第十八章 平行四边形章末重点题型复习（14大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

（华东师大版）八年级下册数学 第18章：平行四边形章末重点题型复习 题型一 利用平行四边形的性质求角度 1．在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° 2．（2024秋•鲤城区校级期末）如图，在▱ABCD中，CE⊥AB于点E．若∠BCE＝25°，则∠D＝（　　） A．25° B．55° C．65° D．75° 3．（2024秋•凉州区期中）在▱ABCD中，已知∠A，∠B的度数之比为4：5，则∠C等于（　　） A．60° B．80° C．100° D．120° 4．如图，在▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（　　） A．84° B．96° C．98° D．106° 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB． （1）求证：△ABC≌△EAD； （2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数． 题型二 利用平行四边形的性质求线段长 1．（2024秋•东平县期末）已知平行四边形ABCD周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，已知△BOC的周长比△AOB的周长多3cm，则BC的长度为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 2．（2024•潮州一模）如图所示，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F．若AB＝11，AD＝7，则EF的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024秋•丽水期末）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，E是BC边上的动点，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F．则DE•AF的值是（　　） A． B． C．12 D．6 4．（2024秋•潍坊期末）如图，▱ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，则EC＝　 ． 5．（2024秋•莱西市期末）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，∠ACB＝90°，求BD的长度． 题型三 利用平行四边形的性质求周长或面积 1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交CD，AB于点E、F，连接CF．若△BCF的周长为4，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．14 B．12 C．10 D．8 2．（2023秋•东平县期末）如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 3．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，则图中阴影部分的面积是 　． 4．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则四边形ABCD的面积为 　 　． 5．（2024春•蓬江区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF． （1）求证：△ADE≌△FCE； （2）求证：AE平分∠DAB； （3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 题型四 两条平行间的距离及其应用 1．（2024春•卢龙县期中）直线a、b、c是三条平行直线．已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，求a与c的距离为（　　） A．2厘米 B．3厘米 C．7厘米 D．3厘米或7厘米 2．（2024春•任泽区期中）如图，若直线m∥n，表示平行线m与n之间的距离为线段（　　） A．AB的长 B．AC的长 C．AD的长 D．DE的长 3．（2024春•覃塘区期末）如图，在直角三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，DE∥BC，若点A到DE的距离是1，则DE与BC之间的距离是（　　） A．2 B．1.4 C．3 D．2.4 4．（2024春•娄底期末）在同一平面内，a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b之间的距离为4，b与c之间的距离为1，则a与c之间的距离是（　　） A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定 5．（2024•丽水一模）如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D． （1）求证：AD＝BC； （2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离． 题型五 平行四边形性质的证明 1． （2025春•湖里区校级月考）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BC上两点，且∠AFC＝∠DEB． 求证：AF＝DE． 2．（2025春•盐都区月考）已知如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且CE⊥BE．求证：BC＝2CD． 3．（2024秋•招远市期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G． （1）求证：AF＝DE． （2）若AD＝16，EF＝12，请求出▱ABCD的周长． 4．（2024秋•淄博期末）如图平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF过点O，并与AD，BC分别交于点E，F，已知AE＝3，BF＝5 （1）求BC的长； （2）如果两条对角线长的和是20，求三角形△AOD的周长． 5．（2024秋•济宁期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、F分别为OA、OC的中点，连接BE、DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若BD＝2AB，且AB＝20，CF＝12，求DF的长． 题型六 平行四边形判定的条件 1．（2024春•绵阳期末）下面给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝AD，CB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C C．AD∥BC，∠A＝∠B D．AB＝AD，∠B＝∠D 2．（2024春•南岸区校级期中）如图，AB＝CD，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（　　） A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD C．AB∥CD D．∠B＝∠1 3．（2024春•铁东区期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC 4．（2024•石家庄开学）如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 5．（2024春•西安期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO B．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠DCB C．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD＝BC 题型七 平行四边形的判定的证明 1．（2024春•南充期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，AE∥DF，AB＝DC．求证：四边形BFCE是平行四边形． 2．（2024•碑林区校级模拟）已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE＝CF． 求证：四边形ABCD为平行四边形； 3．（2024•启东市二模）如图，B、C在直线EF上，AE∥FD，AE＝FD，且BE＝CF， （1）求证：△ABE≌△DCF； （2）连接AC、BD，求证：四边形ACDB是平行四边形． 4．（2024春•西安区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BE＝DF；AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形AECF是平行四边形． 5．（2024春•柯桥区期末）已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点F、D分别在AC、BC上，AF＝CD，连接BF、EF．求证： （1）AD＝BF； （2）四边形BFED为平行四边形． 题型八 平行四边形的性质与判定的综合 1．（2024春•张家港市校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，连接AE，CE，AF，CF．下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（　　） A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF 2．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与对角线AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，AB＝6，则四边形ABCD的周长是（　　） A．26 B．32 C．34 D．36 3．（2024秋•烟台期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F分别是垂足． 求证：AF∥CE． 4．（2024•长沙模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AFCE是平行四边形． 5．如图，在▱ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点． （1）求证：四边形MNCD是平行四边形； （2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的长． 题型九 平行四边形与坐标系的结合 1．（2024春•费县期末）如图，已知▱ABCD的顶点A（0，3），B（﹣2，0），C（3，0），若将▱ABCD沿y轴向下平移，使边AB的中点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为（　　） A．（6，3） B． C．（4，3） D． 2．（2024春•南宁期中）如图，▱OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（5，0），（3，8），则点B的坐标为（　　） A．（5，8） B．（6，6） C．（5，6） D．（8，8） 3．如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣2） 4．在平面直角坐标系中，▱PQMN的三个顶点坐标分别是P（﹣5，﹣10），Q（15，﹣3），M（6，8），则N点坐标是（　　） A．（﹣15，5） B．（﹣14，1） C．（﹣14，5） D．（﹣15，1） 5．（2024春•柯城区校级期中）如图，已知▱ABCD的顶点A（0，3），D（﹣1，0），按以下步骤作图： ①以D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F； ②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G； ③作射线DG，交边AB于点H， 则点H的坐标为（　　） A． B．（﹣3，3） C．（3，3） D． 题型十 平行四边形的多结问题 1．（2024秋•昌黎县期中）如图，在四边形ABCD中（AB≠BC），AB∥CD，AB＝CD，连接AC、BD，直线EF经过AC、BD的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①BO＝OD；②△AOD的周长﹣△ODC的周长＝AD﹣CD；③AD∥BC；④图中全等的三角形的对数是9对；其中正确结论的个数是（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 2．（2024春•桃城区校级期末）刘师傅给客户加工一个平行四边形ABCD的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形，用下列方法不能检查的是（　　） A．AB∥CD，AB＝CD B．∠B＝∠D，∠A＝∠C C．AB∥CD，AD＝BC D．AB＝CD，BC＝AD 3．（2024秋•济宁期末）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF；④S△AEF．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024秋•乳山市期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．对于结论：①GF⊥BD；②∠DEH＝∠BFG；③四边形EGFH是平行四边形；④EGBD．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的有 　 　个． 题型是十一 平行四边形的动点问题 1．（2024秋•东营区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm，BC＝15cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，当运动时间t＝ 　 　s时，四边形PQCD为平行四边形． 2．（2024秋•莱芜区期末）如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4cm/s的速度从点C出发在CB上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为t（s）（t＞0）．当t＝ 　时，四边形PDCQ是平行四边形． 3．（2024春•温江区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD，BD＝10，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．在整个运动过程中，当G的速度为 　 　时，△DEG与△BFG全等． 4．（2024秋•南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）AP＝　 ，BQ＝　 　，（分别用含有t的式子表示）； （2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值． （3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 5．（2024秋•任城区校级月考）.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝24cm，E是BC的中点．动点P从点A出发沿AD向终点D运动，动点P平均每秒运动1cm；同时动点Q从点C出发沿CB向终点B运动，动点Q平均每秒运动2cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动． （1）当动点P运动t（0＜t＜9）秒时，则PD＝　 　；（用含t的代数式直接表示） （2）当动点Q运动t秒时， ①若0＜t＜6，则EQ＝　 　；（用含t的代数式直接表示） ②若6＜t＜9，则EQ＝　 　；（用含t的代数式直接表示） （3）当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？ 题型十二 平行四边形的折叠问题 1．（2024•临高县二模）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处．若∠1＝56°，∠2＝40°，则∠A的度数为（　　） A．68° B．70° C．110° D．112° 2．有一张平行四边形纸片ABCD，已知∠B＝75°，按如图所示的方法折叠两次，则∠BCF的度数等于（　　） A．60° B．55° C．50° D．45° 3．（2024•台州模拟）在平行四边形ABCD中，点E，F在BC边上，把△ABE沿直线AE折叠，△CDF沿直线DF折叠，使点B，C落在对角线AC上的点G处，若∠AGD＝110°，则∠B的度数为 　 　 ． 4．（2024春•江岸区期中）如图，将▱ABCD沿BD翻折得到△A′BD，若∠ABD＝37°，∠CDA′＝12°，则∠A′的度数为 　 　 ． 5．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A'EBC的周长为 　 　 ． 题型十三 平行四边形的最值问题 1．如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB⊥AC，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 2．（2024•瑶海区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，ABAD，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若AD＝2，则PE+PB的最小值为（　　） A．2 B．2 C． D．2 3．（2024•肥西县一模）如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2024春•香洲区校级期中）如图，已知点A（0，8），B（0，﹣2），E（0，5），F（﹣5，0），C为直线EF上一动点，则▱ACBD的对角线CD的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D． 5．（2024春•溧水区期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 　 　． 题型十四 平行四边形的综合题 1．已知：BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF． （1）如图1，求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）如图2，若AB＝AC，∠A＝36°，不添加辅助线，请你直接写出与DE相等的所有线段（AF除外）． 2．（2024•宁波模拟）在▱ABCD中，O是对角线AC的中点，要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形．某学生给出两种方案，如图所示． 方案①：如图1，在对角线AC上截取AE＝CF； 方案②：如图2，过点B作BE⊥AC，过D作DF⊥AC． 请回答下列问题： （1）以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形的是 　 ，请给出证明（若两种方案都满足要求，则任选一种证明）；若不能，请说明理由． （2）若EF＝2AE，S△AED＝1，在你选择的方案中求▱ABCD的面积． 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，CF⊥AB于F，AE与CF相交于点G，连接GD，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若AG＝3，DG＝5，求四边形ABCD的面积． 4．如图1，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD． （1）求证：四边形CDBF是平行四边形； （2）如图2，若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BC＝4，求DF的长． 5．（2024春•市北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，，其中BD是AC边上的高．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题： （1）线段BP＝　 　cm，AM＝　 　cm（用含t的代数式表示）； （2）求AD的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ （华东师大版）八年级下册数学 第18章：平行四边形章末重点题型复习 题型一 利用平行四边形的性质求角度 1．在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° 【分析】根据平行线的性质可求得∠ACD，即可求出∠BCD． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝40°， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC＝40°， ∵∠ACB＝80°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行四边形的对边平行是解决问题的关键． 2．（2024秋•鲤城区校级期末）如图，在▱ABCD中，CE⊥AB于点E．若∠BCE＝25°，则∠D＝（　　） A．25° B．55° C．65° D．75° 【分析】首先利用已知条件求得∠B的度数，然后由“平行四边形的对角相等的性质”作答即可． 【解答】解：∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°． ∵∠BCE＝25°， ∴∠B＝90°﹣25°＝65°． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝65°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角相等． 3．（2024秋•凉州区期中）在▱ABCD中，已知∠A，∠B的度数之比为4：5，则∠C等于（　　） A．60° B．80° C．100° D．120° 【分析】根据平行四边形的性质可知∠A，∠B互补，根据已知可以求出∠A，∠B的度数，再根据平行四边形的对角相等得出结论． 【解答】解：在▱ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， 设∠A＝4x°， ∵∠A，∠B的度数之比为4：5， ∴∠B＝5x°， ∴4x+5x＝180°， ∴x＝20°， ∴∠A＝80°，∠B＝100°， ∴∠C＝∠A＝80°， 故选：B． 【点评】此题主要考查平行四边形的性质：（1）邻角互补；（2）平行四边形的两组对角分别相等．关键由平行四边形的性质求得∠A． 4．如图，在▱ABCD中，点E在BC上，且CD＝CE，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若∠DAF＝48°，则∠C的度数为（　　） A．84° B．96° C．98° D．106° 【分析】首先根据AF⊥DE，∠DAF＝48°得到∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°，然后利用四边形ABCD是平行四边形得到∠CED＝∠ADF＝42°，再根据CD＝CE，得到∠CDE＝∠DEC＝42°，从而利用三角形的内角和定理求得∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°即可． 【解答】解：∵AF⊥DE，∠DAF＝48°， ∴∠ADE＝90°﹣∠DAF＝90°﹣48°＝42°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠CED＝∠ADF＝42°， ∵CD＝CE， ∴∠CDE＝∠DEC＝42°， ∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣42°﹣42°＝96°， 故选：B． 【点评】考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等得到相关结论，难度不大． 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB． （1）求证：△ABC≌△EAD； （2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD＝BC，∠B＝∠DAE，结合AB＝AE，利用SAS可证明结论； （2）由全等三角形的性质结合角平分线的定义可得△ABE为等边三角形，利用等边三角形的性质可求解∠BAE＝60°，进而可求解∠AED的度数． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC． ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AB＝AE， ∴∠AEB＝∠B． ∴∠B＝∠DAE． 在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△EAD（SAS）， （2）∵△ABC≌△EAD， ∴∠AED＝∠BAC， ∵AE平分∠DAB（已知）， ∴∠DAE＝∠BAE； 又∵∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB＝∠B． ∴△ABE为等边三角形． ∴∠BAE＝60°． ∵∠EAC＝25°， ∴∠BAC＝85°， ∴∠AED＝85°． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△EAD是解题的关键． 题型二 利用平行四边形的性质求线段长 1．（2024秋•东平县期末）已知平行四边形ABCD周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，已知△BOC的周长比△AOB的周长多3cm，则BC的长度为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【分析】由▱ABCD的周长为26cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，可得AB+BC＝13cm，BC﹣AB＝3cm，得出BC的长即可． 【解答】解：∵▱ABCD的周长为26cm， ∴AB+BC＝13cm，OA＝OC， ∵△BOC的周长比△AOB的周长多3cm， ∴（OB+OC+BC）﹣（OA+OB+AB）＝BC﹣AB＝3cm， ∴AB＝5cm，BC＝8cm． 故选：D． 【点评】此题考查了平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质，对角线互相平分的性质是解答本题的关键，难度不大． 2．（2024•潮州一模）如图所示，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，∠ABC的平分线交CD于点F．若AB＝11，AD＝7，则EF的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由平行四边形的性质推出AB∥CD，CD＝AB＝11，BC＝AD＝7，由角平分线定义得到∠DAE＝∠BAE，由平行线的性质得到∠DEA＝∠BAE，因此∠DEA＝∠DAE，得到DE＝AD＝7，同理：CF＝BC＝7，即可求出EF＝CF+DE﹣DC＝7+7﹣11＝3． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CD＝AB＝11，BC＝AD＝7， ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∵AB∥CD， ∴∠DEA＝∠BAE， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴DE＝AD＝7， 同理：CF＝BC＝7， ∴EF＝CF+DE﹣DC＝7+7﹣11＝3． 故选：A． 【点评】本题考查平行四边形的性质，关键是由平行四边形的性质推出DE＝AD＝7，CF＝BC＝7． 3．（2024秋•丽水期末）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，E是BC边上的动点，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F．则DE•AF的值是（　　） A． B． C．12 D．6 【分析】过A作AH⊥BC于H，由等腰直角三角形的性质求出AHAB＝2，由平行四边形的性质推出AD∥BC，AD＝BC＝6，由三角形面积公式得到DE•AF＝AD•AH＝12． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H， ∵∠B＝45°， ∴△ABH是等腰直角三角形， ∴AHAB4＝2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝6， ∵AF⊥DE， ∴△EAD的面积AD•AHDE•AF， ∴DE•AF＝6×212． 故选：A． 【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到AD•AH＝DE•AF． 4．（2024秋•潍坊期末）如图，▱ABCD中，AD＝5cm，CD＝3cm，AE平分∠BAD，则EC＝　 ． 【分析】根据平行四边形的性质证明∠BAE＝BAE，得BE＝AB＝3cm，然后根据线段的和差即可解决问题． 【解答】解：在▱ABCD中，BC＝AD＝5cm，AB＝CD＝3cm，AD∥BC， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝DAE， ∵AD∥BC， ∴∠BEA＝DAE， ∴∠BAE＝BAE， ∴BE＝AB＝3cm， ∴CE＝BC﹣BE＝5﹣3＝2（cm）， 故答案为：2cm． 【点评】本题考查平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是得到BE＝AB． 5．（2024秋•莱西市期末）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝8，∠ACB＝90°，求BD的长度． 【分析】由平行四边形的性质得BC＝AD＝8，OA＝OC，OB＝OD，因为∠ACB＝90°，所以AC6，则OC＝3，求得OB，所以BD＝2OB＝2． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝10，AD＝8， ∴BC＝AD＝8，OA＝OC，OB＝OD， ∵∠ACB＝90°， ∴AC6， ∴OCAC＝3， ∴OB， ∴BD＝2OB＝2， ∴BD的长度是2． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，正确地求出AC的长是解题的关键． 题型三 利用平行四边形的性质求周长或面积 1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交CD，AB于点E、F，连接CF．若△BCF的周长为4，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．14 B．12 C．10 D．8 【分析】由EF垂直平分AC得AF＝CF，则AB+BC＝CF+BF+BC＝4，由四边形ABCD是平行四边形得CD＝AB，AD＝BC，则CD+AD+AB+BC＝2（AB+BC）＝8，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵EF垂直平分AC， ∴AF＝CF， ∵△BCF的周长为4， ∴AB+BC＝AF+BF+BC＝CF+BF+BC＝4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，AD＝BC， ∴CD+AD+AB+BC＝2（AB+BC）＝8， ∴平行四边形ABCD的周长8， 故选：D． 【点评】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、三角形的周长的计算、平行四边形的性质等知识与方法，由△BCF的周长为4求得AB+BC的值是解题的关键． 2．（2023秋•东平县期末）如图，E是平行四边形内任一点，若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S阴影S四边形ABCD． 【解答】解：设两个阴影部分三角形的底为AD，CB，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高， ∴S△EAD+S△ECB AD•h1CB•h2AD（h1+h2） S四边形ABCD ＝4． 故答案为：C． 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式和平行四边形的性质（平行四边形的两组对边分别相等），要求能灵活的运用等量代换找到需要的关系． 3．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，则图中阴影部分的面积是 　． 【分析】由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果． 【解答】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， ∴S△AFO＝S△CEO， ∴阴影部分面积等于△BCD的面积，即为▱ABCD面积的一半， 过点C作CP⊥AD于点P， ∵CD＝AB＝2，∠ADC＝60°， ∴DP＝1，CP， ∴S平行四边形ABCD＝BC•CP， ∴阴影部分面积为， 故答案为：． 【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键． 4．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则四边形ABCD的面积为 　 　． 【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE＝∠BEC，可得BE＝BC＝10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可． 【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F， ∵∠EBC＝30°，BE＝10， ∴EFBE＝5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DEC＝∠BCE， 又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC， ∴∠BCE＝∠BEC， ∴BE＝BC＝10， ∴平行四边形ABCD的面积＝BC×EF＝10×5＝50． 故答案为：50． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键． 5．（2024春•蓬江区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF． （1）求证：△ADE≌△FCE； （2）求证：AE平分∠DAB； （3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质，根据AAS可判定△ADE≌△FCE； （2）根据全等三角形的性质可得AE＝FE，根据BE⊥AF．利用线段垂直平分线的性质可得BA＝BF，进而可得结论； （3）结合（1）根据∠DAB＝60°，AB＝4，利用30度角的直角三角形可得AE和BE的长，根据△ADE≌△FCE，可得△ADE的面积＝△FCE的面积，所以▱ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积，即可得结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠EFC， ∵点E是CD边的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）； （2）证明：∵△ADE≌△FCE， ∴AE＝FE， ∵BE⊥AF， ∴BA＝BF， ∴∠BAF＝∠BFA， ∵∠DAE＝∠BFA， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴AE平分∠DAB； （3）解：∵∠DAB＝60°，AB＝4， ∴∠DAE＝∠BAF＝30°， ∵BE⊥AF， ∴BEAB＝2， ∴AEBE＝2， ∵△ADE≌△FCE， ∴△ADE的面积＝△FCE的面积， ∴▱ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积＝2AE•BE＝22＝4． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的 性质. 题型四 两条平行间的距离及其应用 1．（2024春•卢龙县期中）直线a、b、c是三条平行直线．已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，求a与c的距离为（　　） A．2厘米 B．3厘米 C．7厘米 D．3厘米或7厘米 【分析】根据a、b、c这三条平行直线的位置不同，结合两平行线间的距离的定义，得出结果． 【解答】解：分两种情况：①当直线b在直线a与c之间时，如图． a与c的距离为5+2＝7厘米； ②当直线c在直线a与b之间时，如图． a与c的距离为5﹣2＝3厘米． 故选：D． 【点评】本题考查了两平行线间的距离的求法．得出a、b、c这三条平行直线的不同位置关系是解决此题的关键． 2．（2024春•任泽区期中）如图，若直线m∥n，表示平行线m与n之间的距离为线段（　　） A．AB的长 B．AC的长 C．AD的长 D．DE的长 【分析】平行线的距离：从平行线中的一条直线上任取一点，该点到另一条直线的距离，即为两平行线间的距离． 【解答】解：结合图形信息，∵m∥n，AC⊥n， ∴AC⊥m， ∴AC可以表示平行线m与n之间的距离， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的距离的定义，熟练掌握平行线的距离的定义是解题的关键． 3．（2024春•覃塘区期末）如图，在直角三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，DE∥BC，若点A到DE的距离是1，则DE与BC之间的距离是（　　） A．2 B．1.4 C．3 D．2.4 【分析】根据三角形的面积和点到直线的距离解答即可． 【解答】解：∵在直角三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴点A到BC的距离， ∵DE∥BC， ∴DE与BC的距离是11.4． 故选：B． 【点评】此题主要考查了点到直线的距离，关键是掌握三角形的面积公式． 4．（2024春•娄底期末）在同一平面内，a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b之间的距离为4，b与c之间的距离为1，则a与c之间的距离是（　　） A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定 【分析】因为直线c的位置不明确，所以分①直线c在直线a、b外，②直线c在直线a、b之间两种情况讨论． 【解答】解：①当直线c在直线a、b外时，如图， ∵a与b之间的距离为4，b与c之间的距离为1， ∴a与c之间的距离为：4+1＝5； ②当直线c在直线a、b之间时，如图， ∵a与b之间的距离为4，b与c之间的距离为1， ∴a与c之间的距离为：4﹣1＝3； 综上，a与c之间的距离为3或5， 故选：C． 【点评】本题考查平行线之间的距离，解题的关键是理解：从一条平行线上的任意一点向另外一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等． 5．（2024•丽水一模）如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠D． （1）求证：AD＝BC； （2）若AB＝17，AD＝2CD＝10，求AB与CD间的距离． 【分析】（1）过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F，先证四边形DCEF为矩形得DF＝CE，∠FDC＝∠ECD＝90°，∠AFD＝∠BEC＝90°，进而可得∠BCE＝∠ADF，由此可依据“ASA”判定△ADF和△BCE全等，然后由全等三角形的性质可得出结论； （2）根据四边形DCEF为矩形得EF＝CD＝5，再根据△ADF≌△BCE得AF＝BE（AB﹣EF）＝6，然后在Rt△ADF中由勾股定理得DF＝8，据此可得AB与CD间的距离． 【解答】（1）证明：过点C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F，如图所示： ∵CE⊥AB，DF⊥AB，AB∥CD， ∴CE⊥CD，DF⊥CD， ∴四边形DCEF为矩形， ∴DF＝CE，∠FDC＝∠ECD＝90°，∠AFD＝∠BEC＝90°， ∵∠BCD＝∠ADC， ∴∠BCD﹣∠ECD＝∠ADC﹣∠FDC， ∴∠BCE＝∠ADF， 在△ADF和△BCE中， ， ∴△ADF≌△BCE（ASA）， ∴AD＝BC； （2）解：∵AB＝17，AD＝2CD＝10， ∴CD＝5， ∵四边形DCEF为矩形， ∴EF＝CD＝5， ∵△ADF≌△BCE， ∴AF＝BE（AB﹣EF）（17﹣5）＝6， 在Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6， 由勾股定理得：DF8． 故AB与CD间的距离为8． 【点评】此题主要考查了平行线间的距离，全等三角形的判定和性质，理解平行线间的距离，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 题型五 平行四边形性质的证明 1． （2025春•湖里区校级月考）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BC上两点，且∠AFC＝∠DEB． 求证：AF＝DE． 【分析】根据平行四边形的性质得出AC＝BD，AC∥BD，根据平行线的性质求出∠ACF＝∠DBE，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝BD，AC∥CD， ∴∠ACF＝∠DBE， 在△ACF与△DBE中， ， ∴△ACF≌△DBE（AAS）， ∴AF＝DE． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AC＝BD，AC∥BD解答． 2．（2025春•盐都区月考）已知如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且CE⊥BE．求证：BC＝2CD． 【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，BC＝AD，AD∥BC，AB∥CD，则∠AEB＝∠CBE，∠ABC+∠BCD＝180°，再证明∠AEB＝∠ABE，得AB＝AE，然后证明∠BCE＝∠DCE，同理得CD＝ED，即可解决问题． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC＝AD，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AEB＝∠CBE，∠ABC+∠BCD＝180°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AB＝AE， ∵CE⊥BE， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠BCE＝90°， ∴∠ABE+∠DCE＝90°， ∴∠BCE＝∠DCE， 同理得：CD＝ED， ∴AD＝AE+DE＝AB+CD＝2CD， ∴BC＝2CD． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 3．（2024秋•招远市期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G． （1）求证：AF＝DE． （2）若AD＝16，EF＝12，请求出▱ABCD的周长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得：AD∥BC，AB＝CD，根据平行线性质和角平分线的定义求出∠ABE＝∠AEB，推出AE＝AB，同理求出DF＝CD，即可证明AE＝DF，即可求解； （2）由AD＝16，可得AF＝2，从而得出AB的长，即可得出▱ABCD的周长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB， 同理可得：DF＝CD， ∴AE＝DF， ∴AE﹣EF＝DF﹣EF， ∴AF＝DE； （2）解：∵AD＝16， ∴AF+EF+DE＝16， ∵AF＝DE，EF＝12， ∴AF+12+AF＝16， 解得AF＝2， ∴AB＝AE＝AF+EF＝2+12＝14， ∴▱ABCD的周长为2（AB+AD）＝2×（16+14）＝60，即▱ABCD的周长为60． 【点评】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 4．（2024秋•淄博期末）如图平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF过点O，并与AD，BC分别交于点E，F，已知AE＝3，BF＝5 （1）求BC的长； （2）如果两条对角线长的和是20，求三角形△AOD的周长． 【分析】（1）由平行四边形的性质和已知条件易证△AOE≌△COF，所以可得AE＝CF＝3，进而可求出BC的长； （2）由平行四边形的性质：对角线互相平分可求出AO+OD的长，进而可求出三角形△AOD的周长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AO＝CO， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AOE和△COF中 ， ∴△AOE≌△COF， ∴AE＝CF＝3， ∴BC＝BF+CF＝5+3＝8； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝BC＝8， ∵AC+BD＝20， ∴AO+BO＝10， ∴△AOD的周长＝AO+BO+AD＝18． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定以及全等三角形的性质，能够根据平行四边形的性质证明三角形全等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键． 5．（2024秋•济宁期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、F分别为OA、OC的中点，连接BE、DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若BD＝2AB，且AB＝20，CF＝12，求DF的长． 【分析】（1）由平行四边形性质∠BAE＝∠DCF，AB＝CD，再结合中点条件，利用“SAS”即可证明． （2）根据题意得出△ODC为等腰三角形，由F是CO的中点，可得BE⊥AC，利用勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD， ∴AB＝CD，OA＝OC，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF， ∵点E，F分别为OA，OC的中点， ∴，， ∴AE＝CF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：∵BD＝2AB，且AB＝20，CF＝12， ∴BD＝40， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴△DCO为等腰三角形， ∵点F是CO的中点， ∴DF⊥AC， 在Rt△CDF中，CF＝12，CD＝20， 由勾股定理得：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握平行四边形性质和全等三角形的判定定理是解题关键． 题型六 平行四边形判定的条件 1．（2024春•绵阳期末）下面给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝AD，CB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C C．AD∥BC，∠A＝∠B D．AB＝AD，∠B＝∠D 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、由AB＝AD，CB＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意； B、∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠C+∠B＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意； C、由AD∥BC，∠A＝∠B不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意； D、由AB＝AD，∠B＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 2．（2024春•南岸区校级期中）如图，AB＝CD，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（　　） A．∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD C．AB∥CD D．∠B＝∠1 【分析】直接利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或者两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可． 【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是平行四边形， 还需添加一个条件是：AC＝BD或AB∥CD． 故选C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 3．（2024春•铁东区期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC 【分析】利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可． 【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； B、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意； C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理． 4．（2024•石家庄开学）如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【分析】根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：由作图知，BC＝AD，CD＝AB， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故判定四边形ABCD为平行四边形的条件是两组对边分别相等， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 5．（2024春•西安期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO B．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠DCB C．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD＝BC 【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠DCB， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵AB∥CD，AD∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由AB∥CD，AD＝CB，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 题型七 平行四边形的判定的证明 1．（2024春•南充期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，AE∥DF，AB＝DC．求证：四边形BFCE是平行四边形． 【分析】证出AC＝BD，由SAS证明△ACE≌△DBF，由全等三角形的性质得出CE＝BF，∠ACE＝∠DBF，得出CE∥BF，即可得出结论． 【解答】证明：∵AE∥DF， ∴∠A＝∠D， ∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD， 在△ACE和△DBF中， ， ∴△ACE≌△DBF（SAS）， ∴CE＝BF，∠ACE＝∠DBF， ∴CE∥BF， ∴四边形BFCE是平行四边形． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 2．（2024•碑林区校级模拟）已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE＝CF． 求证：四边形ABCD为平行四边形； 【分析】证明△DAE≌△BCF，可得AD＝CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题． 【解答】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AED＝∠CFB＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， 在△DAE和△BCF中， ， ∴△DAE≌△BCF（ASA）， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 【点评】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是证明△DAE≌△BCF． 3．（2024•启东市二模）如图，B、C在直线EF上，AE∥FD，AE＝FD，且BE＝CF， （1）求证：△ABE≌△DCF； （2）连接AC、BD，求证：四边形ACDB是平行四边形． 【分析】（1）根据SAS即可证明； （2）只要证明AB∥CD，AB＝CD即可解决问题． 【解答】证明：（1）∵AE∥DF， ∴∠AEF＝∠DFE， ∴∠AEB＝∠DFC， ∵AE＝FD，BE＝CF， ∴△AEB≌△DFC（SAS）． （2）连接AC、BD． ∵△AEB≌△DFC， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠DCF， ∴AB∥DC， ∴四边形ABDC是平行四边形． 【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．（2024春•西安区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BE＝DF；AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形AECF是平行四边形． 【分析】（1）利用“HL”证明△ABE≌△CDF即可； （2）由全等三角形的性质得到AE＝CF，再证明AE∥CF，即可证明四边形AECF是平行四边形． 【解答】证明：（1）∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在Rt△ABE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）． （2）∵Rt△ABE≌Rt△CDF， ∴AE＝CF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 5．（2024春•柯桥区期末）已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点F、D分别在AC、BC上，AF＝CD，连接BF、EF．求证： （1）AD＝BF； （2）四边形BFED为平行四边形． 【分析】（1）根据SAS证明△ABF≌△CAD即可得出结论； （2）证明BF∥DE且BF＝DE即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAF＝∠C＝60°， 又∵AF＝CD， ∴△ABF≌△CAD（SAS）， ∴AD＝BF； （2）如图，设AC与DE相交于点H， 由（1）知，BF＝AD， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE， ∴BF＝DE， ∵∠C＝∠AED＝60°，∠DHC＝∠AHE， ∴∠CDH＝∠CAE， ∵∠CAE+∠DAC＝∠CBF+∠ABF＝60°，∠ABF＝∠DAC， ∴∠CBF＝∠CAE， ∴∠CBD＝∠CDH， ∴BF∥DE， ∴四边形BFED为平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型八 平行四边形的性质与判定的综合 1．（2024春•张家港市校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，连接AE，CE，AF，CF．下列条件中，不能得出四边形AECF一定是平行四边形的为（　　） A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF 【分析】由平行四边形的性质或全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、连接AC，交BD于O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意； B、由AE＝CF不能判定四边形AECF一定是平行四边形，故选项B符合题意； C、∵AF∥CE， ∴∠AFB＝∠CED， ∴∠AFD＝∠CEB， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴BE＝DF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴BE＝DF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键． 2．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与对角线AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，AB＝6，则四边形ABCD的周长是（　　） A．26 B．32 C．34 D．36 【分析】根据全等三角形的判定和性质得出∠EAO＝∠FCO，再根据平行四边形的判定和性质得出周长即可． 【解答】解：线段EF与AC交于点O且互相平分，得OA＝OC，OE＝OF， 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴∠EAO＝∠FCO， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝6， ∴四边形ABCD的周长＝AB+CD+BC+AD＝10+6+6+10＝32； 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定性质和全等三角形的与判定以及全等三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 3．（2024秋•烟台期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F分别是垂足． 求证：AF∥CE． 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB＝CD，AB∥CD，又由AE⊥BD，CF⊥BD，即可得AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，然后利用AAS证得△AEB≌△CFD，即可得AE＝CF，由有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形AECF是平行四边形，从而证得结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△AEB和△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF∥CE． 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得△AEB≌△CFD，得到AE∥CF且AE＝CF是解此题的关键． 4．（2024•长沙模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AFCE是平行四边形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，∠B＝∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF； （2）根据全等三角形的对应边相等即可证得． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD，∠B＝∠D， 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）∵BE＝DF， ∴AF＝CE， ∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出△ABE≌△CDF是证此题的关键． 5．如图，在▱ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点． （1）求证：四边形MNCD是平行四边形； （2）若BC＝2CD，MN＝1，求BD的长． 【分析】（1）由平行四边形的在得AD＝BC，AD∥BC，再证MD＝NC，即可得出结论； （2）连接ND，由平行四边形的性质得DC＝MN＝1，再证△NCD是等边三角形，得ND＝NC＝DC＝1，∠CDN＝∠DNC＝60°，然后证∠BDC＝90°，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC． ∵M、N分别是AD、BC的中点， ∴MD＝NC． ∵MD∥NC， ∴四边形MNCD是平行四边形； （2）解：如图，连接ND， ∵四边形MNCD是平行四边形， ∴DC＝MN＝1． ∵N是BC的中点， ∴BN＝CNBC． ∵BC＝2CD， ∴CD＝CN． ∵∠C＝60°， ∴△NCD是等边三角形， ∴ND＝NC＝DC＝1，∠CDN＝∠DNC＝60°． ∵∠DNC是△BND的外角， ∴∠NBD+∠NDB＝∠DNC， ∵DN＝CN＝BN， ∴∠DBN＝∠BDN∠DNC＝30°， ∴∠BDC＝∠CDN+∠BDN＝90°， ∴BC＝2DC＝2， ∴BD． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 题型九 平行四边形与坐标系的结合 1．（2024春•费县期末）如图，已知▱ABCD的顶点A（0，3），B（﹣2，0），C（3，0），若将▱ABCD沿y轴向下平移，使边AB的中点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为（　　） A．（6，3） B． C．（4，3） D． 【分析】由A（0，3），B（﹣2，0），C（3，0），得AD∥x轴，AD＝BC＝5，则D（5，3），因为E为边AB的中点，所以E（﹣1，），即可由点D及点E都向下平移了个单位长度，求得平移后点D的坐标为（5，），于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A（0，3），B（﹣2，0），C（3，0）， ∴AD∥x轴，AD＝BC＝3﹣（﹣2）＝5， ∴D（5，3）， ∵E为边AB的中点， ∴E（﹣1，）， ∵将▱ABCD沿y轴向下平移，点E恰好落在x轴上， ∴点D及点E都向下平移了个单位长度， ∵3， ∴平移后点D的坐标为（5，）， 故选：B． 【点评】此题重点考查图形与坐标、平移的性质、平行四边形的性质等知识，正确地求出点E的坐标是解题的关键． 2．（2024春•南宁期中）如图，▱OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（5，0），（3，8），则点B的坐标为（　　） A．（5，8） B．（6，6） C．（5，6） D．（8，8） 【分析】根据题意平行四边形的性质可知OA＝BC＝5，B点纵坐标与C点纵坐标相同，进而得出B点坐标． 【解答】解：∵▱OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（5，0），（3，8）， ∴OA＝BC＝5，B点纵坐标与C点纵坐标相同， ∴顶点B的坐标是（8，8）， 故选：D． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及坐标与图形性质，正确得出点B的横坐标是解题关键． 3．如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣2） 【分析】直接根据平移的性质可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，且A（﹣1，2），D（3，2）， ∴点A是点D向左平移4个单位所得， ∵C（2，﹣1）， ∴B（﹣2，﹣1）． 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和平移的性质，找出平移的规律是解答本题的关键． 4．在平面直角坐标系中，▱PQMN的三个顶点坐标分别是P（﹣5，﹣10），Q（15，﹣3），M（6，8），则N点坐标是（　　） A．（﹣15，5） B．（﹣14，1） C．（﹣14，5） D．（﹣15，1） 【分析】设N（x，y），根据平行四边形的性质结合P（﹣5，﹣10），Q（15，﹣3），M（6，8），得出|x﹣6|＝|﹣5﹣15|，|y+10|＝|8+3|，结合N点在第二象限得出得出x，y的值即可推出结果． 【解答】解：设N（x，y）， ∵四边形PQMN是平行四边形，P（﹣5，﹣10），Q（15，﹣3），M（6，8）， ∴|x﹣6|＝|﹣5﹣15|，|y+10|＝|8+3|， ∵N点在第二象限， ∴x＜0，y＞0， ∴x＝﹣14，y＝1， ∴N（﹣14，1）， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 5．（2024春•柯城区校级期中）如图，已知▱ABCD的顶点A（0，3），D（﹣1，0），按以下步骤作图： ①以D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F； ②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G； ③作射线DG，交边AB于点H， 则点H的坐标为（　　） A． B．（﹣3，3） C．（3，3） D． 【分析】由A（0，3），D（﹣1，0），∠AOD＝90°，求得AD，由作图得DH平分∠ADC，则∠ADH＝∠CDH，由AB∥CD，得∠AHD＝∠CDH，所以∠ADH＝∠AHD，则AH＝AD，所以H（，3），于是得到问题的答案． 【解答】解：∵A（0，3），D（﹣1，0）， ∴OA＝3，OD＝1， ∵∠AOD＝90°， ∴AD， ∵四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上， ∴AB∥x轴， 由作图得DH平分∠ADC， ∴∠ADH＝∠CDH， ∵AB∥CD， ∴∠AHD＝∠CDH， ∴∠ADH＝∠AHD， ∴AH＝AD， ∵AH∥x轴， ∴H（，3）， 故选：A． 【点评】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出∠ADH＝∠AHD，进而证明AH＝AD是解题的关键． 题型十 平行四边形的多结问题 1．（2024秋•昌黎县期中）如图，在四边形ABCD中（AB≠BC），AB∥CD，AB＝CD，连接AC、BD，直线EF经过AC、BD的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①BO＝OD；②△AOD的周长﹣△ODC的周长＝AD﹣CD；③AD∥BC；④图中全等的三角形的对数是9对；其中正确结论的个数是（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【分析】可以先判定四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质逐个排查即可． 【解答】解：由条件可知四边形ABCD是平行四边形，①BO＝OD正确； ②△AOD的周长﹣△ODC的周长＝AD﹣CD，正确； ③AD∥BC，正确； ④∵AB∥CD， ∴∠OBN＝∠MDO， ∵∠BON＝∠DOM，BO＝DO， ∴△BON≌△DOM（ASA）， 同理图中全等的三角形有：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△AOM≌△CON，△AOE≌△COF，△MOD≌△NOB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CAD，△AEM≌△CFN，△BOE≌△DOF，△BNE≌△DMF； 共计10对全等的三角形，④错误． 综上所述，正确的结论是：①②③． 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质及全等三角形的判定和性质是解题关键． 2．（2024春•桃城区校级期末）刘师傅给客户加工一个平行四边形ABCD的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形，用下列方法不能检查的是（　　） A．AB∥CD，AB＝CD B．∠B＝∠D，∠A＝∠C C．AB∥CD，AD＝BC D．AB＝CD，BC＝AD 【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【解答】解：A、可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意； B、可利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意； C、不能进行判定，故此选项符合题意； D、可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理． 3．（2024秋•济宁期末）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF；④S△AEF．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】连接EC，作CH⊥EF于H．首先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC是等边三角形即可解决问题； 【解答】解：连接EC，作CH⊥EF于H． ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°， ∵EF∥BC， ∴∠EFC＝∠ACB＝60°， ∴△EFC是等边三角形，CH， ∴EF＝EC＝BD，∵EF∥BD， ∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确， ∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF， ∴△ABD≌△BCF，故①正确， ∵S平行四边形BDEF＝BD•CH， 故③正确， ∵CD＝2BD，AF＝2CF． ∴S△AEFS△AEC•S△ABD， 故④错误， 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 4．（2024秋•乳山市期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H是对角线BD上的两点，且BG＝DH．对于结论：①GF⊥BD；②∠DEH＝∠BFG；③四边形EGFH是平行四边形；④EGBD．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】证△GBF≌△HDE（SAS），得GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故②③正确，∠FGH不一定等于90°，故①不正确，EGBD不一定成立，故④不正确，即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD， ∴∠GBF＝∠HDE， 又E、F分别是AD、BC的中点， ∴， ∴BF＝DE， 在△GBF和△HDE中， ， ∴△GBF≌△HDE（SAS）， ∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，∠BFG＝∠DEH，故②正确 ∴∠FGH＝∠EHG， ∴GF∥EH， ∴四边形EGFH是平行四边形，故③正确 ∴EG＝FH， 而EGBD不一定成立，故④不正确． ∵∠FGH不一定等于90°， ∴GF⊥BD不正确，故①不正确， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的有 　 　个． 【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，BO＝DOBD，AO＝CO，AB∥CD，即可得BO＝DO＝AD＝BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，BO＝DOBD，AO＝CO，AB∥CD， ∵BD＝2AD， ∴BO＝DO＝AD＝BC，且点E是OC中点， ∴BE⊥AC，∴①正确； ∵E、F、分别是OC、OD中点， ∴EF∥DC，CD＝2EF， ∵G是AB中点，BE⊥AC， ∴AB＝2BG＝2GE，且CD＝AB，CD∥AB， ∴BG＝EF＝GE，EF∥CD∥AB， ∴四边形BGFE是平行四边形，∴②④正确； ∵四边形BGFE是平行四边形， ∴BG＝EF，GF＝BE，且GE＝GE， ∴△BGE≌△FEG（SSS），∴③正确； 故答案为：4． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 题型是十一 平行四边形的动点问题 1．（2024秋•东营区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm，BC＝15cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，当运动时间t＝ 　 　s时，四边形PQCD为平行四边形． 【分析】根据四边形PQCD为平行四边形，得出PQ＝CD，PD＝CQ，用t表示出PD、CQ即可列出关于t的方程，解方程即可． 【解答】解：根据题意可知，AP＝t cm，则PD＝（12﹣t）cm，CQ＝2t cm， ∵四边形PQCD为平行四边形， ∴PQ＝CD，PD＝CQ， ∴12﹣t＝2t， 解得：t＝4， 即t＝4s时，PQ∥CD，且PQ＝CD． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，根据题意列出关于t的方程是解题的关键． 2．（2024秋•莱芜区期末）如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4cm/s的速度从点C出发在CB上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为t（s）（t＞0）．当t＝ 　时，四边形PDCQ是平行四边形． 【分析】根据平行四边形的性质得出DP＝CQ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设经过t秒，四边形PDCQ是平行四边形， ∵P在AD上运动， ∴t7.5，即0＜t≤7.5， ∵四边形PDCQ是平行四边形， ∴DP＝CQ， 分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为4t＝15﹣t， 解得t＝3， ②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为15﹣415﹣t， 解得：t＝5； 故答案为：3或5． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 3．（2024春•温江区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD，BD＝10，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．在整个运动过程中，当G的速度为 　 　时，△DEG与△BFG全等． 【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，求得AD∥BC，根据平行线的性质得到∠EDG＝∠FBG设运动时间为t，点G的运动速度为v，根据全等三角形的性质进行解答即可． 【解答】解：∵AD＝BC＝6，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EDG＝∠FBG， 设运动时间为t，点G的运动速度为v， 则BF＝6﹣3t，DE＝t， 当0＜t≤2时，若△DEG≌△BFG，则， ∴， ∴， ∴v； 若△DEG≌△BGF，则， ∴， ∴ （舍去）； 当2＜t≤4时，若△DEG≌△BFG，则， ∴ ∴， ∴v； 若△DEG≌△BGF，则， ∴， ∴， ∴v＝1． 综上，点G的速度为或或1时，△DEG与△BFG全等． 故答案为：或或1． 【点评】本题主要考查平行四边形 的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是利用分类讨论思想解答． 4．（2024秋•南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）AP＝　 ，BQ＝　 　，（分别用含有t的式子表示）； （2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值． （3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值． 【分析】（1）由路程＝速度×时间，可求解； （2）由面积关系可求解； （3）分四种情况讨论，由平行四边形的性质列出方程可求解． 【解答】解：（1）∵点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动， ∴AP＝tcm，CQ＝3tcm， ∴BQ＝（15﹣3t）cm， 故答案为：t，3t； （2）设点A到BC的距离为h， ∵四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍， ∴（12﹣t+3t）×h＝2（t+15﹣3t）×h， ∴t＝3； （3）若四边形APQB是平行四边形， ∴AP＝BQ， ∴t＝15﹣3t， ∴t； 若四边形PDCQ是平行四边形， ∴PD＝CQ， ∴12﹣t＝3t， ∴t＝3， 若四边形APCQ是平行四边形， ∴AP＝CQ， ∴t＝3t， ∴t＝0（不合题意舍去）， 若四边形PDQB是平行四边形， ∴PD＝BQ， ∴12﹣t＝15﹣3t， ∴t， 综上所述：当t或3或时，点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 5．（2024秋•任城区校级月考）.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝24cm，E是BC的中点．动点P从点A出发沿AD向终点D运动，动点P平均每秒运动1cm；同时动点Q从点C出发沿CB向终点B运动，动点Q平均每秒运动2cm，当动点P停止运动时，动点Q也随之停止运动． （1）当动点P运动t（0＜t＜9）秒时，则PD＝　 　；（用含t的代数式直接表示） （2）当动点Q运动t秒时， ①若0＜t＜6，则EQ＝　 　；（用含t的代数式直接表示） ②若6＜t＜9，则EQ＝　 　；（用含t的代数式直接表示） （3）当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形？ 【分析】（1）根据题意即可得结论； （2）根据BC＝24cm，E是BC的中点，BE＝CE＝12cm，然后即可解决①和②； （3）分两种情况画图讨论：当PDQE为平行四边形时，当PDEQ为平行四边形时，结合（1）（2），列方程即可解决问题． 【解答】解：（1）当动点P运动t（0＜t＜9）秒时，则PD＝（9﹣t）cm， 故答案为：（9﹣t）cm； （2）∵BC＝24cm，E是BC的中点． ∴BE＝CE＝12cm， ①若0＜t＜6，则EQ＝（12﹣2t）cm， 故答案为：（12﹣2t）cm； ②若6＜t＜9，则EQ＝（2t﹣12）cm， 故答案为：（2t﹣12）cm； （3）如图1，当四边形PDQE为平行四边形时， ∵PD＝9﹣t，EQ＝EC﹣CQ＝12﹣2t， ∴9﹣t＝12﹣2t， ∴t＝3； 如图2，当四边形PDEQ为平行四边形时， ∵PD＝9﹣t，EQ＝CQ﹣CE＝2t﹣12， ∴9﹣t＝2t﹣12， ∴t＝7； 综上所述：当运动时间t为3秒或7秒时，以点P，Q，D，E为顶点的四边形是平行四边形． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了动点问题，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握分类讨论思想． 题型十二 平行四边形的折叠问题 1．（2024•临高县二模）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处．若∠1＝56°，∠2＝40°，则∠A的度数为（　　） A．68° B．70° C．110° D．112° 【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠ABE＝56°，由折叠的性质可得∠ABD＝∠EBD∠ABE＝28°，再根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠1＝∠ABE＝56°， 由折叠的性质可得，∠ABD＝∠EBD∠ABE＝28°， ∴∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠2＝180°﹣28°﹣40°＝112°． 故选：D． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理，熟知折叠的性质是解题关键． 2．有一张平行四边形纸片ABCD，已知∠B＝75°，按如图所示的方法折叠两次，则∠BCF的度数等于（　　） A．60° B．55° C．50° D．45° 【分析】由折叠可得∠CED＝90°＝∠BCE，即可得到∠DCE＝15°，由折叠可得∠DCF＝2×15°＝30°，即可得到∠BCF＝60°． 【解答】解：由折叠可得，∠CED＝90°＝∠BCE， 又∵∠D＝∠B＝75°， ∴∠DCE＝15°， 由折叠可得，∠DCF＝2×15°＝30°， ∴∠BCF＝60°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3．（2024•台州模拟）在平行四边形ABCD中，点E，F在BC边上，把△ABE沿直线AE折叠，△CDF沿直线DF折叠，使点B，C落在对角线AC上的点G处，若∠AGD＝110°，则∠B的度数为 　 　 ． 【分析】利用平行四边形的性质和折叠的性质得到AB＝AG＝CD＝GD，AB∥CD，BC∥AD，再利用等腰三角形的性质和平行线的性质进行角的等量代换求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且△ABE沿直线AE折叠，△CDF沿直线DF折叠， ∴AB＝AG＝CD＝GD，AB∥CD，BC∥AD， ∴， ∴∠BAC＝∠DCA＝∠DGC＝180°﹣∠AGD＝180°﹣110°＝70°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠GAD＝70°+35°＝105°， ∴∠B＝180°﹣∠BAD＝180°﹣105°＝75°， 故答案为：75°． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，掌握折叠图形边相等的性质是解题的关键． 4．（2024春•江岸区期中）如图，将▱ABCD沿BD翻折得到△A′BD，若∠ABD＝37°，∠CDA′＝12°，则∠A′的度数为 　 　 ． 【分析】由平行四边形的性质可得，∠CDB＝∠ABD＝37°，由翻折的性质可得，∠A′＝∠A，∠A′DB＝∠ADB，根据∠CDA′＝∠CDB﹣∠A′DB，求∠A′DB的值，然后根据∠A′＝∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB计算求解即可． 【解答】解：由平行四边形的性质可得，∠CDB＝∠ABD＝37°， 由翻折的性质可得，∠A′＝∠A，∠A′DB＝∠ADB， ∵∠CDA′＝∠CDB﹣∠A′DB＝12°，即37°﹣∠A′DB＝12°， 解得∠A′DB＝25°， ∴∠ADB＝25°， ∴∠A′＝∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝118°， 故答案为：118°． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于确定角度之间的数量关系． 5．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A'EBC的周长为 　 　 ． 【分析】可证∠ADE＝∠AED，得到AD＝AE，再证四边形A′EBC是平行四边形，可得四边形A'EBC的周长＝2（A′C+A′E），即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠AED＝∠A′DE， 由折叠得∠ADE＝∠A′ED，AD＝A′D，AE＝A′E， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∴AD＝AE＝A′D＝A′E， ∴AB﹣BE＝CD﹣A′D， ∴A′C＝BE， ∴四边形A′EBC是平行四边形， ∴四边形A'EBC的周长＝2（A′C+A′E）＝2（A′C+A′D）＝2CD＝16． 故答案为：16． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解决问题的关键． 题型十三 平行四边形的最值问题 1．如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB⊥AC，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 【分析】取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FE⊥BC于E，则FE的长即为PB+PQ的最小值， 【解答】解：取BC的中点G，连接AG． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝60°， ∵AB⊥AC，AB＝2， ∴∠ACB＝30°， ∴BC＝2AB＝4， ∵AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°， ∴△ABG是等边三角形， ∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°， ∴∠GAC＝∠GCA＝30°， ∴∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FE⊥BC于E， ∵CF＝CB，∠CBF＝60°， ∴△BCF是等边三角形， ∵PB＝PF， ∴PB+PQ＝FP+PQ≤FE， 则EF的长即为PB+PQ的最小值（垂线段最短）， ∵EF4＝2， ∴BP+PQ的最小值为2． 故选：D． 【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称，根据垂线段最短解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．（2024•瑶海区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，ABAD，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若AD＝2，则PE+PB的最小值为（　　） A．2 B．2 C． D．2 【分析】如图，作点E关于AD的对称点E′，连接AE′，BE′，BE′交AD于点P，连接PE，此时PE+PB的值最小．利用勾股定理求出BE′，可得结论． 【解答】解：如图，作点E关于AD的对称点E′，连接AE′，BE′，BE′交AD于点P，连接PE，此时PE+PB的值最小． ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∵ABAD， ∴∠DAB＝45°， ∴AD＝BD＝2，AB＝2， ∵AE＝EB，E，E′关于AD对称， ∴∠PAE′＝∠PAE＝45°，AE′＝AE， ∴BE′， ∴PE+PB的最小值＝PB+PE′＝BE′， 故选：C． 【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 3．（2024•肥西县一模）如图，已知▱OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求． 【解答】解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图： ∵四边形OABC是平行四边形， ∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC， ∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴， ∴AM∥CN， ∴四边形ANCM是平行四边形， ∴∠MAN＝∠NCM， ∴∠OAF＝∠BCD， ∵∠OFA＝∠BDC＝90°， ∴∠FOA＝∠DBC， 在△OAF和△BCD中， ， ∴△OAF≌△BCD． ∴BD＝OF＝1， ∴OE＝4+1＝5， ∴OB． 由于OE的长不变，点B在直线x＝5上运动，当点B在x轴上时，OB最小，最小值为OB＝OE＝5． 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 4．（2024春•香洲区校级期中）如图，已知点A（0，8），B（0，﹣2），E（0，5），F（﹣5，0），C为直线EF上一动点，则▱ACBD的对角线CD的最小值是（　　） A． B．4 C．5 D． 【分析】利用待定系数法求出直线EF的解析式为y＝x+5，设C（x，x+5），根据平行四边形的性质得D（﹣x，1﹣x），由勾股定理可得CD2＝（2x）2+（1﹣x﹣x﹣5）2＝8（x+1）2+8，根据非负数的性质可得CD2的最小值是8，即可得CD的最小值． 【解答】解：设直线EF的解析式为y＝kx+b， ∵E（0，5），F（﹣5，0）， ∴，解得， ∴直线EF的解析式为y＝x+5， 设C（x，x+5）， ∵四边形ACBD是平行四边形，A（0，8），B（0，﹣2）， ∴D（﹣x，1﹣x）， ∴CD2＝（2x）2+（1﹣x﹣x﹣5）2＝8（x+1）2+8， ∴CD2的最小值是8， ∴CD的最小值是2． 故选：A． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，待定系数法，平行四边形的性质，勾股定理，非负数的性质，掌握待定系数法以及平行四边形的性质是解题的关键． 5．（2024春•溧水区期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 　 　． 【分析】当PQ⊥OA时，PQ最短，利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答即可． 【解答】解：∵四边形PBQO是平行四边形， ∴PH＝HQ，OH＝HB， 当PQ⊥OA时，PQ最短， ∵∠AOB＝30°，OB＝4， ∴OH＝2， ∴PQ＝2PH＝2， 故答案为：2． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答． 题型十四 平行四边形的综合题 1．已知：BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF． （1）如图1，求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）如图2，若AB＝AC，∠A＝36°，不添加辅助线，请你直接写出与DE相等的所有线段（AF除外）． 【分析】（1）由BD是△ABC的角平分线，DE∥AB，易证得△BDE是等腰三角形，且BE＝DE；又由BE＝AF，可得DE＝AF，即可证得四边形ADEF是平行四边形； （2）结论：CD、BE、BG、FG．求出相应的角的度数即可判断； 【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠DBE， ∵DE∥AB， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴∠DBE＝∠BDE， ∴BE＝DE； ∵BE＝AF， ∴AF＝DE； ∴四边形ADEF是平行四边形； （2）结论：CD、BE、BG、FG． 理由：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∴∠ABD＝∠CBD＝36°， ∵EF∥AC，DE∥AB， ∴∠BFE＝∠C＝72°，∠DEC＝∠ABC＝72°， ∴∠DEC＝∠C，∠BGE＝72°， ∴∠BGE＝∠BEG， ∴BE＝BG＝DE＝DC， ∵∠BGE＝∠GBF+∠BFG， ∴∠GBF＝∠GFB＝36°， ∴BG＝GF， ∴与DE相等的相等有CD、BE、BG、FG． 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会理由数形结合的思想解决问题． 2．（2024•宁波模拟）在▱ABCD中，O是对角线AC的中点，要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形．某学生给出两种方案，如图所示． 方案①：如图1，在对角线AC上截取AE＝CF； 方案②：如图2，过点B作BE⊥AC，过D作DF⊥AC． 请回答下列问题： （1）以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形的是 　 ，请给出证明（若两种方案都满足要求，则任选一种证明）；若不能，请说明理由． （2）若EF＝2AE，S△AED＝1，在你选择的方案中求▱ABCD的面积． 【分析】（1）方案①：连接BD，由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，OA＝OC，O是对角线BD的中点，再证明OE＝OF，然后由平行四边形的判定即可得出结论； 方案②：证明BE∥DF，再证明△ABE≌△CDF（AAS），得BE＝DF，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）证明OE＝AE＝CF＝OF，则S△ABC＝S△ADC＝4S△AED＝4，即可解决问题． 【解答】解：（1）以上方案能得到四边形BEDF为平行四边形的是①②，证明如下： 方案①：如图1，连接BD， ∵四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC的中点， ∴AB∥CD，AB＝CD，OA＝OC，O是对角线BD的中点， ∴OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， 即OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形； 故甲方案正确； 方案②：∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴BE∥DF，∠AEB＝∠CFD＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形； 故答案为：①②； （2）由（1）得OE＝OF， ∴EF＝2OE， ∵EF＝2AE， ∴2OE＝2AE， ∴OE＝AE＝CF＝OF， ∴S△ABC＝S△ADC＝4S△AED＝4×1＝4， ∴S▱ABCD＝2×4＝8， 即▱ABCD的面积是8． 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，CF⊥AB于F，AE与CF相交于点G，连接GD，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若AG＝3，DG＝5，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）证明AB∥DC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）过点C作CH⊥DG于点H，证明△ABE≌△DCH（AAS），得BE＝CH，再证明Rt△CGE≌Rt△CGH（HL），得GE＝GH，设GE＝GH＝x，根据AE＝DH，求出x的值，进而可以解决问题． 【解答】（1）证明：∵CF⊥AB， ∴∠AFG＝90°， ∵∠1＝∠2，∠1＝∠AGF， ∴∠AGF＝∠2， ∵∠3＝∠4， ∴∠AFG＝∠DCG＝90°， ∴CF⊥CD， ∴AB∥DC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形； （2）解：∵AD∥BC，AE⊥BC， ∴AE⊥AD， ∵AG＝3，DG＝5， ∴AD4， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC＝AD＝4，AB＝CD， 如图，过点C作CH⊥DG于点H， ∴∠AEB＝∠DHC＝90°， ∵∠3＝∠4， ∴△ABE≌△DCH（AAS）， ∴BE＝CH， ∵∠1＝∠2，CH⊥DG，CE⊥AE， ∴CE＝CH，AE＝DH， ∴BE＝CE＝CHBC＝2， 在Rt△CGE和Rt△CGH中， ， ∴Rt△CGE≌Rt△CGH（HL）， ∴GE＝GH， 设GE＝GH＝x， ∴DH＝DG﹣GH＝5﹣x，AE＝AG+GE＝3+x， ∵AE＝DH， ∴5﹣x＝3+x， ∴x＝1， ∴AE＝4， ∴四边形ABCD的面积＝BC•AE＝4×4＝16． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的面积，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． 4．如图1，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD． （1）求证：四边形CDBF是平行四边形； （2）如图2，若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BC＝4，求DF的长． 【分析】（1）欲证明四边形CDBF是平行四边形只要证明CF∥DB，CF＝DB即可； （2）如图，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可． 【解答】（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠ECF＝∠EBD． ∵E是BC中点， ∴CE＝BE． ∵∠CEF＝∠BED， ∴△CEF≌△BED(ASA)． ∴CF＝BD． ∴四边形CDBF是平行四边形． （2）解：如图，作EM⊥DB于点M， ∵四边形CDBF是平行四边形，BC＝4， ∴BEBC＝2，DF＝2DE． 在Rt△EMB中，EM＝BE•sin∠ABC＝2， 在Rt△EMD中，∠EDM＝30°， ∴DE＝2EM＝4， ∴DF＝2DE＝8． 【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 5．（2024春•市北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，，其中BD是AC边上的高．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题： （1）线段BP＝　 　cm，AM＝　 　cm（用含t的代数式表示）； （2）求AD的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）设AD＝x，由勾股定理求出AD即可； （3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，PQ＝BP＝t cm，AM＝4t cm，AD＝6cm，得出MD＝AD﹣AM＝（6﹣4t）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可； ②当点M在点D的下方时，PQ＝BP＝t cm，AM＝4t cm，AD＝6cm，得出MD＝AM﹣AD＝（4t﹣6）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）由题意，得：BP＝t cm，AM＝4t cm； 故答案为：t，4t； （2）设AD＝x cm，则：CD＝（10﹣x）cm， ∵BD是AC边上的高， ∴∠ADB＝∠CDB＝90°， ∴BD2＝AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2， ∴， 解得：x＝6； ∴AD＝6cm； （3）分两种情况：①当点M在点D的上方时， 由题意得：PQ＝BP＝t cm，AD＝6cm， ∴MD＝AD﹣AM＝（6﹣4t）cm． ∵PQ∥AC， ∴PQ∥MD， ∴当PQ＝MD，即当t＝6﹣4t时，四边形PQDM是平行四边形， 解得t＝1.2； ②当点M在点D的下方时， 根据题意得：PQ＝BP＝t cm，AM＝4t cm，AD＝6cm， ∴MD＝AM﹣AD＝（4t﹣6）cm． ∵PQ∥AC， ∴PQ∥MD， ∴当PQ＝MD时，即当t＝4t﹣6时，四边形PQMD是平行四边形， 解得t＝2． 综上所述，当t＝1.2或t＝2时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，列代数式以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$