18.1.3三角形的中位线（6大类型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

18.1.3三角形的中位线（6大类型提分练） 类型一、三角形的中位线 1．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，D和E分别为所在边的中点，若，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在外选一点C连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，则 ． 3．（22-23八年级下·西藏拉萨·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长为（     ） A．12 B．6 C．3 D．8 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，为上一点，，平分，，分别是，的中点，若，则的长为 ． 类型二、三角形的中位线与周长 5．（24-25八年级下·全国·期末）已知D，E，F分别为三边的中点，若的周长为3，则的周长为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若三角形的三条中位线长分别为，，，则原三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·云南文山·期末）如图，是的中位线，若的周长为14，则的周长为 ．    8．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在周长为2的三角形中，，，分别是，，的中点，则的周长是 ． 类型三、利用三角形的中位线进行求解 9．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，求的度数． 10．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平行四边形 中，点 P 在上，连接，E、F分别为的中点，连接，若平行四边形 的周长为40， ，求的长． 11．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在等腰三角形中，，D、E、F分别是三条边上的中点，且． (1)证明：； (2)若，求的长． 12．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在等边中，D、E分别为的中点，延长至点F，使，连接和 (1)求证：； (2)请直接写出与相等的所有角（除外）． 类型四、用三角形的中位线进行证明 13．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 14．（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）已知：如图，在四边形中，，F，G，E分别是的中点．求证：． 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，已知，，，分别为边、、、的中点，求证：与互相平分． 16．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，E是的中点，相交于点F，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点O，若，则的长为_____________． 17．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）在中，分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，且与交于点．求证：与互相平分．    类型五、三角形的中位线与作图问题 18．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在中，，M，N分别为边的中点． (1)尺规作图：过点B作的平行线，交的延长线于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：垂直平分． 19．（23-24八年级下·北京延庆·期末）在数学课上，老师布置以下思考题： 已知：，点D为的中点． 求作：线段，使．    小智结合所学知识思考后，作法如下： ①分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N； ②作直线，直线交于点E； ③连接． 所以就是所求作的线段． (1)请你利用直尺和圆规，依据小智的作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)请回答，小智尺规作图得到的依据是________________________． 20．（2024·浙江台州·二模）图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图，在上找一点，连接，使； (2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹） 21．（21-22八年级下·全国·课后作业）一块铁皮零料的形状如图所示，要从中裁出一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别落在原铁皮零料的四条边上．可以怎样裁？ 类型六、三角形的中位线与中点四边形 22．（23-24八年级下·天津·单元测试）如图，E、F、G、H分别是凸四边形的四边的中点，顺次连接E、F、G、H这四点围成四边形．求证：四边形是平行四边形． 23．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）（1）如图①，在四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，求证：四边形为平行四边形． （2）如图②，已知的中线交于点O（点O即为的重心）．若点F、G分别为的中点，，连接，求的长． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知的周长为38，对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为15，则的长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．23 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，点为上的动点，点，分别为，的中点，则最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，线段是等腰直角的中位线，，的平分线交于点D，若，则的长为（   ） A． B． C． D．3 4．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（24-25七年级上·山东淄博·期中）若一个三角形的两边长分别为3和5，则该三角形第三边的中线可以取的值为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，点分别是的中点，分别是，的中点，依次类推．若的周长为1，则的周长为 ． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，分别是、的中点，，分别是，的中点，……，依此类推，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·重庆万州·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E、F分别是线段，的中点，若，的周长是，则 cm． 10．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于 ． 11．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形．若，则，四边形的周长为 ． 三、解答题 12．（23-24八年级下·河南郑州·期末）在中，点E、F、G、H分别是，，，的中点，连接，，，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)设对角线与的交点为，四边形对角线与的交点为，那么与是同一个点吗？请说明理由． 13．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，过的中点O，与边分别相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的周长是分别是边上的中点，求周长． 14．（14-15九年级上·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，，E、F分别是、中点，分别交、于点H、G．求证：． 15．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作线段，使，且； (2)在图2中以A为顶点画一个面积最大的正方形． 16．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点是对角线交点，平分，与相交于点，，垂足为点与相交于点，连接．周长为，，． (1)求和的长； (2)求证：； (3)求的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.1.3三角形的中位线（6大类型提分练） 类型一、三角形的中位线 1．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，D和E分别为所在边的中点，若，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，掌握“三角形中位线平行且等于底边的一半”是解题关键．利用中位线的性质求解即可． 【详解】解：在中，D和E分别为所在边的中点， 是的中位线， ， ， ， 故选：A． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在外选一点C连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 由是的中点，是的中点可得是的中位线，由三角形的中位线定理可得，进而可得，由此即可求出的长． 【详解】解：是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， ， 故答案为：． 3．（22-23八年级下·西藏拉萨·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长为（     ） A．12 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的性质，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．根据，可得出，继而求出，判断是的中位线即可得出的长度． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵点，分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴ ． 故选 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，为上一点，，平分，，分别是，的中点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、角平分线的性质．首先根据三角形中位线的性质可知，根据平行四边形的性质可知，根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证，根据等角对等边可得，从而可得． 【详解】解：，分别是，的中点，， ， 平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 类型二、三角形的中位线与周长 5．（24-25八年级下·全国·期末）已知D，E，F分别为三边的中点，若的周长为3，则的周长为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：∵D，E，F分别为三边的中点， ∴为的中位线， ∴分别为三边长的一半， ∵的周长为3， ∴， ∴的周长； 故选C． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若三角形的三条中位线长分别为，，，则原三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解答的关键．根据三角形的中位线定理求出三角形的三条边长，即可求解． 【详解】解：三角形的三条中位线长分别为，，， 三角形的三条边长分别为，，， 原三角形的周长为， 故选：C． 7．（24-25九年级上·云南文山·期末）如图，是的中位线，若的周长为14，则的周长为 ．    【答案】7 【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 利用三角形中位线定理得的周长为的周长的一半，即可求解． 【详解】解：∵是的中位线， ， ∴的周长为； 故答案为：7． 8．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在周长为2的三角形中，，，分别是，，的中点，则的周长是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵点分别为三边的中点， 是周长为2的三角形， ， 的周长， 故答案为1． 类型三、利用三角形的中位线进行求解 9．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查三角形的中位线的性质，等边对等角，熟记三角形的中位线的定义及定理是解题的关键． 根据中位线定理推出，，然后由，得到，然后根据等边对等角求解即可． 【详解】∵在四边形中，是对角线BD的中点，，分别是， 的中点， ，分别是与的中位线， ，， ， ， ． 10．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平行四边形 中，点 P 在上，连接，E、F分别为的中点，连接，若平行四边形 的周长为40， ，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，先根据平行四边形对边相等结合其周长计算公式得到，再证明是的中位线，则． 【详解】解：∵平行四边形的周长为40，， ∴． ∵E、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 11．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在等腰三角形中，，D、E、F分别是三条边上的中点，且． (1)证明：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定： （1）由线段中点的定义得到，由三角形中位线定理得到，则，再证明，即可证明； （2）先证明，由三线合一定理得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：∵分别是， ∴，是的中位线， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点F为的中点，， ∴， 同理可得是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在等边中，D、E分别为的中点，延长至点F，使，连接和 (1)求证：； (2)请直接写出与相等的所有角（除外）． 【答案】(1)见解析 (2)与相等的所有角是 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明为的中位线，得出，，因为，所以因为，所以四边形是平行四边形，即可作答． （2）因为平行四边形，所以则，结合等边三角形的性质得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵D、E分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵是等边三角形，D是中点， ∴， ∴与相等的所有角是． 类型四、用三角形的中位线进行证明 13．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在中，点D在上，且于点E，点F是的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，根据题意可推出点是的中点，结合点F是的中点可得是的中位线，据此即可求证． 【详解】证明：∵ ∴点是的中点． ∵点F是的中点． ∴是的中位线， ∴ 14．（22-23八年级下·安徽芜湖·期中）已知：如图，在四边形中，，F，G，E分别是的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理证得是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质证得结论． 【详解】证明：∵在四边形中，F、G分别是的中点． ∴是的中位线， ∴． 同理推知，是的中位线， 则． 又∵， ∴， ∴． 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，已知，，，分别为边、、、的中点，求证：与互相平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质．连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到，可证得四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】证明：如图，连接， ∵，，，分别为边、、、的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 16．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，E是的中点，相交于点F，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接交于点O，若，则的长为_____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）由题意得是的中位线，推出，结合即可求证； （2）由题意得，，，故可求出，，结合即可求解； 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 即：， ∵， ∴四边形为平行四边形 （2）解：∵是的中位线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 17．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）在中，分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，且与交于点．求证：与互相平分．    【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查三角形的中位线，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 根据三角形的中位线，可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质，即可求解． 【详解】证明：∵点分别是的中点， ∴， ∵三点共线，且， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即与相互平分． 类型五、三角形的中位线与作图问题 18．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在中，，M，N分别为边的中点． (1)尺规作图：过点B作的平行线，交的延长线于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）作，即可； （2）由作法得：，由三角形中位线定理可得，，从而得到，再证明，可得，即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：证明：由作法得：． ∵M，N分别为边的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴． 又∵， ∴垂直平分． 19．（23-24八年级下·北京延庆·期末）在数学课上，老师布置以下思考题： 已知：，点D为的中点． 求作：线段，使．    小智结合所学知识思考后，作法如下： ①分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N； ②作直线，直线交于点E； ③连接． 所以就是所求作的线段． (1)请你利用直尺和圆规，依据小智的作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)请回答，小智尺规作图得到的依据是________________________． 【答案】(1)详见解析 (2)三角形的中位线平行于第三边 【分析】（1）根据小智的作法补全图形补全图形即可； （2）由垂直平分线的概念得到点E是的中点，然后证明出是的中位线，进而证明． 【详解】（1）如图所示，    （2）由作图可得，垂直平分 ∴点E是的中点 ∵点D为的中点 ∴是的中位线 ∴ ∴的依据是三角形的中位线平行于第三边． 20．（2024·浙江台州·二模）图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图． (1)如图，在上找一点，连接，使； (2)如图，在上找一点，连接，使．（此小题保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的知识点是中位线性质、无刻度直尺作图，解题关键是熟练掌握无刻度直尺作图的方法． （1）根据中位线性质即可得到； （2）用无刻度直尺作垂线即可得到． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． 依题得：点是中点， 取中点，连接， 此时是中位线， ， ． （2）解：如图，过中点作的垂线交于点，点即为所求． 此时， 即， 又中，， ． 21．（21-22八年级下·全国·课后作业）一块铁皮零料的形状如图所示，要从中裁出一块平行四边形铁皮，并使四个顶点分别落在原铁皮零料的四条边上．可以怎样裁？ 【答案】见解析 【分析】设E、F、G、H分别为的中点，连接，根据三角形中位线定理，推出，，得出四边形是平行四边形． 【详解】解：先找出平行四边形铁皮各边的中点，顺次连接各边中点，所得四边形即为要裁出的平行四边形铁皮；理由如下： 设E、F、G、H分别为的中点， 连接，如图所示： 则是的中位线， ∴，， 是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 类型六、三角形的中位线与中点四边形 22．（23-24八年级下·天津·单元测试）如图，E、F、G、H分别是凸四边形的四边的中点，顺次连接E、F、G、H这四点围成四边形．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是正确的构造三角形的中位线，如图所示，连接，根据题意证明出是的中位线，然后证明出，，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接 ∵E、F、G、H分别是凸四边形的四边的中点， ∴是的中位线 ∴， 同理可得，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 23．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）（1）如图①，在四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，求证：四边形为平行四边形． （2）如图②，已知的中线交于点O（点O即为的重心）．若点F、G分别为的中点，，连接，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理： （1）连接，由三角形中位线定理得到，，进而得到，则可证明四边形为平行四边形． （2）由三角形中位线定理得到，，则，进而证明四边形是平行四边形，得到，则． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）∵是的两条中线， ∴是的中位线， ∴， ∵F、G分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知的周长为38，对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为15，则的长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．23 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 由平行四边形的性质及周长为38得到 ，由点E是的中点得到是的中位线，，则，由的周长为15得到，求出，即可得到长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，其周长为38，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵的周长为15， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，点为上的动点，点，分别为，的中点，则最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短问题，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，先根据勾股定理求出，由题意可知，是的中位线，得到，当最小时，的值最小，当时，最小，利用等面积法求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ， 当最小时，的值最小， 当时，最小， 此时，， 即， ， ， 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，线段是等腰直角的中位线，，的平分线交于点D，若，则的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线的性质，等边对等角，平行线的性质，勾股定理，先根据中位线的性质得出，，再得出，，进一步得出，推出，设，则，得出，再求出，求解，进而可得出答案 【详解】解：∵线段是等腰直角的中位线， ∴，， ∴，， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：C 4．（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25七年级上·山东淄博·期中）若一个三角形的两边长分别为3和5，则该三角形第三边的中线可以取的值为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意画出图形，设，证明，根据，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，取的中点为，连接，， 设， 延长至，使， 在与中， ， 为的中线， ， ， ， 在中， ， 即， ， 故选B． 6．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点D，点E分别是边上的动点，连结，点F，点M 分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质及三角形中位线定理，正确得出的最小值是解题的关键．过点B作于H，连接；当取最小值时，的值最小，由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小，利用等腰三角形三线合一的性质求出的长，进而利用三角形等面积法求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于H，连接；    ∵F，M分别是的中点， ∴， 当取最小值时，的值最小， 由垂线段最短可知，当于点E时，的值最小， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 7．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，点分别是的中点，分别是，的中点，依次类推．若的周长为1，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，由三角形的中位线定理得：分别等于的一半，所以的周长等于的周长的一半，以此类推可求出的周长． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴分别等于的， ∵分别为的中点， ∴分别为的， ∴以此类推：的周长为的周长的，即的周长的， ∴． 则故答案为：． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，分别是、的中点，，分别是，的中点，……，依此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，即可求解． 【详解】解： ，分别是、的中点， 是的中位线， ， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 则， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·重庆万州·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，点E、F分别是线段，的中点，若，的周长是，则 cm． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线是判定及性质，根据平行四边形的性质得到，，求出的值，由的周长求出，根据三角形中位线的性质求出EF的长．熟记平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∵点E、F分别是线段，的中点， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，，则等于 ． 【答案】/37度 【分析】根据三角形中位线定理得到，利用等腰三角形的性质得到，延长交于点，利用平行线的性质，三角形外角性质计算即可．本题考查了三角形中位线定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ，、、分别是，，的中点， ， ∵，， ，， ∴， ， 解得． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形．若，则，四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解题的关键，根据三角形的中位线性质得，，从而即可得解． 【详解】∵、、、分别为、、、的中点， ∴、、、分别为、、、的中位线， ∴，， ∴四边形的周长为：， 故答案为：． 三、解答题 12．（23-24八年级下·河南郑州·期末）在中，点E、F、G、H分别是，，，的中点，连接，，，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)设对角线与的交点为，四边形对角线与的交点为，那么与是同一个点吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题考查中点四边形、平行四边形的判定，三角形中位线，全等三角形的性质和判定．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． （1）连接，根据三角形的中位线定理证明且，即可证明四边形 是平行四边形； （2）设与的交点为，证明四边形是平行四边形，得到与互相平分，即点O是和的公共中点，再证明点是的中点，点是的中点，从而得到与是同一个点，都是点O． 【详解】（1）证明：连接， 点、、、分别是，，，的中点， 和分别是和的中位线， ∴且， ∴且， 四边形 是平行四边形； （2）解：与是同一个点， 理由如下：如图所示， 设与的交点为， ∵在中，点E、G、H分别是，，的中点， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分，即点O是和的公共中点． ∵对角线与的交点为，平行四边形对角线与的交点为， ∴点是的中点，点是的中点， ∴与是同一个点，都是点O． 13．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，过的中点O，与边分别相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的周长是分别是边上的中点，求周长． 【答案】(1)见详解 (2)20 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由四边形是平行四边形，得出，，证明，得出，结合，即可作答． （2）先得出是的中位线，再结合周长，即， 代入化简，结合四边形是平行四边形，即可得出周长，进行作答． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵分别是边上的中点， ∴ ∵ ∴是的中位线 ∴ ∵的周长是 ∴ ∴ 则 ∵四边形是平行四边形， ∴四边形的周长是． 14．（14-15九年级上·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，，E、F分别是、中点，分别交、于点H、G．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，取边的中点M，连接，，结合三角形中位线的性质有，，，，即可得，则有，再结合平行线的性质可得，，问题随之得证． 【详解】解：取边的中点M，连接，， ∵M、F分别是、中点， ∴，， 同理：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∴． 15．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作线段，使，且； (2)在图2中以A为顶点画一个面积最大的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查仅用无刻度的直尺作图问题，勾股定理，正方形的性质，三角形中位线定理． （1）取格点，连接与交于点，利用矩形的性质得点是的中点，则是的中位线，则，且； （2）利用正方形的性质画出图形即可． 【详解】（1）解：线段如图所示， ； （2）解：面积最大的正方形如图所示， ．， 正方形的面积为． 16．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点是对角线交点，平分，与相交于点，，垂足为点与相交于点，连接．周长为，，． (1)求和的长； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意，在中，由勾股定理得，再由平行四边形性质及周长直接求即可得到答案； （2）利用平行四边形性质得到，进而，再由角平分线定义，等量代换即可由等角对等边判定； （3）由（2）中结论，结合等腰三角形三线合一得到，再由平行四边形性质，结合三角形中位线的判定与性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵周长为， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴ ∴； （3）解：由（2）得， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及勾股定理、平行四边形性质、角平分线定义、等角对等边、等腰三角形性质及三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形性质及相关几何判定与性质，数形结合是解决问题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$