培优专题 二次根式比大小的5种方法(5题型)-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

培优专题 二次根式比大小的5种方法 题型一、平方法比大小 1．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，根据二次根式的大小比较方法进行判断即可，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 2．比较大小： （选填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先求出两个数的平方，再比较即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 3．比较大小： （填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】< 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握二次根式的性质，比较两个实数大小的方法． 根据二次根式，即可进行比较． 【详解】解：∵，， ∴， 即． 故答案为：<． 题型二、作商法比较大小 4．阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当都是正数时，①若，则；②若，则；③，则． 我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”． (1)请用上述方法比较与的大小； (2)写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）由，得到，即可得到答案； （2）先计算得到，再根据即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）， 证明： ∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了二次根式的运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 5．已知，比较大小： 1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算，再进一步比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 6．比较与的大小（作商法） 【答案】 【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查实数大小比较，二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则，准确进行计算． 题型三、分母有理化比较大小 7．比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 【答案】(1) (2)9 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同． （1）根据阅读材料中的方法将两式化简，即可做出比较； （2）原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：，． 显然， 所以． 所以 （2）解： 8．比较大小： ； 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较．做题关键是要掌握分母有理化，负数比较大小的方法． 分母有理化后，根据两个负数绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 9．阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． 比较大小： （填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式混合运算的运算法则是解题的关键． 根据阅读材料，可以将与变形，从而可以求得与的大小关系． 【详解】解：，， ∵， ∴，即． 故答案为：． 10．比较大小： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化： （1）分母有理数后比较大小即可； （2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可． 【详解】解：（1）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 11．两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：与；与． （1）的有理化因式为 ； （2）比较大小： （选填“>”“<”或“=”）； （3）计算： ． 【答案】 （答案不唯一） > 【分析】（1）先利用平方差公式计算，从而可得答案； （2）先变形可得，，结合，从而可得答案； （3）先分母有理化，从而原式可化为，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式为． （2）∵，， 而， ∴， ∴． （3） ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，与实数运算相关的规律探究，分母有理化的应用，熟练的利用分母有理化解决问题是解本题的关键． 题型四、作差法比较大小 12．小明在比较与的大小时，采用一种不同的方法，写出如下的解题过程： 因为，所以，所以． (1)这种比较大小的方法通常称作作差法，过程中由得到，即由得到的理论是______； (2)利用上述方法比较与的大小； (3)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)不等式的基本性质1 (2) (3)当，即时，；当，即时，；当，即时， 【分析】本题主要考查不等式的性质、实数的大小比较及整式的加减运算，熟练掌握不等式的性质、实数的大小比较及整式的加减运算是解题的关键； （1）根据不等式的性质可进行求解； （2）由题意可得，然后进行作差，进而问题可求解； （3）作差可得，然后对a的值进行分类讨论即可求解 【详解】（1）解：由得到的理论是不等式的基本性质1． （不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）； 故答案为不等式的基本性质1． （2）解：， ， ． （3）解：， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． 13．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 【答案】 【分析】本题考查了作差比较大小，掌握作差的方法是解题的关键．直接作差，再通分计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． (1)请表示出的整数部分和小数部分； (2)试判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1)的整数部分为，小数部分为； (2)，理由见解析 【分析】（1）先估算的大小，根据题意利用作差法，即可求解； （2）根据作差法比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则的整数部分为，小数部分为； （2）解：，理由如下， ∵， ∴． 【点睛】本题考查无理数的估算及实数的大小比较，（2）中采用作差法进行比较大小是解题的关键． 题型五、取倒数法比较大小 15．已知x＝，y＝，试比较x，y的大小． 【答案】x＜y. 【分析】先求出x、y的倒数，再来比较、的大小，根据0，得出xy. 【详解】解：＝＝0， ＝＝0， ∵＞0， ∴0，∴ xy. 【点睛】此题主要考查无理数的大小比较. 16．阅读下面的解题过程 已知，求代数式的值. 解：由，取倒数得，，即， 所以 则可得. 该题的解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目： 已知，求的值. 【答案】 【分析】先把括号内通分,再把除法运算化为乘法运算,接着把分子分母因式分解后约分得到原式=,利用倒数法由已知条件得到，然后把左边化为真分式后利用整体代入的方法计算. 【详解】原式=， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴原式=. 【点睛】此题考查分式的混合运算，解题关键在于理解题意掌握运算法则. 试卷第1页，共3页 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 二次根式比大小的5种方法 题型一、平方法比大小 1．比较大小： （填“”“”或“”）． 2．比较大小： （选填“”“”或“”）． 3．比较大小： （填“＞”“＜”或“＝”）． 题型二、作商法比较大小 4．阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当都是正数时，①若，则；②若，则；③，则． 我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”． (1)请用上述方法比较与的大小； (2)写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 5．已知，比较大小： 1（填“”“ ”或“”）． 6．比较与的大小（作商法） 题型三、分母有理化比较大小 7．比较与的大小可以采用下面的方法： ； ． 显然，所以． 仔细研读上面的解题方法，然后完成下列问题： (1)猜想：与的大小关系； (2)尝试计算：． 8．比较大小： ； 9．阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． 比较大小： （填“”或“”或“”） 10．比较大小： （1） ； （2） ． 11．两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：与；与． （1）的有理化因式为 ； （2）比较大小： （选填“>”“<”或“=”）； （3）计算： ． 题型四、作差法比较大小 12．小明在比较与的大小时，采用一种不同的方法，写出如下的解题过程： 因为，所以，所以． (1)这种比较大小的方法通常称作作差法，过程中由得到，即由得到的理论是______； (2)利用上述方法比较与的大小； (3)利用上述方法比较与的大小． 13．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小 小明的解法如下： 解： 因为，所以 所以，所以 所以 我们把这种比较大小的方法称为作差法，请仿照上述方法，比较和的大小 14．阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． (1)请表示出的整数部分和小数部分； (2)试判断与的大小，并说明理由． 题型五、取倒数法比较大小 15．已知x＝，y＝，试比较x，y的大小． 16．阅读下面的解题过程 已知，求代数式的值. 解：由，取倒数得，，即， 所以 则可得. 该题的解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目： 已知，求的值. 试卷第1页，共3页 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$