精品解析：山东省济南市莱芜区2025年中考模拟二数学试题

2025年初中学业水平阶段性诊断测试二 数学试题 注意事项： 1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 5 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国新能源汽车产销量逐年增加，预测年我国新能源汽车销量将达辆．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若从一个正n边形的一个顶点出发可以画2条对角线，则n是（ ） A. 五 B. 六 C. 七 D. 八 5. 如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列代数式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 2025年春节档热映多部精彩电影，小明，小亮分别从如图所示的四部影片中随机选择一部观看，则小明，小亮选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，．下面结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等：当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 因式分解：___________． 12. 现有下列长度的四根木棒：3，6，9，11，从中任取三根，可以组成三角形的概率为______． 13. 一把折扇展开后如图所示，其纸面部分近似的看作是两个扇形围成的．其中，，，，则折扇纸面部分的面积是______． 14. 虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示，当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为______． 15. 如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为____________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并写出它所有的整数解； 18. 如图，在中，点E、F在上，且，求证：． 19. 汽车尾气对环境的污染一直是一大难题，近几年新能源汽车特别是电车为环保特性、能源节约、低噪声作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站．某校数学实践小组开展了测量该小区充电站长度的实践活动，在实地测量后撰写了活动报告，报告部分内容如下表： 测量充电站的长度 测量工具 角度测量仪、卷尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①先测出； ②再测量最后一个停车位的长； ③后测量． … 如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题： （1）求充电站的宽的长； （2）该充电站有30个停车位，求的长．（参考数据：，） 20. 为深入学习2025年全国两会精神，某校开展了以“学习两会精神，永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“”这组的数据如下： 83，83，84，84，85，86，87，87，87，88，89，89． 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 1 8 2 a 3 b 4 c 请根据以上信息，解答下列问题： （1）______；______； （2）扇形统计图中3组的圆心角度数是______度； （3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是______分； （4）若学生竞赛成绩达到85分以上（含85分）为优秀，请你估计全校2000名学生中优秀学生的人数． 21. 在中，，延长至点D，以为直径的交的延长线于点E，过点E作的切线交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 为增强学生的科技兴趣与实践能力，某中学计划采购一批科技产品，包括无人机和遥控车．已知某品牌无人机的单价比遥控车的单价高出40元，用2400元购买无人机的数量是用2000元购买遥控车数量的． （1）求无人机和遥控车的单价； （2）学校在采购时遇到商家“科技节”促销：无人机享受七五折优惠．若计划购买无人机和遥控车共150个，且无人机的数量不少于遥控车数量的，请问应如何购买，才能使总费用最低？ 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． （1）求反比例函数的关系式和一次函数的关系式； （2）如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若的面积为6，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l，点M为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M在直线l右侧，且点M的纵坐标大于﹣3，连接，过点M作交直线l于点N，若，求点M的坐标． （3）如图2，连接，，若M点在抛物线上B，C两点之间，过点M作的平行线交于点P，求最大值及此时M点的坐标． 25. 【结论探究】 （1）如图1，在中，，，点D是上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接． ①求证：； ②如图2，若M为的中点，延长至点F，使，连接，试判断的形状，并证明你的结论； 【拓展应用】 （2）如图3，在等边中，D是内一点，将绕点D逆时针旋转得到，取的中点M，连接，．若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平阶段性诊断测试二 数学试题 注意事项： 1．本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分．全卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置． 3．答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．直接在试题上作答无效． 4．本考试不允许使用计算器．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个实数的相反数，解题关键是理解相反数的意义． 根据相反数的意义，找出与只有符号不同的数即可． 【详解】解：∵与只有符号不同， ∴的相反数是．   故选： B． 2. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 3. 我国新能源汽车产销量逐年增加，预测年我国新能源汽车销量将达辆．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于 1 的数可以用科学记数法表示，一般形式为为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：． 故选：C． 4. 若从一个正n边形的一个顶点出发可以画2条对角线，则n是（ ） A. 五 B. 六 C. 七 D. 八 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形的对角线和边数的关系．根据从一个顶点出发，可以画条对角线，计算即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：， ， 故选：A． 5. 如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又，， ∴， 故选：C． 6. 下列代数式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是积的乘方、分式的加减、合并同类二次根式和多项式乘多项式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据积的乘方、分式的加减、合并同类二次根式和多项式乘多项式运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 已知点、、都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质．反比例函数，当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵点、、都在反比例函数的图象上， ∴点在第四象限内，点，在第二象限内， ∴，， ∴． 故选：A． 8. 2025年春节档热映多部精彩电影，小明，小亮分别从如图所示的四部影片中随机选择一部观看，则小明，小亮选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法．画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小亮选择的影片相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：把四部影片分别记作A，B，C，D，画树状图为： 共有种等可能的结果，其中小明，小亮选择的影片相同的结果有种， ∴小明，小亮选择的影片相同的概率为， 故选：C． 9. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，．下面结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质．根据尺规作图可知是的垂直平分线，点是的中点，根据尺规作图可知线段之间的长度关系和角之间的关系，根据边角之间的关系判定三角形相似，再利用相似三角形的性质求出三角形的面积之间的关系． 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线， 点是的中点， 以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，， ， 点是的中点， 是的中位线， ， 故A选项正确； 由作图可知是的垂直平分线， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 故B选项正确； 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故C选项正确； ， 设，，则， ， 整理得：， 或(不符合题意，舍去)， ， 故D选项错误． 故选：D． 10. 定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等：当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，根据新定义，求出二次函数的相关函数为，根据的函数值小于，得到与线段没有交点，进而得到与线段有两个交点，求出恰好过和的顶点恰好在线段上，两种临界情况，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：二次函数的相关函数为， ∵的对称轴为，当时，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴， ∵， ∴的函数值小于0， ∵点M，N的坐标分别为，， ∴轴，且在直线上， ∴与线段没有交点， ∵线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点， ∴抛物线与线段有两个交点， ①当恰好过点时，如图： 则：，此时抛物线与线段有两个交点， ②当抛物线的顶点坐标恰好在线段上时，如图，此时，抛物线与线段恰好有1个交点， ∵， ∴， ∴； ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点； 故选A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写答案．） 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式．直接提公因式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 现有下列长度的四根木棒：3，6，9，11，从中任取三根，可以组成三角形的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据三角形三边之间的关系与概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：有四根木棒，长度分别为3，6，9，11， 从中任取三根木棒，共有4种等可能出现的结果：3，6，9；3，6，11；6，9，11；3，9，11； 根据三角形两边之和大于第三边，能组成三角形的有6，9，11；3，9，11，共2种， 组成三角形的概率为， 故答案为：． 13. 一把折扇展开后如图所示，其纸面部分近似的看作是两个扇形围成的．其中，，，，则折扇纸面部分的面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，掌握是解题的关键．由折扇纸面部分的面积等于即可求解． 【详解】解：， 由题意得：折扇纸面部分的面积是， 故答案为：． 14. 虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示，当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用解一元一次方程，能理解题意，并从图象中获取准确信息是解答的关键．利用待定系数法求得，再利用甲容器向乙容器注水，始终有，求得，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：当时，， ∵开始时甲容器液面高， ∴， ∴设， 又∵时，， ∴，解得， ∴， ∵甲容器向乙容器注水，始终有， ∴， ∴甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，即， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由勾股定理可求出，从而在等腰中，根据勾股定理可求出，最后根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值． 【详解】如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM， ∵∠EDF＝∠ODM＝90°， ∴∠EDO＝∠FDM， ∵DE＝DF，DO＝DM， ∴△EDO≌△FDM(SAS)， ∴FM＝OE＝2， ∵正方形ABCD中，AB＝6，O是BC边的中点， ∴OC＝3， ∴在中，， ∴在等腰中，． ∵OF+MF≥OM， ∴， ∴线段OF长的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形三边关系等知识，正确作出辅助线是解题关键． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别化简，，，，，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 17. 解不等式组：，并写出它所有的整数解； 【答案】不等式组的解集为，整数解为，，0，1，2 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得： 解不等式②，得： 不等式组的解集为 整数解为，，0，1，2 18. 如图，在中，点E、F在上，且，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定．根据平行四边形的性质得出，，推出，进而利用证明和全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】略 19. 汽车尾气对环境的污染一直是一大难题，近几年新能源汽车特别是电车为环保特性、能源节约、低噪声作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站．某校数学实践小组开展了测量该小区充电站长度的实践活动，在实地测量后撰写了活动报告，报告部分内容如下表： 测量充电站的长度 测量工具 角度测量仪、卷尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①先测出； ②再测量最后一个停车位的长； ③后测量． … 如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题： （1）求充电站的宽的长； （2）该充电站有30个停车位，求的长．（参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的性质，看懂题意是解答的关键． （1）先根据已知求得，再在中，利用正弦定义求解即可； （2）分别在和中，利用锐角三角函数求得，，再由求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，， 在中，，， ∴， 答：充电站的宽的长约为； 【小问2详解】 解：根据题意，，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：的长为． 20. 为深入学习2025年全国两会精神，某校开展了以“学习两会精神，永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“”这组的数据如下： 83，83，84，84，85，86，87，87，87，88，89，89． 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 1 8 2 a 3 b 4 c 请根据以上信息，解答下列问题： （1）______；______； （2）扇形统计图中3组的圆心角度数是______度； （3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是______分； （4）若学生竞赛成绩达到85分以上（含85分）为优秀，请你估计全校2000名学生中优秀学生的人数． 【答案】（1）， （2） （3） （4）估计全校2000名学生中优秀学生的人数为人 【解析】 【分析】本题考查了求扇形统计图圆心角度数、中位数的定义、由样本估计总体、统计表，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出总人数，再求出，由题意可得，从而可得出，即可得解； （2）用乘以3组所占的比例即可得解； （3）根据中位数的定义计算即可得解； （4）用乘以抽取的样本中优秀学生的人数所占的比例即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：调查的总人数为：（人）， 故（人）， 由题意可得， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：扇形统计图中3组的圆心角度数是； 【小问3详解】 解：∵总共抽取了50名学生， ∴中位数为按大小顺序排序后第25，26名学生（也就是第3组第7和第8名学生）成绩的平均数， 由题意可得，第25，26名学生的成绩分别为87，87， 故中位数为； 【小问4详解】 解：第3组85分以上有8人，第4组20人， （人）， 故估计全校2000名学生中优秀学生的人数为人． 21. 在中，，延长至点D，以为直径的交的延长线于点E，过点E作的切线交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵， ∴， 又， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，垂径定理，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握切线的判定与性质是解答本题的关键． （1）连接，根据，可得，由得，由切线的性质和垂直的定义可得，，故可得，从而可证明； （2）连接，，由勾股定理得出，证明，求出，得；设，即，在和中，有，，即，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，如图， ∵是直径， ∴， ∵ ∴，， 由勾股定理得，, ∵， ∴， ∴，即, ∴， ∴， 设，即， 在中，有， 在中，有， ∴ 即， 解得：， ∴． 22. 为增强学生的科技兴趣与实践能力，某中学计划采购一批科技产品，包括无人机和遥控车．已知某品牌无人机的单价比遥控车的单价高出40元，用2400元购买无人机的数量是用2000元购买遥控车数量的． （1）求无人机和遥控车的单价； （2）学校在采购时遇到商家“科技节”促销：无人机享受七五折优惠．若计划购买无人机和遥控车共150个，且无人机的数量不少于遥控车数量的，请问应如何购买，才能使总费用最低？ 【答案】（1）无人机的单价为120元，则遥控车的单价为80元 （2）购买无人机60个，遥控车90个，能使总费用最低 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出方程或函数关系式是解答的关键． （1）设无人机的单价为x元，则遥控车的单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）购买无人机的a个，则购买遥控车个，先根据题意列不等式求得，设总费用为W元，根据题意列出总费用和a的一次函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设无人机的单价为x元，则遥控车的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解且符合题意， ∴， 答：无人机的单价为120元，则遥控车的单价为80元； 【小问2详解】 解：购买无人机的a个，则购买遥控车个， 根据题意，， 解得， 设总费用为W元， 则， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，W有最小值，此时， 答：购买无人机60个，遥控车90个，能使总费用最低． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． （1）求反比例函数的关系式和一次函数的关系式； （2）如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若的面积为6，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为； （2）点C的坐标为； （3）点N的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键． （1）分别把代入和，计算即可求解； （2）设点，过点作轴的垂线交直线于，得点，由，得，再计算即可； （3）分两种情况讨论，①当点在轴上时，过作直线轴交轴于点，过作于点，证明，求得，得到，利用平移的性质求得点N的坐标为；②当点在轴上时，同理即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数的关系式为； 【小问2详解】 解：设点，过点作轴的垂线交直线于， ∴点， ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∵点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧， ∴， ∴点C的坐标为； 【小问3详解】 解：①当点在轴上时， 如图：过作直线轴交轴于点，过作于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴点N的坐标为； ②当点在轴上时， 同理，点N的坐标为； 综上，点N的坐标为或． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l，点M为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M在直线l右侧，且点M的纵坐标大于﹣3，连接，过点M作交直线l于点N，若，求点M的坐标． （3）如图2，连接，，若M点在抛物线上B，C两点之间，过点M作的平行线交于点P，求最大值及此时M点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）最大值为， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作于点E，证明，得，设点M的坐标为，由，有，即可解得点M的坐标； （3）过点M作轴交于点H，作于点G，求出，，得，设点M的坐标为,可得，，故，根据二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点M的坐标为,， 在中，令得， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（此时点M的纵坐标大于﹣3，舍去），， ∴点M坐标为； 【小问3详解】 过点M作 轴交于点H，作 于点G，如图： ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ，得， ∴PMPG， ∴， ∴， 设点， 由得直线解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时． 25. 【结论探究】 （1）如图1，在中，，，点D是上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接． ①求证：； ②如图2，若M为的中点，延长至点F，使，连接，试判断的形状，并证明你的结论； 【拓展应用】 （2）如图3，在等边中，D是内一点，将绕点D逆时针旋转得到，取的中点M，连接，．若，，，求的长． 【答案】（1）①证明：由旋转性质可知，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②是等腰直角三角形，理由如下， 连接， ∵M为的中点，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）． 【解析】 【分析】（1）①由旋转性质可知，，则，证明即可得到； ②先证明四边形是平行四边形，由，求得，得到，推出平行四边形是矩形，即可得到是等腰直角三角形； （2）延长至，使，先求得是等边三角形，求得，，，在中，由勾股定理求得的长，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）延长至，使， ∵将绕点D逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵等边，， ∴， ∴， 记与的交点为， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点M是的中点，， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $