第19章 培优专题 一次函数的图像和性质(知识盘点+12题型+3易错+好题必刷)-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

培优专题 一次函数的图像和性质 一次函数的图像 1. 一次函数的图像 一般地,一次函数是常数,且）的图像是一条直线. 【特别提醒】一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这条直线的表达式. 2. 一次函数的图像的画法 （1）描点法：通过“列表、描点、连线”获得. （2）两点法:一般先确定图像上两个点，再经过这两个点画直线, 通常我们选取直线与两坐标轴的交点,即点与. 【依据】两点确定一条直线。 【答疑解惑】两交点点与怎么来的？ 当时，点是直线与轴的交点。 当时,, 是直线与轴的交点. 【提示】(1)为了描点更方便、更准确,通常取横、纵坐标都是整数的两点.(2)有时也可以取点和. 3. 直线的截距 一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距。 一般地，直线与轴的交点坐标是, 直线的截距是. 【易错易混】 "截距" 不是 "截得的距离"，而是指直线与轴交点的纵坐标,它可以是正数、零或负数。如直线 的截距是. 【即学即练1】直线在y轴上的截距 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像与x轴、y轴交点，解题的关键是掌握一次函数的性质． 当时，求出y的值，即可． 【详解】解：当时，， 则直线在y轴上的截距为， 故答案为：． 【即学即练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)求的面积； (2)直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)16 (2)或 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形．熟练掌握直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形是解题的关键． （1）当时，可求；当时，可求，则，计算求解即可； （2）联立，可求，则，由，可得，可求，进而可求点坐标． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为16； （2）解：联立， 解得，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴点坐标为或． 【方法技巧总结】 构建方程求直线与坐标轴的交点坐标 此法是求直线与坐标轴交点坐标的常用方法，定水平距离和铅锤高，在轴上的点的距离为,铅锤高即,求交点坐标一般可联立2条直线方程解析式，后面我们在讲一次函数与二元一次方程组专题会具体介绍. 【易错提醒】求直线与两坐标轴围成的三角形的面积时，两直角边长是直线与坐标轴交点的不为的横、纵坐标的绝对值.一定不要忘记加绝对值，分类讨论错误往往是同学们忽略了绝对值，导致漏解！解三角形面积时，一定要有带绝对值的好习惯！ 两条直线的位置关系（难点） 1.相交关系 （1）已知两直线和, 当时, 两直线相交. （2）一般地, 直线都经过点，即这些直线相交于同一个点. 【易混易错提醒】 (1) 在坐标平面上, 截距相同的直线都相交, 交点坐标为. (2) 在坐标平面上, 的值不同, 则直线相对于轴正方向的倾㸯程度不同. 常数称为直线的斜率, 关于斜率的确切定义和几何意义将在高中数学中学习。 【拓展】 (1) 直线与相交; (2) 直线相交于轴上一点. 2. 平行关系 (1) 直线与直线 的位置关系: 的 取值 的取值 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 【特别注意】 （1）直线何下平移个单位得到直线.反过来,直线向上平移个单位得到直线. （2）直线向上平移个单位得到直线.反过来，直线向下平䇋个单位得到直线. (2) 直线与的位置关系: (1)直线与平行； (2)直线与重合. 【即学即练1】把函数的图象向上平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数解析式为 ，这两图象的位置关系是 ． 【答案】 平行 【分析】根据一次函数的平移方法“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解∶将函数的图象向上平移3个单位长度后， ∴得到的新图象对应的函数解析式为． 由平移的性质知∶ 两图象的位置关系是平行． 故答案为∶ ，平行． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，熟练掌握平移方式是解题关键． 【即学即练2】在平面直角坐标系中，一次函数与的图象的位置关系为 ． 【答案】平行 【分析】若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同，反之亦可． 【详解】解：∵一次函数与中，k的值相同，都为-6，而b的值不同， ∴两条直线互相平行． 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了两直线平行问题，明确两直线平行，则自变量系数相同，即k值相同是关键． 一次函数的性质 1.一次函数的性质 k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 2.常数k,b的符号与直线 y=kx＋b(k≠0)的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 常数k,b的符号 k＞0,b＞0 k＞0,b＜0 k＞0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 常数k,b的符号 k＜0,b＞0 k＜0,b＜0 k＜0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 【特别提醒】 根据k,b的符号，可以画出函数的大致图象，知道函数图象所经过的象限.反之，根据一次函数的图象，也可推出k,b的符号(或取值范围). 一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 下列四个选项中，符合直线的性质的选项是（    ） A．经过第一、三、四象限 B．随的增大而增大 C．函数图象必经过点 D．与轴交于点 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质即可判断A、B；求出当时的函数值即可判断C、D． 【详解】解：∵直线解析式为，，， ∴直线经过第一、二、四选项，y随x增大而减小，故A、B不符合题意； 当时，，即函数经过点，故C符合题意； 当时，，即直线与轴交于点，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质，一次函数与y轴的交点，熟知一次函数的相关知识是是解题的关键． 题型一、根据一次函数的定义求参数 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）若函数是一次函数，则m的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的定义；因此此题可根据“形如，的函数叫做一次函数”得，，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：； 故选：B． 2．（24-25八年级下·北京·期中）关于函数，给出下列结论： ①此函数一定是一次函数； ②无论取什么值，函数图象必经过点； ③若函数经过二，三，四象限，则的取值范围是； 其中正确的是 ；（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查根据交点坐标确定解析式字母系数的取值的运用．①当时，函数是一次函数；②，当时，，过函数过点，即可求解；③函数经过二，三，四象限，可得，从而可以求得k的取值范围． 【详解】解：①当时，函数是一次函数；故①不符合题意； ②， 当时，，过函数过点，故②符合题意； ③函数经过二，三，四象限，则， 解得：，故③符合题意； 故答案为：②③． 3．（24-25八年级下·上海·期中）我们把直角坐标平面内到轴距离是到轴距离2倍的点称为“特殊点”．那么一次函数的图象上的“特殊点”坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．设一次函数的图象上的“特殊点”坐标为，根据题意可得，，解方程即可求出答案． 【详解】解：设一次函数的图象上的“特殊点”坐标为，根据题意可得， ， 则或 解得， 即一次函数的图象上的“特殊点”坐标为， 故答案为： 4．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数（，都是常数，且）的图象经过点和． (1)求该一次函数的表达式； (2)当时，求的取值范围； (3)点在该函数的图象上，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． （）根据待定系数法求解析式即可； （）求得和时的值，然后结合一次函数性质即可求解； （）由点在该函数的图象上，则，代入即可求解． 【详解】（1）解：将和代入得， 解得， ∴这个函数的解析式为：； （2）解：把代入得，， 把代入得，， ∴的取值范围是． （3）解：∵点在该函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴点的坐标为． 题型二、判断一次函数的图象 5．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图是一次函数的图象，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的图象可得：，，即可得出，再由一次函数的性质可得函数的图象经过一、二、三象限，即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可得：，， ∴， ∴函数的图象经过一、二、三象限，如图： ， 故选：D． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）一次函数与正比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限即可． 【详解】解：A、正比例函数与一次函数的自变量系数k互为相反数．故该选项不符合题意； B、正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数．故该选项不符合题意； C、正比例函数图象经过第一、三象限，则，那么一次函数应经过二、三、四象限，故该选项不符合题意； D、正比例函数图象经过第二、三象限，则，那么一次函数经过一、二、三象限，故该选项符合题意． 故选：D． 7．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则（    ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象，由图象判断代数式的正负，再化简即可，熟练运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由图象可得当时，， 当时，， ， 故选：A． 8．（24-25八年级上·江西九江·期中）已知一次函数的函数值随的减小而增大，则该函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断一次函数的图像，根据函数值随的减小而增大，得出，再根据当是，可得出一次函数与y轴交于正半轴，即可得出答案． 【详解】解：∵已知一次函数的函数值随的减小而增大， ∴， 且当是，， 一次函数与y轴交于正半轴， 故选：C 题型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限 9．（2025八年级下·湖南·专题练习）关于直线，下列说法正确的是（　　） A．直线与轴的交点为 B．直线经过第二、三、四象限 C．随的增大而增大 D．点在直线l上 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：A、当时，， ∴直线l与y轴的交点为，选项说法错误，不符合题意； B、，直线经过第二、三、四象限正确，符合题意； C、，随的增大而减小，选项说法错误，不符合题意； D、当时，，点不在直线l上，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 10．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数的图像经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【分析】本题考查判断一次函数的图像经过的象限，根据的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图像经过第一、二、三象限； 故选A． 11．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）正比例函数（）的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，掌握它们的性质是解题的关键；由正比例函数（）的图象经过第二、四象限，得，则一次函数的图象与y轴交于负半轴，且函数值随自变量的增大而增大，从而可判断一次函数经过的象限，由此即可判断． 【详解】解：∵正比例函数（）的图象经过第二、四象限， ∴， ∴一次函数的图象与y轴交于负半轴，且函数值随自变量的增大而增大， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限； 故选：B． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，，即，正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； C、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； 故选：B． 题型四、已知函数经过的象限求参数范围 13．（24-25八年级下·上海·期中）直线经过一、二、四象限，则k和b应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ∴， 故选：C． 14．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）函数的图象不经过第一象限，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质，注意用数形结合的思想解答．根据一次函数的图象不经过第一象限，可知，即可求解． 【详解】∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴， 故选：D． 15．（24-25八年级下·北京·期中）如果一次函数的图象经过第三象限，且与y轴正半轴相交，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据题意得，一次函数图象经过一、二、三象限，进而可求解，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：果一次函数的图象经过第三象限，且与y轴正半轴相交， ∴， 故选：A． 16．（24-25八年级下·吉林长春·期中）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质与不等式组的综合，由一次函数的性质列出不等式组是解题的关键． 根据图象不经过第三象限可确定满足的条件，列出不等式组即可求出k的取值范围． 【详解】解：根据题意得 解不等式①得 解不等式②得 所以该不等式组的解集为． 故答案为：． 题型五、一次函数图象与坐标轴的交点问题 17．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．例如点的坐标是，点就是一个整点．已知一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，如果内部（不包括边上）的整点只有个，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数图象和性质，根据题意画出图象，结合题意分析即可得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 解得：， 一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点， 点的坐标为，点的坐标为， 内部（不包括边上）的整点满足、均为正整数，， 当时，只有一个整点，整点不足个，不符题意； 当时，整点有、、，共个，符合题意； 当时，有多个整点，不符合题意； 故选：D． 18．（24-25八年级下·上海·期中）直线的截距是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的截距的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据题意，求得当时，对应的即可得到答案． 【详解】解：当时，， 直线的截距为， 故答案为：． 19．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】先此题考查一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积，正确理解、的长度是解题的关键．根据解析式确定点、的坐标，再根据三角形的面积公式计算得出答案． 【详解】解：令中得，令得， ∴点，点， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 20．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）已知直线，回答下列问题： (1)与y轴交点A的坐标为_______． (2)求与x轴的交点B的坐标； (3)求线段的长度 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出自变量的值为0时的函数值即可得到答案； （2）求出函数值为0时自变量的值即可得到答案； （3）根据（1）（2）所求可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴直线与y轴交点A的坐标为； （2）解：在中，当时，， ∴直线与x轴的交点B的坐标； （3）解：∵点A的坐标为，点B的坐标， ∴， ∴． 21．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知∶ 直线，当为何值时， (1)经过原点； (2)与y轴相交于； (3)与x轴相交于． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标符合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）根据函数图象经过原点可知，求出的值即可； （2）直接把代入直线解析式得，求出的值即可； （3）直接把代入直线解析式得，求出的值即可． 【详解】（1）解：直线经过原点， ，解得， ； （2）解：直线与y轴相交于， ，解得， ； （3）解：直线与x轴相交于， ，解得， ． 题型六、一次函数图象平移问题 22．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒1个单位的速度向下平移，当该直线将平行四边形的面积平分时向下平移的时间为（   ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，连接，交于点，直线交轴于点，当直线经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分，求出直线平移后的解析式为，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，交于点，直线交轴于点， 当直线经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分， ∵四边形是行四边形， ∴， ∵，， ∴点， ∵直线由直线平移得到， ∴设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线要向下平移个单位得到直线， ∴平移的时间为， 故选：B． 23．（24-25八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … m … 写出表中m的值：___________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点，，若，则___________（填“”，“”或“”）； ②对于函数，当时，y的取值范围是___________； ③写出由函数的图象得到的图象的平移方式． 【答案】(1)0 (2)见解析 (3)①；②；③向左平移1个单位，向下平移个单位 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键． （1）把代入即可求得； （2）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可； （3）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 故答案为：0； （2）解：函数图象如图所示； ； （3）解：观察该函数图象： ①对于图象上两点，若，则； ②对于函数，当时，y的取值范围是； ③当时，，当时，， ∴函数的图象得到的图象的平移方式是向左平移1个单位，向下平移个单位． 故答案为：①；②；③向左平移1个单位，向下平移个单位． 24．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，且点的横坐标为4，点的纵坐标为2． (1)求一次函数的表达式； (2)坐标平面内有一点，将一次函数图象向下平移个单位长度恰好经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了求一次函数的图象及图象平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法和图象“左加右减，上加下减”的平移规律． （1）先确定A、B两点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）根据题意求得平移后的直线的解析式，把M的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得的值． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为4，点的纵坐标为2， ∴，， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为． （2）解：一次函数图象向下平移个单位长度后的一次函数解析式为： ， 把代入可得：， 解得：． 25．（24-25八年级下·河南南阳·期中）[问题情境] 老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数表达式， 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为；小谢认为平移前后直线中的“k”不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数表达式． 在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小雯继续进行探究验证： [解决问题] （1）小雯用小谢的方法进行了尝试：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为______，利用待定系数法求得过点的直线的函数表达式为 ； （2）小雯又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线； [拓展应用] （3）对于平面直角坐标系内的图形M，将图形M上所有点都向上平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”．请你求出将直线进行两次“斜平移”后得到直线的函数表达式． 【答案】（1），；（2），下， 6；（3）将直线进行两次“斜平移”后的函数解析式为 【分析】本题考查了坐标与图形变换－平移，待定系数法求解析式，解题的关键是得到平移后经过的一个具体点． （1）由平移的性质可求点坐标，设平移后的直线解析式为，利用待定系数法可求解； （2）平移后的直线的解析式的k不变，设出相应的直线解析式，可求向左平移3个单位后的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得m，也就求得了所求的直线解析式； （3）平移后的直线的解析式的k不变，设出相应的直线解析式，找到点进行两次“斜平移”后的对应点的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得n，也就求得了所求的直线解析式． 【详解】（1）点向上平移3个单位后的点的坐标为， 设平移后的直线解析式为， 代入得，则， 所以过点的直线的解析式为； 故答案为：，； （2）可设新直线解析式为， ∵原直线经过点， ∴点O向左平移3个单位后点， 代入新直线解析式得：， ∴， ∴平移后直线的解析式为：， 由（1）可知，另外直接将直线向下平移6个单位也能得到直线； 故答案为：，下，6； （3）直线上的点，进行一次“斜平移”后的对应点的坐标为，进行两次“斜平移”后的对应点的坐标为， 设两次斜平移后的直线的解析式为， 代入得，， 则， 所以，两次斜平移后的直线的解析式为． 题型七、判断一次函数的增减性 26．（2025·浙江杭州·一模）已知一次函数，当时，对应的y值为，则b的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查待定系数求函数解析式及一次函数的性质，根据一次函数的单调性分类讨论，求得函数解析式是解题的关键． 一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式． 【详解】解：当时，由一次函数的性质知，y随x的增大而增大， 所以得， 解得，即； 当时，y随x的增大而减小， 所以得， 解得，即． 故答案为：C． 27．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知y关于x的函数关系式为，其中y随x的增大而增大，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵y随x的增大而增大， ∴， ∴， 故选：D． 28．（24-25八年级下·四川资阳·期中）一次函数的自变量的取值范围是，函数值的取值范围是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，分和两种情况，根据一次函数的性质分别解答即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，随的增大而增大，则有，；，， ∴， 解得， ∴； 当时，随的增大而减小，则有，；，， ∴， 解得， ∴； ∴的值是， 故答案为：． 29．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）已知一次函数． (1)在该函数中，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，当时，求的取值范围． (3)若直线经过一、二、四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，包括一次函数的增减性，函数值与自变量之间的关系，掌握和理解这些性质进行求解是解题的关键． （1）由一次函数图象的增减性解答． （2）若，则一次函数，根据增减性即可求出最值． （3）根据一次函数的性质列不等式计算即可． 【详解】（1）解：若随的增大而增大，则， 解得，． （2）解：若，则一次函数， 由于，所以随的增大而减小； 所以当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 所以的取值范围为 ； （3）解：由题意得，， 解得，． 题型八、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 30．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）小明在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题． (1)列表： … 0 1 2 3 4 … … 1 a b c 0 1 … 表中 ， ， ； (2)作图：在下面网格中描点并正确地画出该函数图象； (3)观察：观察图象，归纳一下两条性质： 图象关于直线 对称； 根据所画的图形可以发现该函数有最 值（填“大”或“小”），该值是 ； (4)在坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为 ． 【答案】(1)0；； (2)见解析 (3)1；小； (4)9 【分析】本题考查了一次函数的性质，数形结合思想等知识；画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键． （1）把或1或2代入函数解析式，即可解； （2）描点、连线，在图中画出该函数图象即可； （3）观察图形即可得出结论； （4）根据图象可直接得出结论． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：0；；； （2）解：函数图象如下图所示： ， （3）解：观察图象得： 图象关于直线对称； 根据所画的图形可以发现该函数有最小值，该值是； 故答案为：1；小；； （4）解：画出直线，根据整点的定义可知，有九个整点． . 故答案为：9． 31．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知y是x的一次函数，它的图象上有两点分别为和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这条直线上； (3)直接写出当时，x对应的范围是什么？ 【答案】(1) (2)点在这条直线上 (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标特点，一次函数的增减性，正确求出解析式是解题的关键． （1）设出解析式，再把A、B两点坐标代入解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求求出当时的函数值即可得到结论； （3）先求出函数值为0时自变量的值，再根据解析式判断出增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， 把和代入到中得， 解得， ∴这个一次函数的表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴该直线经过点， ∴点在这条直线上； （3）解：在中，当时，， ∵一次项系数为2，是正数， ∴y随x增大而增大， ∴当时，． 32．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先设解析式为，再把，代入即可求解； （2）根据一次函数的性质分析即可求解． 【详解】（1）解：由题意设， 把，代入得， 解得， ∴，即， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得； 当时，， 解得， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时， 则x的取值范围为． 33．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若一次函数的图象还经过点， ①求该一次函数的表达式． ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后恰好落在该一次函数的图象上，求m的值． (2)当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式，平移的性质，一次函数的性质； （1）把点，代入，再求解即可；②先得到平移后的，再代入即可得到答案； （2）先求解一次函数为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①一次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数为； ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后为， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数的图象恒过定点， ∴，即， ∴一次函数为， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴当，函数最小值为：， 当，函数最大值为：， ∴，解得：， ∴， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，函数最大值为：， 当，函数最小值为：， ∴，解得：， ∴， 综上：． 题型九、比较一次函数值的大小 34．（24-25八年级下·江苏南通·期中）已知在函数的图象上有点和点，且，则下列数值中能成为的值的是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， 又∵点，均在一次函数的图象上，且， ∴． 故选：D． 35．（24-25八年级下·北京房山·期中）已知，是一次函数图象上的两个点，则 （填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又， ． 故答案为：． 36．（23-24八年级下·云南红河·期末）如果点、点在直线上，那么 （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数增减性是关键．根据随增大而减小判断即可． 【详解】解：∵直线中， 故随的增大而减小， ∵ ∴ 故答案为：． 37．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）已知点，是一次函数图象上的两点，那么，的大小关系是 （填“>”、“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，掌握对于一次函数，当时， y随x的增大而增大，当时， y随x的增大而增减小是解题的关键． 根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴对于一次函数，随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 题型十、一次函数的规律探究问题 38．（24-25八年级上·浙江金华·期末）正方形、正方形、正方形……按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 39．（24-25八年级下·四川内江·期中）如图，直线与轴相交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，再过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 【答案】512 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是利用平行于坐标轴的直线上点的坐标关系，结合直线方程求出各点坐标，进而归纳出线段长度的规律． 先求出坐标，根据平行关系依次求出、，、，、等点坐标， 计算线段、、长度，归纳出长度规律，根据规律求出的长度． 【详解】在直线中， 令，则， ∴． ∵平行于轴， ∴的纵坐标为． 把代入，可得， 解得，即． ∵平行于轴，横坐标为， 把代入，得， ∴． 的长度为． ∵平行于轴，， ∴的纵坐标为． 把代入，可得， 解得，即． ∵平行于轴，横坐标为， 把代入，得， ∴． ∴的长度为． ∵平行于轴，， 所以的纵坐标为． 把代入，可得， 解得，即． ∵平行于轴，横坐标为14， 把代入，得， 所以． ∴的长度为． 通过计算，，，总结出规律：对于，其长度． 当时，根据上述规律，的长度为． 答案为：512． 40．（24-25八年级下·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l是的图象，点在x轴正半轴上，．作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点．…按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求出点的坐标，进而找到点的坐标，逐个解答便可发现规律，进而求得点的坐标． 【详解】解：由已知得，点坐标为，且点在直线上，可知点坐标为， 由题意可知，故点坐标为， 同理可求的点坐标为， 故点坐标为， 按照这种方法逐个求解便可发现规律，点坐标为， 故点的坐标为即． 故答案为：． 41．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过上的点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点坐标规律探究，求一次函数的自变量和函数值，解题的关键是读懂题意，得到的横坐标为．根据题意得到的横坐标为，即可得到点的横坐标． 【详解】解：由题意可得， ，，，，，，…， 可得的横坐标为 ， 点的横坐标为：， 故答案为：． 题型十一、一次函数图象与对称问题 42．（24-25八年级下·北京·期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_______； (2)表格是与的几组对应值： 则的值为________； (3)请在下面的网格中，建立平面直角坐标系，并画出函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的一条性质：_________． 【答案】(1)全体实数 (2)2 (3)见解析 (4)当时，y随x增大而增大（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数图象的性质，求自变量的取值范围，求函数值等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； （2）把代入中求出y的值即可得到答案； （3）先描点，再连线即可得到答案； （4）根据所画的函数图象写出其对应的性质即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； 故答案为：全体实数； （2）解：在中，当时，， ∴； 故答案为：2； （3）解：如图所示， （4）由函数图象可知，当时，y随x增大而增大（答案不唯一）． 43．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）将的图象记作， (1)图象与轴交点坐标为___________，与轴交点坐标为___________； (2)若点、均在图象上，求、的值： (3)将图象上（为常数）的部分沿轴翻折，翻折后的图象记作，将的部分记作和合起来记作图象．直接写出对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (4)已知点、，连结，在（3）的条件下，图象与线段有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)，； (3)； (4)． 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． （1）分别令和，求得和，据此求解即可； （2）分别将点、代入，求解即可； （3）分情况讨论，求解即可； （4）先求得线段与的交点的坐标，与的交点的坐标，再根据四个特殊点、、和，画出图形，根据图象即可求解． 【详解】（1）解：令，则，令，则， ∴图象与轴交点坐标为，与轴交点坐标为； 故答案为：，； （2）解：将点代入，得 ； 将点代入，得 ， 解得； （3）解：当时，图象对应的函数表达式为， 当时，图象对应的函数表达式为， 综上，图象对应的函数表达式为； （4）解：设线段与交于点，与交于点， 令，则，解得， 则； 令，则，解得， 则； ①若图象过点；图象与线段有一个交点，此时； ②若图象过点；图象与线段有一个交点，此时； 综上，时，图象与线段有一个交点； ③若图象过点，此时； 如下两个图知当时，图象与线段没有交点； ④如图时，图象与线段没有交点； 综上，图象与线段有一个交点时，的取值范围为． 44．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小曲同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小曲同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： … … 则________，________． (2)描点并画出该函数的图象： (3)函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形； (4)观察函数图象，当时，的取值范围是________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)是 (4) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，轴对称图形的识别，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）把的值分别代入计算，即可求出、的值； （2）根据（1）中的表格，描点连线即可画出图象； （3）利用轴对称图形的定义对函数图象进行分析即可判断； （4）由图象知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再分别求出当、、 时的值，即可求解． 【详解】（1）解：， 当时，，即； 当时，，即； 故答案为：，； （2）如图，即为所求； （3）由（2）图象可知，函数的图象是轴对称图形， 故答案为：是； （4）由图象知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 题型十二、一次函数图象与旋转问题 45．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标的特征的等知识点，利用待定系数法求出临界值是解题的关键． 利用临界法求得直线和的解析式即可解答． 【详解】解：当时， ∵直线经过点，， ∴，解得∶ ∴， 当时， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴． 综上，当该直线与线段有交点时，k的取值范围是：或． 故答案为或． 46．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】/ 【分析】设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，先求得点和点坐标，然后证明，得到，，从而得出点的坐标，然后利用待定系数法，求得和，最后算得旋转后的直线与轴的交点坐标． 【详解】解：设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，如图所示： 直线与坐标轴分别交于，两点， 时，；时，； ，， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 将，代入，得， ， ， 时，， 旋转后的直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点并构造出等腰直角三角形是解题的关键． 【例1】若一次函数的函数值随的增大而减小，则值可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴． 解得． 观察各选项，只有D选项的数字符合 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【例2】已知一次函数，当时，对应的的取值范围是，则的值为（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．或 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，根据题意知，一次函数经过两点或两点，所以这两点满足，将这两点代入，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：根据题意知，①当两点满足一次函数时， ， 解得，； ∴； ②当两点满足一次函数时， ， 解得，， ∴， 综上，的值为1或9． 故选：C． 【例3】定义运算“※”为a※b＝，如1※（﹣2）＝1×（﹣2）＝﹣2，则函数y＝2※x的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可得y=2※x的函数解析式，根据函数解析式，可得函数图象． 【详解】解：y＝2※x＝， x＞0时，图象是y＝﹣2x的正比例函数中在第三象限的部分； x≤0时，图象是y＝2x的正比例函数中y轴右侧的部分． 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象，利用定义运算“※”为：a※b=，得出分段函数是解题关键． 【防错警示】 一次函数y=kx+b中变量间的变化规律与常量的符号关系比较密切,常量k,b的符号类型情况复杂,解题时稍不留意,就会出现错解,出现错误大致可分为不注意函数定义中的限制条件,不对条件指向不明的题进行分类讨论、不重视变量的范围等.. 1．（24-25八年级下·上海松江·期中）一次函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像，根据一次函数，当，时函数经过第一、二、四象限进行判断即可． 【详解】解：一次函数的图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）对于一次函数给出下列结论：；时图象经过一、二四象限；时图象与坐标轴围成的三角形的面积等于；不论为何值，其图象一点经过一个定点．