1.1直线的相交（2） 教学设计 2024-2025学年浙教版数学七年级下册

教学设计 课程基本信息 学科 初中数学 年级 七年级 学期 春季 课题 1.1直线的相交（第二课时） 教学目标 1.核心目标： 经历从一般中发现特殊垂直位置、利用垂直意义进行位置与数量转化及作已知直线的垂线等数学学习活动过程，感受数形结合思想，垂线段存在的最值唯一性，发展抽象能力、几何直观与推理能力。 2.表现性目标： (1)理解垂线的概念，会用符号表示两条直线互相垂直。 (2)理解点到直线的距离意义，能度量点到直线的距离。 (3)会依据垂直的意义，对角度数量与直线位置进行互相转化，进行简单的推理和计算。 (4)能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，并理解过一点作已知直线的垂线及垂线段最短的唯一存在性，利用其解决相关实际问题。 教学重难点 教学重点： 两直线互相垂直的概念、表示及画法，探索、理解垂线的性质。 教学难点： 垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念。 教学过程 （一）温故知新 发现垂直 引问：当这张折叠椅的支架下面的夹角∠1为60°时，其它三个角分别是多少度呢？如果∠1=90°，其它三个角分别是多少度呢？ 结果预设：当∠1为60°时，其他三个角分别是60°，120°，120°。如果∠1变成90°，此时位置关系不变，∠1的度数值由60变到了90，因对顶角相等，∠2就等于90°，因邻补角互补，∠3、∠4都等于90°。4个角都是90°！ 引出课题：两直线相交，在这种特殊情况下，我们称之为互相垂直！ 问题1：你能概括一下什么是两直线垂直吗？ 垂直概念：当两条直线相交所成的四个角中有一个是直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号语言：比如，直线AB与CD垂直，记作AB⊥CD（或CD⊥AB）。如果用l，m分别表示这两条直线，那么直线l与m垂直，记作l⊥m。交点O是垂足。 问题2：在生活中，你能找到哪些可以看成两直线互相垂直的例子吗？ 结果预设：比如墙角的三条线就两两垂直，柜子门框、边角等等，在建筑与家具中，常出现互相垂直的设计；道路交通中的十字路口、交通标线等，绘制或检测中使用的三角板、直角尺，都是垂直在生活实际中的应用；甚至在很多的艺术与设计中，也常常出现垂直关系。 （二）应用新知 关系转化 练习：如图，CD⊥EF，∠1=∠2，则AB⊥EF。请说明理由（补全解答过程）。 解：因为CD⊥EF，根据 ，所以∠1= 。 又因为∠2=∠1，所以∠2= 。 根据 ，所以AB⊥EF。 结果预设：根据垂直的意义，由CD⊥EF位置关系可得：∠1=90°。要想判断AB与EF是否垂直，需要AB与EF相交所成4个角中任意一个为90°即可。而恰巧，已知∠2=∠1，这样∠2就等于90°了。 经验总结：两直线垂直，可以得到两直线相交所成的任何一个角都是90°。而判断两直线是否垂直，也只需两直线所夹任何一个角是90°即可。由角度数量可以判断两直线位置，由直线位置亦可得到角度数量，这是一个互相转化的过程。 例1 如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB。已知∠BOD=45°，求∠COE的度数。 结果预设：要想求∠COE的度数，可以转化为求∠AOC+∠AOE的度数。已知∠BOD=45°，观察图形可发现∠AOC与∠BOD是对顶角，所以根据对顶角相等，∠AOC=∠BOD=45°。依据垂直的意义，由OE⊥AB可得∠AOE=90°。所以∠COE=∠AOC+∠AOE=45°+90°=135°。 解： 你还有第二种求解思路吗？ 结果预设：要想求∠COE的度数，可以转化为求其邻补角∠EOD的度数。已知OE⊥AB，∠BOD=45°，那么根据“垂直的意义”及“角的和差关系”可得：∠EOD=90°-∠BOD=90°-45°=45°。所以根据邻补角数量关系可得：∠COE=180°-∠EOD=180°-45°=135°。 经验总结：对顶角和邻补角是角的转化的常用途径！ （三）再探新知 唯一存在 问题2：要想画出一条直线的垂线，需要作出多少度的角呢？可以用哪些作图工具？ 结果预设：90°，量角器、三角尺等 探究活动：在任务单上画已知直线l的垂线。 画法预设： 方法1：选择量角器作为工具，则需在直线l上任意取一点O，将量角器的中心点和点O重合，零刻度线与直线l重合，然后在量角器90°刻度线处做好标记点P，然后过点O、P画出直线OP。直线OP就与l互相垂直了。 方法2：选择三角板作为工具，则需将直角三角板的一条直角边靠在直线l上，直角顶点落在直线l上，然后沿着三角板的另一条直角边画下来，即可做出直线l的垂线m。 过程追问：无论是哪种方法，直线l的垂线可以画几条呢？为什么？ 结果预设：无数条。按照方法1，直线l上的点O位置有无数种选择，所以这样的垂线可以画无数条。按照方法2，我们也可以沿着直线l的方向，任意选择三角尺直角顶点的位置，这样就可以作出直线l的无数条垂线了。 问题3：若直线l上有一固定点A，经过点A，能画几条直线l的垂线呢？为什么？ 结果预设：1条。因为直线l上的固定点A就一个，所以三角板直角顶点，能选择的位置就1个，因此能做的垂线也就只有1条了。 追问：若这个固定点是直线外一点B呢？经过点B，能画几条直线l的垂线？ 结果预设：还是1条。但画法上与刚才不同的地方是，三角板要沿着直线l的方向，移动到另一条直角边恰好经过点B时，停下来。这样就能画出经过点B与l垂直的直线了。 追问：通过刚才的作图活动，你能得到什么结论？ 结果预设：在同一平面内，一条已知直线的垂线有无数条，但过一点有且只有一条直线与已知直线的垂直。无论这个点是在直线上，还是直线外，都存在，且只存在1条垂线。 垂线段概念：如果这个点是在直线外，那么过点B作直线l的垂线，交直线l于点O，我们就把线段BO叫作点B到直线l的垂线段。 问题4：直线l上所有的点，哪个点与点B之间的距离最小呢？你能设计一个实验来验证吗？ 提示：可以回顾比较线段长短的方法展开思考。 结果预设：过点B与l的垂线，垂足O到点B的距离最小，即点B到直线l的垂线段最短。可以设计以下实验进行验证：以点B为圆心，取直线l上任意一点O’，然后以BO’为半径，作圆弧。 学生活动：观看动画过程中，点O’在哪个位置时，圆弧内部就不存在更小距离了。 得到结论：除了点O以外，直线l上其它的任意一点O’，做出来的圆弧里面都存在更小的距离。即连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 点到直线距离概念：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。如图，垂线段BO的长度就是点B到直线l的距离。 （四）应用新知 深化认知 1.体育竞技——跳远项目中，裁判员是怎样测量跳远成绩的呢？在图中画出表示测量成绩的线段。 结果预设：如下图，为避免成绩争议，根据跳远规则，裁判员会在运动员落地后，选取最靠近起跳线的接触点P，量出该点到起跳线的距离，即该点到起跳线的垂线段PO长度。这便是利用了“垂线段最短”的存在及唯一性数学原理。 2.如图，点P是∠AOB边OA上的一点。 （1）过点P画OA的垂线交OB于点M，然后在OB上找到一点Q，使得PQ最短； （2）用“⊥”表示（1）中互相垂直的直线； （3）根据（1）中所作图形，完成以下填空： 线段OP的长度是点 到直线 的距离； 点M到直线OA的距离是线段 的长. 结果预设：如下图（1），过点P作OA的垂线，与直线OB的交点，记为点M。要想在直线OB上找到一点Q，使得PQ最短，依据“垂线段最短”，我们只需做出点P到直线OB的垂线段即可，垂足交点即为点Q；（2）在（1）中互相垂直的直线用符号可以这样表示：MP⊥OA，PQ⊥OB；（3）根据“点到直线的距离”概念及（1）问中的作图条件可知：线段 OP 的长是点O到MP的距离；点M到OA的距离是线段 MP 的长。 （五）梳理小结 构建知识 小结：通过这节课的探究学习，你有什么收获？又还有哪些疑问？ 课堂留疑：两直线平行的位置关系又将沿着怎样的路径学习呢？ 学科网（北京）股份有限公司 $$