培优专题 构造三角形中位线的6种常用方法(6题型)-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

培优专题 构造三角形中位线的6种常用方法 1.中位线具有平移角、倍分转化线段的功能,因此当遇到中点或中线时,应考虑构造中位线,即我们常说的“遇到中点想中位线”;相应地,若知道了三角形的中位线,则三角形两边的中点即可找到. 2.运用三角形的中位线定理求线段的长度的方法:当题目中有中点，特别是一个三角形中出现两边的中点时，常考虑运用三角形的中位线定理来解决问题,具体操作时，要先找到三角形的中位线，再利用中位线得出线段之间的关系，并由此建立待求线段与已知线段的关系，从而求出待求线段的长度. 方法一、连接两点构造三角形的中位线 1．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】连接DN，根据三角形中位线定理得到，根据题意得到当点N与点B重合时，DN最大，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：连接DN， ∵点E，F分别为DM，MN的中点， ∴EF是△MND的中位线， ∴， ∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点， ∴当点N与点B重合时，DN最大，此时 ∴EF长度的最大值为：， 故选D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 2．如图，已知菱形的面积为分别为的中点，若的长为4，对角线的长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，连接，三角形的中位线定理求出的长，利用菱形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵分别为的中点，的长为4， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， ∴； 故选C． 3．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是三角形的中位线定理、菱形的性质、勾股定理解直角三角形．由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别为，的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 四边形是菱形， ，， 当时，， 的最小值， 的最小值为． 故答案为：． 方法二、利用倍长线段法构造三角形的中位线 4．如图，在中，，，于点；平分，交于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形中位线定理、直角三角形两锐角互余，熟练掌握中位线定理并正确作出辅助线是解题关键． （1）由、 ，可得，由平分可得的度数，根据外角性质求出的度数，由直角三角形两锐角互余求出的度数即可得结论； （2）延长至，使得，连接，根据中位线定理可知，由，可求出的度数，即可证明，根据等量关系证明，即可得结论. 【详解】（1）证明：在中，，于点， ，， 又， ，， 平分， ， ，， ， ， 是等腰三角形； （2）证明：如下图所示，延长至，使得，连接， ， 是的垂直平分线， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 由（1）得，， . 5．在中，于点D． （1）如图1，当时，若CE平分，交AB于点E，交BD于点F． ①求证：是等腰三角形； ②求证：； （2）点E在AB边上，连接CE．若，在图2中补全图形，判断与之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解与关系的思路． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）①根据，以及，即可得到，即可判定是等腰三角形； ②延长AB至M，使得，连接CM，根据三角形中位线定理可得，再根据，可得，进而得出； （2）与（1）②同理可得；由，可证明和分别是等腰三角形；由以及，可得，即可得到与之间的数量关系：． 【详解】解：如图所示，在△ABC中，，于点D． ，． （1）证明：①，， ． CE平分， ． ． ． △BEF是等腰三角形． ②方法1　如图所示，延长AB至点M，使得，连接CM． ，， ，． ． 由①，知． ． ， ． ． ， ， ，． 由①，知， ． ． ． ， ． 方法2　如图所示，延长BD至点M，使，连接CM． 由题易得△ABC是等腰直角三角形，， 易得△MCB是等腰直角三角形，，． 又， ． ． △MFC是等腰三角形． ． 即． 方法3　如图所示，过点E作，交AC于点M，即． ，．． ． CE是的平分线， ，． 在Rt△EMC和Rt△EBC中， , ． ，． ， ． 方法4如图所示，过点F作 ，交BC于点H． EC平分，． 设． ， ． 由①，得， ，． △HBF是等腰直角三角形． ，． 在△FDC和△HFC中， ， ． ，． ． （2）． 如图，与问题（1）②的方法1同理可证，，． 由，可知△PEC和△BEF分别是等腰三角形． ，， 又， ． ． ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形． 方法三、垂直构造中位线 6．如图，在等腰三角形中，，为边的延长线上一点，连接，点为的中点，连接．若，，则的面积为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的中位线的应用．先利用等腰三角形的性质作高，再证明出为的中点，得到为的中位线，从而能求出的长，最后利用三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：过点A作于点F， ， ， ∵， ， 为的中点， 为的中点， 为的中位线． ，， ， ． 故选：B． 方法四、利用角平分线和垂线构造三角形的中位线 7．如图，线段是等腰直角的中位线，，的平分线交于点D，若，则的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线的性质，等边对等角，平行线的性质，勾股定理，先根据中位线的性质得出，，再得出，，进一步得出，推出，设，则，得出，再求出，求解，进而可得出答案 【详解】解：∵线段是等腰直角的中位线， ∴，， ∴，， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：C 8．如图，在中，，平分，，点是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线的性质，全等三角形的性质与判定，延长交于点，证明得，，进而根据中位线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分，， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴ 又∵是的中点 ∴ 故答案为：． 9．如图，分别是和的平分线，．若，则的周长为 ．     【答案】30 【分析】由分别是和的角平分线推出即和都是等腰三角形，根据三角形中位线定理可得，即可解题． 此题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，属于基础题． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 同理：． 又∵， ∴E、D分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 则的周长为： ， 由，得的周长为30， 故答案为：30． 10．如图，在矩形中，对角线与交于点，，，的平分线交于点，是的中点，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线等知识，先根据勾股定理求出，然后证明，得出，，在中，根据勾股定理可得出，解方程求出，最后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：过E作于G，    在矩形中， ，， ∴，， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∵，是的中点， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，是外角的平分线，、分别是、中点，连接并延长交于点，连接，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及三角形中位线，熟练掌握角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及三角形中位线是解题的关键；由题意易得，，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求证． 【详解】证明：∵、分别是、中点， ∴， ∴， ∵是外角的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 方法五、利用一边中线取另一边中点构造中位线 12．（1）如图1，在四边形ABCD中，F、E分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD；（提示取BD的中点H，连结FH，HE作辅助线） （2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度. 【答案】（1）证明见解析；（2）OE=. 【分析】（1）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD； （2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出HO=HE，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=. 【详解】 （1）    证明：如图一，连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH. ∵E、F分别是AD、BC的中点， ∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD， ∵∠BME=∠CNE， ∴∠HEF=∠HFE， ∴HE=HF， ∴AB=CD； （2）    如图二，连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH， ∵AB=CD，HE为△ABD的中位线，HO为△BCD的中位线， ∴HO=HE=AB=CD，， ∴∠HOE=∠HEO， ∵OH∥AC，∠OEC=60°， ∴∠OEH=∠HOE=∠OEC=60°， ∴△OEH是等边三角形， ∵AB=DC=5， ∴OE=. 故答案为（1）证明见解析；（2）OE=. 【点睛】本题考查三角形中位线定理，等边三角形的判定与性质. 13．如图，点M是菱形内部的动点，，点N是的中点，连接，点P是的中点，连接，若，，则的堤大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质、三角形中位线、勾股定理和三角形三边关系，连接，取的中点E，连接，取的中点F，连接、、，则是的中位线，是的中位线，有．进一步证明是等边三角形，则，，利用勾股定理求得，再结合三角形三边关系有即可． 【详解】解：连接，取的中点E，连接，取的中点F，连接、、，如图， 则是的中位线，是的中位线， ∴． ∵，四边形是菱形， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 则 那么，的最大值为． 故答案为：． 14．（1）如图①， 如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N，求证：．（提示：取的中点H， 连接作辅助线） （2）问题一：如图②，在四边形中，与相交于点O，且，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状， 并说明理由． （3）问题二：如图③， 如图，在中，，点D在AC上，，点E、F分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并证明．    【答案】（1）证明见解析；（2）是等腰直角三角形，证明见解析；（3）为直角三角形，证明见解析 【分析】（1）根据思路，利用三角形中位线定理和平行线性质完成即可； （2）如图，取的中点H，连接、，证明分别是的中位线，得到，，进而证明，，再由，即可证明是等腰直角三角形． （3）连接，取的中点H，连接，根据三角形中位线定理和平行的性质证明即可； 【详解】解：（1）如图所示，连接，取的中点H，连接、， ∵E、F分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．    （2）是等腰直角三角形；证明如下： 如图，取的中点H，连接、 ∵E、F分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形．    （3）为直角三角形，证明如下： 如图，连接，取的中点H，连接，      ∵F是的中点， ∴ ∴， 同理，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴， ∴， ∴， 即是直角三角形． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理以及平行线的性质和等腰直角三角形和直角三角形的判定．通过添加辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． 15．如图，在四边形中，是对角线的中点，是的中点，是的中点，． 【用数学的眼光观察】 （1）求的度数． 【用数学的思维思考】 （2）如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求的度数． 【用数学的语言表达】 （3）如图，在中，，点在上，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据题意易证是的中位线，是的中位线，推出，进而得到，利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据题意易证是的中位线，是的中位线，推出，得到．同理，．由（1）可知，即可得到； （3）取的中点，连接，同理（1）（2）得，，，，推出，易证是等边三角形，求出，由即可解答． 【详解】（1）解：是对角线的中点，是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ，， ， ， ， ， ； （2）是对角线的中点，是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ， ， 同理，， 由（1）可知， ， ∵， ∴； （3）如图，取的中点，连接， 同理（1）（2）得，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理. 方法六、延长辅助线构造中位线 16．如图1，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过A作于P点，连接，则的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用证明即可； （2）延长至F，且使，连接、，利用证明，得出，由为的中位线得，利用平行线的性质即可证明； （3）过点B作交于Q，利用证明，推出，，即可证明是等腰直角三角形，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长至F，且使，连接、，如图1所示： 则， ∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：过点B作交于Q，如图2所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 由角的互余关系得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、三角中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，正确作辅助线，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 17．【问题背景】如图，在中，为边上的中线，，，，求的面积． 【方法简介】如图，延长至点，使，连接，则可通过证明，从而将分散的条件转化到一个三角形中，这样的三边长均已知，过点作于点，再应用勾股定理求值． (1)请直接写出图中的面积： ． (2)【方法应用】如图3，在四边形中，，，为边中点，点、分别在边和上，连接、、，．若，，求线段的长． (3)【应用拓展】如图，在中，为的平分线，是边上的中线，，，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，过点作于点，设，勾股定理求出的长，进而求出长，三角形的面积公式求出，中线平分面积求出即可； （2）延长至点，使，连接，过点作，同（1）可得，进而得到，，易证为含30度角的直角三角形，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，证明垂直平分，得到即可； （3）延长至点，使，连接，作，作交于点，连接，易得垂直平分，得到，证明，得到，同角的余角得到，进而得到，角平分线的定义，等量代换结合角的和差关系推出，进而得到，证明，得到，，设，勾股定理求出的值，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：延长至点，使，连接，则：， ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，设，则：， 在中，， 在中，， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴， ∵是中线， ∴； 故答案为：； （2）解：延长至点，使，连接，过点作， 同法（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵， ∴， 又， ∴垂直平分， ∴； （3）解：延长至点，使，连接，过F作于N，过E作交于点，连接，则：，垂直平分， ∴， ∴， 同（1）法可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴，即：， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，利用倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 构造三角形中位线的6种常用方法 1.中位线具有平移角、倍分转化线段的功能,因此当遇到中点或中线时,应考虑构造中位线,即我们常说的“遇到中点想中位线”;相应地,若知道了三角形的中位线,则三角形两边的中点即可找到. 2.运用三角形的中位线定理求线段的长度的方法:当题目中有中点，特别是一个三角形中出现两边的中点时，常考虑运用三角形的中位线定理来解决问题,具体操作时，要先找到三角形的中位线，再利用中位线得出线段之间的关系，并由此建立待求线段与已知线段的关系，从而求出待求线段的长度. 方法一、连接两点构造三角形的中位线 1．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．如图，已知菱形的面积为分别为的中点，若的长为4，对角线的长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．48 3．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 方法二、利用倍长线段法构造三角形的中位线 4．如图，在中，，，于点；平分，交于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 5．在中，于点D． （1）如图1，当时，若CE平分，交AB于点E，交BD于点F． ①求证：是等腰三角形； ②求证：； （2）点E在AB边上，连接CE．若，在图2中补全图形，判断与之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解与关系的思路． 方法三、垂直构造中位线 6．如图，在等腰三角形中，，为边的延长线上一点，连接，点为的中点，连接．若，，则的面积为（   ） A． B． C．8 D． 方法四、利用角平分线和垂线构造三角形的中位线 7．如图，线段是等腰直角的中位线，，的平分线交于点D，若，则的长为（   ） A． B． C． D．3 8．如图，在中，，平分，，点是的中点，连接，则的长为 ． 9．如图，分别是和的平分线，．若，则的周长为 ．     10．如图，在矩形中，对角线与交于点，，，的平分线交于点，是的中点，则 ．    11．如图，在中，是外角的平分线，、分别是、中点，连接并延长交于点，连接，求证：． 方法五、利用一边中线取另一边中点构造中位线 12．（1）如图1，在四边形ABCD中，F、E分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD；（提示取BD的中点H，连结FH，HE作辅助线） （2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度. 13．如图，点M是菱形内部的动点，，点N是的中点，连接，点P是的中点，连接，若，，则的堤大值为 ． 14．（1）如图①， 如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N，求证：．（提示：取的中点H， 连接作辅助线） （2）问题一：如图②，在四边形中，与相交于点O，且，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状， 并说明理由． （3）问题二：如图③， 如图，在中，，点D在AC上，，点E、F分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并证明．    15．如图，在四边形中，是对角线的中点，是的中点，是的中点，． 【用数学的眼光观察】 （1）求的度数． 【用数学的思维思考】 （2）如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求的度数． 【用数学的语言表达】 （3）如图，在中，，点在上，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的度数． 方法六、延长辅助线构造中位线 16．如图1，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过A作于P点，连接，则的值． 17．【问题背景】如图，在中，为边上的中线，，，，求的面积． 【方法简介】如图，延长至点，使，连接，则可通过证明，从而将分散的条件转化到一个三角形中，这样的三边长均已知，过点作于点，再应用勾股定理求值． (1)请直接写出图中的面积： ． (2)【方法应用】如图3，在四边形中，，，为边中点，点、分别在边和上，连接、、，．若，，求线段的长． (3)【应用拓展】如图，在中，为的平分线，是边上的中线，，，，求的长． 试卷第1页，共3页 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$