其中，结论正确的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与性质，由一次函数图象与性质逐项验证即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵一次函数 ∴，故正确； 当时，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故正确； 当时，一次函数化为， 当时，当时， ∴与轴交点为；与轴交点为；则图象与坐标轴围成三角形的面积为，故错误； 当时，， ∴论为何值，其图象一点经过一个定点，故正确。 故选：． 3．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）直线上有两个点，，则的大小关系是 ．（用表示） 【答案】 【分析】根据函数的性质，结合时，y随x的增大而减小解答即可． 本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数， 得， 故函数值y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象为直线l，过点O作，垂足为，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，可得一次函数经过定点，即可得出当点与定点重合时，取最大值，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴一次函数经过定点， ∴当点与定点重合时，取最大值， 点分别向作轴，轴做垂线， 由勾股定理可得最大值为， 故答案为：． 5．（2025·山东东营·一模）如图放置的，，都是边长为2的等边三角形，边OA在y轴上，点，，，…，都在直线上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数的变化规律，先求出的长度，再用勾股定理求出的坐标，根据和的位置关系即可求出的坐标． 【详解】解：由题意知， 设， 则， 解得， ∴， ∴，即， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·北京房山·期中）已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点． (1)直接写出，两点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【答案】(1)点坐标， 点坐标 (2)见解析 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）令求出y的值，再令求出x的值即可得出A、B两点的坐标； （2）利用两点法画出函数图象即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 解得：， ∴，； （2）解：一次函数的图象如图： 7．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知关于的函数． (1)若此函数为正比例函数，求的值； (2)若此函数为一次函数，且图像不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一次函数图象的性质，一元一次不等式等知识点，解题的关键是准确掌握正比例函数的定义和一次函数图像的性质． （1）根据正比例函数的定义求解即可； （2）根据一次函数图象经过的象限可得，且，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：根据正比例函数的定义可得， ， 解得，且此时， 所以的值为1； （2）解：根据题意得， ∴，且， 解得， 所以，的取值范围为． 8．（24-25八年级下·北京房山·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和轴上一点，且点的横坐标为． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质与判定；解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据待定系数法可以求得该函数的解析式； （2）根据（1）中的函数解析式可以求得点的坐标，从而可得，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为 将和代入解析式 得： 解得： 一次函数解析式为 （2）（法一）令，得 函数与轴交点 又 （法二）过点作轴于 点坐标 ， 又 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）问题：探究函数的图像与性质，小华根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数； (2)如表是y与x的几组对应值． x 0 1 2 3 y 1 0 0 m ①______； ②若，为该函数图像上不同的两点，则______； (3)在下面的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图像：根据函数图像可得： ①该函数的最小值为______； ②观察函数的图像，写出该图像的两条性质． 【答案】(1)见解析 (2)①1；② (3)①；②见解析 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数图像上点的坐标特征，利用了数形结合思想，正确画出函数的图像是解题的关键． （1）在函数中，自变量x可以是任意实数； （2）①把代入，即可求出m的值； ②把代入，即可求出n的值即可； （3）描点连线即可画出图像；①根据该函数的图像即可求解；②根据该函数的图像写出该图像的两条性质即可． 【详解】（1）解：在函数中，自变量x可以是任意实数； （2）解：①把代入，得． 故答案为：1； 把代入，得， 解得或10， ∵，为该函数图像上不同的两点， ∴． 故答案为：； （3）解：当时，， 当时，，解得， 该函数的图像如图， ①由图像可知，该函数的最小值为； 故答案为：； ②该图像的性质有： 该函数图像关于y轴对称； 当时，函数值y随x的增大而增大，当时，函数值y随x的增大而减小． 试卷第1页，共3页 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 一次函数的图像和性质 一次函数的图像 1. 一次函数的图像 一般地,一次函数是常数,且）的图像是一条直线. 【特别提醒】一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这条直线的表达式. 2. 一次函数的图像的画法 （1）描点法：通过“列表、描点、连线”获得. （2）两点法:一般先确定图像上两个点，再经过这两个点画直线, 通常我们选取直线与两坐标轴的交点,即点与. 【依据】两点确定一条直线。 【答疑解惑】两交点点与怎么来的？ 当时，点是直线与轴的交点。 当时,, 是直线与轴的交点. 【提示】(1)为了描点更方便、更准确,通常取横、纵坐标都是整数的两点.(2)有时也可以取点和. 3. 直线的截距 一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距。 一般地，直线与轴的交点坐标是, 直线的截距是. 【易错易混】 "截距" 不是 "截得的距离"，而是指直线与轴交点的纵坐标,它可以是正数、零或负数。如直线 的截距是. 【即学即练1】直线在y轴上的截距 ． 【即学即练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)求的面积； (2)直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【方法技巧总结】 构建方程求直线与坐标轴的交点坐标 此法是求直线与坐标轴交点坐标的常用方法，定水平距离和铅锤高，在轴上的点的距离为,铅锤高即,求交点坐标一般可联立2条直线方程解析式，后面我们在讲一次函数与二元一次方程组专题会具体介绍. 【易错提醒】求直线与两坐标轴围成的三角形的面积时，两直角边长是直线与坐标轴交点的不为的横、纵坐标的绝对值.一定不要忘记加绝对值，分类讨论错误往往是同学们忽略了绝对值，导致漏解！解三角形面积时，一定要有带绝对值的好习惯！ 两条直线的位置关系（难点） 1.相交关系 （1）已知两直线和, 当时, 两直线相交. （2）一般地, 直线都经过点，即这些直线相交于同一个点. 【易混易错提醒】 (1) 在坐标平面上, 截距相同的直线都相交, 交点坐标为. (2) 在坐标平面上, 的值不同, 则直线相对于轴正方向的倾㸯程度不同. 常数称为直线的斜率, 关于斜率的确切定义和几何意义将在高中数学中学习。 【拓展】 (1) 直线与相交; (2) 直线相交于轴上一点. 2. 平行关系 (1) 直线与直线 的位置关系: 的 取值 的取值 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 【特别注意】 （1）直线何下平移个单位得到直线.反过来,直线向上平移个单位得到直线. （2）直线向上平移个单位得到直线.反过来，直线向下平䇋个单位得到直线. (2) 直线与的位置关系: (1)直线与平行； (2)直线与重合. 【即学即练1】把函数的图象向上平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数解析式为 ，这两图象的位置关系是 ． 【即学即练2】在平面直角坐标系中，一次函数与的图象的位置关系为 ． 一次函数的性质 1.