精品解析：2025年甘肃省定西市临洮县中考二模数学试题

临洮县2025年中考第二次诊断模拟试卷 数学 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列四个数中最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 5 2. 有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的俯视图是（　　） A B. C. D. 3. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 4. 截至4月12日17时38分，电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房达到156.29亿元，也是我国首部百亿电影．将数据“156.29亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是直径，弦与交于点E，连接，．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 随着人工智能技术的不断突破，人形机器人行业备受关注，未来行业将持续保持高速发展．如图是某机构对2025～2030年全球人形机器人市场规模预测的数据： 根据预测数据，下列分析正确的是（ ） ①2025～2030年全球人形机器人市场规模逐年增长； ②2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年增大； ③2025～2030年全球人形机器人市场总规模超7000亿元； ④若保持与2030年相同年增长率，到2032年全球人形机器人市场规模将超万亿元． A. ①④ B. ①② C. ②③④ D. ①②④ 8. 分式方程的解为（ ） A. 0 B. 6 C. 2 D. 4 9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为凸透镜的焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为，图2是点运动过程中与之间函数关系的图象，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（木大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解=______． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则=______．（写出一个满足条件的值） 13. 阿基米德说： “给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理．如图，舂臼——谷物种子脱壳的传统工具，就是利用了杠杆原理工作， 图是该舂臼的侧面简易示意图， 点是支点， 点距地面，且，在舂臼使用过程中， 若端上升至距地面处， 则端此时距地面_________． 14. 如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______m时，水柱落点距离O点． 15. 古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图，点A和点B分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，B地在A地的北方，两地的经度大致相同，且实际距离为800km．当太阳光线在A地直射时，同一时刻在B地测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是．由此估算地球周长约为_______km． 16. 如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为______． 三、解答题：（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神． 如今，借助尺规来完成一道几何构造题： 如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； ②作直线交于点D，连接； ③以B为圆心，的长为半径作弧，交直线于点E，连接． （1）请用上面方法，用没有刻度的直尺和圆规作出四边形．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，则四边形的面积是__________． 21. 甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点两处分别测得木塔顶端的仰角的度数（，，在同一条直线上），再测得两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：，，，，，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 22. “宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，最早的“宫商角徵羽”的名称见于距今2600余年的春秋时期，在《管子·地员篇》中，有采用数学运算方法获得“宫、商、角、徵、羽”五个音的科学办法，这就是中国音乐史上著名的“三分损益法”．某音乐玩具的大致结构如图所示，音乐小球从中间A处沿轨道进入周围的5个音槽内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从A处先后两次进入音槽． （1）第一次发出“羽”音的概率为__________； （2）请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徵”音的概率． 四、解答题：（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 广西水果全国产量第一，而蓬勃发展的快递业，为广西的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．火龙果种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家火龙果种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分： 甲：6、6、7、7、7、8、9、9、9、10 乙：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10 c．配送速度和服务质量得分统计表： 统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 b．服务质量得分统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 ； （填“”“=”或“”)． （2）综合上表中统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）为轴上的一动点，当的面积为3时，求的坐标． 25. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 26. 如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，． （1）【问题发现】 如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______； （2）【问题探究】 如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长． 27. 如图1，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点、，点P是直线下方抛物线上一动点，分别连接． （1）求抛物线表达式； （2）当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标； （3）将线段沿x轴的负方向平移得到，点A的对应点为点，点C的对应点为点，点Q为点A关于x轴的对称点，连接，在线段平移过程中，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临洮县2025年中考第二次诊断模拟试卷 数学 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列四个数中最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键．根据有理数的大小比较即可得出答案． 【详解】解：， 四个数中最小的是． 故选：A． 2. 有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，理解三视图的定义是解题关键． 根据从上面看到的图形是俯视图，即可得答案． 【详解】解：的俯视图是， 故选：D． 3. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方、合并同类项法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 截至4月12日17时38分，电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房达到156.29亿元，也是我国首部百亿电影．将数据“156.29亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：156.29亿， 故选：C． 5. 如图，是的直径，弦与交于点E，连接，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据是的直径，得到，结合圆周角定理，得到，于是，解答即可． 本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6. 一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数之间的关系，对于一次函数（k为常数，），当的图象过一、二、三象限；当的图象过一、三、四象限；当的图象过一、二、四象限；当的图象过二、三、四象限；当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而增减小，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限， ∴， ∴， 故选：C． 7. 随着人工智能技术的不断突破，人形机器人行业备受关注，未来行业将持续保持高速发展．如图是某机构对2025～2030年全球人形机器人市场规模预测的数据： 根据预测数据，下列分析正确的是（ ） ①2025～2030年全球人形机器人市场规模逐年增长； ②2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年增大； ③2025～2030年全球人形机器人市场总规模超7000亿元； ④若保持与2030年相同的年增长率，到2032年全球人形机器人市场规模将超万亿元． A. ①④ B. ①② C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查条形统计图及折线统计图，关键是从图中读取有效信息．根据条形统计图及折线统计图逐项分析即可． 【详解】解：根据市场规模条形统计图可知，年全球人形机器人市场规模逐年增长，故①正确； 根据增长率的折线统计图可知，年全球人形机器人市场规模增长率逐年降低，故②错误； 根据市场规模条形统计图可知，年全球人形机器人市场总规模为：（亿元），故③错误； 2032年全球人形机器人市场规模为：（亿元），故④正确． 故选：A． 8. 分式方程的解为（ ） A. 0 B. 6 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先将分式方程化为整数方程得到，解得，经检验是分式方程的解，即可得到答案． 【详解】解： 解得， 经检验是分式方程的解， 故选：B． 9. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为凸透镜的焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过点作，利用平行线的性质推出，，再利用角的和差和对顶角相等即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：C． 10. 如图1，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为，图2是点运动过程中与之间函数关系的图象，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象．勾股定理的应用，根据函数图象，可知点表示时的面积为24，可以求出、的长，从而可以解答本题． 【详解】解：根据函数图象，可知点表示时的面积为24， ， ， ， 根据勾股定理． 故选：C． 二、填空题：（木大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则=______．（写出一个满足条件的值） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解题意，掌握根的判别式的计算是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， ∴满足条件， 故答案：（答案不唯一） ． 13. 阿基米德说： “给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理．如图，舂臼——谷物种子脱壳的传统工具，就是利用了杠杆原理工作， 图是该舂臼的侧面简易示意图， 点是支点， 点距地面，且，在舂臼使用过程中， 若端上升至距地面处， 则端此时距地面_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，根据相似三角形的判定与性质即可得到结论． 【详解】解：过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，则，， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 端此时距地面， 故答案为：． 14. 如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______m时，水柱落点距离O点． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数 在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质 是解题关键． 由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设将代入解析式得出喷头高时，可设 将代入解析式得联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为将代入可求出． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得 ②； 联立可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， ∴此时的解析式为 将代入可得 解得 ， 故答案为：． 15. 古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法．如图，点A和点B分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，B地在A地的北方，两地的经度大致相同，且实际距离为800km．当太阳光线在A地直射时，同一时刻在B地测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是．由此估算地球周长约为_______km． 【答案】40000 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，圆的周长．设地球的半径是，由弧长公式得到：的长，求出，即可得到地球周长． 【详解】解：设地球的半径是， 太阳的光线是平行的， ， 的长， ∴ ， 地球周长约是． 故答案为：40000． 16. 如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证和全等得，然后在中由勾股定理求出，则，再根据由三角形的面积求出，进而可得的长． 【详解】解：四边形为正方形，且边长为4， ，， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 由三角形的面积得：， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等；正方形的四条边相等、四个角都是直角；难点是利用三角形的面积公式进行计算． 三、解答题：（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二次根式的混合计算，先计算乘除法，再计算加减法即可，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题的关键 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求出每一个不等式的解集，再找出解集的公共部分即得原不等式组的解集为． 【详解】解：解不等式①： ， ， ， 解不等式②： ， ， ， ∴原不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．利用分式的运算法则化简，再代值计算即可求解． 【详解】解： ， 代入，原式． 20. 在中国古代，数学被称为“算术”或“九章之学”，而几何知识常用于天文、测地、建筑、乃至器物制作中．古人用“矩”、“规”巧妙地构建出各类精妙图形．在这样的背景下，匠人们常以尺规作图解决实际问题，体现“法天则地”的智慧精神． 如今，借助尺规来完成一道几何构造题： 如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下： ①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； ②作直线交于点D，连接； ③以B为圆心，的长为半径作弧，交直线于点E，连接． （1）请用上面方法，用没有刻度的直尺和圆规作出四边形．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，则四边形的面积是__________． 【答案】（1）图见解析 （2）80 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作线段，菱形判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据题干给出的作图方法作图即可； （2）证明四边形为菱形，菱形的性质结合勾股定理，求出菱形的面积即可． 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 解：根据作图可得，垂直平分， ∴，， ∵由作图得，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故答案为：80． 21. 甘州木塔于隋文帝开皇二年（公元582年）重建，至今已有一千多年历史，其建筑技巧集木工、铁工、画师技法于一体，制作精巧，是甘州八景之一（如图①．某数学兴趣小组开展“测量甘州木塔高度”的实践活动，过程如下： 方案设计：如图②，木塔垂直于地面，利用测角仪在木塔同侧的测量点两处分别测得木塔顶端的仰角的度数（，，在同一条直线上），再测得两点之间的距离． 数据收集：测角仪，测得． 问题解决：求甘州木塔的高度（结果精确到）． 参考数据：，，，，，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】甘州木塔的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切定义及计算方法是解答此类问题的关键． 设的长为，则，分别根据三角函数值表示，再列方程求解． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， 设的长为，则 在中，， ， 在中，， ， ∴ 解得， ， ∴， 甘州木塔的高度约为． 22. “宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，最早的“宫商角徵羽”的名称见于距今2600余年的春秋时期，在《管子·地员篇》中，有采用数学运算方法获得“宫、商、角、徵、羽”五个音的科学办法，这就是中国音乐史上著名的“三分损益法”．某音乐玩具的大致结构如图所示，音乐小球从中间A处沿轨道进入周围的5个音槽内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从A处先后两次进入音槽． （1）第一次发出“羽”音的概率为__________； （2）请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徵”音的概率． 【答案】（1） （2），画树状图见解析 【解析】 【分析】本题考查概率公式以及利用树状图求概率； （1）利用概率公式解题即可； （2）先画出树状图，得到总情况总共有25种，再找出符合题意得情况即可求解． 【小问1详解】 解：（1）总共有“宫、商、角、徵、羽”五个音， ∴第一次发出“羽”音的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有25种等可能的结果，其中先发出“角”音，再发出“徵”音的结果只有1种， 先发出“角”音，再发出“徵”音的概率为． 四、解答题：（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 广西水果全国产量第一，而蓬勃发展的快递业，为广西的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．火龙果种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家火龙果种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分： 甲：6、6、7、7、7、8、9、9、9、10 乙：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10 c．配送速度和服务质量得分统计表： 统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 b．服务质量得分统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 ； （填“”“=”或“”)． （2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． 【答案】（1） （2）小丽应选择甲公司，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数和方差，熟练掌握调查统计的相关知识是解题关键． （1）根据中位数和方差的公式求解即可得； （2）根据中位数、平均数和方差的意义进行决策即可得． 【小问1详解】 解：将甲快递公司的配送速度得分按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数的平均数即为中位数， 则， ， ， 则， 故答案为：． 【小问2详解】 解：小丽应选择甲公司. ∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大， 服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， ∴甲更稳定， ∴小丽应选择甲公司. 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）为轴上的一动点，当的面积为3时，求的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，求反比例函数、一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设，则，表示出，，结合得出，求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得，解得， 一次函数的解析式为， 把点代入，得， ∴ 把点代入，得， 反比例函数的解析式为， 【小问2详解】 解：把代入，得， ， 设，则， ，， ， ， 或， 或． 25. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，因为于点E，所以，即可证明是的切线； （2）由，得，因为，，所以，由勾股定理得，求得，则的半径长为3． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点E，交的延长线于点F， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴半径长为3． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 26. 如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，． （1）【问题发现】 如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______； （2）【问题探究】 如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长． 【答案】（1），； （2），，理由见解析； （3）3或15． 【解析】 【分析】（1）延长交于点，证明，，，，进而即可作答； （2）延长交于，交于，推出是等腰直角三角形，，，，，，则，推出四边形为平行四边形，即可作答； （3）分两种情况讨论，分别作答即可． 【小问1详解】 解：延长交于点， 为等腰直角三角形，四边形为正方形， ，，， ， ，， ， ， ， ， 即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，，理由如下： 如图，延长交于，交于， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 四边形为平行四边形， ，； 【小问3详解】 解：分两种情况，情况一：如图， ，， ， 由（1）得， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ； 情况二：如图， 同理得，， ， 综上所述：的长为3或15． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解题的关键是分类讨论画出相应的图形解决问题． 27. 如图1，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点、，点P是直线下方抛物线上一动点，分别连接． （1）求抛物线表达式； （2）当的面积是面积的2倍时，求点P的坐标； （3）将线段沿x轴的负方向平移得到，点A的对应点为点，点C的对应点为点，点Q为点A关于x轴的对称点，连接，在线段平移过程中，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的定义等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键， （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而求出直线的解析式为；设，，则，求出，得到，解方程即可得到答案； （3）先根据题意作图，由平移的性质可知，，，则的值最小就是的最小值， 如图，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，据此利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入，得 ， 解得， 抛物线的解析式为； 小问2详解】 解：过点作轴于点，交线段于点， 由可知， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得， 直线解析式为； 设点的横坐标为， 则，， ， ，， 解得， ， ； 【小问3详解】 解：设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到，将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下： 由平移的性质可知，，， 的值最小就是的最小值， 显然点在直线上运动， 如图，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度． 点关于直线对称的对称的点是，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $