专题2.1 函数的概念（七类重难点题型精练）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点题型】精练（新教材新高考）

专题2.1 函数的概念 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 函数的概念 重难点题型2 判断两个函数是否是同一函数 重难点题型3 求具体函数的定义域 重难点题型4 求抽象函数的定义域 重难点题型5 求函数的解析式 重难点题型6 求函数的值域 重难点题型7 分段函数 重难点题型1 函数的概念 1．（2024·山东·二模）如图所示，是半圆的直径，点从点出发，沿弧的路径运动一周，设点到点的距离为，运动时间为，则下列图象能大致地刻画与之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、函数关系的判断 【分析】点在段运动时和点在上运动时，，之间是线性关系，点在弧上运动时，（定值），即可结合选项求解. 【详解】当点在段运动时，随的增大而匀速增大， 点在弧上运动时，（定值）， 点在上运动时，随着的增大而减小． 故选：C． 2．（2023·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的定义判断可得出结论. 【详解】解：∵一个只能对应一个，∴①③符合题意， 对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义； 对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义. 故选：D． 3．（2024·江西·一模）设，，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数关系的判断 【详解】因为定义域为，所以舍去A;因为值域为，所以舍去D;因为对于定义域内每一个x有且只有一个y值，所以去掉C；选B. 4．（2024·福建·模拟预测）（多选题）设是非空的实数集，若，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数值域为 D．函数无极值 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断、求已知函数的极值 【分析】由函数定义可判断A和B，令，可判断C，对求导可判断D. 【详解】由函数的定义可知，集合中的任意一个数， 在集合中都有唯一确定的数和它对应， 所以函数的定义域为，值域为集合的子集，故A正确，B错误； 对于C，当，时，值域不为，故C错误； 对于D，，所以单调递增，无极值，故D正确. 故选：AD. 5．（2020·广东中山·模拟预测）（多选题）已知集合，，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据函数的概念逐一判断即可. 【详解】A，集合中在集合中没有对应元素，故A不选. B，由函数的定义集合中的每一个元素在集合中都有唯一元素与之对应，故B可选； C，集合中、在集合中没有对应元素，故C不选. D，由函数的定义集合中的每一个元素在集合中都有唯一元素与之对应，故D可选； 故选：BD 6．（2025·湖北鄂州·一模）（多选题）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数关系的判断 【分析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函数的定义，即可求解. 【详解】利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转， 根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x，都有唯一确定的与之对应， 逆时针旋转后得到的曲线，如果仍为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于x轴的直线最多只有一个交点， 所以函数的图象与任一斜率为1 的直线都最多只有一个交点， 结合函数图象可知， 对于A，的图象与直线都只有一个交点，故A正确； 对于B，的图象与直线有两个交点，故B错误； 对于C，，，， 所以的图象，在点处的切线方程为， 的图象与直线都最多只有一个交点，故C正确； 对于D，的图象与直线都只有一个交点，故D正确. 故选：ACD. 7．（2024·上海青浦·一模）已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数 最多有 个. 【答案】14 【难度】0.65 【知识点】组合数的计算、函数关系的判断、分类加法计数原理 【分析】由函数的概念及分类加法计数原理、组合数计算得解. 【详解】由函数定义，转化为给安排对应的自变量，每一种对应方式，即为一个函数， 给取3个自变量，则对应1个自变量，有种， 给取2个自变量，则对应2个自变量，有种， 给取1个自变量，则对应3个自变量，有种， 所以由分类加法计数原理知，共有种不同的对应方式， 故答案为：14 8．（2024·四川雅安·模拟预测）已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况为 （填一种满足条件的即可） 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断、已知函数值求自变量或参数、求集合的子集（真子集） 【分析】由题意转化为求集合的非空子集即可. 【详解】依题意，是集合A到集合B的函数， 令，得，令，得，令，得， 因此集合是集合的非空子集， 所以集合A可能情况为. 故答案为： 重难点题型2 判断两个函数是否是同一函数 1．（2023·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域 【分析】根据同一函数的定义，逐项验证定义域和对应法则是否相同，即得． 【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数； 对于B中，函数和的定义域都是，但对应法则不同，所以不是同一个函数； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于D中，函数的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数. 故选：A． 2．（2022高三·辽宁大连·学业考试）下列函数中，与函数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即判断这两个函数为相同函数. 【详解】解：对于A，，与函数的对应关系不相同，故不是相同函数； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不相同，故两函数不是相同函数； 对于C，两函数的定义域都是，且对应关系相同，故两函数为相同函数； 对于D，，与函数的对应关系不相同，故不是相同函数. 故选：C. 3．（2020·天津·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断两个函数是否相等、对数的运算性质的应用 【分析】对于A：由定义域不同,即可判断； 对于B：由定义域不同，即可判断； 对于C：由对应关系不同，即可判断； 对于D：对应关系相同，定义域相同，可以判断为同一函数. 【详解】对于A：的定义域为R，的定义域为，定义域不同，所以A错误； 对于B：的定义域为，的定义域为R，定义域不同，所以B错误； 对于C：，对于，对应关系不同，故C错误； 对于D：定义域为R, ，定义域为R，二者对应关系相同，定义域相同，为同一函数. 故选：D 4．（2023·四川·模拟预测）与函数是相同函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】根据，对原不等式等价变形即可. 【详解】由得， 所以． 故选：C． 5．（23-24高三上·云南大理·期中）（多选题）下列两个函数是相同函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】利用函数的定义域和对应法则、判断函数是否相同的方法分析运算判断即可得解. 【详解】解：对于选项A，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，故不是相同函数，故A错误； 对于选项B，， 两函数定义域和对应法则相同，故为相同函数，故B正确； 对于选项C，与定义域不同， 故不是相同函数，故C错误； 对于选项D，，函数的定义域、对应法则均相同， 所以两函数是相同函数，故D正确. 故选：BD． 6．（2024·湖南益阳·模拟预测）（多选题）下列命题中，正确的是（    ） A．函数与表示同一函数 B．函数与是同一函数 C．函数的图象与直线的图象至多有一个交点 D．函数，则0 【答案】BC 【难度】0.94 【知识点】判断两个函数是否相等、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据相等函数的定义判断A、B，根据函数的定义判断C，由函数解析式求出函数值，即可判断D. 【详解】对于A：，因为两函数的定义域不相同，故不是同一函数，故A错误； 对于B：函数与定义域相同，解析式一致故是同一函数，故B正确； 对于C：根据函数的定义可知，函数的图象与直线的图象至多有一个交点，故C正确； 对于D：因为，所以， 则，故D错误. 故选：BC 重难点题型3 求具体函数的定义域 1．（2025·陕西咸阳·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式、具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】求出函数定义域分别化简集合，，再利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】由得，∴， 由，得，解得或 ∴， 故选：B. 2．（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域 【分析】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案. 【详解】对于A，要使得根号下有意义，则，即定义域为，故A错误； 对于B，要使得对数有意义，则真数，即定义域为，故B正确； 对于C，由指数函数的定义可知其定义域为，故C错误； 对于D，要使得正切函数有意义，则，即定义域为，故D错误； 故选：B. 3．（2024·河北·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意得，解不等式得解. 【详解】由，即，即，解得. 所以函数的定义域为. 故选：B. 4．（2025·湖南·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】并集的概念及运算、具体函数的定义域、求对数函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据对数函数的定义域及分式函数的定义域求解集合A，解一元二次不等式求解集合B，然后利用并集概念求解即可. 【详解】对于集合A：由题意，得， 所以， 对于集合B，，则， 所以， 因此. 故选：A 5．（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 6．（2024·陕西西安·一模）函数的定义域为 【答案】且 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域 【分析】利用函数有意义列不等式求解. 【详解】由题意得 ， 则函数定义域为 且. 故答案为且. 7．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 8．（2024·四川南充·三模）函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据解析式列出不等式求解. 【详解】因为， 所以且， 解得且， 故函数的定义域为. 故答案为： 9．（22-23高三上·安徽六安·阶段练习）记函数的定义域为A，的定义域为B．若，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】由，得或，据真数大于零，求出函数的定义域，再由列出不等式，结合求出的范围即可. 【详解】由题意得，解得或， 即或， 根据题意， 因为，所以， 则， 即， 因为， 所以或， 解得或， 又， 所以或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 10．（2023·江苏常州·一模）函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据函数解析式，列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意函数有意义， 需满足，解得且， 故函数定义域为：. 故答案为：. 重难点题型4 求抽象函数的定义域 1．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数的定义域，对于函数，可列出关于的不等式组，由此可得出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，则，可得， 所以，函数的定义域为， 对于函数，则有，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：C. 2．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、抽象函数的定义域 【分析】由题可知解即可得答案. 【详解】解：因为函数的定义域为， 所以，，即，解得， 所以，函数的定义域为 故选：C 3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、具体函数的定义域、判断命题的必要不充分条件 【分析】先利用函数的定义域求得集合，再利用充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】∵函数的定义域为， 所以， 令，解得，即，即， ∵， ∴“”是“”的必要不充分条件， 故选：C. 4．（23-24高三上·辽宁·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】抽象函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据抽象函数的定义域可得满足，结合根式的意义即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以满足，即， 又，即， 所以，解得. 所以函数的定义域为. 故选：D. 5．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以函数的定义域为， 所以要使函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 6．（23-24高三上·四川遂宁·期中）函数的图象恒过点，函数的定义域为，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求指数函数在区间内的值域、对数型函数图象过定点问题、抽象函数的定义域 【分析】由题可知，当时，即可求出定点坐标，即可求得的解析式，进而可得的解析式，再结合抽象函数的定义域求得的定义域，结合函数的单调性即可求解. 【详解】当时，即，则， 所以恒过定点， 则，定义域为，由，得， 则的定义域为， 则， 又在上单调递增，则在上单调递增， 则， ， 所以函数的值域为. 故选：C 7．（2024·江苏宿迁·一模）（多选题）下列命题正确的有（    ） A．函数定义域为，则的定义域为 B．函数是奇函数 C．已知函数存在两个零点，则 D．函数在上为增函数 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、简单的对数方程、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据抽象函数定义域求解法则判断A，根据奇函数定义判断B，根据零点定义建立方程，数形结合，判断C，根据对勾函数单调性判断D. 【详解】对于A，由函数定义域为，则， 因此在中，，解得，即的定义域为，故A正确； 对于B，函数定义域为R， 且，所以函数为奇函数，故B正确； 对于C，由函数存在两个零点，即为的两根， 则可得，令，， 结合函数图象可设，，则，    所以，所以，而k不一定为1，故C不正确； 对于D，函数为对勾函数，在区间单调递减，在单调递增，故D不正确. 故选：AB. 8．（2024·山西晋中·模拟预测）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 C．函数在区间上单调递减 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据对数函数的值域求参数值或范围、求对数型复合函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】A选项，利用抽象函数定义域的求解判断即可；B选项，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案；C选项，求出的定义域即可判断；D选项，将问题转化为能够取到所有正数，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】A选项，对于，由，得， 对于，令，解得， 故函数的定义域为，A正确； B选项，当时，恒成立，满足要求， 当时，需满足，解得， 综上，的取值范围是，B错误； C选项，令，解得， 当 时显然无意义，所以不可能在上单调递减，C错误； D选项，若函数的值域为， 则能够取到所有正数， 当时，能够取到所有正数，满足要求， 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围是，D正确. 故选：AD. 9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据的定义域为，得到的定义域为，再由求解. 【详解】解：因为的定义域为， 则，即， 所以的定义域为， 又， 所以函数的定义域为. 故答案为： 10．（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据给定条件，利用抽象函数定义域列式求解即得. 【详解】由函数的定义域是，得，则， 由，解得， 所以的定义域是. 故答案为： 重难点题型5 求函数的解析式 1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】先由换元法求得函数的解析式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】令，则，所以，即， 则 故选：D． 2．（2024·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】利用待定系数法，设，根据题意运算求解即可. 【详解】设， 则， 因为，即， 则，解得，所以. 故选：C. 3．（2024·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求解析式中的参数值 【分析】令，求出，代入解出. 【详解】， 且， 令，，解得， ，即, . 故选：C. 4．（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式、对数的运算 【分析】令，则，结合各选项代入验证，即可判断答案． 【详解】令，，则，由可得， 对于A，，故A错误； 对于B，，不满足，B错误； 对于C，，即，即，C正确； 对于D，，即不成立，D错误． 故选：C． 5．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法令求解析式即可． 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 6．（2023·浙江·二模）已知函数满足，则可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式、分段函数的性质及应用 【分析】根据函数满足，一一验证各选项中的函数是否满足该性质，即可得答案. 【详解】对于A，，则，，不满足； 对于B，，则，， 不满足； 对于C，，则，，不满足； 对于D，，当时，，故； 当时，，故， 即此时满足，D正确， 故选：D 7．（2025·云南昆明·一模）已知函数满足，则实数 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】求解析式中的参数值 【分析】根据推导出，即可得到，解得即可. 【详解】因为函数满足， 则，即，所以， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 8．（2023·全国·模拟预测）已知，则 ． 【答案】/2.5 【难度】0.94 【知识点】求函数值、已知f（g（x））求解析式 【分析】根据函数解析式，令，得，代入函数解析式计算即可求解. 【详解】由题意得，， 令，由，得， ∴． 故答案为：. 9．（2022·全国·模拟预测）若函数满足关系式，则 . 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】求函数值、函数方程组法求解析式 【分析】用方程组法求得，代入求值即可解答. 【详解】因为，所以， 解得，所以. 故选：6 10．（2023·河南·模拟预测）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】先把x都化为2x，进行化简得到，再把x替换为得到，最后联立方程组求解即可. 【详解】由，得，即①，将换为，得②，由①+2②，得，故. 故答案为：. 重难点题型6 求函数的值域 1．（2024·广东·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、复合函数的值域 【分析】通过计算函数定义域求出集合，计算函数值域求出集合，最后通过交集运算即可求解. 【详解】由，有，即，所以； 由令，根据二次函数的性质有， 所以，又因为，所以，； 所以. 故选：D 2．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可. 【详解】当时，， 当时， ， 因为函数的值域为， 所以，得， 所以实数的取值范围是， 故选：D. 3．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解. 【详解】依题意，， 显然，则，于是， 所以函数的值域是. 故选：C 4．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、复合函数的值域 【分析】借助的值域为可得要取遍所有的正数，对进行分类讨论即可得. 【详解】若函数的值域为，则要取遍所有的正数． 所以或，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A． 5．（23-24高三上·新疆昌吉·阶段练习）下列函数中，值域是的是（　　） A． B．， C．， D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据函数的性质分别进行判断即可． 【详解】对选项A：，即函数的值域为，错误； 对选项B：，则函数在上为减函数，则，即函数的值域为，错误； 对选项C：函数的定义域为，函数的，值域不连续，错误； 对选项D：，函数的值域为. 故选：D 6．（2023·重庆·模拟预测）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上的值域为 C．若在上单调递减，则 D．若，则在定义域上单调递增 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据解析式直接判断函数的单调性、具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】求得的定义域判断选项A；求得在上的值域判断选项B；求得a的取值范围判断选项C；求得时的单调性判断选项D. 【详解】选项A：由得，则的定义域为.判断正确； 选项B：， 由，可得，则， 当时，，则在上的值域为； 当时，，， 即在上的值域为； 当时，，， 即在上的值域为. 综上，当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为； 当时，在上的值域为.判断错误； 选项C：， 若在上单调递减，则，解之得.判断正确； 选项D：， 则时，在和上单调递增.判断错误. 故选：AC 7．（2023·上海静安·二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求指数型复合函数的值域、基本（均值）不等式的应用、由奇偶性求参数 【分析】利用偶函数的定义求出，则，设，利用基本不等式，即可求出结果． 【详解】函数（）是偶函数， ， ，易得， 设， 则， 当且仅当即时，等号成立， 所以， 所以函数的值域为． 故答案为：． 8．（2024·辽宁·模拟预测）函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】该函数的值域为,，从而函数和轴存在公共点，从而判别式，解该不等式即可得出实数的取值范围． 【详解】根据题意知，函数可以取到0； 函数和轴有交点； ； 解得，或； 实数的取值范围为：． 故答案为：． 9．（2023·河北·三模）函数的值域是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、斜率公式的应用、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】函数的几何意义是在直角坐标平面内定点与动点连线的斜率，由此转化为直线与圆有交点的问题，即可求出答案. 【详解】函数的几何意义是在直角坐标平面内定点与动点连线的斜率， 易知动点在以为圆心，1为半径的圆除以外的点上， 易知直线的斜率存在，设为，则直线为即， 则，解得，即值域为. 故答案为： 10．（2021·全国·模拟预测）函数的值域为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】先求得函数的定义域和单调性，由此可求得函数的值域. 【详解】由已知得，解得，所以的定义域为， 且时与都是减函数，所以在上是减函数，，所以的值域为. 故答案为：. 重难点题型7 分段函数 1．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断指数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、研究对数函数的单调性 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 2．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得. 【详解】由是上的增函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 3．（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分段函数不等式、根据函数的单调性解不等式、判断指数函数的单调性、由函数奇偶性解不等式 【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可. 【详解】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A 4．（2024·江苏南通·一模）若函数，在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、对数型复合函数的单调性 【分析】根据对数函数性质判断上的单调性和值域，结合其区间单调性及分式型函数的性质，讨论参数确定参数范围. 【详解】当时，单调递增且值域为，而在上单调递增， 则在上单调递增，且， 当时，在上单调递增，满足题设； 当时，在上单调递增，此时只需，即； 综上，. 故选：A 5．（2024·吉林长春·三模）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数解析式，代入求值即可. 【详解】由函数可得，. 故选：B. 6．（2024·北京朝阳·二模）已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数的单调性求解即可. 【详解】当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，，所以在上单调递增，无最小值， 根据题意，存在最小值， 所以，即. 故选：A. 7．（2024·安徽·三模）（多选题）已知函数其中，且，则（    ） A． B．函数有2个零点 C． D． 【答案】ACD 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可. 【详解】解：，故A正确； 作出函数的图象如图所示， 观察可知，，而， 故，有3个交点， 即函数有3个零点，故B错误； 由对称性，，而， 故，故C正确； b，c是方程的根，故， 令，则， 故，而，均为正数且在上单调递增， 故，故D正确， 故选：ACD. 8．（2024·贵州遵义·一模）（多选题）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有且仅有一个零点 B．函数是奇函数 C．在上单调递减 D．函数的最小值为 【答案】CD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求函数零点或方程根的个数、分段函数的单调性、分段函数的值域或最值 【分析】求出函数零点判断A；由奇函数定义判断B；由分段函数的单调性判断C；求出最小值判断D. 【详解】函数， 对于A，由，得或，A错误； 对于B，，而，，函数不是奇函数，B错误； 对于C，函数在上单调递减，在上单调递减，且， 因此在上单调递减，C正确； 对于D，当时，，当时，，当且仅当时取等号， 因此函数的最小值为，D正确. 故选：CD 9．（2024·辽宁沈阳·二模）已知函数，则 ． 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、对数函数图象的应用、对数的运算性质的应用 【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可. 【详解】，， ， 故答案为： 10．（2023·上海青浦·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、根据值域求参数的值或者范围 【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围. 【详解】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，， 所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是， 故答案为：. 11．（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解. 【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减， 所以，解得，则. 故答案为：. 12．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【知识点】函数图象的应用、直线与圆的位置关系求距离的最值、分段函数的性质及应用、求平面两点间的距离 【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下，    显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，    当时，，当且接近于处，， 此时，， 当时，且接近于处，的距离最小， 此时；故③正确； 对于④，取，则的图像如下，    因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 13．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【答案】 / 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可. 【详解】由已知，， 所以， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为. 故答案为：，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 函数的概念 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 函数的概念 重难点题型2 判断两个函数是否是同一函数 重难点题型3 求具体函数的定义域 重难点题型4 求抽象函数的定义域 重难点题型5 求函数的解析式 重难点题型6 求函数的值域 重难点题型7 分段函数 重难点题型1 函数的概念 1．（2024·山东·二模）如图所示，是半圆的直径，点从点出发，沿弧的路径运动一周，设点到点的距离为，运动时间为，则下列图象能大致地刻画与之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 3．（2024·江西·一模）设，，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是 A． B． C． D． 4．（2024·福建·模拟预测）（多选题）设是非空的实数集，若，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数值域为 D．函数无极值 5．（2020·广东中山·模拟预测）（多选题）已知集合，，请根据函数定义，下列四个对应法则能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北鄂州·一模）（多选题）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有（    ） A． B． C． D． 7．（2024·上海青浦·一模）已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数 最多有 个. 8．（2024·四川雅安·模拟预测）已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A可能情况为 （填一种满足条件的即可） 重难点题型2 判断两个函数是否是同一函数 1．（2023·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2022高三·辽宁大连·学业考试）下列函数中，与函数相同的是（    ） A． B． C． D． 3．（2020·天津·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（2023·四川·模拟预测）与函数是相同函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·云南大理·期中）（多选题）下列两个函数是相同函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．（2024·湖南益阳·模拟预测）（多选题）下列命题中，正确的是（    ） A．函数与表示同一函数 B．函数与是同一函数 C．函数的图象与直线的图象至多有一个交点 D．函数，则0 重难点题型3 求具体函数的定义域 1．（2025·陕西咸阳·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为的函数是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·二模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 6．（2024·陕西西安·一模）函数的定义域为 7．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 8．（2024·四川南充·三模）函数的定义域为 . 9．（22-23高三上·安徽六安·阶段练习）记函数的定义域为A，的定义域为B．若，则实数a的取值范围为 . 10．（2023·江苏常州·一模）函数的定义域为 ． 重难点题型4 求抽象函数的定义域 1．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 2．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高三上·辽宁·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·四川遂宁·期中）函数的图象恒过点，函数的定义域为，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏宿迁·一模）（多选题）下列命题正确的有（    ） A．函数定义域为，则的定义域为 B．函数是奇函数 C．已知函数存在两个零点，则 D．函数在上为增函数 8．（2024·山西晋中·模拟预测）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 C．函数在区间上单调递减 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 10．（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数的定义域是，则的定义域是 重难点题型5 求函数的解析式 1．（2025·辽宁沈阳·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江西·模拟预测）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 4．（2024·四川遂宁·模拟预测）下列函数满足的是（   ） A． B． C． D． 5．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·浙江·二模）已知函数满足，则可能是（    ）． A． B． C． D． 7．（2025·云南昆明·一模）已知函数满足，则实数 ． 8．（2023·全国·模拟预测）已知，则 ． 9．（2022·全国·模拟预测）若函数满足关系式，则 . 10．（2023·河南·模拟预测）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 重难点题型6 求函数的值域 1．（2024·广东·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京怀柔·模拟预测）已知函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·新疆昌吉·阶段练习）下列函数中，值域是的是（　　） A． B．， C．， D． 6．（2023·重庆·模拟预测）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上的值域为 C．若在上单调递减，则 D．若，则在定义域上单调递增 7．（2023·上海静安·二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为 . 8．（2024·辽宁·模拟预测）函数的值域是，则实数的取值范围是 . 9．（2023·河北·三模）函数的值域是 ． 10．（2021·全国·模拟预测）函数的值域为 . 重难点题型7 分段函数 1．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏南通·一模）若函数，在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·吉林长春·三模）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．（2024·北京朝阳·二模）已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽·三模）（多选题）已知函数其中，且，则（    ） A． B．函数有2个零点 C． D． 8．（2024·贵州遵义·一模）（多选题）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有且仅有一个零点 B．函数是奇函数 C．在上单调递减 D．函数的最小值为 9．（2024·辽宁沈阳·二模）已知函数，则 ． 10．（2023·上海青浦·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 11．（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 12．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 13．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$