重点题型（七）（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

【解答题】 1．已知正项等差数列{an}和正项等比数列{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1＝2，S3＝12，b2＝4，b5＝a16. (1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)将数列{an}中与数列{bn}相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Tn，求T100. 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q>0，S2＝2a2－2，S3＝a4－2，数列{bn}满足2bn＝bn－1＋bn＋1(n∈N*)且a2＝4b1，a3＝b8. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)将{an}和{bn}中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100. 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25. (1)求{an}的通项公式； (2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k-1个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前150项和T150. 4．在数列{an}中，已知a1＋＝2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)在数列{an}中的a1和a2之间插入1个数x11，使a1，x11，a2成等差数列；在a2和a3之间插入2个数x21，x22，使a2，x21，x22，a3成等差数列；…；在an和an＋1之间插入n个数xn1，xn2，…，xnn，使an，xn1，xn2，…，xnn，an＋1成等差数列，这样可以得到新数列{bn}：a1，x11，a2，x21，x22，a3，x31，x32，x33，a4，…，an，设数列{bn}的前n项和为Sn，求S55(用数字作答)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．解：(1)设正项等差数列{an}的公差为d. 因为a1＝2，S3＝12，所以a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＝12，解得d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n. 设正项等比数列{bn}的公比为q. 因为b2＝4，b5＝a16，所以解得所以bn＝b1qn-1＝2n. (2)根据(1)的结论，数列{bn}的前8项依次为：2、4、8、16、32、64、128、256，对应数列{an}第1、2、4、8、16、32、64、128项，故数列{cn}的前100项为数列{an}的前107项，剔除数列{bn}的前7项的数列． 设数列{bn}的前n项和为Bn，所以T100＝S107－B7＝＝11 302. 2．解：(1)由S2＝2a2－2，S3＝a4－2两式作差可得a3＝a4－2a2，即a2q＝a2q2－2a2， 又a2≠0，则q2－q－2＝0，又q>0，解得q＝2， 所以2a2－2＝4a1－2＝a1＋a2＝3a1，解得a1＝2，所以an＝a1qn-1＝2n. 因为2bn＝bn－1＋bn＋1(n∈N*)，故数列{bn}为等差数列，设该数列的公差为d， 由于a2＝4b1＝4，可得b1＝1，a3＝b8＝8，所以d＝＝1， 所以bn＝b1＋(n－1)d＝n. (2)当n≤6时，an＝2n≤64，当n≥7时，an＝2n≥128， 所以数列{cn}的前100项中，{an}有6项，{bn}有94项， 所以T100＝＝4 591. 3．解：(1)因为{an}为等差数列，则S5＝5a3＝25，即a3＝5， 可得d＝a4－a3＝2，a1＝a3－2d＝1， 所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1. (2)因为在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k-1个3， 可知ak(k≥2)在数列{bn}中对应的项数为n＝k＋20＋21＋…＋2k-2＝k＋＝2k-1＋k－1， 当k＝8时，则n＝27＋7＝135，即a8＝b135； 当k＝9时，则n＝28＋8＝264，即a9＝b264； 由题意可知b136＝b137＝…＝b150＝3， 所以T150＝S8＋3(150－8)＝＋426＝490. 4．解：(1)当n＝1时，a1＝2； 当n≥2时，＝－＝2n－2(n－1)＝2， 所以＝2⇒an＝2n，n≥2. 当n＝1时，上式亦成立， 所以an＝2n. (2)由n＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝55⇒n＝10. 所以新数列{bn}前55项中包含数列{an}的前10项，还包含x11，x21，x22，x31，x32，…，x98，x99，且x11＝. 所以S55＝(a1＋a2＋…＋a10)＋. 设T＝3a1＋5a2＋7a3＋…＋19a9＝3×21＋5×22＋7×23＋…＋19×29， 则2T＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋19×210， 所以－T＝T－2T ＝3×21＋2×(22＋23＋…＋29)－19×210＝－17×210－2. 故T＝17×210＋2. 所以S55＝×210＝14 337. 学科网（北京）股份有限公司 $