专题2.3 指数与指数函数（七类重难点题型精练）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点题型】精练（新教材新高考）

专题2.3 指数与指数函数 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 指数运算、指数方程与指数不等式 重难点题型2 指数函数的图像与性质 重难点题型3 指数型“复合函数”的单调性与最值 重难点题型4 指数中的”恒成立”问题 重难点题型5 比较大小 重难点题型6 指数的实际应用 重难点题型7 综合应用 重难点题型1 指数运算、指数方程与指数不等式 1．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川乐山·三模）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西临汾·三模）已知，，则（   ） A．3 B．1 C． D． 4．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）若，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 5．（2025·陕西·三模）已知函数，则 ． 6．（2024·海南海口·模拟预测）已知，，则 ． 重难点题型2 指数函数的图像与性质 1．（2025·河北·二模）已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（   ）    A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 2．（2025·全国·模拟预测）设直线分别交曲线与曲线于两点，若点在上，满足为等边三角形，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国·模拟预测）（多选题）在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·贵州毕节·二模）已知函数且的图象过定点，则点的坐标是 . 7．（2023·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 . 8．（2023·河南郑州·一模）设函数则满足的x的取值范围是 ． 重难点题型3 指数型“复合函数”的单调性与最值 1．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州毕节·二模）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 5．（2024·广东深圳·一模）已知，则的解集为 ． 6．（2022·河南·模拟预测）函数在的值域为 ． 7．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.若的定义域为，则的定义域为： ；若，的值域为，则的取值范围是： . 8．（2022·福建龙岩·一模）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是 ． 重难点题型4 指数中的“恒成立问题” 1．（2025·江西·二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·全国·模拟预测）若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2023·重庆·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，若不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围是 ． 5．（20-21高三上·上海松江·期中）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 6．（2004·湖南·高考真题）若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是 . 重难点题型5 比较大小 1．（2025·河北石家庄·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津红桥·二模）若则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·浙江杭州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（18-19高一上·福建漳州·期末）若a＝40.9，b＝log415，c＝80.4，则（　　） A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b 6．（23-24高一下·湖北·开学考试）比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 重难点题型6 指数的实际应用 1．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（    ）（注：，） A．30 B．31 C．32 D．33 2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明.《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每月的“进步”率和“退步”率都是，那么大约经过（    ）月后“进步”的是“退步”的一万倍. A．20 B．21 C．22 D．23 3．（22-23高三上·江苏南通·期中）“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式，若经过5年，二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：）（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 4．（2022·江苏连云港·模拟预测）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过．一杯茶泡好后置于室内，分钟、分钟后测得这杯茶的温度分别为、，给出三个茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的函数模型：①；②；③．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（    ）（参考数据：，） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 5．（2021·云南昆明·三模）已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当时，y的值表示2021年年初的种群数量.若年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为(参考值：)（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．（2021·黑龙江齐齐哈尔·二模）碳测年法是由美国科学家马丁·卡门与同事塞缪尔·鲁宾于年发现的一种测定含碳物质年龄的方法，在考古中有大量的应用放射性元素的衰变满足规律（表示的是放射性元素在生物体中最初的含量与经过时间后的含量间的关系，其中（为半衰期）．已知碳的半衰期为年，，经测量某地出土的生物化石中碳含量为，据此推测该化石活体生物生活的年代距今约（结果保留整数，参考数据）（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 重难点题型7 综合应用 1．（2023·浙江温州·三模）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东茂名·一模）（多选题）已知函数，则（    ） A．当时，是增函数 B．当时，的值域为 C．当时，曲线关于点对称 D．当时，，则 3．（2023·上海徐汇·一模）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为8，则正实数的取值范围是 . 4．（2024·北京海淀·三模）设函数（且）．给出下列四个结论： ①当时，存在，方程有唯一解； ②当时，存在，方程有三个解； ③对任意实数（且），的值域为； ④存在实数，使得在区间上单调递增； 其中所有正确结论的序号是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 指数与指数函数 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 指数运算、指数方程与指数不等式 重难点题型2 指数函数的图像与性质 重难点题型3 指数型“复合函数”的单调性与最值 重难点题型4 指数中的”恒成立”问题 重难点题型5 比较大小 重难点题型6 指数的实际应用 重难点题型7 综合应用 重难点题型1 指数运算、指数方程与指数不等式 1．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求二次函数的值域或最值、指数幂的运算 【分析】由指数运算可得，再由二次函数可得的最大值. 【详解】因为，所以即， 故即，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 2．（2025·四川乐山·三模）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可. 【详解】由可得，又因为， 所以， 故选：B. 3．（2025·山西临汾·三模）已知，，则（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】根据指数，对数的运算性质即可求解. 【详解】由，可得，， 则， 故选：B 4．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）若，则（    ） A．60 B．45 C．30 D．15 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】利用指数，对数的运算进行化简求值即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 5．（2025·陕西·三模）已知函数，则 ． 【答案】2783 【难度】0.65 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、指数幂的化简、求值 【分析】将化为，可得。由此采用两项并项求和，即可求得答案. 【详解】由知， 设，则， 对照系数，得，则，即， 则， 的图象关于点中心对称； 故． 即 ， 故答案为：2783 6．（2024·海南海口·模拟预测）已知，，则 ． 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算 【分析】利用指数的运算法则计算即可. 【详解】由题可知 故答案为：3 重难点题型2 指数函数的图像与性质 1．（2025·河北·二模）已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（   ）    A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数、根据指数型函数图象判断参数的范围、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由指数型函数的性质图象求得参数，根据二次函数的性质，结合相关函数的单调性，逐项检验即得. 【详解】因，函数的图象在上为减函数，则，即得，又图象经过点，即，故得，解得， 于是，，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为， 对于A，因函数在上单调递增， 则，即的图象与轴没有交点， 又的图象与轴有唯一交点，即的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误； 对于C，关于的方程的实根个数，等于直线与曲线的交点个数， 由A项，因，则直线与曲线的交点个数为0，故C错误； 对于B，的图象的对称轴是直线，在轴右侧，故B错误； 对于D，因的图象对称轴：，在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 2．（2025·全国·模拟预测）设直线分别交曲线与曲线于两点，若点在上，满足为等边三角形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、指数函数图像应用 【分析】求出点坐标，代入函数解析式求解. 【详解】由得，即，由得，即， 所以，为等边三角形，如图，则， 所以，解得， 故选：C. 3．（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据题意只需要为定值即可，则，即可求得. 【详解】令，则， 则， 所以函数的图象一定过点. 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）若函数至少有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】指数函数图像应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意，问题转化为与的图象有交点，数形结合求解. 【详解】函数有零点，则方程有根，即有根， 因此函数的图象与直线有交点， 而函数是R上的偶函数，在上单调递减，函数的值域为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，    观察图象知，当且仅不，即时，函数的图象与直线有交点， 所以的取值范围为. 故选：C 5．（2022·全国·模拟预测）（多选题）在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状、二次函数的图象分析与判断、函数图像的识别 【分析】根据的关系与各图形一个个检验即可判断． 【详解】当时，A正确；当时，B正确； 当时，D正确；当时，无此选项． 故选：ABD． 6．（2025·贵州毕节·二模）已知函数且的图象过定点，则点的坐标是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】利用可得的坐标. 【详解】由函数解析式可得：当且仅当时，的值与无关， 故定点的横坐标为，故纵坐标为，故. 故答案为：. 7．（2023·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、指数型函数图象过定点问题 【分析】求出函数所过的定点，则有，则，则，化简整理，分离常数再结合基本不等式求解即可. 【详解】函数且的图象过定点， 则，所以， 由，得， 则 令，则， 则 ， 当且仅当，即，即时，取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 8．（2023·河南郑州·一模）设函数则满足的x的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数函数图像应用、解分段函数不等式 【分析】作出图象，由数形结合结合函数单调性列不等式求解即可. 【详解】函数的图象如图所示， 满足可得或. 解得. 故答案为：. 重难点题型3 指数型“复合函数”的单调性与最值 1．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性 【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【详解】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 2．（2025·贵州毕节·二模）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【分析】令，利用复合函数的单调性可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】令， 则函数的减区间为，增区间为， 又因为函数在区间上单调递增，且外层函数在上为增函数， 所以，，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 3．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题、根据指数函数的最值求参数 【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为恒成立，即恒成立， 所以恒成立，又由（当且仅当时取等号）， 所以． 故选：A． 4．（2023·四川攀枝花·模拟预测）已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断指数函数的单调性、由奇偶性求参数、根据指数函数的最值求参数 【分析】根据奇偶性求得，分类讨论函数的单调性得出最大值，根据已知条件列方程求解即可． 【详解】因为是奇函数，所以，所以． 即，则，解得， 经检验符合题意，所以， 当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， ，整理得， 解得或(舍去)，所以； 当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以，，整理得， 解得或(舍去)，所以， 综上，或3． 故选：A． 5．（2024·广东深圳·一模）已知，则的解集为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】探讨给定函数的奇偶性及单调性，再解不等式即得. 【详解】函数的定义域为R，，则是R上的奇函数， 函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 不等式，因此， 即，解得或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 6．（2022·河南·模拟预测）函数在的值域为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域、求指数函数在区间内的值域 【分析】令，结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】解：， 设， 当时，，所以， 所以在的值域为． 故答案为：． 7．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.若的定义域为，则的定义域为： ；若，的值域为，则的取值范围是： . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的定义域、根据指数函数的最值求参数、已知f（g（x））求解析式、求二次函数的值域或最值 【分析】根据题意结合抽象函数值域分析求解；分析可得，根据指数函数可得的值域为，结合二次函数运算求解. 【详解】若的定义域为，即，则， 所以的定义域为； 因为， 可得的值域为，则的值域为， 可得，解得：， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 8．（2022·福建龙岩·一模）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、函数与方程的综合应用、指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解. 【详解】由题意得：有解 令 有解，即有解，显然无意义 ,当且仅当，即时取等， 故答案为：. 重难点题型4 指数中的“恒成立问题” 1．（2025·江西·二模）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题、判断指数函数的单调性 【分析】首先判断的单调性与奇偶性，依题意可得对于任意恒成立，再分，两种情况讨论，当时参变分离可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以为奇函数， 由恒成立，即恒成立， 所以对于任意恒成立， 当时； 当时， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，所以； 综上可得实数的取值范围为. 故选：A 2．（2025·全国·模拟预测）若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、基本不等式“1”的妙用求最值、函数不等式恒成立问题 【分析】根据指数函数的单调性结合题意分析解不等式得，再利用基本不等式常数代换的方法即可求解. 