一次函数的性质 k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升； k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 2.常数k,b的符号与直线 y=kx＋b(k≠0)的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 常数k,b的符号 k＞0,b＞0 k＞0,b＜0 k＞0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、三象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 常数k,b的符号 k＜0,b＞0 k＜0,b＜0 k＜0,b＝0 大致图象 所经过的象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 第二、四象限 与y轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 【特别提醒】 根据k,b的符号，可以画出函数的大致图象，知道函数图象所经过的象限.反之，根据一次函数的图象，也可推出k,b的符号(或取值范围). 一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 下列四个选项中，符合直线的性质的选项是（    ） A．经过第一、三、四象限 B．随的增大而增大 C．函数图象必经过点 D．与轴交于点 题型一、根据一次函数的定义求参数 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）若函数是一次函数，则m的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25八年级下·北京·期中）关于函数，给出下列结论： ①此函数一定是一次函数； ②无论取什么值，函数图象必经过点； ③若函数经过二，三，四象限，则的取值范围是； 其中正确的是 ；（填序号） 3．（24-25八年级下·上海·期中）我们把直角坐标平面内到轴距离是到轴距离2倍的点称为“特殊点”．那么一次函数的图象上的“特殊点”坐标为 ． 4．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数（，都是常数，且）的图象经过点和． (1)求该一次函数的表达式； (2)当时，求的取值范围； (3)点在该函数的图象上，且，求点的坐标． 题型二、判断一次函数的图象 5．（24-25八年级下·海南海口·期中）如图是一次函数的图象，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）一次函数与正比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）一次函数的图象如图所示，则（    ） A．a B． C． D． 8．（24-25八年级上·江西九江·期中）已知一次函数的函数值随的减小而增大，则该函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 题型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限 9．（2025八年级下·湖南·专题练习）关于直线，下列说法正确的是（　　） A．直线与轴的交点为 B．直线经过第二、三、四象限 C．随的增大而增大 D．点在直线l上 10．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数的图像经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 11．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）正比例函数（）的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图象的是（    ） A． B． C． D． 题型四、已知函数经过的象限求参数范围 13．（24-25八年级下·上海·期中）直线经过一、二、四象限，则k和b应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·上海奉贤·期中）函数的图象不经过第一象限，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级下·北京·期中）如果一次函数的图象经过第三象限，且与y轴正半轴相交，那么（    ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级下·吉林长春·期中）若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是 ． 题型五、一次函数图象与坐标轴的交点问题 17．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．例如点的坐标是，点就是一个整点．已知一次函数的图象与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，如果内部（不包括边上）的整点只有个，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级下·上海·期中）直线的截距是 ． 19．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为，且，则的值为 ． 20．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）已知直线，回答下列问题： (1)与y轴交点A的坐标为_______． (2)求与x轴的交点B的坐标； (3)求线段的长度 21．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知∶ 直线，当为何值时， (1)经过原点； (2)与y轴相交于； (3)与x轴相交于． 题型六、一次函数图象平移问题 22．（24-25八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，直线以每秒1个单位的速度向下平移，当该直线将平行四边形的面积平分时向下平移的时间为（   ） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 23．（24-25八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … m … 写出表中m的值：___________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点，，若，则___________（填“”，“”或“”）； ②对于函数，当时，y的取值范围是___________； ③写出由函数的图象得到的图象的平移方式． 24．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，且点的横坐标为4，点的纵坐标为2． (1)求一次函数的表达式； (2)坐标平面内有一点，将一次函数图象向下平移个单位长度恰好经过点，求的值． 25．（24-25八年级下·河南南阳·期中）[问题情境] 老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数表达式， 小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为；小谢认为平移前后直线中的“k”不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数表达式． 在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小雯继续进行探究验证： [解决问题] （1）小雯用小谢的方法进行了尝试：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为______，利用待定系数法求得过点的直线的函数表达式为 ； （2）小雯又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线； [拓展应用] （3）对于平面直角坐标系内的图形M，将图形M上所有点都向上平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”．请你求出将直线进行两次“斜平移”后得到直线的函数表达式． 题型七、判断一次函数的增减性 26．（2025·浙江杭州·一模）已知一次函数，当时，对应的y值为，则b的值为（   ） A． B． C．或 D． 27．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知y关于x的函数关系式为，其中y随x的增大而增大，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级下·四川资阳·期中）一次函数的自变量的取值范围是，函数值的取值范围是，则的值是 ． 29．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）已知一次函数． (1)在该函数中，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，当时，求的取值范围． (3)若直线经过一、二、四象限，求的取值范围． 题型八、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 30．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）小明在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题． (1)列表： … 0 1 2 3 4 … … 1 a b c 0 1 … 表中 ， ， ； (2)作图：在下面网格中描点并正确地画出该函数图象； (3)观察：观察图象，归纳一下两条性质： 图象关于直线 对称； 根据所画的图形可以发现该函数有最 值（填“大”或“小”），该值是 ； (4)在坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为 ． 31．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知y是x的一次函数，它的图象上有两点分别为和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这条直线上； (3)直接写出当时，x对应的范围是什么？ 32．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求x的取值范围． 33．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一次函数的图象恒过定点． (1)若一次函数的图象还经过点， ①求该一次函数的表达式． ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后恰好落在该一次函数的图象上，求m的值． (2)当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值． 题型九、比较一次函数值的大小 34．（24-25八年级下·江苏南通·期中）已知在函数的图象上有点和点，且，则下列数值中能成为的值的是（   ） A． B．0 C．2 D．3 35．（24-25八年级下·北京房山·期中）已知，是一次函数图象上的两个点，则 （填“”、“”或“”） 36．（23-24八年级下·云南红河·期末）如果点、点在直线上，那么 （填“”或“”）． 37．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）已知点，是一次函数图象上的两点，那么，的大小关系是 （填“>”、“=”或“<”）． 题型十、一次函数的规律探究问题 38．（24-25八年级上·浙江金华·期末）正方形、正方形、正方形……按如图所示的方式放置，点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级下·四川内江·期中）如图，直线与轴相交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，再过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则的长为 ． 40．（24-25八年级下·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l是的图象，点在x轴正半轴上，．作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点．…按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 41．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过上的点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为 ． 题型十一、一次函数图象与对称问题 42．（24-25八年级下·北京·期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_______； (2)表格是与的几组对应值： 则的值为________； (3)请在下面的网格中，建立平面直角坐标系，并画出函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的一条性质：_________． 43．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）将的图象记作， (1)图象与轴交点坐标为___________，与轴交点坐标为___________； (2)若点、均在图象上，求、的值： (3)将图象上（为常数）的部分沿轴翻折，翻折后的图象记作，将的部分记作和合起来记作图象．直接写出对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (4)已知点、，连结，在（3）的条件下，图象与线段有一个交点时，直接写出的取值范围． 44．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小曲同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小曲同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： … … 则________，________． (2)描点并画出该函数的图象： (3)函数的图象________（填“是”或“不是”）轴对称图形； (4)观察函数图象，当时，的取值范围是________． 题型十二、一次函数图象与旋转问题 45．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是 ． 46．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为 ． 【例1】若一次函数的函数值随的增大而减小，则值可能是（    ） A．2 B． C． D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【例2】已知一次函数，当时，对应的的取值范围是，则的值为（    ） A．1 B．9 C．1或9 D．或 【例3】定义运算“※”为a※b＝，如1※（﹣2）＝1×（﹣2）＝﹣2，则函数y＝2※x的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【防错警示】 一次函数y=kx+b中变量间的变化规律与常量的符号关系比较密切,常量k,b的符号类型情况复杂,解题时稍不留意,就会出现错解,出现错误大致可分为不注意函数定义中的限制条件,不对条件指向不明的题进行分类讨论、不重视变量的范围等.. 1．（24-25八年级下·上海松江·期中）一次函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）对于一次函数给出下列结论：；时图象经过一、二四象限；时图象与坐标轴围成的三角形的面积等于；不论为何值，其图象一点经过一个定点．其中，结论正确的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）直线上有两个点，，则的大小关系是 ．（用表示） 4．（24-25八年级下·福建泉州·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象为直线l，过点O作，垂足为，则的最大值是 ． 5．（2025·山东东营·一模）如图放置的，，都是边长为2的等边三角形，边OA在y轴上，点，，，…，都在直线上，则点的坐标是 ． 6．（24-25八年级下·北京房山·期中）已知一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点． (1)直接写出，两点的坐标； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 7．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）已知关于的函数． (1)若此函数为正比例函数，求的值； (2)若此函数为一次函数，且图像不经过第二象限，求的取值范围． 8．（24-25八年级下·北京房山·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和轴上一点，且点的横坐标为． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求的大小． 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）问题：探究函数的图像与性质，小华根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在函数中，自变量x可以是任意实数； (2)如表是y与x的几组对应值． x 0 1 2 3 y 1 0 0 m ①______； ②若，为该函数图像上不同的两点，则______； (3)在下面的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图像：根据函数图像可得： ①该函数的最小值为______； ②观察函数的图像，写出该图像的两条性质． 试卷第1页，共3页 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $$