精品解析：2025年江西省新余市仙女湖区中考模拟考试数学卷

2024-2025学年江西省中考押题卷（一） 说明： 1．考试范围：押题卷一； 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 如图，这是一个积木的示意图，这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个沙漏计时器，相关实验结果表明，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，从计时器开始计时到计时为止，上面玻璃球内的含沙量（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（ ） A. 乙班视力值的众数是 B. 甲、乙两班视力值的平均数相等 C. 甲、乙两班视力值的中位数相等 D. 视力值的波动程度甲班大于乙班 6. 如图，是一个面积为10的纸片，为中位线，为的中点，为边上不与端点重合的一动点，连接，将四边形绕点顺时针旋转到②位置，将四边形绕点逆时针旋转到③的位置．若，则在点的移动过程中，①，②，③组成的四边形的周长最小值为（ ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 17 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若式子有意义，则实数x的取值范围是________． 8. 聚焦新春主题，各地科技馆将生肖文化、非遗技艺与前沿科技深度融合．其中，中国科技馆举办春节“科技大联欢”主题科普教育活动，引导公众探索春节习俗蕴含的科学元素．春节期间，该馆接待观众超150000人次，其中京外观众占比超过九成．数据150000用科学记数法表示为_____． 9. 如图，将一副三角尺按图中所示的位置摆放，点在上，，则的度数是_____． 10. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索头（绳索头与地面接触）退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．绳索长为_______尺． 11. 如图，图1，图2，图3，……是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则第2025个“山”字中的棋子个数是_____． 12. 如图，，点P在上，且，M是上的点，在上找点N，以为边，P，M，N为顶点作正方形，则的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，在四边形中，，，点在对角线上，连接，．求证：． 14. 解不等式组：并在数轴表示它的解集． 15. 为培养同学们的创新精神和实践能力，某校增设了课后服务实践课程．每位同学可以在（烹饪），（面塑），（武术），（摄影）四门课程中随机选择一门学习． （1）贝贝是该校的一名学生，则他参加“机器人”课程学习是_____事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）； （2）贝贝和欢欢都是该校的学生，他们想参加相同的实践课程，请用列表法或画树状图法求出贝贝和欢欢都参加相同课程的概率． 16. 如图，在矩形中，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的中点． （2）在图2中作点，使得． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，且点在反比例函数的图象上，连接． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求的面积． 四、解答题（本大题共3小题．每小题8分，共4分） 18. 春节期间，某蔬菜经营户每天从蔬菜批发市场批发黄瓜和茄子共50千克到菜市场去卖，其中黄瓜和茄子每天的进价与售价如下表所示： 类别 价格 黄瓜 茄子 进价/（元/千克） 6 7 售价/（元/千克） 10 12 （1）某天该蔬菜经营户花了310元批发这两种蔬菜，求黄瓜和茄子各批发了多少千克． （2）如果该蔬菜经营户每天所售的黄瓜重量不低于茄子的重量，那么应如何进货才能使获得的利润最大？ 19. 回归教材 教材上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小涵受此启发，给出如下不完整的证明过程． 已知：如图，在中，．求证：． 证明：如图，延长至点，使，连接． ， 垂直平分， ． …… （1）请补全剩余的证明过程． 知识应用 （2）如图1，用两个大小不等的直角三角板作拼图，小三角板的斜边与大三角板的直角边正好重合．若，，则的长为________． （3）如图2，在（2）的条件下，若将小三角板沿着射线方向平移，设平移的距离为，当点平移到大三角板的边上时，求出的值． 20. 图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．测得，，，，（结果都保留小数点后一位）． （1）连接，交于点，若，求的长（即雕塑的高度）； （2）求点到的距离（参考数据：，，）． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 数学运算是数学核心素养的重要部分，为了了解九年级学生的数学运算能力，某校对全体九年级同学进行了数学运算水平测试，并随机抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩共分成六组：A．，B．，C．，D．，E．，F．） 等级 A B C D E F 分数 人数 9 11 8 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，_____，_____． （2）在扇形统计图中，求组对应扇形圆心角的度数，并补全频数分布直方图； （3）若该校约有1000名学生，请估计该次数学水平测试成绩超过100分的学生有多少人． 22. 如图1，是的外接圆，是的直径，于点，是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线． （2）如图2，连接，若，，求的半径． 六、解答题（本大题共12分） 23. 定义：抛物线与轴交于，两点，它的顶点为，若，，三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“至美抛物线”． 理解：（1）下列抛物线是“至美抛物线”的是_____．（填序号） ① ② ③ 应用：（2）若“至美抛物线”的顶点坐标为，且，求该抛物线的解析式． 拓展：（3）若“至美抛物线”的顶点坐标为，且，与轴的交点为． ①若“至美抛物线”可以由抛物线平移得到，求点的纵坐标； ②已知点，，若是等腰三角形，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江西省中考押题卷（一） 说明： 1．考试范围：押题卷一； 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】解：A、，是负整数，属于是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； B、0，是整数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； C、，是开方开不尽的数，是无理数，故此选项符合题意； D、，是分数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图，这是一个积木的示意图，这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图是解题关键． 找到从上面看到的图形即可，注意所有的看到的棱都在俯视图中． 【详解】解：从下往下看，得到的图形是 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了单项式的乘法、积的乘方、完全平方公式、合并同类项等知识，根据法则和公式计算后即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 4. 如图，一个沙漏计时器，相关实验结果表明，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，从计时器开始计时到计时为止，上面玻璃球内的含沙量（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，正确理解题意是关键；根据一个30min沙漏计时器，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，即上面玻璃球中含沙量会匀速地减少，在时，含沙量减少到0，以此即可选择. 【详解】解：沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，则相同时间内，玻璃球内的含沙量的减少量相同，上面玻璃球内的含沙量（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系图象大致为一条线段． 故选：A ． 5. 为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（ ） A. 乙班视力值的众数是 B. 甲、乙两班视力值的平均数相等 C. 甲、乙两班视力值的中位数相等 D. 视力值的波动程度甲班大于乙班 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折线图，求平均数，中位数，方差和众数，从折线图中获取信息，求出每组数据的平均数，中位数，方差和乙班的众数，再进行判断即可． 【详解】解：甲班的数据为：， ∴平均数为：； 中位数为：； 方差为： 乙班的数据为：， ∴众数为， 平均数为：； 中位数为：； 方差为：； 故：乙班视力的众数为，甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数，视力值的波动程度甲班小于乙班； ∴D选项描述错误； 故选：D． 6. 如图，是一个面积为10的纸片，为中位线，为的中点，为边上不与端点重合的一动点，连接，将四边形绕点顺时针旋转到②位置，将四边形绕点逆时针旋转到③的位置．若，则在点的移动过程中，①，②，③组成的四边形的周长最小值为（ ） A. 12 B. 14 C. 15 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，矩形的判定和性质．由中位线定理求得，由旋转的性质求得四边形的周长，当时，最小，此时四边形是矩形，据此求解即可． 【详解】解：如图， ∵为中位线， ∴， 由题意得，，，，，， ， ， ， ， 四边形的周长， 当最小时，四边形的周长最小， 当时，最小，此时四边形是矩形， ∵是一个面积为10，， ∴边上的高为， ∵为中位线， ∴， ∴， 四边形的周长最小值是． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若式子有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件列不等式解答即可． 【详解】解：∵式子有意义 ∴，解得：． 故答案为：． 8. 聚焦新春主题，各地科技馆将生肖文化、非遗技艺与前沿科技深度融合．其中，中国科技馆举办春节“科技大联欢”主题科普教育活动，引导公众探索春节习俗蕴含的科学元素．春节期间，该馆接待观众超150000人次，其中京外观众占比超过九成．数据150000用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 9. 如图，将一副三角尺按图中所示的位置摆放，点在上，，则的度数是_____． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，利用外角的性质得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ， ， 由三角形外角的性质可知， ． 故答案为： 10. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索头（绳索头与地面接触）退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．绳索长为_______尺． 【答案】 【解析】 【分析】设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 答：绳索长为尺． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 11. 如图，图1，图2，图3，……是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则第2025个“山”字中的棋子个数是_____． 【答案】10127 【解析】 【分析】本题是一道图形规律的问题，通过归纳与总结，得到其中的规律：第个“山”字中的棋子个数是，即可解答． 【详解】解：由题目得，第1个“山”字中的棋子个数是； 第2个“山”字中的棋子个数是； 第3个“山”字中的棋子个数是； 第4个“山”字中的棋子个数是． 进一步发现规律： 第个“山”字中的棋子个数是． 当时，． 故答案为：10127． 12. 如图，，点P在上，且，M是上的点，在上找点N，以为边，P，M，N为顶点作正方形，则的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况，一是正方形以为对角线，则，所以，此时点M在点P的左侧或右侧，的长相同；二是正方形以为对角线，且点M在点P的左侧，则，所以，则；三是正方形以为对角线，且点M在点P的右侧，则，所以 【详解】解：如图，正方形以为对角线，且点M在点P的左侧，     ，，， ∴， 根据勾股定理可得：，即， 解得∶， ∴， ∵， ； 当正方形以为对角线，且点M在点P的右侧时，； 如图2，正方形以为对角线，且点M在点P的左侧， ，， ∴， 根据勾股定理可得：，即， 整理得：， ， ， 解得； 如图3，正方形以为对角线，且点M在点P的右侧，     ，， ， 解得， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或 【点睛】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、含30度角直角三角形的特征，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，依据正方形的对角线的不同和点M的位置的不同，正确地进行分类是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，在四边形中，，，点在对角线上，连接，．求证：． 【答案】（1）2；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，实数的运算等知识，解题的关键是： （1）利用算术平方根的定义，负整数指数幂的意义，过点作的意义化简计算即可； （2）利用等边对等角，平行线的性质可得出，然后利用相似的判定即可得证． 【详解】（1）解：原式 ； （2）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴ 又， ∴． 14. 解不等式组：并在数轴表示它的解集． 【答案】－2＜x≤1，在数轴上表示见解析. 【解析】 【分析】分别解出每个不等式后再求不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可. 【详解】 不等式①的解集为x＞－2 不等式②的解集为x≤1 ∴原不等式组的解集为－2＜x≤1 ， 解集在数轴上表示为 .【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是熟悉解一元一次不等式组的解法，并会在数轴上表示不等式组得解集. 15. 为培养同学们的创新精神和实践能力，某校增设了课后服务实践课程．每位同学可以在（烹饪），（面塑），（武术），（摄影）四门课程中随机选择一门学习． （1）贝贝是该校的一名学生，则他参加“机器人”课程学习是_____事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）； （2）贝贝和欢欢都是该校的学生，他们想参加相同的实践课程，请用列表法或画树状图法求出贝贝和欢欢都参加相同课程的概率． 【答案】（1）不可能； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，列表法或树状图法，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据随机事件，必然事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可； （）用列表法表示贝贝和欢欢所有选择可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：他参加“机器人”课程学习是不可能事件， 故答案为：不可能； 【小问2详解】 解：用列表法表示贝贝、欢欢所有等可能出现的结果如下： 共有种等可能出现的结果，其中，贝贝和欢欢参加相同课程的结果有种， ∴贝贝和欢欢参加相同课程的概率为． 16. 如图，在矩形中，是对角线上一点，且．请仅用无刻度的直尺分别按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的中点． （2）在图2中作点，使得． 【答案】（1）如图，点P即为所求： （2）如图，点N即为所求： 【解析】 【分析】（1）根据得到，作直线，交于点，则点P即为所求． （2）连接交于点O，作直线，交于点G，作直线，交于点N，则点N即为所求． 本题考查了矩形的性质，三角形相似的应用，尺规作图，熟练掌握性质和尺规作图是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故作直线，交于点， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即P为的中点； 【小问2详解】 略 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，且点在反比例函数的图象上，连接． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）12 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，解题的关键是： （1）把，代入，可求出n，m的值，然后把代入求解即可； （2）求出C的坐标，可判定轴，然后利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入， 得， 解得，， ∴，，， 把代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∵， ∴，轴， 又， ∴的面积为． 四、解答题（本大题共3小题．每小题8分，共4分） 18. 春节期间，某蔬菜经营户每天从蔬菜批发市场批发黄瓜和茄子共50千克到菜市场去卖，其中黄瓜和茄子每天的进价与售价如下表所示： 类别 价格 黄瓜 茄子 进价/（元/千克） 6 7 售价/（元/千克） 10 12 （1）某天该蔬菜经营户花了310元批发这两种蔬菜，求黄瓜和茄子各批发了多少千克． （2）如果该蔬菜经营户每天所售的黄瓜重量不低于茄子的重量，那么应如何进货才能使获得的利润最大？ 【答案】（1）黄瓜和茄子分别批发了40、10千克； （2）每天黄瓜和茄子各进25千克利润最大． 【解析】 【分析】（1）已知黄瓜和茄子的总质量及进货总金额，用二元一次方程求得各批发了多少千克； （2）根据黄瓜重量不低于茄子的重量，求得m取值的范围，求最大利润可用一次函数求最大值解决． 【小问1详解】 解：设黄瓜和茄子各批了x，y千克，根据题意可得： ，解得：． 答：黄瓜和茄子分别批发了40、10千克； 【小问2详解】 解：设黄瓜每天售出m千克．如果每天所售的黄瓜重量不低于茄子的重量， 则有：， 解得：． 用S表示每天获得和利润，根据题意可列出S与m的关系式： ， 由关系式可知，S随m的增大而减小， ∴当时，最大． 答：每天黄瓜和茄子各进25千克利润最大． 【点睛】本题考查了二元一次方程或一元一次方程的解法及应用以及一次函数的性质及应用．需要充分理解函数对变化过程的刻画，理解函数值随自变量的变化而变化． 19. 回归教材 教材上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小涵受此启发，给出如下不完整的证明过程． 已知：如图，在中，．求证：． 证明：如图，延长至点，使，连接． ， 垂直平分， ． …… （1）请补全剩余的证明过程． 知识应用 （2）如图1，用两个大小不等的直角三角板作拼图，小三角板的斜边与大三角板的直角边正好重合．