【详解】由，得或， 由为增函数，解得或， 当时，则有或， 则存在，使得不等式，不符合； 当时，则有或， 则存在，使得不等式，不符合； 当时，则不等式解为R，即不等式在上恒成立， 因此，即. 因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 3．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域、根据集合的包含关系求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据题意，转化为有解且无最大值即可分类讨论得解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，有解，但有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，满足题意. 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 4．（2023·重庆·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，若不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题、判断指数函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】利用函数的奇偶性和单调性可得不等式在恒成立，换元法讨论函数在给定区间的单调性和最值，结合分类讨论即可求的范围. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数， 所以解得， 此时， 函数为奇函数，满足题意， 所以， 因为在R上单调递增，所以在R上单调递减， 所以在R上单调递增， 所以由可得， 即， 所以即在恒成立， 令，即， 当时，， 不等式可化为， 令，单调递减，所以， 所以； 当时，， 不等式显然成立； 当时，， 不等式可化为， 令，单调递减， 所以，所以； 综上，, 故答案为: . 5．（20-21高三上·上海松江·期中）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】，， 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、由指数函数的单调性解不等式 【分析】设，，则，对于，恒成立，问题转化为，于，恒成立，即，即可解得答案． 【详解】设，， 则，对于，恒成立， 即，对于，恒成立， ∴， 即， 解得或， 即或， 解得或， 综上，的取值范围为，，． 故答案为：，，﹒ 6．（2004·湖南·高考真题）若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】就的取值分类讨论后可得a的取值范围. 【详解】直线与的图象有两个公共点， 故有两个不同的解， 故和共有两个不同的解， 因为，故有且只有一个实数解. 若，则，故无解，而只有一个解， 故有且只有一个实数解，与题设矛盾，舍； 若，因为只有一个解，故需有一解， 故，故. 故答案为：. 重难点题型5 比较大小 1．（2025·河北石家庄·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】依据，，的单调性比较与0，1的大小关系即可. 【详解】因为单调递增，所以， 因为单调递增，所以， 因为单调递减，所以，且 所以， 故选：D. 2．（2025·天津红桥·二模）若则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】利用指数函数的单调性与值域可得，再由对数函数的单调性可得，由此可得结果. 【详解】因为，所以， ，， 所以. 故选：D. 3．（22-23高一上·浙江杭州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】结合指对幂函数的单调性得. 【详解】，故. 故选：C 4．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量“0”，“1”即可比较大小. 【详解】，则，， 则， 故选：C. 5．（18-19高一上·福建漳州·期末）若a＝40.9，b＝log415，c＝80.4，则（　　） A．b＞c＞a B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】把化为以为底的指数和对数，利用中间值“”以及指数函数的单调性即可比较大小. 【详解】，， ， 又因为为增函数， 所以，即 综上可得，a＞c＞b 故选：D 【点睛】本题考查了利用中间值以及函数的单调性比较数的大小，属于基础题. 6．（23-24高一下·湖北·开学考试）比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数、对数函数的性质比较大小即可. 【详解】由指数函数的图象与性质可知：，，， ∴． 故选：B 重难点题型6 指数的实际应用 1．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（    ）（注：，） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，根据条件算出的值，然后可得答案. 【详解】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和， 由题意：，. 于是， 所以. 故选：C. 2．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明.《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是，那么一年后是.一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每月的“进步”率和“退步”率都是，那么大约经过（    ）月后“进步”的是“退步”的一万倍. A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（1）、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化 【分析】根据题意可列出方程，求解即可， 【详解】设经过个月“进步“的值是“退步”的值的10000倍, 则， 即， , 故选：D． 3．（22-23高三上·江苏南通·期中）“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式，若经过5年，二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：）（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、指数式与对数式的互化、指数函数模型的应用（1） 【分析】根据题设条件可得，令，代入，等式两边取，结合估算即可. 【详解】由题意，，即， 令，即，故，即， 可得，即. 故选：C 4．（2022·江苏连云港·模拟预测）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过．一杯茶泡好后置于室内，分钟、分钟后测得这杯茶的温度分别为、，给出三个茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的函数模型：①；②；③．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（    ）（参考数据：，） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（1）、运用换底公式化简计算 【分析】根据生活常识，选择模型③较为合适，根据题意求出、的值，然后解不等式，解此不等式即可得解. 【详解】根据生活常识，茶温一般不低于室温，若选择模型①或模型②，茶温在一定时间后会低于室温，不合乎题意， 故选择模型③较为合适，则，解得，此时， 由可得. 故选：C. 5．（2021·云南昆明·三模）已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：，当时，y的值表示2021年年初的种群数量.若年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则t的最小值为(参考值：)（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（1） 【分析】根据题意先求出2021年年初的种群数量，再列出不等式，根据取对数法进行求解即可. 【详解】因为当时，y的值表示2021年年初的种群数量， 所以有，即2021年年初的种群数量为， 当年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的， 所以有 ，所以t的最小值为11， 故选：C. 【点睛】关键点睛：根据题意得到指数不等式，通过取二次对数进行求解是解题的关键. 6．（2021·黑龙江齐齐哈尔·二模）碳测年法是由美国科学家马丁·卡门与同事塞缪尔·鲁宾于年发现的一种测定含碳物质年龄的方法，在考古中有大量的应用放射性元素的衰变满足规律（表示的是放射性元素在生物体中最初的含量与经过时间后的含量间的关系，其中（为半衰期）．已知碳的半衰期为年，，经测量某地出土的生物化石中碳含量为，据此推测该化石活体生物生活的年代距今约（结果保留整数，参考数据）（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（1）、指数式与对数式的互化 【分析】利用取对数，结合题中所给的数据进行求解即可. 【详解】由题意知：，把数据代入得： 故选：C． 【点睛】方法点睛：指数方程可以通过取对数进行求解. 重难点题型7 综合应用 1．（2023·浙江温州·三模）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】分类讨论的值域，然后根据值域端点的倍数关系可解. 【详解】记 因为，所以，所以 当时，，所以， 取， 则对任意正整数，总有成立，故舍. 当时，，所以 要使正整数的最大值为6，则，解得； 当时，，所以 显然存在任意正整数，使得成立； 当时，，所以 要使正整数的最大值为6，则，解得 综上，的取值范围为 故选：C 2．（2025·广东茂名·一模）（多选题）已知函数，则（    ） A．当时，是增函数 B．当时，的值域为 C．当时，曲线关于点对称 D．当时，，则 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】判断或证明函数的对称性、判断指数型复合函数的单调性、求指数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题 【分析】根据复合函数的单调性判断A，利用特殊值判断B，计算即可判断C，根据函数的对称性与单调性转化为，再结合二次不等式的性质计算可得D. 【详解】对于A：因为定义域为， 当时在定义域上单调递增，且，又在上单调递增， 所以在定义域上单调递增，故A正确； 对于B：当时，但是，故B错误； 对于C：当时，， 则，所以曲线关于点对称，故C正确； 对于D：当时，的图象是由图象向右平移个单位得到， 所以的对称中心为，且在定义域上单调递增， 所以，可得， 即，从而得到， 即恒成立，所以，解得，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：D选项的关键是推导出的对称中心为，且在定义域上单调递增，从而将不等式转化为恒成立. 3．（2023·上海徐汇·一模）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为8，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求指数型复合函数的值域、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】设，得到，然后分类讨论的范围，解出即可. 【详解】设，又因为，所以， 则，当时，， 则，显然存在任意正整数使得成立； 当时，，， 要使得正整数的最大值为8，则，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了分段函数值域的求法，解题的关键是分类讨论求出函数的值域，然后根据题意列不等式求解. 4．（2024·北京海淀·三模）设函数（且）．给出下列四个结论： ①当时，存在，方程有唯一解； ②当时，存在，方程有三个解； ③对任意实数（且），的值域为； ④存在实数，使得在区间上单调递增； 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、指数函数图像应用、求函数零点或方程根的个数、分段函数的单调性 【分析】分情况，做出函数图象，数形结合，可得问题答案. 【详解】当时，可得函数图象如下： 由；，，结合图象： 当时，函数单调递减，且； 当，函数单调递增，. 所以当时，方程有唯一解.故①正确； 当时，函数图象如下： 由；由图象可知， 当时，函数单调递减，； 当时，函数单调递增，； 当时，函数单调递增，. 因为，因为，所以，即. 所以，当时，方程有三个解.故②正确； 如图： 由，再由， 此时在上单调递减，在上单调递增，且， 所以此时函数的值域不是.故③错误； 由①可得，当时，函数在上单调递增. 即：存在实数，使得在区间上单调递增.故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】方法点睛：本题可以画出分段函数的草图，数形结合，可以比较轻松的解答. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$