略 （1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； （2）把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量 4.三角形中解的个数 三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 5.三角形中的中线问题 若是的中线，则①向量法； ②双余弦定理法：在中，由余弦定理得，① 在中，由余弦定理得，② 因为，所以，所以①+②式即可 6.三角形中的角平分线问题 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， (1)利用角度的倍数关系： (2)内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷． (3)等面积法： 因为，所以，所以 整理的：（角平分线长公式） 7.三角形中的面积与周长问题 一般用公式进行求解,可分为以下两种情况: （1）若所求面积为多边形的面积,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积. （2）若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解 8.解三角形中的实际问题 (1)求距离、高度问题 ①选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量． ②确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． (2)求角度问题 ①分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角． ②将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用 9. 三角形中的最值范围问题 求最值范围的两种方法： （1）利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”； （2）利用正弦定理，边角互化来求。化角后，再统一成一个角，要注意角的取值范围限制 10. 正、余弦定理与三角函数性质的综合应用 正、余弦定理与三角函数性质的结合应用，主要体现在解三角形问题中。通过利用正弦定理和余弦定理，可以方便地求解三角形的边长和角度。同时，结合三角函数的性质，如和差化积、积化和差等，可以进一步简化计算过程，提高解题效率。 三、重难点例题及变式 类型一、利用正、余弦定理解三角形 例．（1）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（ ） A．2 B．3 C．1 D．4 【答案】C 【解析】由正弦定理得: ，则 又因为 ，所以 ， 所以 ， 在中由余弦定理得: .代入得: . 解得: 或 ， 又因为 ，则 ，故，故选：C （2）在中，，是边上的点，，，. ①求cos B与的面积； ②求边AC的长. 【答案】①， ② 【解析】①在中，由余弦定理得， ∵，∴， ∴； ②由（1）知，∵，∴， 在中，由正弦定理得， 即 【变式训练1】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C对边，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，由正弦定理得： ，因为， 所以, ，因为， 所以，即，因为，所以. 故选：A. 【变式训练2】在中，角所对的边分别是．已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）因为， 所以由余弦定理得， 又，则. （2）由余弦定理得， 又，则， 由，则为锐角，故， 所以. 类型二、三角形形状的判定 例．（1） 在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，则一定是（ ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形 【答案】A 【解析】， 由正弦定理得，则， 又，可得， 为三角形的内角，， 所以一定是等腰三角形. 故选：A. （2）（多选）下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则必是等腰直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则 D. 在中，若，则必等边三角形 【答案】BCD 【解析】A：由题设，可得， 又，则或，故为等腰或直角三角形，错误； B：在锐角中，，则， 又在单调递增，所以，正确； C：若，由大角对大边知，又，可知，正确； D：由题设，，故，即，又， 可知，故必是等边三角形，正确. 故选：BCD 【变式训练1】在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【答案】C 【解析】因为，所以，所以，所以的形状为钝角三角形. 故选：C 【变式训练2】（多选）在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则一定是锐角三角形 C. 若，则一定是钝角三角形 D. 若，则有两解 【答案】AC 【解析】对于A，若，则，由正弦定理得，A选项正确； 对于B，若满足，则不是锐角三角形是直角三角形，B选项错误； 对于C，若，则所以为钝角，所以一定是钝角三角形，C选项正确； 对于D，若，则，所以，只有一个解，有一个解，D选项错误； 故选：AC. 类型三、三角形面积公式及其应用 例．已知的内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以， 即，得到， 又，则，所以，解得. （2）由（1）知，又，所以， 又，所以， 又， 所以. 【变式训练1】已知的内角所对的边分别为，满足，，且，则边 ． 【答案】 【解析】因为，由正弦定理可得：， 所以，由余弦定理可得：， 因为，所以， 因为，所以， 由正弦定理可得：，， 所以，即 故答案为： 【变式训练2】在中，角对应的边分别为，. (1)求角A； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由及正弦定理， 可得，故， 由余弦定理，可得， 由于，故， （2）由（1）可知，所以 因为，所以 所以，由 所以， 所以 所以. 类型四、三角形中解的个数 例．已知的内角的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】由正弦定理有：，所以， 又有两解，所以,即， 综上有， 故答案为： 【变式训练1】(多选)在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，即，所以， 因为，则, 因为，结合正弦函数图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 【变式训练2】在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】已知，，，由正弦定理可得： ，即.  因为，所以. 要使有两解，则，且，此时的取值范围是.  由，且，可得.得到.  的取值范围是， 故选：B. 类型五、三角形中的中线问题 例．在中，内角的对边分别为． (1)求； (2)若为的中线，且，求的面积． 【答案】(1);(2) 【解析】（1）由，可得， 因为，可知，所以， 又因为，联立方程组得， 所以． （2）由（1）知，可得， 因为为的中线，且，所以， 两边平方得， 又由余弦定理得，即， 两式相减，可得，所以． 【变式训练1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)设D为边AB的中点，若，且，求a． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）在中，由及正弦定理得， 即，即， 而，即，则，又， 所以. （2）依题意，，则，或， 当时，由， 得， 在中，由正弦定理得，，则， 在中，由余弦定理得， 因此， 当时，， ，， 所以或. 【变式训练2】（多选）中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即(S为三角形的面积，为三角形的三边).现有满足， 且的面积，则（ ） A. 的最长边长为14 B. 的三个内角满足 C. 的三条高的和为 D. 的中线的长为 【答案】ABD 【解析】因为， 所以由正弦定理得，则设， 因为的面积，， 所以， 化简整理得，解得， 所以， 对于A，因为，所以的最长边长为14，所以A正确， 对于B，由余弦定理得， 因为，所以，所以， 所以，所以B正确， 对于C，因为的面积，且， 所以的三条高的和为，所以C错误， 对于D，因为为的中线，所以， 所以 ， 所以，即，所以D正确. 故选：ABD 类型六、三角形中的角平分线问题 例．已知中，，，，若的平分线交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由已知， 即， 则， 由，即， 可得，解得， 又的平分线交于点， 则， 所以在中，， 即， 即， 解得， 故选：C. 【变式训练1】已知在△ABC中， AB=AC，∠ABC的角平分线与边AC交于M点， 线段AB的中垂线过点 M，则 =_______，_______ 【答案】 ①. ②. 【解析】设，，根据角平分线定理得， 所以，， 因为线段AB的中垂线过点 M，所以，, 所以与相似，所以，即，化简为， 因为，所以， 所以， . 故答案为：， 【变式训练2】在 中， 内角的对边分别为，且． （1）求角B； （2）若边的面积为角A的平分线交边于点D，求． 【答案】（1） （2） 【解析】（1） ， 所以或，即或（舍）， 所以． （2）因为的面积为 所以， 由余弦定理得，， ， 由得，， 解得． 类型七、三角形中的面积与周长问题 例．在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求C的值； （2）若，求周长的最大值； （3）若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）由和正弦定理，三角形面积公式可得，， 因，故得，， 由余弦定理，，因，则； （2）由余弦定理，，即， 整理得，，当且仅当时等号成立，即， 于是，，即当时，周长的最大值为； （3）由可得， 由正弦定理，，即得，，, 则 , 由为锐角三角形可得，，解得，， 则，由正弦函数的图象知，，故得， 即面积的取值范围为. 【变式训练1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D在边BC上，AD是角A的平分线，，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】已知，移项可得. 因为（若，则，不满足），所以，即. 又因为，所以. 因为AD是角的平分线，所以. 根据三角形面积公式，可得. 可得：，即 两边同时约去可得. 由余弦定理，将，代入可得： ，即，即. 根据完全平方公式，可得，将其代入上式可得： ， 将代入上式可得：，解得（负值舍去）. 的周长为. 故选：A. 【变式训练2】在中，，，为，，的对边，. (1)求； (2)若为的角平分线，交于点，，，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，得到， 又，所以，即，得到， 又，所以，解得. （2）因为，，所以， 又，得到， 在中，由余弦定理得到， 又，所以，解得(舍负)，所以， 故的面积为. 类型八、解三角形中的实际问题 例．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ） A. B. C. －1 D. －1 【答案】C 【解析】在ABC中，由正弦定理得， ∴． 在ADC中，， ∴ 故选：C 【变式训练1】如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 200 m B. 400 m C. D. 【答案】C 【解析】在中， 在中， 在中 ． 故选：C 【变式训练2】某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高 m. 【答案】 【解析】因为在中，，，， 所以， 由正弦定理得，即，解得， 在中，，所以， 故塔高. 故答案为： 类型九、三角形中的最值范围问题 例．在中，角对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且， （i）求角的取值范围； （ii）求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 因为，所以． 由，可得， 所以， 所以， 因为，则，所以，所以， 因为，所以，则； （2）（i）因为为锐角三角形， 所以，， 由（1）知，，即，所以，即角的取值范围为； （ii）由题设及（1）知，的面积， 由正弦定理得 ． 因为，所以，则，， 所以，从而． 因此面积的取值范围是． 【变式训练1】在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是________. 【答案】 【解析】由，，，得， 设，，当时，重合，，； 当时，重合，，； 当时，，，， 在中由正弦定理，即，则， 在中由正弦定理，即，则， 于是 （其中锐角由确定）， 当且仅当时取等号，而， 因此，， 所以三角形的面积的最大值是. 故答案为： 【变式训练2】在中，角A，B，所对的边分别为，，，且． （1）求的值； （2）点在边上，，． （i）求面积的最大值； （ii）求的最小值． 【答案】（1） （2）；. 【解析】（1）因，由正弦定理边角互化可得： ； （2）（i）因，则， 又注意到， ，则 ，由基本不等式，， 又由（1），，则. 当且仅当，即时取等号. （ii）设，则，其中. 又，则. 由（1）可得， 则. 注意到. 对于，令，其中. 则， ， 当且仅当，即时取等号. 则， 则 类型十、正、余弦定理与三角函数性质的综合应用 例．记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由， 所以， 由， 所以， 即， 所以，、 由正弦定理得，由， 所以=， ， 又，所以， 所以， 因为，所以或， 当时，，故不符合题意； 所以 （2）由得 ， 即， 所以， 因为为锐角三角形，所以，所以， 又，所以，所以，， 所以， 又， 因为为锐角三角形， 所以， ， 令，因为，所以， 又在单调递增， 所以，即的取值范围为. 【变式训练1】记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得 因为，则，所以， 又因为， 所以，则， 因为，则，即，所以. （2）因为是锐角的内角，又因为，所以，，得， 由正弦定理，得， 所以，， 所以 ， 由，得，所以， 即， 所以面积的取值范围是 【变式训练2】已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)记的内角的对边分别为，，，．若角的平分线交于，求的长． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为， 设函数的周期为，由题意，即，解得， 所以. （2）由得：，即，解得， 因为，所以， 因为的平分线交于， 所以，即，可得， 由余弦定理得：，，而， 得，因此 四、限时冲刺练 1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理可知：， ∴，，∴. 故选：C. 2．在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（ ） A．等腰三角形但一定不是直角三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形但一定不是等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【解析】由得：，且， ，且， ， ， 化简整理得：，即， 或，又， 是直角三角形但一定不是等腰三角形． 故选：A 3．在中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由正弦定理知， 所以， 根据三角形成立的条件可知，解得， 故选:D. 4．在中，角所对的边的长分别为.下列命题中错误的个数是（ ） ①若，则 ②已知，则最小内角的度数为 ③若，则是锐角三角形 ④若，且结合长解三角形，有两解，则长的取值范围是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】命题①：中，若，根据大角对大边，有，由正弦定理可得，于是，①正确； 命题②：已知，则最小内角为C， 由余弦定理得，根据其为最小角，则其不可能为钝角，则，②正确； 命题③：因为， 所以，得， 因为，所以中有0个或2个为负数， 又因为中最多一个为钝角，所以， 即都是锐角，所以为锐角三角形，③正确． 命题④：由，若三角形有两解，则， 所以长的取值范围是，所以④错误. 故命题中有1个错误. 故选：B. 5．如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进若干米后到达D处，又测得山顶的仰角为，已知山的高度BC为1千米，则该登山队从A到D前进了（ ） A. 千米 B. 千米 C. 1千米 D. 1.5千米 【答案】C 【解析】如图，过D作交于点，交于点， 由题意得则 在D处测得山顶的仰角为， 即,,则 设，在中由正弦定理得： , ,因为,即，即从A到D前进了1千米， 故选：C 6.设内角，，所对的边分别为，，.若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】因为， 所以由正弦定理可得，得， 由余弦定理得，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为， 故选：B 7.（多选）在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且有一解，则的取值范围为 C. 若，且，为的内心，则 D. 若，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】对于A，由，得， 即，而，因此，A正确； 对于B，由余弦定理得，整理得， 由关于的一元二次方程只有一个正数解，得或， 解得或，B正确； 对于C，由，得，又，则， 即， 而，解得，由，得为锐角，则， 因此，为直角三角形，设其内切圆的半径为， 则，， 因此，C错误； 对于D，由正弦定理可得， ，即, 在中，，解得，，则，D正确. 故选：ABD 8．（多选）在锐角中，角，，对边分别为，，，设向量，，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 的取值范围是 D. 【答案】BCD 【解析】对于A，因为向量，，且，所以， 由余弦定理得， 即，又因为为锐角三角形，所以， 所以，故A错误； 对于B，由正弦定理、得 ， 因为在锐角中，， 所以，可得，故B正确； 对于C，因为，所以，， 可得，由正弦定理可得，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：BCD. 9．（多选）在中，，，，M是BC的中点，则（ ） A. 线段AM的长度为 B. C. D. 在线段AB的延长线上存在点P，使得的最大值为 【答案】ACD 【解析】对于选项A，如图连接AM，因C，M，B三点共线，则 有.设，又，，，由余弦定理有：，得，故A正确. 对于B选项，== ,故B错误. 对于C选项，，又，则， 因，，则 得，又由外角和定理，， 则=.故C正确. 对于选项D，如图做一圆与直线AB相切，且过C，M两点.为除直线与圆相切切点P外任意一点，由图及三角形外角性质，，则当P为直线与圆相切切点时，最大.由圆幂定理，有，得，又. 由余弦定理有：，则为等腰直角三角形. 又由，有，又，则. 故，又，得. 故在线段AB的延长线上存在点P，使得的最大值为，D正确. 故选：ACD 10．在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为 ． 【答案】 【解析】因为的面积，， 所以，所以， 又，所以， 又，， 所以， 又，所以， 由余弦定理可得， 由，，可得， 所以，所以，所以， 所以的周长为. 故答案为： 11.《数书九章>是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边a，b，c，求面积S的公式．这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即： ，现有的三边满足，则的最大值______． 【答案】 【解析】在中利用正弦定理，可化简为， 设，则，则， 则， 则， 则， 因，则，得， 得， 则当时，有最大值. 故答案为： 12.在中，角所对的边分别为．已知． （1）求角； （2）设为边上一点，记，的面积分别为，若，且． ①求；②求的值． 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】（1）由和正弦定理，可得，即(*)， 又且，则， 故由(*)可得，联立解得； （2）①由（1）易得，则有，， 因，，则， 即得，代入，可得①， 由，可得②， 将①②两式相乘，得，又， 联立解得，因为锐角，则； ②由上可得，代入①，， 所以，故. 13.在①，其中为角的平分线的长（，交于点）；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： 在中，内角，，的对边分别为，，，______. （1）求角大小； （2）若，，为重心，求的长； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】(1)方案一：选条件①. 由题意可得，. 为的平分线，， ，即 又，，即， ，， ，. 方案二：选条件②. 由已知结合正弦定理得， 由余弦定理得， ，. 方案三：选条件③ 由正弦定理得，， 又， ， ， 易知， ，，. （2）法1 延长交于点，因为为三角形的重心， 所以为的中点， 所以， . 法2 在中，由余弦定理可得，， ，. 延长交于点， 为的重心，为的中点，且. 在中，由余弦定理可得，， ，. （3） 因为，所以， 从而 14.在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答， 问题：在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且______． （1）求角B； （2）已知，D为线段AC上的一点． ①若BD是边AC上的高，求BD的最大值； ②若，求BD的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】（1）选择①：条件即， 由正弦定理可知，， 在中，，所以，， 所以，且，即，所以 选择②：条件即， 即， 在中，，所以，则，所以，所以 选择③：条件即， 所以， 在中，，所以． （2）①因为的面积，所以 在中，由余弦定理得： 所以，从而 当且仅当取等．所以BD的最大值为 ②由正弦定理得：，R为外接圆半径， 因， 则 因为，故当，即时，取得最大值 则BD的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$