专题02 二次根式的运算（北京专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编

专题02 二次根式的运算 题型概览 题型01二次根式的性质与化简 题型02二次根式的混合运算 题型03二次根式的化简求值 题型04二次根式的应用 ( 题型01 ) 二次根式的性质与化简 1．（23-24八年级下·北京·期中）我们规定用表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（，），将与称为数对的一对“对称数对”．若数对的一个“对称数对”是，则的值是 ． 2．（23-24八年级下·北京昌平·期中）数轴上表示a，b两个数的点的位置如图所示： 化简：． 3．（23-24八年级下·北京·期中）（1）观察，计算，判断：（只填写符号：，， ①当，时，__________； ②当，时，__________； ③当，时，__________； … （2）根据第（1）问，当，时，判断与的数量关系并证明，（提示：） 4．（23-24八年级下·北京·期中）计算：． 5．（23-24八年级下·北京·期中）阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同： 甲的解答：原式； 乙的解答：原式． (1)你认为 的解答是错误的； (2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质 ； (3)模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中． ( 题型02 ) 二次根式的混合运算 6．（23-24八年级下·北京东城·期中）计算： (1)； (2) 7．（23-24八年级下·北京海淀·期中）（1）； （2）． 8．（23-24八年级下·北京·期中）（1）已知，求代数式的值； （2）已知，，求代数式的值． 9．（23-24八年级下·北京·期中）（1）； （2）； （3）； （4）． 10．（23-24八年级下·北京·期中）计算： (1) (2) 11．（23-24八年级下·北京昌平·期中）小明在解方程时采用了下面的方法： 又有， 可得， 将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解下面的方程： (1)解方程； (2)方程的解是______（用含a、b的式子表示）． 12．（23-24八年级下·北京·期中）学习完二次根式后，杨老师给甲同学出了这样一道思考题：求的值．甲同学认真分析了式子的结构，做出如下解答： 设，两边平方得：，即， ， ， ， ． 请你参考上述方法，求的值． 13．（23-24八年级下·北京·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下的探索： 设（其中均为正整数）， 则有， ，． 这样小明就找到了一种把部分化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得______，______； (2)利用所探索的结论，找一组正整数填空：____________； (3)若，且均为正整数，求的值． 14．（23-24八年级下·北京·期中）读取表格信息，解决问题． … … … … (1)计算：_________；__________； (2)满足的可以取得的最小整数是_____． ( 题型03 ) 二次根式的化简求值 15．（23-24八年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 16．（23-24八年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 17．（23-24八年级下·北京海淀·期中）若，求的值． 18．（23-24八年级下·北京市育才学校·期中）已知，是两个连续的正偶数，，，． (1)当时，__________； (2)当为任意正偶数时，的值是定值吗？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由． 19．（23-24八年级下·北京市清华大学附属中学官庄学校·期中）已知x＝+ ，y＝﹣，求x2﹣y2的值． ( 题型04 ) 二次根式的应用 20．（23-24八年级下·北京·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数． 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程 (1)若，则_____， _____， _____； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 21．（23-24八年级下·北京西城·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数，， 称为，这两个数的算术平均数， 称为，这两个数的几何平均数， 称为，这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则______，______，______； (2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形； ②借助图形可知当，都是正数时，，，的大小关系是：______（把，，从小到大排列，并用“”或“”号连接）． ③当时，的最大值是______． 一、单选题 1．（23-24八年级下·北京大兴·期中）等于（    ）. A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京汇文中学·期中）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a， b，化简的结果是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·北京·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24八年级下·北京丰台·期中）如果，那么m的值是 ． 5．（23-24八年级下·北京·期中）已知，化简 ． 6．（23-24八年级下·北京市大峪中学·期中），，，，，其中n为正整数，则的值是 ． 三、解答题 7．（23-24八年级下·北京大兴·期中）阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 小云同学是这样解答的： ，． 问题：已知． (1)求的值； (2)求的值． 8．（23-24八年级下·北京·期中）阅读材料： 材料一：观察下列等式，能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1) ， ； (2)求的最小值； (3)比较大小： ． 9．（23-24八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)已知，求的值． 10．（23-24八年级下·北京西城·期中）（1） （2）已知，求代数式的值． 11．（23-24八年级下·北京海淀·期中）已知，，求代数式的值． 12．（23-24八年级下·北京·期中）已知：三角形的三边长为a，b，c，其中． 求证：长度分别为，，的三条线段可以组成三角形． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的运算 题型概览 题型01二次根式的性质与化简 题型02二次根式的混合运算 题型03二次根式的化简求值 题型04二次根式的应用 ( 题型01 ) 二次根式的性质与化简 1．（23-24八年级下·北京·期中）我们规定用表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（，），将与称为数对的一对“对称数对”．若数对的一个“对称数对”是，则的值是 ． 【答案】6或/或6 【分析】本题考查了新定义和解方程，理解和应用新定义是解题的关键．根据新定义，列方程，解答即可． 【详解】解：数对的一个“对称数对”是， 可能是或， 若是， 则，解得，，解得， ； 若是， 则，解得，，解得， ； 故答案为：6或． 2．（23-24八年级下·北京昌平·期中）数轴上表示a，b两个数的点的位置如图所示： 化简：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、数轴，正确得出a，b的符号是解题关键．观察数轴可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：由数轴可得， ， ． 3．（23-24八年级下·北京·期中）（1）观察，计算，判断：（只填写符号：，， ①当，时，__________； ②当，时，__________； ③当，时，__________； … （2）根据第（1）问，当，时，判断与的数量关系并证明，（提示：） 【答案】（1），，；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式， （1）把各组、的值分别代入和中计算可判断它们的大小公式； （2）由于，然后利用完全平方公式展开，变形后可得到； 灵活运用二次根式的性质是关键． 【详解】解：（1）当，时，，，则； ②当，时，，，则； ③当，时，，，则； 故答案为：，，； （2）；理由如下： ， ， ， ； 故答案为：； 4．（23-24八年级下·北京·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式第一项根据二次根式的性质化简，第二项利用负整数指数幂计算，第三项零指数幂法则计算，第四项利用绝对值的意义化简计算即可得到结果； 【详解】原式 ． 5．（23-24八年级下·北京·期中）阅读下面的文字后，回答问题： 对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同： 甲的解答：原式； 乙的解答：原式． (1)你认为 的解答是错误的； (2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质 ； (3)模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中． 【答案】(1)甲 (2) (3)2 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）（2）根据二次根式的性质去判断即可； （3）根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ， ∴甲的解答是错误的； 故选：甲； （2）解：错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质， 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴，， ∴原式． ( 题型02 ) 二次根式的混合运算 6．（23-24八年级下·北京东城·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先将二次根式化为最简二次根式，再将除法化为乘法，进行运算即可求解； （2）先将二次根式化为最简二次根式及利用平方差进行计算，再进行加减运算，即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．（23-24八年级下·北京海淀·期中）（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘法，再化简算加减法； （2）先算乘除法，再算加减法，可以利用平方差公式简化运算． 【详解】（1） （2） ． 8．（23-24八年级下·北京·期中）（1）已知，求代数式的值； （2）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）10 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）将变形为，然后再将代入求值即可； （2）先求出，，然后将变形为，再代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ， ； （2）∵，， ∴， ， ∴． 9．（23-24八年级下·北京·期中）（1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的加减进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （3）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （4）先根据平方差公式和二次根式的除法进行计算，然后计算加减即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 10．（23-24八年级下·北京·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再计算二次根式加减法即可； （2）先计算二次根式乘法，再计算二次根式加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（23-24八年级下·北京昌平·期中）小明在解方程时采用了下面的方法： 又有， 可得， 将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解下面的方程： (1)解方程； (2)方程的解是______（用含a、b的式子表示）． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次根式在解方程中的应用等知识点， （1）利用已知化简思路化简，再利用二次根式的加减和二次根式的性质进行化简即可得解； （2）由（1）中方法得，再利用二次根式的加减和二次根式的性质进行化简即可得解； 解答此题的关键是能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【详解】（1） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验是原方程的解； （2） ， ∵， ∴， ∴ ∴或 经检验或是原方程的解， 故答案为：或． 12．（23-24八年级下·北京·期中）学习完二次根式后，杨老师给甲同学出了这样一道思考题：求的值．甲同学认真分析了式子的结构，做出如下解答： 设，两边平方得：，即， ， ， ， ． 请你参考上述方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式的运用，掌握二次根式的混合运算法则，完全平方公式的计算是解题的关键． 根据题意，设，结合材料提示，完全平方公式的计算即可求解． 【详解】解：设，两边同时平方得， ， ∴， ∵， ∴． 13．（23-24八年级下·北京·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下的探索： 设（其中均为正整数）， 则有， ，． 这样小明就找到了一种把部分化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得______，______； (2)利用所探索的结论，找一组正整数填空：____________； (3)若，且均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)，，，（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式， （1）根据上面的例子，将，按完全平方展开，可得出答案； （2）由（1）可写出一组答案，不唯一； （3）将展开得出，由题意得，，再由a、m、n均为正整数，可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； 故答案为：，． （2）设， ∵， ∴，， 取，，则，， 故答案为：，，，． （3）解：， ， ，， 、、均为正整数， ，，或，，； 的值为或． 14．（23-24八年级下·北京·期中）读取表格信息，解决问题． … … … … (1)计算：_________；__________； (2)满足的可以取得的最小整数是_____． 【答案】(1)； (2)6 【分析】本题主要考查数字的变化规律和实数的运算及解不等式的能力，二次根式的加法、乘法运算，根据表格数据发现的规律是关键． （1）根据表格中的数据确定出，的值即可； （2）根据表格中数据得出，代入不等式计算可得的取值范围． 【详解】（1）解：根据表格中的数据得：； ， ∴, 故答案为：；． （2）解：， ， ， 又， ∴ 解得：， 可以取得最小正整数是6, 故答案为：6． ( 题型03 ) 二次根式的化简求值 15．（23-24八年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式化简求值．由，可得，故，即得代数式的值为． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 代数式的值为． 16．（23-24八年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则把所求式子去括号，再利用完全平方公式把所在式子变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 17．（23-24八年级下·北京海淀·期中）若，求的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先将原式转化为，再将a、b的值代入计算即可． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式 ． 18．（23-24八年级下·北京市育才学校·期中）已知，是两个连续的正偶数，，，． (1)当时，__________； (2)当为任意正偶数时，的值是定值吗？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)2； (2)定值，2． 【分析】（1）根据，得，然后代入求得，再代入计算即可； （2）设(x为任意正整数)，则，代入计算得，再代入计算得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是两个连续的正偶数，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：设(x为任意正整数)，则， ∴， ∴ ． ∴当为任意正偶数时，的值是定值，这个定值为2． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握根据二次根式的性质化简二次根式是解题的关键． 19．（23-24八年级下·北京市清华大学附属中学官庄学校·期中）已知x＝+ ，y＝﹣，求x2﹣y2的值． 【答案】4 【分析】先求出x+y和x﹣y的值，再根据平方差公式分解后代入求出即可． 【详解】∵x＝+，y＝﹣， ∴x+y＝2，x﹣y＝2， ∴x2﹣y2 ＝（x+y）（x﹣y） ＝2×2 ＝4． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握乘法公式是解题关键． ( 题型04 ) 二次根式的应用 20．（23-24八年级下·北京·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数． 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程 (1)若，则_____， _____， _____； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 【答案】(1)，， (2)①作图见解析；② 【分析】（1）将分别代入求值即可得； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：当时， ， ， ， 故答案为：，，； （2）①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． 21．（23-24八年级下·北京西城·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数，， 称为，这两个数的算术平均数， 称为，这两个数的几何平均数， 称为，这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，，则______，______，______； (2)小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为，的图形； ②借助图形可知当，都是正数时，，，的大小关系是：______（把，，从小到大排列，并用“”或“”号连接）． ③当时，的最大值是______． 【答案】(1) (2)①见详解；②；③ 【分析】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质，较难的是题（2）③，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． （1）将分别代入求值即可得； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得； ②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论，③根据可得即结合完全平方公式可求得即可求解． 【详解】（1）解：当，时， ， ， ， 故答案为∶； （2）①， 用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ， 用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ②根据（2）①中的所画的图形可得，当且仅当时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ， 故答案为：； ③， 当时，N取得最大值， 此时即， 整理可得：， ， ， ， N的最大值为：． 一、单选题 1．（23-24八年级下·北京大兴·期中）等于（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键. 根据二次根式的性质可得，再化简绝对值即可解答. 【详解】解：∵，， ∴，即. 故选：D. 2．（23-24八年级下·北京汇文中学·期中）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a， b，化简的结果是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴和二次根式，掌握以上知识点是解题的关键．根据数轴上两点的位置，判断，的正负性，进而即可求解． 【详解】解：∵数轴上A，两点表示的数分别是 ，， ∴，， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级下·北京·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式混合运算运算法则逐项验证即可得到答案， 本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意， B、，该选项错误，不符合题意， C、，该选项错误，不符合题意， D、，该选项正确，符合题意， 故选：D． 二、填空题 4．（23-24八年级下·北京丰台·期中）如果，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，将化为，再化简绝对值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 5．（23-24八年级下·北京·期中）已知，化简 ． 【答案】1 【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式等知识点．先求出和的符号，再利用完全平方公式、二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：1． 6．（23-24八年级下·北京市大峪中学·期中），，，，，其中n为正整数，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据题目条件，先求出，，，的值，代入原式后求出各式的算术平方根，再利用裂项公式进行化简与计算，即可求解． 【详解】解：， ， ，      ， ， ， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是找出，，，的值的规律，再用裂项法求出结果． 三、解答题 7．（23-24八年级下·北京大兴·期中）阅读材料，解答下列问题： 材料：已知，求的值． 小云同学是这样解答的： ，． 问题：已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】（1）利用例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）设，，然后利用（1）的结论可得：，从而进行计算即可解答． 本题考查了二次根式的化简求值，加减消元法，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：设，， 由（1）得：， 解得：， ． 8．（23-24八年级下·北京·期中）阅读材料： 材料一：观察下列等式，能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1) ， ； (2)求的最小值； (3)比较大小： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质将化为，然后通过无理数的大小估算及不等式的性质确定的符号，最后通过化简绝对值即可得出答案； （2）利用完全平方公式将化为，然后利用的非负性及不等式的性质即可得出答案； （3）利用完全平方公式可得，即，然后由不等式的性质可得，，于是可得答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ； ； 故答案为：，； （2）解： ， ， ， 即：， 的最小值为； （3）解： ， ， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，利用二次根式的性质化简，化简绝对值，无理数的大小估算，不等式的性质，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握完全平方公式及不等式的性质是解题的关键． 9．（23-24八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （）先利用完全平方公式把原式配成，然后把的值代入即可； 本题考查了二次根式的混合运算和二次根式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 当， 原式 ． 10．（23-24八年级下·北京西城·期中）（1） （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2）5 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）根据二次根式的乘法和二次根式的性质化简，再进行加减运算； （2）先将代数式进行因式分解，再代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 当时，原式． 11．（23-24八年级下·北京海淀·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查整式化简求值，二次根式运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式加法运算法则和完全平方公式是解题的关键． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 12．（23-24八年级下·北京·期中）已知：三角形的三边长为a，b，c，其中． 求证：长度分别为，，的三条线段可以组成三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了三角形三边关系，完全平方公式，二次根式的混合运算等知识， 首先由题意得到，进而得到，然后由，，得到，进而求解即可． 【详解】∵三角形的三边长为a，b，c，其中 ∴ ∴ ∵， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴长度分别为，，的三条线段可以组成三角形． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$