19.2.2 一次函数（第2课时 一次函数的图象和性质）　课件 2024-2025学年人教版八年级数学下册

19.2 一次函数 19.2.2 一次函数 第十九章 一次函数 第2课时 一、创设情境，引入新课 展示一些与实际生活息息相关的图片．在我们的生活中，有许许多多这样的图案，这些图案中蕴含着某些规律，人们利用这些规律，能更合理地作出决策或预测． 一、创设情境，引入新课 在前面，我们已经学会了绘制正比例函数的图象，那么一次函数的图象中又蕴含着什么规律，这节课我们就来研究一次函数的图象与性质．首先，我们来复习一下前面所学习的有关知识． 复习提问： (1)作函数图象有哪几个主要步骤？ (2)前面我们探究得到的正比例函数的图象有什么特征？ (3)作正比例函数的图象需要描出几个点？ 二、抽象概括，总结模型 探究前的思考： （1）正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是一条直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗？ （2）从解析式上看，一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kx只相差一个常数b，体现在图象上，又会有怎样的关系呢？ （3）函数y＝kx＋b，大家想研究什么？应该怎样研究？ 二、抽象概括，总结模型 结论：在研究函数y＝kx＋b(k≠0)的性质方法如下：画图象→观察图象→性质． 正比例函数 解析式 y =kx（k≠0） 性质：k＞0，y 随x 的增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而减小． 一次函数 解析式 y =kx+b（k≠0） 　　针对函数 y =kx+b，大家想研究什么？应该怎样研究？ 图象：经过原点和 （1，k）的一条直线 x y O k＞0 k＜0 x y O ？ ？ 提出问题 2 -2 -4 -6 -3 3 x y O 描点 连线 列表 　　画一次函数 y =2x-3 的图象． y =2x-3 y =2x x … -2 -1 0 1 2 … y=2x-3 … -7 -5 -3 -1 1 … 新知探究一： 一次函数y=kx+b的图象与直线y=kx的关系 y=2x … 0 2 … 1.观察：函数y=2x－3的图象 它可以看作由直线y=2x向 平移 个单位长度而得到. -4 -2 4 下 3 2.探究：比较两个函数的解析式、图象，你能说出两个函数的图象有上述关系的理由吗？ 2 -2 -4 -6 -5 5 x y O y =2x-3 y =2x A B C 新知探究一： 一次函数y=kx+b的图象与直线y=kx的关系 x … -2 -1 0 1 2 … y=2x-3 … -7 -5 -3 -1 1 … y=2x … 0 -2 2 … 4 -4 y=﹣2x+3 y=﹣2x O 新知探究一： 一次函数y=kx+b的图象与直线y=kx的关系 新知探究一： 一次函数y=kx+b的图象与直线y=kx的关系 4.猜想：一次函数y=kx+b的图象是什么形状，它与直线y=kx有什么关系？ 3. 你的结论有一般性吗？ 任意说出一个一次函数，不画图说一说它 图象的形状？是怎样得到的？ 归纳： ⒊ 当b>0时直线y=kx+b可由直线y=kx向上平移b个 单位得到，当b<0时，直线y=kx+b可由直线y=kx向 下平移 个单位得到。 ⒈ 当k>0时，图象经过第一、三象限(b>0时，图 象还经过第二象限，b<0时，图象还经过第四象限) 从左到右直线上升，y随着x的增大而增大； ⒉ 当k<0时，图象经过第二、四象限(b>0时，图 象还经过第一象限，b<0时，图象还经过第三象限) 从左到右直线下降，y随着x的增大而减小； 　　由这四个函数的图象联想：一次函数 y＝kx＋b（k，b 是常数，k≠0）中，随着 x 的增大，y 的值分别如何变化？ x y O －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 －1 －2 1 2 4 3 5 y＝2x＋3 y＝－x y＝－x＋3 y＝5x－2 思考 　　观察前面一次函数的图象，可以发现规律： 　　当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大； 　　当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小． 新知 　　直线 y＝kx＋b 的变化趋势和倾斜程度，都只由 k 决定． 　　当 k＞0 时，直线 y＝kx＋b 从左向右上升；当 k＜0 时，直线 y＝kx＋b 从左向右下降．由此可知，一次函数 y＝kx＋b （k，b 是常数，k≠0）具有如下性质： 　　直线 y＝2x＋3 与直线 y＝－x＋3 有什么共同点？一般地，你能从函数 y＝kx＋b 的图象上直接看出 b 的数值吗？ 　　两条直线与 y 轴相交于同一点(0，3)． x y O －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 －1 －2 1 2 4 3 5 y＝2x＋3 y＝－x y＝－x＋3 y＝5x－2 思考 　　直线 y＝kx＋b与 y 轴交点的坐标就是(0，b)，一般能从函数 y＝kx＋b的图象上直接看出 b 的数值． 　　这四个函数的图象分别经过哪些象限？ 　　（1）函数 y＝2x＋3 的图象经过__________________象限； 　　（2）函数 y＝－x 的图象经过___________象限； 第二、第四 第一、第二、第三 x y O －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 －1 －2 1 2 4 3 5 y＝2x＋3 y＝－x y＝－x＋3 y＝5x－2 问题 　　（3）函数 y＝－x＋3的图象经过_________________象限； 　　（4）函数 y＝5x－2的图象经过_________________象限． 第一、第三、第四 第一、第二、第四 x y O －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 －1 －2 1 2 4 3 5 y＝2x＋3 y＝－x y＝－x＋3 y＝5x－2 　　这四个函数的图象分别经过哪些象限？ 问题 　　如何确定一次函数 y＝kx＋b (k≠0)所经过的象限呢？ y＝kx＋b (k≠0) k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图象 经过象限 O x y O x y O x y O x y O x y O x y 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 总结 1. 在直角坐标系中，函数 y=-5x+3 的图象经过（ ） A. 一、二、三象限 C. 二、三、四象限 B. 一、二、四象限 D. 一、三、四象限 B -5<0，经过第二、四象限；3>0，经过y的正半轴. 2.下列关于一次函数 y=3x-1与 x 轴、y 轴的交点，y 随着 x 的增大的变化情况叙述正确的是（ ） A. （0，1）、（，0）、增大 C. （0，1）、（，0）、减小 B. （0，-1）、（，0）、增大 D. （0，-1）、（，0）、减小 B 1.已知函数 y=(m+2)x-n 的图象经过第一、第二、第三象限，求 m、n 的取值范围. 解：因为函数 y=(m+2)x-n 的图象经过第一、第二、第三象限， 所以 m+2>0，-n>0，解得： m>-2，n<0. 2.正确填写下列各空. 已知函数y=4x+1，它是由直线y=4x向 平移 个单位长度得到的； 1 上 已知函数y=x，它向下平移3个单位长度得到的直线是 ； 向上平移5个单位长度得到的直线是 . y=x-3 y=x+5 课堂小结 一次函数图象及画法 图象 画法 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b. ①两点法：两点确定唯一一条直线； ②平移法：由直线y=kx向上或向下平移. 1.已知函数 y=(m+2)x-n 的图象经过第一、第二、第三象限，求 m，n 的取值范围. 解：因为函数 y=(m+2)x-n 的图象经过第一、第二、第三象限， 所以 m+2>0，-n>0，解得 m>-2，n<0. 随堂练习 2. 填空. 已知直线y=4x+1，它是由直线y=4x向 平移 个单位长度得到的； 1 上 已知直线y=x，将它向下平移3个单位长度得到的直线是 ； 向上平移5个单位长度得到的直线是 . y=x-3 y=x+5 2.一次函数 的图象不经过( ) B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 25 已知一次函数y=(2m+2)x+(3-n)，根据下列条件，请你求出m,n的取值范围. (1)y随x的增大而增大； (2)直线与y轴交点在x轴下方； (3)图象经过第二、三、四象限. 巩 固 练 习 已知一次函数y=(2m+2)x+(3-n)，根据下列条件，请你求出m,n的取值范围. (1)y随x的增大而增大； 所以当m>-1时，y随x的增大而增大； 解：(1)由y随x的增大而增大可知2m+2>0， 巩 固 练 习 已知一次函数y=(2m+2)x+(3-n)，根据下列条件，请你求出m,n的取值范围. (2)直线与y轴交点在x轴下方； 所以m≠-1，n>3. 解：(2)由直线与y轴交点在x轴下方可知3-n<0， 所以当n>3时，直线与y轴交点在x轴下方， 且有2m+2≠0，即m≠-1， 巩 固 练 习 3.在同一直角坐标系中，对于函数：①y=-x-1，②y=x+1，③y=-x+1，④y=-2x-1的图象，下列说法不正确的是( ) A.通过点(-1，0)的是①和③ B.两直线的交点在y轴负半轴上的是①和④ C.相互平行的是①和③ D.关于y轴对称的是②和③ A 4.已知正比例函数y=(k-3)x，若y随x的增大而增大，则k的取值范围是( ) A.k＜0 B.k＞0 C.k＜3 D.k＞3 D 5.若一次函数y=(2m-1)x+3-2m的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是m＜ . 6.下列关于一次函数y=-2x+1的说法：①y随x的增大而减小； ②图象与直线y=-2x平行；③图象与y轴的交点坐标是(0，1)； ④图象经过第一、二、四象限.其中正确的有 个. 4 7.已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m的图象与 y轴的交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值 . 解: 由题意得 解得 又∵m为整数, ∴m＝2. 1.（3分）点P（a，b）在函数y=4x+3的图象上，则代数式8a-2b+1的值等于（ ） A．5 B．-5 C．7 D．-6 【解答】解：∵点P（a，b）在一次函数y=4x+3的图象上， ∴b=4a+3， ∴8a-2b+1=8a-2(4a+3)+1=-5， 即代数式8a-2b+1的值等于-5． 故选：B． 感受中考 2.（3分）将直线y=-6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式 ． 【分析】根据解析式“上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：将直线y=-6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y=-6x-2， 故答案为：y=-6x-2． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数解析式“上加下减”的原则是解答此题的关键． 感受中考 3.（3分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6 【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后， 得到y＝2（x+3）+m﹣1， 把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1， 解得m＝﹣5． 故选：A． 【点评】主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键． 感受中考 $$