精品解析：河北省沧州市任丘市梁召镇辛安庄中学等校2024-2025学年九年级下学期模拟预测数学试题

2025年名校计划 河北省初中学业水平模拟考试数学试卷（精练型） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷I （选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若是非负整数，则表示的值的对应点落在图数轴上的范围是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（　　） A. 平分 B. C. D. 6. 某种彩票开中一等奖的概率为，把用科学记数法表示成的形式，则的值分别为（　　） A. 5，6 B. 5 C. D. 2 7. 如图，正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，把正方形绕顶点逆时针旋转，使点落在数轴上的点（点在点的左侧），若正方形的面积为8，则点所表示的数为（　　） A. B. C. D. 8. 关于的不等式组的所有整数解的和为5，且关于的一元一次方程的解大于1，则满足条件的所有整数的和是（　　） A. 12 B. 11 C. 10 D. 5 9. 已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A. B. C. D. 10. 已知，如图，在矩形的对角线在轴上，，矩形的面积为12，若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（　　） A. 3 B. C. D. 11. 某位教育家曾说过：“让学生变聪明的方法，不是补课，而是阅读、阅读、再阅读．”嘉琪统计了某校九年级（1）班五位同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是5小时、8小时、10小时、4小时，第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是（　　） A. 5小时 B. 8小时 C. 5或8小时 D. 5或8或10小时 12. 已知，如图，抛物线经过点，且对称轴是直线，则下列结论正确的有（ ） ①； ②； ③若是抛物线上两点，则当时，的取值范围是； ④若抛物线与轴交于点（0，3），当时，函数的最大值与最小值的差为6，则的值为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 卷II（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 把矩形放入平面直角坐标系中，对角线的交点为原点，若点的坐标为，则点的坐标为___________． 14. 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 15. 【新知理解】如图①，点C在线段上，若，则称点C是线段圆周率点，线段、称作互为圆周率相伴线段． 【解决问题】如图②，现有一个直径为1个单位长度圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置，若点D在射线上，且线段与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率相伴线段，请写出点D所表示的数为______． 16. 如图，已知等腰直角，点是矩形与的公共顶点，且；点是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长时，点与点的距离为；当线段达到最短时，点与点的距离为，则的值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 列方程（组）解应用题：如图，矩形由10块形状大小相同的小长方形纸片拼接而成． （1）求一块小长方形纸片的长和宽； （2）求由小长方形拼接的矩形的面积． 18. 如图中，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点A．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A 同时出发，每按一次键盘，点M向右平移2个单位长度，点N向左平移1个单位长度，例如，第一次按键后，屏幕显示点M、N的位置如图． （1）第 次按键后，点M 正好到达原点； （2）第6次按键后，点M到达的点表示的数字比点N 到达的点表示的数字大多少？ （3）若第n次按键后，点M、N到达的点表示的数之间的距离为12个单位长度．求n的值． 19. 阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式 是分式 的“ 差分式”． （2）分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． （3）已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 20. 综合与实践 如图1，是以为斜边的等腰直角三角形，四边形是矩形，点，，，在同一条直线上，，将沿射线向左平移，得到，点，，的对应点分别为点，，．平移的速度为1个单位长度/秒． 设平移的时间为秒，与矩形重叠部分的面积为． 特例感知 当时，的值恰好变为0． （1）的长为______________． 规律探究 （2）①求出与之间的函数解析式，并直接写出的取值范围； ②在如图2所示的平面直角坐标系中，画出①中所求得函数（含自变量取值范围）的图象． 数学思考 （3）请直接写出满足的所有的值． 21. 遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： xx小组关于xx学校学生“五一”出游情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 xx学校学生 数据的整理与描述 景点 A：中国死海 B：龙凤古镇 C：灵泉风景区 D：金华山 E：未出游 F：其他 数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中，______，“：龙凤古镇”对应圆心角的度数是______； （2）请补全条形统计图； （3）该学校总人数为人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数； （4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从、、、四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率． 22. 学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． 【观察】 ①观察图，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 _____个单位长度； ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 _____个单位长度； 【发现】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．兴趣小组成员发现了与的函数关系，并画出了部分函数图象（线段，不包括点，如图所示）． ①＝ _____； ②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图中补全函数图象； 拓展】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离的取值范围是 _____．（直接写出结果） 23. 探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线______这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______； 深入研究： 如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为t秒． （3）当t为何值时，射线是的“巧分线”； （4）若射线同时绕点P以每秒速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时t的值． 24. 已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C（0，3），其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为a． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）如图1，过点C作CE平行于x轴，交抛物线于点E，若点P在CE的上方，连接PE，PC，DE，当S四边形CPED=S△AOC时，求点P坐标； （3）如图2，连接AP，BP，设AP交BC于点H，△PHB的面积为S1，△ABH的面积为S2 ，求的最大值； （4）如图3，在（3）的条件下，连接CQ，将CQ右侧的抛物线沿CQ翻折，交y轴于点M，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年名校计划 河北省初中学业水平模拟考试数学试卷（精练型） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷I （选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【详解】解：的倒数是， 故选：B. 2. 用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的概念，将正多边形补齐即可解答，熟知正多边形的概念是解题的关键． 【详解】解：根据正多边形的意义将图形补充完整如图． ， 由图形可得这个正多边形是八边形． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、单项式的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据完全平方公式、单项式的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意； B、，故此选项运算正确，符合题意； C、，故此选项运算错误，不符合题意； D、，故此选项运算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 若是非负整数，则表示值的对应点落在图数轴上的范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减，首先把约分化为，可得：原式，再根据同分母分式的加减进行计算得到的值，根据分式的值判断对应点落在图中数轴上的范围． 【详解】解： ， 的值对应的点应落在数轴上第的范围内． 故选：B． 5. 如图，把折叠，使点与点重合，展开后得到折痕与交于点，交于点，连接，则下列结论正确的是（　　） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的任一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 由题中折叠可知，为线段的垂直平分线，可得到，即可求解． 【详解】解：由题中折叠可知，为线段的垂直平分线， ，故C正确，符合题意， 其余选项均不能证明，不符合题意， 故选：C． 6. 某种彩票开中一等奖的概率为，把用科学记数法表示成的形式，则的值分别为（　　） A. 5，6 B. 5 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，确定即可． 本题考查了负整数指数幂，灵活运用公式是解题的关键． 【详解】解：， 正确答案为D． 故选：D． 7. 如图，正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，把正方形绕顶点逆时针旋转，使点落在数轴上的点（点在点的左侧），若正方形的面积为8，则点所表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的应用，实数和数轴，先求出正方形的边长，进而得到的长，再根据两点间的距离，进行求解即可． 【详解】解：正方形的面积为， ． 正方形绕顶点逆时针旋转，点与点重合， ． 点表示的数为1， 点表示的数为， 故选B． 8. 关于的不等式组的所有整数解的和为5，且关于的一元一次方程的解大于1，则满足条件的所有整数的和是（　　） A 12 B. 11 C. 10 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程、分式的化简，熟练掌握相关知识点是解题的关键．解不等式组得，根据不等式组的所有整数解的和为5，得出或；解一元一次方程得，根据方程的解大于1，得出且，结合两个结果得出的取值范围，再列举出满足条件的所有整数即可求解． 【详解】解：解不等式组得， 不等式组的所有整数解的和为5， 可取2或3，亦可取，0，1，2，3， 或， 或； 解一元一次方程得， 由题意，得， ， ， 且， 或且． 是整数， 可取4，5，6或， ， 满足条件的所有整数的和是12． 故选：A． 9. 已知某建筑物的顶端为圆锥形（如图），为了美观，要在圆锥形建筑上装饰一条灯带，灯带自处开始绕侧面一周又回到点，若这个圆锥形建筑物的底面周长为，母线的长为，则这条灯带的最短长度是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求出圆锥底面的周长，再求出圆锥侧面的圆心角度数，最后运用勾股定理求出的长即可． 【详解】如图，扇形为圆锥的侧面展开图，连接． 圆锥形底面周长为，母线的长为， ．解得，即， ， ∴， 过点作于点， ． ． ∴，， ，垂直， ， ． 故这条灯带的最短长度为， 故选D． 10. 已知，如图，在矩形的对角线在轴上，，矩形的面积为12，若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解此题的关键是求出B的坐标，综合性比较强，难度适中． 根据30度直角三角形性质可以证明，再由，利用相似三角形性质求出，得，即可解题． 【详解】四边形为矩形， ． ， ， 在中，， ． 过点作轴于点，如图， ， 又， ， ． 矩形的面积为12， ， ， ， ， 故选A. 11. 某位教育家曾说过：“让学生变聪明的方法，不是补课，而是阅读、阅读、再阅读．”嘉琪统计了某校九年级（1）班五位同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是5小时、8小时、10小时、4小时，第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是（　　） A. 5小时 B. 8小时 C. 5或8小时 D. 5或8或10小时 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、众数的定义等知识点、理解中位数、众数的定义是解题的关键． 分别将各选项时间代入，然后运用中位数和众数的定义分析判断即可． 【详解】解：当第五位同学的课外阅读时间为4小时时，此时五个数据为4，4，5，8，10，众数为4，中位数为5，不合题意； 当第五位同学的课外阅读时间为5小时时，此时五个数据为4，5，5，8，10，众数为5，中位数为5，符合题意； 当第五位同学的课外阅读时间为8小时时，此时五个数据为4，5，8，8，10，众数为8，中位数为8，符合题意； 当第五位同学的课外阅读时间为10小时时，此时五个数据为4，5，8，10，10，众数为10，中位数为8，不合题意； 故第五位同学的每周课外阅读时间为5或8小时． 故选C． 12. 已知，如图，抛物线经过点，且对称轴是直线，则下列结论正确的有（ ） ①； ②； ③若是抛物线上的两点，则当时，的取值范围是； ④若抛物线与轴交于点（0，3），当时，函数的最大值与最小值的差为6，则的值为． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，包括二次函数的图像与系数的关系，对称轴公式，函数值的比较及函数在给定区间内的最值问题，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质．根据二次函数的图像与性质，对每个选项进行判断，综合后即可得到正确的个数． 【详解】解：①抛物线经过点 将代入，得 ， 故①错误； ②抛物线对称轴为 ，即 故②正确； ③当时，两点为 此时两点关于对称 ， 故③不正确； ④抛物线的对称轴为，且与轴交于点 抛物线与轴的另一个交点坐标为 抛物线解析式为 又抛物线过点 抛物线解析式为 ∴顶点坐标， 当时，则为， 此时，当时，函数的最大值4， ∵当时，；当时，， ∴时，最小值为， 此时，函数y的最大值与最小值的差为：， 故④不正确； 综上，只有②正确． 故选：A． 卷II（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 把矩形放入平面直角坐标系中，对角线的交点为原点，若点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的点的特征是解题的关键．根据矩形是中心对称图形，得出点与点关于点对称，即可求解． 【详解】解：矩形是中心对称图形，对角线的交点为原点， 点与点关于原点对称， 又点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 14. 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的意义即可得到答案． 【详解】解：设这组数据为前9个数分别为， 由题意可知，， ； 根据方差越小越稳定，即前九次波动较大， ， 故答案为：． 15. 【新知理解】如图①，点C在线段上，若，则称点C是线段的圆周率点，线段、称作互为圆周率相伴线段． 【解决问题】如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置，若点D在射线上，且线段与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率相伴线段，请写出点D所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴和一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．根据圆周率相伴线段的定义可求D点所表示的数． 【详解】解：由题意可得点C表示的数为， 设D点表示的数为x， ∴，，， ①如图，此时， 若，则，解得； ②如图，， 若，则，解得； ③如图，， 若，则，解得； ④如图，， 若，则，解得； 故答案为：． 16. 如图，已知等腰直角，点是矩形与的公共顶点，且；点是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长时，点与点的距离为；当线段达到最短时，点与点的距离为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】解直角三角形，求出的长，易得线段达到最长时，此时点在点的下方，且，三点共线，勾股定理求出的长，线段达到最短时，此时点在点的上方，且三点共线，求出此时的长，再进行计算即可． 【详解】解：为等腰直角三角形，， ， ． 当线段达到最长时，此时点在点的下方，且，三点共线，如图， 则． 在Rt中，， ． 当线段达到最短时，此时点在点的上方，且三点共线，如图， 则． 在Rt中，， ． ， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点，确定动点的位置，是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 列方程（组）解应用题：如图，矩形由10块形状大小相同的小长方形纸片拼接而成． （1）求一块小长方形纸片的长和宽； （2）求由小长方形拼接的矩形的面积． 【答案】（1）一块长方形纸片的长为，宽为 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解答此题的关键． （1）首先设一块长方形纸片的长为，宽为，然后用的代数式分别表示出长方形的两条长边分别为，，宽为,进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组即可得出答案； （2）根据长方形的面积计算公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设一块长方形纸片的长为，宽为． 依题意得： ， 解得： ， 答：一块长方形纸片的长为，宽为． 【小问2详解】 由小长方形拼接的矩形的面积为． 答：小长方形拼接的矩形的面积为． 18. 如图中，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示的点A．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A 同时出发，每按一次键盘，点M向右平移2个单位长度，点N向左平移1个单位长度，例如，第一次按键后，屏幕显示点M、N的位置如图． （1）第 次按键后，点M 正好到达原点； （2）第6次按键后，点M到达的点表示的数字比点N 到达的点表示的数字大多少？ （3）若第n次按键后，点M、N到达的点表示的数之间的距离为12个单位长度．求n的值． 【答案】（1）3 （2）18 （3）4 【解析】 【分析】（1）设第n次按键后，点M 正好到达原点，根据题意，得，解方程即可； （2）根据平移规律，得第6次按键后，点M到达的点表示的数字是，点N 到达的点表示的数字是，列式计算即可． （3）根据平移规律，得第n次按键后，点M到达的点表示的数字是，点N 到达的点表示的数字是，列式计算即可． 【小问1详解】 解：设第n次按键后，点M 正好到达原点， 根据题意，得， 解得， 故第3次按键后，M到达原点． 【小问2详解】 解：根据平移规律，得第6次按键后，点M到达的点表示的数字是，点N 到达的点表示的数字是， 故． 【小问3详解】 解：根据平移规律，得第n次按键后，点M到达的点表示的数字是，点N 到达的点表示的数字是， 根据题意，得， 故， 解得． 【点睛】本题考查了数轴上的平移，解方程，有理数的加减混合运算，有理数的加减乘法混合运算，熟练掌握规律，解方程和运算法则是解题的关键． 19. 阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： （1）分式 是分式 的“ 差分式”． （2）分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． （3）已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】（1） （2）①；②的值为或 （3）的值为 【解析】 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； 【小问3详解】 解：， ，且， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴的值为． 20. 综合与实践 如图1，是以为斜边的等腰直角三角形，四边形是矩形，点，，，在同一条直线上，，将沿射线向左平移，得到，点，，的对应点分别为点，，．平移的速度为1个单位长度/秒． 设平移的时间为秒，与矩形重叠部分的面积为． 特例感知 当时，的值恰好变为0． （1）的长为______________． 规律探究 （2）①求出与之间的函数解析式，并直接写出的取值范围； ②在如图2所示的平面直角坐标系中，画出①中所求得函数（含自变量取值范围）的图象． 数学思考 （3）请直接写出满足的所有的值． 【答案】（1）4；（2）①；②见解析；（3）的值为或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）根据题意得到，进一步计算即可求解； （2）①分四种情况讨论，画出图形，利用三角形或梯形面积公式列式即可求解； ②画出函数图象即可； （3）分和两种情况讨论，根据，分别列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵当时，的值恰好变为0， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； （2）①当时，； 当时，如图，设交于点， 由题意得， ∴； 当时，如图， ； 当时，如图，设交于点， 由题意得，， ∴； 综上，； ②画出二次函数图象如图， （3）∵， 当时，， 整理得， 解得或（舍去）； 当时，， 整理得， 解得或（舍去）； 综上，的值为或． 21. 遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： xx小组关于xx学校学生“五一”出游情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 xx学校学生 数据的整理与描述 景点 A：中国死海 B：龙凤古镇 C：灵泉风景区 D：金华山 E：未出游 F：其他 数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中，______，“：龙凤古镇”对应圆心角的度数是______； （2）请补全条形统计图； （3）该学校总人数为人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数； （4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从、、、四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率． 【答案】（1），，；（2）见解析；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，列表法求概率； （1）根据组的人数除以占比，即可得出总人数，进而求得组的人数，得出的值，根据的占比乘以，即可得出对应圆心角的度数； （2）根据组的人数补全统条形计图， （3）用乘以组的占比，即可求解． （4）用列表法求概率，即可求解． 【详解】解：（1）本次被抽样调查的学生总人数为， 组的人数为：， ∴， ∴ B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是 故答案为：，，． （2）根据（1）可得组人数为人，补全统计图，如图所示， （3）解： 答：请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数为人； （4）列表如下， 共有种等可能结果，其中他们选择同一景点的情形有种， ∴他们选择同一景点的概率为 22. 学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． 【观察】 ①观察图，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 _____个单位长度； ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为 _____个单位长度； 【发现】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．兴趣小组成员发现了与的函数关系，并画出了部分函数图象（线段，不包括点，如图所示）． ①＝ _____； ②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图中补全函数图象； 【拓展】 设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离的取值范围是 _____．（直接写出结果） 【答案】【观察】：①；②；【发现】：①；②见解析；【拓展】：0＜x≤12或48≤x≤72． 【解析】 【分析】[观察]①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论； ②此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论； [发现]①当点第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意列方程即可得到结论； ②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意列函数解析式即可得到结论； [拓展]由题意列不等式即可得到结论． 【详解】[观察]①∵相遇地点与点之间的距离为个单位长度， ∴相遇地点与点之间的距离为个单位长度， 设机器人甲的速度为， ∴机器人乙速度为， ∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为， 机器人乙从相遇地点到点再返回到点所用时间为，而， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时， 机器人乙从第一次相遇地点到点，返回到点，再返回向时和机器人甲第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点为个单位， 根据题意得，， ， 故答案为； ②∵相遇地点与点之间的距离为个单位长度， ∴相遇地点与点之间的距离为个单位长度， 设机器人甲的速度为， ∴机器人乙的速度为， ∴机器人乙从相遇点到点再到点所用的时间为， 机器人甲从相遇点到点所用时间为，而， ∴设机器人甲与机器人乙第二次迎面相遇时，机器人从第一次相遇点到点，再到点，返回时和机器人乙第二次迎面相遇， 设此时相遇点距点为个单位， 根据题意得，， ， 故答案为； [发现]①当点第二次相遇地点刚好在点时， 设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为， 根据题意知，， ， 经检验：是分式方程的根， 即：， 故答案为； ②当时，点在线段上， ∴线段的表达式为， 当时，即当，此时，第二次相遇地点是机器人甲在到点返回向点时， 设机器人甲的速度为，则机器人乙的速度为， 根据题意知，， ， 即：， 补全图形如图2所示， [拓展]①如图， 由题意知，， ∴y=5x， ∵0＜y≤60， ∴0＜x≤12； ②如图， ∴， ∴y=-5x+300， ∵0≤y≤60， ∴48≤x≤60， ③如图， 由题意得，， ∴y=5x-300， ∵0≤y≤60， ∴60≤x≤72， ∵0＜x＜75， ∴48≤x＜72， 综上所述，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是0＜x≤12或48≤x≤72， 故答案为0＜x≤12或48≤x≤72． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键． 23. 探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线______这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______； 深入研究： 如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为t秒． （3）当t为何值时，射线是的“巧分线”； （4）若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止，请直接写出当射线是的“巧分线”时t的值． 【答案】（1）是 （2）或或 （3）9或12或18 （4）或4或6 【解析】 【分析】（1）根据巧分线定义即可求解； （2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （3）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； （4）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可． 【小问1详解】 一个角的平分线是这个角的“巧分线”；填“是”或“不是” 故答案为：是； 【小问2详解】 ， ①当是的角平分线时， ； ②当是三等分线时，较小时， ； ③当是三等分线时，较大时， ； 故答案为：或或； 【小问3详解】 依题意有： ①当时，如图所示： ， 解得； ②当时，如图所示： ， 解得； ③当时，如图所示： ， 解得． 故当t为9或12或18时，射线是的“巧分线”； 【小问4详解】 依题意有： ①当时，如图所示： ， 解得； ②当时，如图所示： ， 解得； ③当时，如图所示： ， 解得． 故当t为或4或6时，射线是的“巧分线”． 【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了旋转的性质，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义． 24. 已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C（0，3），其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为a． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）如图1，过点C作CE平行于x轴，交抛物线于点E，若点P在CE的上方，连接PE，PC，DE，当S四边形CPED=S△AOC时，求点P坐标； （3）如图2，连接AP，BP，设AP交BC于点H，△PHB面积为S1，△ABH的面积为S2 ，求的最大值； （4）如图3，在（3）的条件下，连接CQ，将CQ右侧的抛物线沿CQ翻折，交y轴于点M，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）y=-x2+2x+3 （2）P（1，4） （3） （4）M（0，-） 【解析】 【分析】（1）将C（0，3）代入y=-x2+bx+c求出c=3，再由x＝−＝1求出b，即可求解析式； （2）分别求出AD和CE的长，根据列方程计算即可； （3）根据计算即可； （4）根据翻折后CQ是对称轴，作M关于CQ的对称点M′，先求出M点坐标即可． 【小问1详解】 将C （0，3）代入y=-x2+bx+c可得c=3， ∵对称轴是直线x=1， ∴x=-=1，即=1，解得b=2， ∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3； 【小问2详解】 ∵二次函数解析式为y=-x2+2x+3； ∴A（-1,0），B（3,0） ∴直线BC的解析式为， ∵P的横坐标为a，，PQ⊥x轴， ∴P点坐标为，D点坐标为 ∴ ∵CE平行于x轴 ∴C、E关于对称轴x=1对称，且PQ⊥CE ∴E点坐标为（2,3） ∴CE=2 ∵ ∴，解得 当a=2是P与E重合 ∴a=1 ∴P（1，4）； 【小问3详解】 过点A作x轴的垂线交BC于点G， ∵直线BC的解析式为：y=-x+3，A（-1，0）， ∴G（-1，4）， ∴AG=4， ∴PQ⊥OB，AG⊥OB， ∴PQ∥AG， ∴△PDH∽△AGH， ∴， ∴当a=时，有最大值，最大值是； 【小问4详解】 当a=时，Q（，0）， 设直线CQ的解析式为：y=kx+b， 把C（0，3），Q（，0），代入可得：，解得， ∴直线CQ的解析式为：y=-2x+3， 如图，设点M关于CQ的对称点为M′，连接MM′，交CQ于点R，交x轴于点N，则R是MM′的中点，且MM′⊥CQ， ∴∠OMN+∠QCO=90°， ∵∠CQO+∠QCO=90°， ∴∠CQO=∠OMN， ∵∠COQ=∠NOM=90°， ∴△COQ∽△NOM， ∴， 设点M（0，m）， ∴，解得NO=-2m， 设直线MM′解析式为：y=k′x+b′， 将M（0，m），N（-2m，0）代入可得：，解得， ∴直线MM′的解析式为：y=x+m，令x+m=-2x+3，解得x=， ∴y=-2×+3=， ∴R（，）， ∵M（0，m），且R是MM′的中点， ∴M′（，）， ∵点M′在抛物线上， ∴=-（）2+2×+3， 解得m=-．（m=3舍）， ∴M（0，-）． 【点睛】本题考查二次函数与相似三角形的综合、图形翻折，解题的关键是设未知数表示各个未知点的坐标再根据题意列方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $