精品解析：吉林省长春市等3地2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

2024~2025学年度高二第二学期期中考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前、先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了12个接种点，在乡镇设立了29个接种点．某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（ ） A. 31种 B. 358种 C. 41种 D. 348种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点,由加法原理计算可得答案. 【详解】该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点，所以共有种不同接种点的选法． 故选：C． 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，代入则得到斜率，再得到点斜式方程. 【详解】对函数求导得,故当时,斜率， 又切线过点，故切线方程为，即 故选：C. 3. 已知函数，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】解：根据题意，，则， 又． 故选：D． 4. 在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（ ） A. 20 B. 160 C. 120 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】首先写出二项式展开式通项，再由二项式系数的性质确定最大系数对应项，即可求项的系数. 【详解】由题设，展开式通项为，， 由于二项式共有7项，故第四项的二项式系数最大，即， 所以，对应项系数为. 故选：B 5. 已知函数的导函数为，满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】应用导数的加减法则对函数求导得，代入求得，进而求. 【详解】由题设，可得，故， 所以，故. 故选：A 6. 将5名同学分配到三个班，每班至少1名同学，则不同的分配方法有（ ） A. 60种 B. 180种 C. 150种 D. 300种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先将5名同学分成三组，然后再分配，即可得到结果. 【详解】将5名同学分成三组，有两种情况； 情况一：按分组，有种情况； 情况二：按分组，有种情况； 然后分配到三个班级，有种情况. 故选：C. 7. 已知函数存在减区间，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数存在减区间,则有解可求解. 【详解】由题可知, 因为函数存在减区间,则有解, 即有解, 令,, 令解得 ; 令,解得 , 所以在单调递减, 单调递增, 所以, 因为有解,所以, 解得. 故选:D. 8. 已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线与相切时的斜率，作出函数与的图象，由数形结合求解即可. 【详解】设与相切于点， 则，解得，此时， 由得，由可得，此时切点为， 作出函数与的图象如图， 由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数在区间上的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导函数的图象判断原函数的单调性，以及极值点，即可判断和选择. 【详解】由的图象可知： 在上单调递增，在单调递减， 在单调递增，在单调递减，在单调递增，则正确. 故选：BD． 10. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式的所有系数和为1 B. 展开式的第4项二项式系数最大 C. 展开式中不含项 D. 展开式的常数项为240 【答案】ABD 【解析】 【分析】在二项式中令，可判断A选项；利用二项式系数和可判断B选项；写出二项展开式，令的指数为，可判断C选项；令的指数为零，求出参数的值，代入展开式通项可判断D选项. 【详解】对于A选项：令，可得二项式的展开式中所有项的系数和为，故A正确； 对于B选项：因为指数为偶数，即， 所以展开式的第项二项式系数最大，故B正确； 展开式通项为， 对于C选项： 令，解得， 所以展开式中含项，故C错误； 对于D选项：令，可得， 故展开式中常数项为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数a，使得的图象关于点对称 B. 任意的实数a，b，函数恒有两个极值点 C. 设为的极值点，则 D 当时，若（其中），则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，当时，，显然满足题意；对于B，只需判断是否有两个不同的根即可；对于C，由可得，进而可得，结合不等式即可判断；对于D，由对等式进行化简，结合不等式即可求解的范围. 【详解】对于A，当时，，A选项正确； 对于B，，因为，所以有两个不相等的实数根，即恒有两个极值点，B选项正确； 对于C，易知，C选项错误； 对于D，当时，由（其中）可知，， 即，所以， 所以， 所以，D选项正确； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算______. 【答案】 【解析】 【分析】应用排列数公式求值即可. 【详解】. 故答案为： 13. 已知函数，则在上的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】连续函数在闭区间上必有最值，将在上的极值与区间端点处的函数值进行比较即可求解 【详解】， 令，解得， 令，解得或， 所以在上单调递增，在，上单调递减． ，， 所以． 故答案为： 14. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为____________． 【答案】72 【解析】 【分析】根据题意，分4步依次分析区域、、、、的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【详解】分4步进行分析： ①，对于区域，有4种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种； 故答案为：72 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数，且为极值点. （1）求实数的值； （2）判断是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，即可得解； （2）根据极大值点，极小值点的定义即可判断出极大值点和极小值点，进而可求出极大值和极小值. 【小问1详解】 ， 因为为函数的极值点， 所以，解得， 经检验符合题意，所以； 【小问2详解】 由（1）得，， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以为极大值点，极大值为， 为极小值点，极小值为. 16. 已知展开式中x的次数最大为4. （1）求这个二项式的n值； （2）求这个展开式的一次项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二项式展开式的通项代入计算，即可得到结果； （2）结合（1）中的通项代入计算即可. 【小问1详解】 展开式的通项公式为 ， 当时，x的次数最大，即，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，，令，解得， 即， 所以展开式的一次项为. 17. （1）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，有多少种排法？ （2）一场班级元旦晚会有4个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单，第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ （3）从4个男青年教师和5个女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种选法？ 【答案】（1）；（2）；（3）； 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法计算可得； （2）首先选2个唱歌节目排在首尾，其余全排列，按照分步乘法计数原理计算可得； （3）分安排2名男生和2名女生、3名男生和1名女生两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得； 【详解】解：（1）依题意甲、乙、丙3人必须相邻，则将甲、乙、丙3人捆绑在一起，则排法有种； （2）首先选出2个唱歌节目排在首尾，剩下的4个节目在中间排列，排法有种； （3）依题意，问题可以分为两类： 第一类，安排2名男生和2名女生参加，则有种选法； 第一类，安排3名男生和1名女生参加，则有种选法； 根据分类加法计数原理可得一共有种选法； 18. 某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”）． （1）试将年利润w万元表示为年广告费x万元函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？ （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ 【答案】（1）w,企业亏损（2）当年广告费投入7万元时，企业年利润最大 【解析】 【分析】（1）先计算售价为，再计算利润为，化简得到答案. （2）化简得到，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由题意，每件售价为150%50%， 则 ， 则当x＝100时，w0，故企业亏损． （2） （当且仅当x＝7时等号成立）． 故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大． 【点睛】本题考查了函数和均值不等式的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19. 已知函数，（其中是自然对数的底数，）. （1）若函数在处取得极值，求函数的单调区间； （2）若函数和均存在极值点，且函数的极值点均大于的极值点，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数的单调增区间为和，单调减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数在处取得极值，求得的值，根据导数与函数的关系即可确定函数的单调区间； （2）根据函数和均存在极值点，先确定函数的极值点，需要讨论的单调性，从而可得函数的极值点，再得确定函数的极值点，由函数的极值点均大于的极值点，即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：，由题意知，解得， 经验证，当时，在处取得极大值， 此时，定义域为，所以， 解的解集为，的解集为， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为； 【小问2详解】 解：，令，则， ①当时，在上恒成立，单调递减， 又因为，，所以存在，使得， 易知是函数的极大值点， ，令，解得或， 易知极大值点，极小值点为1， 由题意可知，成立，则有，解得； ②当时，由（1）及①可知，0既是函数的极大值点，又是的极大值点， 不符题意，所以舍去； ③当时，的解集为，的解集为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为有极值点，所以有两个零点，所以应有，解得， ，令，则，令， 因为时，由上述论证可知，恒成立，所以， 即在上单调递增，又因为，所以在上恒成立， 所以，又因为. 所以存在，使得，即是函数的极值点， 易知1是的极值点，而，不符题意，所以舍去. 综上，的取值范围为. 【点睛】本题是关于函数极值点问题的研究，解题的关键是对于函数而言，其极值点求解时需要讨论的单调性，当导函数的零点无法直接解出来时，需要用“隐零点”呈现，设零点，通过整体代换和过度再结合题目条件解决；当导函数的零点可以求解释，需要确定是函数的极大值点还是极小值点，再结合已知处理即可.在这类问题中，理解极值点与单调性的关系是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度高二第二学期期中考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前、先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了12个接种点，在乡镇设立了29个接种点．某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（ ） A. 31种 B. 358种 C. 41种 D. 348种 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 4. 在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（ ） A. 20 B. 160 C. 120 D. 80 5. 已知函数的导函数为，满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 8 6. 将5名同学分配到三个班，每班至少1名同学，则不同的分配方法有（ ） A. 60种 B. 180种 C. 150种 D. 300种 7. 已知函数存在减区间，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数在区间上的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极小值 10. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式的所有系数和为1 B. 展开式的第4项二项式系数最大 C. 展开式中不含项 D. 展开式的常数项为240 11. 已知函数，则下列说法正确是（ ） A. 存在实数a，使得的图象关于点对称 B. 任意的实数a，b，函数恒有两个极值点 C. 设为极值点，则 D. 当时，若（其中），则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算______. 13. 已知函数，则在上的最小值是______． 14. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数，且为极值点. （1）求实数的值； （2）判断是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值. 16. 已知展开式中x的次数最大为4. （1）求这个二项式n值； （2）求这个展开式的一次项. 17. （1）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，有多少种排法？ （2）一场班级元旦晚会有4个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单，第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ （3）从4个男青年教师和5个女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种选法？ 18. 某制药厂准备投入适当广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”）． （1）试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？ （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ 19. 已知函数，（其中是自然对数的底数，）. （1）若函数在处取得极值，求函数的单调区间； （2）若函数和均存在极值点，且函数的极值点均大于的极值点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$