专题02 一元二次方程（5重点+17种题型+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

专题02 一元二次方程 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 一元二次方程 1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 3.一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 知识点 2 解一元二次方程 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 1. 直接开平方法（基础） 定义：通过开平方运算解一元二次方程的方法叫直接开平法.形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 2. 配方法（基础） 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 3. 公式法 定义：一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 4. 因式分解法 定义：利用因式分解，将方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 【补充说明】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 知识点 3 根的判别式 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 知识点 4 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 4）利用根与系数的关系还可以求出关于、的代数式的值，涉及到的变形如下： 知识点 5 一元二次方程与实际问题 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 【题型1 一元二次方程的识别】 高妙技法 ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式. ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数. ③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2. 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A．（a、b、c是实数） B． C． D． 【题型2 将一元二次方程化为一般式】 高妙技法 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号.特殊情况： ①若二次项系数为负，则要把它转化为正数，注意其他项的符号均需要改变； ②若有的项系数为分数，则要把它转化为整数. 4．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）把一元二次方程化成一般式之后，其二次项系数与一次项系数分别是（   ） A．2， B．， C．2， D．， 5．（23-24八年级上·上海·单元测试）把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． (1)； (2)． 【题型3 根据一元二次方程的定义求参数】 高妙技法 1）只含有一个未知数; 2）未知数的最高次数是2，且系数不为0； 3) 高于二次的项系数为0. 6．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 7．（24-25九年级下·江西抚州·期中）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 8．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【题型4 已知一元二次方程的解求参数/代数式的值】 9．（21-22九年级上·贵州毕节·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D． 10．（2025·浙江丽水·二模）已知是方程的一个根，则代数式的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 11．（24-25八年级下·重庆·期中）已知是一元二次方程的一个根，则 12．（24-25九年级上·重庆黔江·阶段练习）（1）已知，，求的值． （2）已知是方程的一个实数根，求代数式的值． 【题型5 合适的方法解一元二次方程】 高妙技法 a，b，c分别为二次项系数，一次项系数，常数项. 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 13．（24-25八年级上·上海·期末）解方程： (1)； (2)． 14．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【题型6 换元法解一元二次方程】 15．（22-23九年级上·江西萍乡·开学考试）阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 16．（20-21九年级上·江苏扬州·期末）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）． 【题型7 配方法求最值】 高妙技法 求多项式的最值，若a＞0，则代数式有最小值；若a＜0,则代数式有最大值. 17．（23-24八年级上·上海·单元测试）（1）已知为实数，且，求的值． （2）用配方法求： ①的最小值； ② 的最大值． 18．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 19．（23-24八年级下·山东济南·期中）求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法． 例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若代数式，求M的最小值； (2)已知正数x，y满足，求的最小值． 【题型8 不解方程判定一元二次方程根的情况】 高妙技法 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 20．（24-25九年级下·上海·阶段练习）下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有实数根的是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·上海·期中）下列一元二次方程中，有实数根的是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列关于的方程中，有两个实数根的是（   ） A． B． C． D．（为常数） 【题型9 根据一元二次方程根的情况求参数范围】 高妙技法 前提条件：已知方程是一元二次方程（二次项系数不为0）. 1）有根Δ≥ 0; 2）有两个不等根Δ＞0; 3）有两个相等根Δ= 0; 4）无实数根Δ＜0. 23．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则n的值可能是（   ） A． B． C．0 D．1 24．（2025·上海浦东新·二模）如果关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是 ． 25．（24-25八年级上·上海·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，请判断关于的方程是否有两个相等的实数根，并说明理由． 26．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知关于x的一元二次方程无实数根．求关于y的一元二次方程根的情况． 【题型10 已知方程一个根求另一个根】 高妙技法 当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝. 27．（2023·广东佛山·三模）关于x一元二次方程有一个根是，则另一个根是（    ） A． B． C． D． 28．（22-23九年级下·广东佛山·阶段练习）若是一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根是（　　） A． B．2 C．3 D．6 29．（2023九年级·全国·专题练习）已知，且有及，则的值为（    ） A． B．2018 C．3 D． 【题型11 一元二次方程根与系数的关系】 高妙技法 30．（22-23九年级上·贵州黔西·阶段练习）设一元二次方程的两根为，则的值为（　　） A． B． C．3 D． 31．（22-23九年级上·山东日照·阶段练习）已知是方程的两个实数根，则代数式的值（    ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 32．（23-24九年级下·上海·自主招生）已知a、b和c是的三边，，，方程两根之差是，求的底角的度数． 33．（23-24八年级上·上海·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，存在如下关系：试着利用这个关系解决问题．设方程的两根为， (1)不解方程，求 (2)不解方程，求 (3)不解方程，求 (4)不解方程，求下列式子的值： 34．（22-23八年级·上海·假期作业）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【题型12 根据一元二次方程两根满足的关系求参数】 35．（2024·贵州铜仁·一模）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 36．（22-23九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．或3 37．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 【题型13 根的判别式和根与系数关系综合】 38．（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值． 39．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）已知的两边，是关于的方程的两个实数根，第三边的长度是，那么为何值时，是等腰三角形？ 40．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的值． 【题型14 一元二次方程与实际问题】 高妙技法 常见问题 数量关系 变化率问题 利润问题 利润=售价-进价； 利润率=利润/进价×100% 总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. 循环问题 单循环（如握手问题）：n（n－1） （其中n为人数） 双循环（如写信问题）：n（n－1） （其中n为人数） 面积问题 (a−2x)(b−2x) （x为空白部分的宽） (a−x)(b−x) （x为阴影部分的宽） 41．（23-24九年级上·福建福州·期中）某流感病毒传染性很强，若有一人感染上此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后，共有100人患病（假设每轮传染中，平均一个人传染的人数相同）． (1)每轮传染中平均一个人传染多少人？ (2)如果这100位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 42．（24-25九年级上·全国·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 43．（24-25八年级上·上海·期末）云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 44．（23-24八年级上·上海·期末）小王准备投资销售一种进价为每公斤40元的坚果．通过试营销发现：当销售单价在每公斤40元到90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（元/公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图像如图所示． (1)求y与x之间的函数解析式，并写出定义域； (2)如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元？ 45．（24-25八年级上·上海·期末）互联网经济已经成为了我国经济的重要发展方向，下图是某电商平台上某商品第四季度的销售额y（元）和销售量x（件）之间的函数图像，线段表示某商品以原价销售时的函数图像，线段表示由于“双十一”活动阶段商品以某一幅度降价时的函数图像，线段表示由于“双十二”活动阶段商品以相同的幅度再次降价时的函数图像， (1)求线段所在直线的函数解析式； (2)该商品原价每件为______元．第二次降价后该商品每件为______元． (3)该商品每次降价的百分率为_______． 【题型15 与解一元二次方程有关的新定义问题】 46．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②． (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值． 47．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）对于任意实数m、n，定义运算“☆”，其运算规则为：，例如，求方程的解． 48．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：． (1)求关于x的方程的根； (2)若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 49．（24-25九年级上·河南鹤壁·期末）定义：如果关于x的一元方程的两个实数根互为相反数，那么称这样的方程是“对称方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，2和互为相反数，则方程是“对称方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“对称方程”； ①；②； (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“对称方程”，求k的值． 【题型16 指出解一元二次方程过程中的错误步骤】 50．（24-25九年级上·河北保定·期末）嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：整理得，① ，② ，③ 方程有两个不相等的实数根， ，④ ．⑤ (1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 51．（24-25九年级上·河北保定·期末）习题课上，数学老师展示了解方程时的两种错误解答过程： 甲：原方程可变形为： 第一步 第二步 第三步 第四步 则第五步 ∴，第六步 乙：原方程可变形为： 第一步 第二步 则或第三步 ∴， 第四步 (1)分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)请写出正确的解答过程． 【题型17 与解一元二次方程有关的材料阅读类问题】 52．（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现： ．最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗?若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 53．（24-25九年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小芸同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 用转化的思想解方程 我们知道一元二次方程的解法有四种，在解一元二次方程时，应该根据系数的特征选择恰当快捷的方法求解．例如：当时，常选用因式分解法求解；当，且时，常选用直接开平方法求解……但是在求解的过程中发现，不管使用哪种方法求解，都是将一元二次方程转化为一元一次方程，通过求解一元一次方程得到一元二次方程的解． 通过查阅资料，我发现，不止解一元二次方程可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程，解一元多次方程也可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程． 例如：解方程． 解：提取公因式，得．第一步 分解因式，得．第二步 或或．第三步 ．第四步 ．．．．．． 任务： (1)在上述材料中，第二步分解因式的依据是___________； (2)请参照材料中的方法，解方程； (3)实际上，除解方程外，初中数学还有一些知识也可以用转化思想来解决．例如：可用转化思想解二元一次方程组．请你再举出一例：___________． 54．（20-21九年级上·云南丽江·期末）阅读下面的材料： ∵ 的根为，， ∴ ，；请利用这一结论解决下列问题： (1)若方程的两根为和3，求b和c的值． (2)设方程的两根为，，不解方程，求的值． 提升专练 1．（24-25八年级下·重庆·期末）计算： (1) (2) 2．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知关于的方程有两个实根，其中“□”内的数字待填． (1)请选择一个实数填入“□”内，并求出该方程的两个实根； (2)你认为“□”可以填入的实数应在什么取值范围内？写出推理过程． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期末）（1）解方程：； （2）小明在解关于x的方程时，过程如下： 第1步：移项，得， 第2步：变形，得， 第3步：设，即，代入上式得， 所以，即， 第4步：两边开平方，得， 第5步：代入，得，即． 你认为小明的做法从第______步开始出现错误，原因是______． 4．（24-25九年级上·山西晋城·阶段练习）项目化学习 素材：全面推进美丽中国建设，当前在各地积极开展．我市在城市园林绿化建设方面，从“园林城市”、“生态园林城市”到“公园城市”，城市人居生态环境已有很大提升．其中，某一新建公园想在一块长为，宽为的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．现有两种小道设计方案，如下图： 其中：按图1的方案设计小道，测得草坪的面积是； 如图2所示，修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪后，草坪的面积是地面面积的二分之一． 请根据以上信息解决下列问题： 任务1：求图1中道路的宽度； 任务2：经过一致协商，最终选择如图2所示的第二种小道设计方案．从美观角度考虑，决定在横竖两条小道上铺设花砖，求小道重叠部分花砖的面积． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，这是玲玲同学在阅读一本数学课外读物时看到的一段内容． 已知关于的一元二次方程． 其中一次项系数被墨迹污染了． (1)若这个方程的一个根为，请求出一次项系数； (2)玲玲发现不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根，请说明理由． 6．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）综合与实践 (1)【猜想】是否存在面积和周长都相等的长方形？________；（填“存在”或“不存在”） (2)【验证】设长方形的长和宽分别为，，是否存在面积和周长都等于的长方形，请说明理由； (3)【拓广】若存在面积和周长都相等的长方形，则这个长方形的面积（或周长）应满足什么条件？请说明理由． 7．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设． (1)的长为___________m；（用含的代数式表示） (2)若羊的活动范围的面积为，求的长； (3)羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 8．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点分别以的速度从点同时出发，点沿着运动到点时停止，点沿着运动到点时停止．设运动时间为．    (1)当点在上运动时，________________________．（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求的值． (3)如图2、图3，点沿着运动到点的过程中，当的面积为时，求的值． 真题感知 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 5．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 二、填空题 6．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 7．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 三、解答题 8．（2024·上海·中考真题）解方程组：． 9．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 10．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足且，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 一元二次方程 1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 3.一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 知识点 2 解一元二次方程 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 1. 直接开平方法（基础） 定义：通过开平方运算解一元二次方程的方法叫直接开平法.形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 2. 配方法（基础） 定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 3. 公式法 定义：一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 4. 因式分解法 定义：利用因式分解，将方程化为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法. 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 【补充说明】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 知识点 3 根的判别式 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 知识点 4 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 3）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 4）利用根与系数的关系还可以求出关于、的代数式的值，涉及到的变形如下： 知识点 5 一元二次方程与实际问题 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 【题型1 一元二次方程的识别】 高妙技法 ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式. ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数. ③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2. 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理；如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】解： A、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； B、符合一元二次方程的定义，故符合题意 C、原方程整理得：，是一元一次方程，故不符合题意； D、是分式方程，故不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：A、是分式方程，故此选项错误； B、当，且、、为常数时，是一元二次方程，故此选项错误； C、整理后为是一元一次方程，故此选项错误； D、是关于的一元二次方程，故此选项正确． 故选：D． 3．（24-25八年级上·上海·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A．（a、b、c是实数） B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”，由此问题可求解． 【详解】解：A、当时，则就不是一元二次方程，故不符合题意； B、把化简为，不是一元二次方程，故不符合题意； C、含分式，不是一元二次方程，故不符合题意； D、是一元二次方程，故符合题意． 故选D． 【题型2 将一元二次方程化为一般式】 高妙技法 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号.特殊情况： ①若二次项系数为负，则要把它转化为正数，注意其他项的符号均需要改变； ②若有的项系数为分数，则要把它转化为整数. 4．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）把一元二次方程化成一般式之后，其二次项系数与一次项系数分别是（   ） A．2， B．， C．2， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练把一元二次方程转换为一般形式是解题的关键； 通过移项，合并同类项，转化为一二次方程的一般形式即可得出答案． 【详解】解： ， ∵，，， ∴一元二次方程的二次项系数是2与一次项系数是， 故选：A． 5．（23-24八年级上·上海·单元测试）把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项为，一次项为，常数项 (2)，二次项为，一次项为，常数项 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． （1）根据一元二次方程的一般形式的定义即可解答； （2）根据一元二次方程的一般形式的定义即可解答． 【详解】（1）解：由， 得：， 化为一般式得：， 二次项为，一次项为，常数项； （2）解：由， 得：， 化为一般式得：， 二次项为，一次项为，常数项． 【题型3 根据一元二次方程的定义求参数】 高妙技法 1）只含有一个未知数; 2）未知数的最高次数是2，且系数不为0； 3) 高于二次的项系数为0. 6．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意二次项系数不为零；根据二次项系数不为零即可求解． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（24-25九年级下·江西抚州·期中）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 8．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 【题型4 已知一元二次方程的解求参数/代数式的值】 9．（21-22九年级上·贵州毕节·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 10．（2025·浙江丽水·二模）已知是方程的一个根，则代数式的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解的意义，由题意可得，将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11．（24-25八年级下·重庆·期中）已知是一元二次方程的一个根，则 【答案】13 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由题意易得，然后整体代入进行求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴； 故答案为13． 12．（24-25九年级上·重庆黔江·阶段练习）（1）已知，，求的值． （2）已知是方程的一个实数根，求代数式的值． 【答案】（1）97；（2）6 【分析】本题主要考查了分母有理化，代数式求值，二次根式混合运算，一元二次方程的解，掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题的关键． （1）先将，分母有理化，然后再代入代数式求值即可； （2）根据是方程的一个实数根，得出，，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ， ∴ ； （2）∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【题型5 合适的方法解一元二次方程】 高妙技法 a，b，c分别为二次项系数，一次项系数，常数项. 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 13．（24-25八年级上·上海·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把看做整体，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， 解得； （2）解：∵， ∴， 则， ， 解得． 14．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）变形后，利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）， ∴， ∴或， 解得：，； （4）， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解． 【题型6 换元法解一元二次方程】 15．（22-23九年级上·江西萍乡·开学考试）阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，利用换元降次求解一元高次方程． （1）设，则原方程化为，进而求解； （2）设，则原方程化为，进而求解； （3）设，则原方程化为，进而求解； 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； （2）设，则原方程化为， 解得， 当时，，，，； 所以原方程的解为，； （3）. 设，则原方程化为， 解得， 当时，，， 解得：，； 当时，， 解得，； 所以原方程的解为，，0， 16．（20-21九年级上·江苏扬州·期末）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），，，；（2），． 【分析】（1）根据阅读材料利用换元法降次，令，即原方程=，求解即可． （2）同理，令，即原方程=，求解即可． 【详解】（1）设， 得：， 解得：，． 当时，，解得：， 当时，，解得：，． ∴原方程的解为，，，． （2）设，则方程可变成， ∴， ，． 当时，，所以无解． 当时，， ∴， ∴，． 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键． 【题型7 配方法求最值】 高妙技法 求多项式的最值，若a＞0，则代数式有最小值；若a＜0,则代数式有最大值. 17．（23-24八年级上·上海·单元测试）（1）已知为实数，且，求的值． （2）用配方法求： ①的最小值； ② 的最大值． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，配方法的应用： （1）把看做一个整体，利用因式分解法得到，据此求解即可； （2）①利用配方法得到，据此可得答案；②利用配方法得到，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）① ， ∵， ∴， ∴的最小值为； ② ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 18．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3 （2）1， （3），，最小值是10 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可． 【详解】（1） 当时，多项式取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3 （2） 当时，多项式取最大值，且最大值为； 故答案为：1，； （3） ， 当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为． ，，最小值是10． 19．（23-24八年级下·山东济南·期中）求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法． 例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若代数式，求M的最小值； (2)已知正数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． （1）运用配方法解题即可； （2）运用材料提示，构造图形，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：， ， 当，时，M有最小值为3； （2）如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度 当的值最小时，D、C、E三点共线， 所以最小值． 【题型8 不解方程判定一元二次方程根的情况】 高妙技法 一元二次方程根的情况与判别式的关系： 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 20．（24-25九年级下·上海·阶段练习）下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式逐一分析即可求解． 【详解】解：A、， ， 时，，即关于的方程有实数根，故该选项不符合题意； B、， ， 不论取什么实数值，，即方程一定有实数根，故该选项符合题意； C、， ， 当时，，即关于的方程有实数根，故该选项不符合题意； D、， ， 当时，，即关于的方程有实数根，故该选项不符合题意； 故选：B． 21．（24-25八年级上·上海·期中）下列一元二次方程中，有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，其根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A、对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； B、对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； C、对于方程，其判别式，该方程无实数根，不符合题意； D、 对于方程，其判别式，该方程有两个不相等的实数根，符合题意． 故选：D． 22．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列关于的方程中，有两个实数根的是（   ） A． B． C． D．（为常数） 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及解一元一次方程，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程有两个实数根，故A符合题意； B、， 方程没有实数根，故B不符合题意； C、由，得， ∵， ∴方程没有实数根，故C不符合题意； D、， 当时，方程没有实数根，故D不符合题意； 故选：A． 【题型9 根据一元二次方程根的情况求参数范围】 高妙技法 前提条件：已知方程是一元二次方程（二次项系数不为0）. 1）有根Δ≥ 0; 2）有两个不等根Δ＞0; 3）有两个相等根Δ= 0; 4）无实数根Δ＜0. 23．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）若关于x的一元二次方程没有实数根，则n的值可能是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：， 显然只有A选项符合题意． 故选：A． 24．（2025·上海浦东新·二模）如果关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是根的判别式，解题关键是熟练掌握根据一元二次方程根的情况求参数的方法． 方程有实数根，即根的判别式． 【详解】解：方程有实数根， ， ． 故答案为：． 25．（24-25八年级上·上海·期中）已知关于的方程有两个不相等的实数根，请判断关于的方程是否有两个相等的实数根，并说明理由． 【答案】有两个不相等的实数根，理由见解析 【分析】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系． 首先根据方程有两个不相等的实数根，求出m的取值范围，然后求出方程根的判别式，进而作出判断． 【详解】解：有两个不相等的实数根，理由如下： ∵方程有两个不相等的实数根， ， ， 对于关于的方程， ， ， ∴，即， ∴方程一定有两个不相等的实数根． 26．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知关于x的一元二次方程无实数根．求关于y的一元二次方程根的情况． 【答案】一元二次方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．熟记相关结论即可，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求k的取值范围．根据k的取值范围可得方程根的情况． 【详解】解：关于x的一元二次方程无实数根， ，即， 解得：； 在关于y的一元二次方程中， ， ∵， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 【题型10 已知方程一个根求另一个根】 高妙技法 当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝. 27．（2023·广东佛山·三模）关于x一元二次方程有一个根是，则另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系解答即可. 【详解】解：设方程的另一个根为，则， 解得：； 故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是方程的两个根，则. 28．（22-23九年级下·广东佛山·阶段练习）若是一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根是（　　） A． B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】设方程的另一个根为m，利用根与系数的关系得到，解方程即可得到答案. 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故选D. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 29．（2023九年级·全国·专题练习）已知，且有及，则的值为（    ） A． B．2018 C．3 D． 【答案】D 【分析】把两边都除以，得，从而知x、是的两根，根据韦达定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 则x、是的两根， ∴， ∵3， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系．根据已知条件得到x、是关于x的方程的两根是解题的难点． 【题型11 一元二次方程根与系数的关系】 高妙技法 30．（22-23九年级上·贵州黔西·阶段练习）设一元二次方程的两根为，则的值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】直接由根与系数的关系可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴ ． 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确的计算是解决本题的关键． 31．（22-23九年级上·山东日照·阶段练习）已知是方程的两个实数根，则代数式的值（    ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系得出，，，然后代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ∴ ， 故选：A． 32．（23-24九年级下·上海·自主招生）已知a、b和c是的三边，，，方程两根之差是，求的底角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及根与系数的关系，首先利用根与系数的关系得到两根与系数的式子，然后根据方程的两根之差是得到，代入得到的a、b的关系，从而确定底角的度数． 【详解】解：设方程的两根分别为m、n， ， 方程两根之差是， ， 整理得， 即 ， ， 即， 是底边为b的等腰三角形， 由图可知，， 的底角． 33．（23-24八年级上·上海·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，存在如下关系：试着利用这个关系解决问题．设方程的两根为， (1)不解方程，求 (2)不解方程，求 (3)不解方程，求 (4)不解方程，求下列式子的值： 【答案】(1)， (2) (3)3 (4)34 【分析】（1）根据方程的两个根为，，可得，； （2）根据方程的两个根为，，，代入即可； （3）由题意得，等式变形代入即可； （4）根据一元二次方程根的定义得到，，则原式，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：方程的两个根为，， ∴，， 故答案为：， （2）∵， ∴ 故答案为： （3）方程的两个根为，， ， 即， 故答案为：3 （4）方程的两个根为，， ，， 即，， 原式 ， 原式． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程根的定义． 34．（22-23八年级·上海·假期作业）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2 (5)4 【分析】（1）根据韦达定理，可得，，再根据即可计算； （2）即可计算； （3）即可计算； （4）即可计算； （5）即可计算． 【详解】（1）根据韦达定理，可得，， ∴； ； ； （2）； ； ； （3）； ； ； （4）； ； ； （5）； ； ； ． 【点睛】本题考查韦达定理的应用，将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子是解题的关键． 【题型12 根据一元二次方程两根满足的关系求参数】 35．（2024·贵州铜仁·一模）已知关于x的方程的两实数根为，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系的知识．根据根与系数的关系，得出和，再代入等式求得即可． 【详解】解：关于的方程的两实数根为，， ，， ， ， ， ． 故选：D． 36．（22-23九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．或3 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．注意，方程有实数根，判别式大于等于零． 由方程有两个实数根得，根据根与系数的关系得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的两实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍）或； 故选A． 37．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程，设方程两个实数根分别为，且满足， ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+． 由题意得所以，代入得到，换元解方程即可． 【详解】解：因为是关于x的一元二次方程的两个实数根， 所以． 又因为， 所以， 解得， 经检验，两根都是原方程的解，且满足， 所以k的值为或． 故答案为：或． 【题型13 根的判别式和根与系数关系综合】 38．（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点． （1）由方程有实数根即可得出，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再由（1）中m的取值范围即可确定m的值． 【详解】（1）解：∵该方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程的两个实数根为，， ∴、， ∴， 解得或． ∵， ∴． 39．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）已知的两边，是关于的方程的两个实数根，第三边的长度是，那么为何值时，是等腰三角形？ 【答案】或 【分析】分两种情况：①当，是腰；②当为腰，分别求解即可． 【详解】解：①当a、b是腰时，则， ∵，是关于的方程的两个实数根， ∴， 解得：， ∴该方程为， 解得：， ∴， ∵， ∴不能组成三角形； ②当为腰时， ∴是其中一根， 设另外一根为， ∴，， 解得：，或，， ，，或，，能组成三角形， 综上所述，为或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的性质，三角形三边关系．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 40．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程，根与系数的关系：一元二次方程两实数根为、，则，． （1）分和时两种情况求解即可； （2）分三角形的腰长为4和底边为4两种情形讨论即可． 【详解】（1）解：当时，原方程变为， 解得，故符合题意； 当时， ∵ ， ∴无论k取任何非零实数，方程总有实数根． （2）解：当三角形的腰长为4时，设底边为a， ∴是的一根， ∴， ∴， ∴， ∴由根与系数的关系可知：， ∴， 此时，能够组成三角形，满足题意； ∴当底边为4时，设腰长为b， ∴有两个相同的根， ∴， ∴， ∴原方程为 ∴该方程的解为：． ∴，不能组成三角形，故舍去， 综上所述，． 【题型14 一元二次方程与实际问题】 高妙技法 常见问题 数量关系 变化率问题 利润问题 利润=售价-进价； 利润率=利润/进价×100% 总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. 循环问题 单循环（如握手问题）：n（n－1） （其中n为人数） 双循环（如写信问题）：n（n－1） （其中n为人数） 面积问题 (a−2x)(b−2x) （x为空白部分的宽） (a−x)(b−x) （x为阴影部分的宽） 41．（23-24九年级上·福建福州·期中）某流感病毒传染性很强，若有一人感染上此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后，共有100人患病（假设每轮传染中，平均一个人传染的人数相同）． (1)每轮传染中平均一个人传染多少人？ (2)如果这100位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【答案】(1)9人 (2)1000人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有100人患病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患病的人数经过两轮传染后患病的人数，即可求出结论． 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：每轮传染中平均每个人传染了9个人． （2）（人）． 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有1000人患病． 42．（24-25九年级上·全国·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 43．（24-25八年级上·上海·期末）云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 【答案】(1)每间商铺的长为米，宽为米 (2)小王每月需要付给经营者元租金 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，配方法的应用； （1）设垂直于墙的一边长米，可得米，根据三间商铺总面积为列出方程，求得合适的解即可； （2）根据题意求得三间商铺的总面积，根据配方法可得最大值，进而可得租金为多少． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长x米，则米， ， 整理得：， 解得：，， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴． 答：每间商铺的长为米，宽为米； （2）解：三间商铺的总面积为， ∵， ∴时，三间商铺的总面积最大，三间商铺的总面积最大为平方米， (元)． 答：小王每月需要付给经营者元租金． 44．（23-24八年级上·上海·期末）小王准备投资销售一种进价为每公斤40元的坚果．通过试营销发现：当销售单价在每公斤40元到90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（元/公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图像如图所示． (1)求y与x之间的函数解析式，并写出定义域； (2)如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元？ 【答案】(1) (2)60元或70元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴y与x之间的函数解析式为 （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∴如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤60元或70元． 45．（24-25八年级上·上海·期末）互联网经济已经成为了我国经济的重要发展方向，下图是某电商平台上某商品第四季度的销售额y（元）和销售量x（件）之间的函数图像，线段表示某商品以原价销售时的函数图像，线段表示由于“双十一”活动阶段商品以某一幅度降价时的函数图像，线段表示由于“双十二”活动阶段商品以相同的幅度再次降价时的函数图像， (1)求线段所在直线的函数解析式； (2)该商品原价每件为______元．第二次降价后该商品每件为______元． (3)该商品每次降价的百分率为_______． 【答案】(1) (2)10， (3) 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质、从函数图像中获取信息、一元二次方程的应用，从函数图像中正确获取信息是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）根据函数图像可得每件的原价等于销售额1000元除以销售量100件；第二次降价后该商品每件的价格为销售额元除以销售量100件，由此即可得； （3）设该商品每次降价的百分率为，结合（2）的结果，建立一元二次方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设线段所在直线的函数解析式为， 将点代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为． （2）解：由线段表示的函数图像可知，该商品原价每件为（元）， 由线段表示的函数图像可知，第二次降价后该商品每件为（元）， 故答案为：10，． （3）解：设该商品每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以该商品每次降价的百分率为， 故答案为：． 【题型15 与解一元二次方程有关的新定义问题】 46．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②． (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值． 【答案】(1)①不是“差1方程”，见解析；②是“差1方程”，见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握“差1方程”的定义并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）先解方程求出两个根，再判断两个根是否相差1即可； （2）先解方程求出两个根，再根据该方程是“差1方程”得出两个根的差为1，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：①， ，， ， 不是“差1方程”， ②，，， ， ， ， 是“差1方程”； （2）解：， ，， 方程（是常数）是“差1方程”， 或， 或． 47．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）对于任意实数m、n，定义运算“☆”，其运算规则为：，例如，求方程的解． 【答案】 【分析】此题考查了实数的新定义和解一元二次方程．根据新定义得到，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得 48．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：． (1)求关于x的方程的根； (2)若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．明确新定义的运算规则是解题的关键． （1）由新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，解方程即可； （2）按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，在利用根的判别式进行求解即可解决． 【详解】（1）， ， ． ， ， ， （2） ， 整理得：． 方程有两个实数根， 且， 解得：且 49．（24-25九年级上·河南鹤壁·期末）定义：如果关于x的一元方程的两个实数根互为相反数，那么称这样的方程是“对称方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，2和互为相反数，则方程是“对称方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“对称方程”； ①；②； (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“对称方程”，求k的值． 【答案】(1)①不是“对称方程”；②是“对称方程” (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，以及根据“对称方程”的概念来解答一元二次方程中相应参数的值，熟练掌握一元二次方程的解法以及根与系数的关系是解答此题的关键． （1）将这两个方程分别解出来，再看它们的两个根是否互为相反数，即可判断它们是否为“对称方程”； （2）根据“对称方程”的特点即可得出两根之和等于0，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得出，代入相应字母的值可得出一个关于的方程，解出该方程即可得到的值． 【详解】（1）解：①， 因式分解得， ，， ∵该方程的两实数根不互为相反数， ∴此方程不是“对称方程”； ②， 整理得， ，， ∵该方程的两实数根互为相反数， ∴此方程是“对称方程”； （2）解：∵关于一元二次方程是“对称方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，原方程为，无解， ∴． 【题型16 指出解一元二次方程过程中的错误步骤】 50．（24-25九年级上·河北保定·期末）嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：整理得，① ，② ，③ 方程有两个不相等的实数根， ，④ ．⑤ (1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 【答案】(1)公式法，② (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法是关键； （1）根据题意可得解方程的方法是公式法，根据一次项的系数与常数项错误可得答案； （2）先求解，再利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误 （2）解：整理得， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ． 51．（24-25九年级上·河北保定·期末）习题课上，数学老师展示了解方程时的两种错误解答过程： 甲：原方程可变形为： 第一步 第二步 第三步 第四步 则第五步 ∴，第六步 乙：原方程可变形为： 第一步 第二步 则或第三步 ∴， 第四步 (1)分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程的计算的步骤一步步检查即可； （2）根据配方法和因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：甲：原方程可变形为：第一步，故甲从第一步开始出错； 乙：原方程可变形为：第一步， 第二步，故乙从第二步开始出错； ∴甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错． （2）解：（方法不唯一） 配方法： 方程变形为：， ， 配方得， 则或， ，； 因式分解法： 方程变形为：， ， 则或， ，． 【题型17 与解一元二次方程有关的材料阅读类问题】 52．（24-25九年级上·四川资阳·期末）阅读下面材料：已知，是一元二次方程的两实数根，若满足，则此类方程称为“差根方程”．在学习了求根公式法解方程后，小聪同学发现： ．最后得到“差根方程”中a，b，c之间的关系是． (1)请通过计算判断方程是否是“差根方程”． (2)若方程是“差根方程”，请求出k的值以及方程的两个根． (3)若关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，），则方程是“差根方程”吗?若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】(1)方程是“差根方程” (2)；， (3)方程是“差根方程”.它的根是，或，． 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“差根方程”的定义是解此题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的解，再结合“差根方程”的定义判断即可得解； （2）由题意可得，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形计算可得，最后解方程即可得解； （3）由“差根方程”的定义计算可得，从而可得，，，求解并判断即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴， ∴方程是“差根方程”； （2）解：∵方程是“差根方程”， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）解：∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，）， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵关于x的“差根方程”的一个根是（a，m，b均为常数，）， ∴， ∴，. 将代入方程可得：， 解得：，， ∴， ∴方程是“差根方程”，它的根为，． 即，或，． ∴方程是“差根方程”.它的根是，或，． 53．（24-25九年级上·山西临汾·期末）阅读与思考 下面是小芸同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 用转化的思想解方程 我们知道一元二次方程的解法有四种，在解一元二次方程时，应该根据系数的特征选择恰当快捷的方法求解．例如：当时，常选用因式分解法求解；当，且时，常选用直接开平方法求解……但是在求解的过程中发现，不管使用哪种方法求解，都是将一元二次方程转化为一元一次方程，通过求解一元一次方程得到一元二次方程的解． 通过查阅资料，我发现，不止解一元二次方程可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程，解一元多次方程也可以使用转化思想将其转化为解一元一次方程． 例如：解方程． 解：提取公因式，得．第一步 分解因式，得．第二步 或或．第三步 ．第四步 ．．．．．． 任务： (1)在上述材料中，第二步分解因式的依据是___________； (2)请参照材料中的方法，解方程； (3)实际上，除解方程外，初中数学还有一些知识也可以用转化思想来解决．例如：可用转化思想解二元一次方程组．请你再举出一例：___________． 【答案】(1)平方差公式 (2)， (3)解不等式 【分析】本题考查因式分解的应用，转化思想，熟练掌握转化思想是解题的关键． （1）第二步将分解为，是运用了平方差公式，据此即可解答； （2）参照材料中的方法，运用提公因式法与完全平方公式对方程左边进行因式分解，即可解答； （3）可以运用转化思想解一元二次不等式，将一元二次不等式转化为一元一次不等式组进行求解，据此可举例解答． 【详解】（1）解：第二步分解因式的依据是平方差公式． 故答案为：平方差公式； （2）解：， 提公因式，得， 分解因式，得， ∴或， ∴，． （3）解：可以运用转化思想解不等式， 因式分解，得， ∴或， ∴或． 54．（20-21九年级上·云南丽江·期末）阅读下面的材料： ∵ 的根为，， ∴ ，；请利用这一结论解决下列问题： (1)若方程的两根为和3，求b和c的值． (2)设方程的两根为，，不解方程，求的值． 【答案】(1)，； (2)3． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系等知识点， （1）可以直接利用阅读材料的结论，其中，则b为两根之和的相反数，c为两根之积即可得解； （2）把所求式子通分，然后把两根之和、两根之积代入即可求出其值； 熟练掌握若方程的两根为，，则，的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． 提升专练 1．（24-25八年级下·重庆·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）设，则原方程化为，得到或，当时，解得；当时，方程无实数解；即可得到答案； （2）整理方程得到，用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 设，则原方程化为， 解得或， 当时，解得； 当时，方程无实数解； ； （2）解： 或 解得：． 2．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知关于的方程有两个实根，其中“□”内的数字待填． (1)请选择一个实数填入“□”内，并求出该方程的两个实根； (2)你认为“□”可以填入的实数应在什么取值范围内？写出推理过程． 【答案】(1)当“□”内的数字为时，该方程的两个实根都是（答案不唯一） (2)，且．过程见详解 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，则当“□”内的数字为时，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）根据关于的方程有两个实根，得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，当“□”内的数字为时， 则， 解得； （2）解：且，过程如下： 设的值为a， 则方程为， ∵该方程有两个实根， ∴，且． 解得，且． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期末）（1）解方程：； （2）小明在解关于x的方程时，过程如下： 第1步：移项，得， 第2步：变形，得， 第3步：设，即，代入上式得， 所以，即， 第4步：两边开平方，得， 第5步：代入，得，即． 你认为小明的做法从第______步开始出现错误，原因是______． 【答案】（1），；（2）4，可能小于0，而负数没有平方根． 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法 （1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （2）由于可能小于0，所以不能两边开方． 【详解】解：（1）， ， 或， 所以，； （2）小明的做法从第4步开始出现错误，原因是可能小于0，而负数没有平方根． 故答案为：4，可能小于0，而负数没有平方根． 4．（24-25九年级上·山西晋城·阶段练习）项目化学习 素材：全面推进美丽中国建设，当前在各地积极开展．我市在城市园林绿化建设方面，从“园林城市”、“生态园林城市”到“公园城市”，城市人居生态环境已有很大提升．其中，某一新建公园想在一块长为，宽为的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．现有两种小道设计方案，如下图： 其中：按图1的方案设计小道，测得草坪的面积是； 如图2所示，修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪后，草坪的面积是地面面积的二分之一． 请根据以上信息解决下列问题： 任务1：求图1中道路的宽度； 任务2：经过一致协商，最终选择如图2所示的第二种小道设计方案．从美观角度考虑，决定在横竖两条小道上铺设花砖，求小道重叠部分花砖的面积． 【答案】任务1：；任务2： 【分析】本题考查了平移的性质，一元二次方程的应用．熟练掌握平移的性质，一元二次方程的应用是解题的关键． 任务1：设图1中道路的宽度为，由平移可确定合成草坪的长和宽，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； 任务2：设道路的宽度为，依题意得，，可求，（舍去），即道路宽为，由题意知，小道重叠部分花砖为4个相同的边长为的正方形，然后求面积即可． 【详解】任务1：解：设图1中道路的宽度为， 依题意得，， 解得，，（舍去）， ∴图1中道路的宽度为； 任务2：解：设道路的宽度为， 依题意得，， 解得，，（舍去）， ∴道路宽为， 由题意知，小道重叠部分花砖为4个相同的边长为的正方形， ∵， ∴小道重叠部分花砖的面积． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，这是玲玲同学在阅读一本数学课外读物时看到的一段内容． 已知关于的一元二次方程． 其中一次项系数被墨迹污染了． (1)若这个方程的一个根为，请求出一次项系数； (2)玲玲发现不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根，请说明理由． 【答案】(1)一次项系数为 (2)见解析 【分析】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解，掌握当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． （1）把代入方程即可求解； （2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出：不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：设一次项系数为b，则方程为， 把代入方程得，，解得：， 所以一次项系数为． （2）解：∵方程， ∴． ∴不论一次项系数为何值，这个方程总有两个不相等的实数根． 6．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）综合与实践 (1)【猜想】是否存在面积和周长都相等的长方形？________；（填“存在”或“不存在”） (2)【验证】设长方形的长和宽分别为，，是否存在面积和周长都等于的长方形，请说明理由； (3)【拓广】若存在面积和周长都相等的长方形，则这个长方形的面积（或周长）应满足什么条件？请说明理由． 【答案】(1)存在 (2)存在，理由见解析 (3)大于或等于 【分析】本题考查一元二次方程的应用，一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式，不等式的应用，熟练根据题意进行列式，并掌握一元二次方程的相关定义和性质是解题的关键． （1）先列式，再进行举例即可； （2）由面积和周长都等于，列出关于，的方程组，变形为一元二次方程，求解即可； （3）设长方形的长和宽分别为，，面积或周长为，由题意得可得，则可知、是关于的一元二次方程的两个解， 则只需满足，求解即可． 【详解】（1）解：存在，理由如下： 设长方形的长和宽分别为，， 由面积和周长都相等， 得， 举例：当时，， 则存在面积和周长都相等的长方形， 故答案为：存在； （2）解：设长方形的长和宽分别为，， 由面积和周长都等于， ， 由②得， 代入①得， 化简得， 解得，， 当时，（长小于宽，舍）， 当时，， 则存在长为，宽为的长方形，其面积和周长都等于； （3）解：存在，理由如下： 设长方形的长和宽分别为，， 由面积和周长都相等，设面积或周长为， 由题意得， 即， 则可知、是关于的一元二次方程的两个解， 则只需满足，其中， 即， 解得， 即这个长方形的面积（或周长）应大于或等于． 7．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设． (1)的长为___________m；（用含的代数式表示） (2)若羊的活动范围的面积为，求的长； (3)羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)的长为或； (3)羊的活动范围的面积不能为．理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据得到，整理即可得到答案； （）根据羊的活动范围的面积为列出代数式即可； （）依题意得：，根据根的判别式，即可得到答案； 【详解】（1）解：依题意得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：依题意得：羊的活动范围的面积为， ∴，即， 解得， ∴的长为或； （3）解：羊的活动范围的面积不能为．理由如下， 依题意得：，即， ∵， ∴羊的活动范围的面积不能为． 8．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 如图1，在矩形中，，动点分别以的速度从点同时出发，点沿着运动到点时停止，点沿着运动到点时停止．设运动时间为．    (1)当点在上运动时，________________________．（用含的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求的值． (3)如图2、图3，点沿着运动到点的过程中，当的面积为时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用： （1）根据路程等于速度乘以时间得到，，则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得，， ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 真题感知 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【详解】解： 故选B． 2．（2024·内蒙古·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得． 【详解】解：由题意可知，宽为步， 则可列方程为， 故选：C． 3．（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于的一元二次方程，其中满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先求出，再求出的符号即可得到结论． 【详解】解： ∵， ∴， ∴ ， ， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 5．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 二、填空题 6．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 7．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 三、解答题 8．（2024·上海·中考真题）解方程组：． 【答案】，或者，． 【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解． 【详解】解：， 由得：代入中得： ， ， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴方程组的解为或者． 9．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ ； 10．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为或． 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$