若，，则的长为________． （3）如图2，在（2）的条件下，若将小三角板沿着射线方向平移，设平移的距离为，当点平移到大三角板的边上时，求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，平移的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可求，可证是等边三角形，可得，可求解； （2）由在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可求，，即可求解； （3）由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求，的长，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使，连接． ， 垂直平分， ． 又， ， ， 是等边三角形， ， 即； （2）解：，，， ， ，， ， 故答案为：； （3）解：作交于，交于． ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 当点平移到线段大三角板的边上时，或 20. 图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．测得，，，，（结果都保留小数点后一位）． （1）连接，交于点，若，求的长（即雕塑的高度）； （2）求点到的距离（参考数据：，，）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意可得，，在中，解直角三角形，分别求出，即可得出结果． （2）先证明四边形是矩形，得，把数值代入以及进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， ， ， ，， ， ， 在中，， ； ， ， 在中，， ， ， 答：（即雕塑的高度）的长为． 【小问2详解】 解：如图，过点分别作，， ∴， 则四边形是矩形， ． ，且由（1）得 则在中， 由（1）得 ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 数学运算是数学核心素养的重要部分，为了了解九年级学生的数学运算能力，某校对全体九年级同学进行了数学运算水平测试，并随机抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩共分成六组：A．，B．，C．，D．，E．，F．） 等级 A B C D E F 分数 人数 9 11 8 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，_____，_____． （2）在扇形统计图中，求组对应扇形圆心角的度数，并补全频数分布直方图； （3）若该校约有1000名学生，请估计该次数学水平测试成绩超过100分的学生有多少人． 【答案】（1）15，2，18 （2）； 补全频数分布直方图如下： ； （3）估计该次数学水平测试成绩超过100分的学生有480人． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息，熟悉样本估计总体的方法是解题的关键． （1）根据B组的占比可求得的值，利用总数减至其余各组的人数可求得的值，利用A组所占百分比，即可求解； （2）求出组所占百分比，再乘以360度即可得到扇形统计图中组所对应的扇形圆心角的度数；根据（1）的结果，再补全频数分布直方图； （3）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：， ， A组的占比为， 因此． 故答案为：15，2，18； 【小问2详解】 解：， 则组对应扇形圆心角的度数为． 【小问3详解】 解：，（人）， 因此，估计该次数学水平测试成绩超过100分的学生有480人． 22. 如图1，是的外接圆，是的直径，于点，是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线． （2）如图2，连接，若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ， ． 于点， ， ， ． ， ， ． 是的半径， 是的切线． （2）4 【解析】 【分析】（1）如图，连接．根据，得出．根据得出，等量代换得出，结合，即可得，即可证明． （2）如图，连接，根据垂径定理得出，，，结合，得出，即可得，求出，．在中，解直角三角形求出，即可得出的半径长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ，， ，， ， 又， ， ． ， ， ， ， ， ∵， ． 在中，， 的半径长为4． 【点睛】该题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，解直角三角形，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 六、解答题（本大题共12分） 23. 定义：抛物线与轴交于，两点，它的顶点为，若，，三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线叫作“至美抛物线”． 理解：（1）下列抛物线是“至美抛物线”的是_____．（填序号） ① ② ③ 应用：（2）若“至美抛物线”的顶点坐标为，且，求该抛物线的解析式． 拓展：（3）若“至美抛物线”的顶点坐标为，且，与轴的交点为． ①若“至美抛物线”可以由抛物线平移得到，求点的纵坐标； ②已知点，，若是等腰三角形，直接写出的值． 【答案】（1）①③；（2）；（3）①；②3或4 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）分别求出抛物线与轴的交点坐标，顶点坐标，根据新定义，进行求解即可； （2）根据顶点坐标，得到对称轴，进而求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）①根据平移，得到，同法（2）求出抛物线的解析式即可；②分，，，3种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 当时，则：， ∴，； 故①是“至美抛物线”； ∵， ∴， 故②不是“至美抛物线”； ∵， ∴， 当时，则：， ∴，； 故③是“至美抛物线”； 故答案为：①③； （2）抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴交于，两点，， 点的坐标为，点的坐标为，， 设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， 抛物线的解析式为． （3）①“至美抛物线”的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线，且为整数， ， 点的坐标为，点的坐标为， “至美抛物线”可以由抛物线平移得到， ， 设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， 抛物线的解析式为， ∴当时，， 点的坐标为； ②抛物线的顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 当时，，解得， 为整数， 不符合题意，舍去； 当时，，解得， 为整数， 不符合题意，舍去； 当时，，解得或． 综上所述，的值为3或4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $