精品解析：青海省西宁市大通回族土族自治县第二完全中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

大通县第二中学2024~2025学年第二学期期中考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章8.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列几何体中，棱数最多的是（ ） A. 五棱锥 B. 三棱台 C. 三棱柱 D. 四棱锥 2. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. 2 C. 1或2 D. 2或 5. 如图，由斜二测画法画水平直观图是的等腰直角三角形，那么它在原平面图形中，顶点到的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 如图，在中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的轴截面是一个面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 平面的形状是正方形 B. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 C. 用一个平面去截球得到的图形是个圆 D. 一个平面的厚度可以是 10. 若复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的实部为1 C. 在复平面上对应的点位于第一象限 D. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 在中，，则的面积为 B. 已知向量，则 C. 在中，若，则是等腰三角形 D. 已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则向量的夹角的余弦值为______. 13. 在中，三边长分为，则最大角和最小角之和是__________. 14. 在一个底面直径为12cm，高为18cm圆柱形水杯中加入水后，水面高度为12cm，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13cm，则球型小钢珠的半径为______cm． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15 已知，，. （1）若，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点满足关系式，求的值. 16. 已知内角，，所对的边分别为，，，若. （1）求角； （2）若，，求的面积. 17. 如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm． （1）求这个圆台型花盆的体积； （2）现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14） 18. 已知，为单位向量，且与的夹角为. （1）若与共线，求实数的值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 19. 已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大通县第二中学2024~2025学年第二学期期中考试 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章8.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列几何体中，棱数最多的是（ ） A. 五棱锥 B. 三棱台 C. 三棱柱 D. 四棱锥 【答案】A 【解析】 【分析】根据棱锥和棱柱的特征逐个求解其棱数进行判断 【详解】因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱， 所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥， 故选：A 2. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线定理及坐标运算列式计算即可. 【详解】因为，所以，则，解出. 故选：D. 3. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求得，进而利用共轭复数的概念求解即可. 【详解】因为，所以，所以，所以. 故选：B. 4. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. 2 C. 1或2 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理即可求. 【详解】由余弦定理得， 化简得，解出或2. 故选：C. 5. 如图，由斜二测画法画的水平直观图是的等腰直角三角形，那么它在原平面图形中，顶点到的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直观图的，再由斜二测画法规则求出顶点到的距离即可. 【详解】在中，，，， 于是得，且原图中即为顶点到的距离， 由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点到的距离是. 故选：D 6. 如图，在中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解. 【详解】由题意知. 故选：C 7. 已知圆锥的轴截面是一个面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该圆锥的底面半径为，则该圆锥的高为，该圆锥母线长为，根据轴截面面积求出，从而求出锥体的表面积. 【详解】设该圆锥的底面半径为，则该圆锥的高为，该圆锥母线长为， 所以，解得或（舍去）， 所以该圆锥的表面积为. 故选：C. 8. 如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形的几何特征，利用正弦定理、余弦定理求解出结果即可. 【详解】，， ，，， ， 在中，米. 在中，由正弦定理得米. 在中，由余弦定理得： ， 米. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 平面的形状是正方形 B. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 C. 用一个平面去截球得到的图形是个圆 D. 一个平面的厚度可以是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用平面的定义判断A，D，利用圆柱，圆台，圆锥的性质判断B，利用球的性质判断C即可. 【详解】由平面的定义得平面没有边界和厚度，故A，D错误， 易得圆柱，圆台，圆锥的底面都是圆，故B正确， 由球的性质得任意平面截球，截面均是圆，故正确. 故选：BC. 10. 若复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的实部为1 C. 在复平面上对应的点位于第一象限 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据乘方的周期性以及复数除法法则化简复数，再判断选项即可. 【详解】因复数， 对于A,B,的虚部为5，实部为1，故A错误，B正确； 对于C，，所以在复平面上对应的点为，位于第一象限，故C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 在中，，则的面积为 B. 已知向量，则 C. 在中，若，则是等腰三角形 D. 已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角形面积公式直接求解可判断A；根据向量坐标运算求解可判断B；记中点为D，根据向量加法运算结合已知可得中线垂直于，然后可判断C；考虑与反向时不满足条件即可判断D. 【详解】，故A正确； ，故B错误； 记的中点为D，由于， 因此中线垂直于，所以是等腰三角形，故C正确； 与的夹角为钝角， 且，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则向量的夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的夹角坐标运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 13. 在中，三边长分为，则最大角和最小角之和是__________. 【答案】 【解析】 分析】先确定最大角和最小角，再根据余弦定理求出角B，最后求出即可. 【详解】设A为的最小角，C为的最大角，由余弦定理可得， 因为，所以，所以，即最大角和最小角之和是. 故答案为：. 14. 在一个底面直径为12cm，高为18cm的圆柱形水杯中加入水后，水面高度为12cm，加入一个球型小钢珠后水面上升到了13cm，则球型小钢珠的半径为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】设球型小钢珠的半径为， 上升水柱的体积， 所以， ， ． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知，，. （1）若，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点满足关系式，求的值. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用复数加法运算结合复数模的运算法则计算即可； （2）利用复数的除法运算化简复数，然后利用复数的几何意义列式计算即可. 【小问1详解】 因为，，，所以， 又，所以，解得或； 【小问2详解】 因为， 所以满足关系式，则，解得. 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若. （1）求角； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】应用正弦定理，边化角可得解； 已知两边和一边对角求面积，可用余弦定理求出第三边，套入面积公式即可. 【小问1详解】 因为，据正弦定理可得， 且，则，可得，解得：； 【小问2详解】 由余弦定理，可知， 代入数值，可得， 解方程可得， 则. 17. 如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm． （1）求这个圆台型花盆的体积； （2）现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14） 【答案】（1）体积为； （2）预计花费6123元． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用圆台体积公式计算得解. （2）求出一个圆台型花盆的侧面积，再结合题设求解即得. 【小问1详解】 圆台型花盆的上底半径，下底半径，母线长，则高， 体积，所以这个圆台型花盆的体积为. 【小问2详解】 由（1）知，圆台型花盆的侧面积， 则（元），所以给1万个同样的花盆全部涂上油漆预计花费6123元. 18. 已知，为单位向量，且与的夹角为. （1）若与共线，求实数的值； （2）求的值； （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量共线定理求解即可； （2）根据结合数量积的运算律求解即可； （3）由题意可得且向量与不共线，再根据数量积的运算律和平面向量共线定理求解即可. 【小问1详解】 因为与共线， 则存在唯一实数，使得， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为，为单位向量，且与的夹角为， 所以， 则； 【小问3详解】 因为向量与的夹角为锐角， 所以且向量与不共线， 由，得， 即，解得， 当向量与共线时， 则存在唯一实数，使得， 所以，解得， 因为向量与不共线，所以， 综上所述，实数的取值范围为. 19. 已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，由余弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可； （2）利用正弦定理将边化角，由三角恒等变化可得，再由正弦型三角函数的值域求解即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 由余弦定理，即， 所以，又为锐角，∴． 【小问2详解】 由正弦定理得， ，， 则 ， 由，可得，， ∴，∴． 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$