第7讲 函数定义域值域表示方法讲义（知识梳理+典型例题+对应练习+答案）--2026届高三数学一轮复习

函 数 1．函数的基本概念 (1)函数的定义 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应；则称f为定义在集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A． (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x称为自变量，y称为因变量，自变量的取值范围（即数集A）称为这个函数的定义域；所有函数值组成的集合称为函数的值域． 例如：如图，以x为自变量的函数的图象为 ． 【答案】②④ 【解析】①③中，x所对应的都有两个y，不符合函数的定义． (3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． (4)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 2．函数定义域的求法 类型 x满足的条件 x≥0 x≠0 x≠0 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 3．函数的表示方法 ①解析式法 例：， ②列表法 x 1 5 7 y 6 8 5 ③图像法 1．同一函数的判断 判断下列各组函数是不是相同函数： (1)函数y＝1，y＝x0．(×) 【解析】选项中的两个函数的定义域分别是R和{x|x≠0}，不相同； (2)f(x)＝，g(x)＝()2．(×) 【解析】选项中的两个函数的定义域分别是R和[0，＋∞)，不相同； (3)f(x)＝1，g(x)＝x2．(×) 【解析】选项中的两个函数的对应法则不一致； (4)f(x)＝g(t)＝|t|．(√) 【解析】函数的定义域都是R，对应法则都是g(x)＝|x|， 尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数． (5)f(x)＝x＋1，g(x)＝．(×) 【解析】两个函数的定义域分别是R和{x|x≠1}，不相同， 尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数； (6)，(×) 【解析】函数的定义域为[1，＋∞)， 函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数． (7)，，，．(√) 【解析】对应点的坐标为，对应点的坐标为， 两个函数对应坐标相同，是同一函数． 考点一 函数的概念 【例1】1．函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（     ） A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个 【答案】B 【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点， 若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，故选：B. 【训练1】1．如图，可以表示函数的图象的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求，故选：D 2．存在函数满足：对任意都有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当时，；当时，，不符合函数定义，A错误； 对于B,令，则，令，则，不符合函数定义，B错误； 对于C, 令，则，令，则，不符合函数定义，C错误； 对于D, ,,则，则存在时，，符合函数定义，即存在函数满足：对任意都有，D正确，故选：D 考点二 函数的定义域 【例2】1．函数f(x)＝＋的定义域为( ) A．(－3,0] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1] 【答案】A 【解析】由题意解得－3＜x≤0． 2．若，则_________． 【答案】或 【解析】由有意义可得，所以或， 当时，，，当时，，，故答案为：或. 【训练2】1．函数y＝的定义域为________． 【答案】[－1,1] 【解析】，解得，，∴定义域为[－1,1]． 2．函数f(x)＝的定义域为( ) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．R 【答案】D 【解析】对定义域无要求，即R 3．函数y＝的定义域为________． 【答案】(0,＋∞) 【解析】y＝=，即；∴函数y＝的定义域为(0,＋∞) 4．已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设有，由得，故选A. 5．（19江苏）函数的定义域是_____． 【答案】. 【解析】由已知得,即解得，故函数的定义域为. 6．（22北京） 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】因为，所以，解得且， 故函数的定义域为；故答案为： 考点三 抽象函数定义域 【例3】1．若的定义域为，求的定义域． 【答案】 【解析】，解得 2．若的定义域为，求的定义域． 【答案】 【解析】∵，∴，∴定义域为 【训练3】1．已知函数的定义域为(0,1)，求的定义域． 【答案】 【解析】∵，∴，∴定义域为 2．若的定义域为，求的定义域． 【答案】 【解析】，解得，即的定义域为 3．已知的定义域为，求的定义域． 【答案】 【解析】∵，所以，即，解得 4．已知函数的定义域为（－1,0），则函数的定义域为（ ） A．（－1,1） B．（0，） C．（－1,0） D．（，1） 【答案】B 【解析】，解得 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为，所以，所以的定义域为． 所以中的x需满足，则，故的定义域为． 小结：1．定义域是指的取值范围； 2．法则相同，取值范围相同． 考点四 函数定义域的应用 【例4】1．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】的定义域是R，则恒成立，时，恒成立， 时，则，解得，综上，．故答案为：． 【训练4】1．若函数的定义域是R，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由函数的定义域为R，得恒成立， 化简得恒成立，所以由解得:. 故答案为:. 2．函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为 R，所以的解为R， 即函数的图象与x轴没有交点， （1）当时，函数与x轴没有交点，故成立； （2）当时，要使函数的图象与x轴没有交点，则，解得. 综上：实数的取值范围是.故答案为： 3．函数值域的常见求法 方法 示例 示例答案 1．直接法 [1，＋∞) 2．配方法 y＝x2＋2x－2 [-3，＋∞) 3．换元法 [，＋∞) 4．数形结合法 [3，＋∞) 5．分离常数法 y＝ (－∞，1)∪ (1，＋∞) 6．平方法 7．基本不等式法 y∈(－∞，-2]∪ [2，＋∞) 8．反表示法 9．中间变量值域法 10．判别式法 11．复合函数的值域 （由内到外逐层计算） 考点五 函数的值域 【例5】1．（直接法）的值域为________． 【答案】 【解析】∵，∴的值域为． 2．（配方法）的值域为________． 【答案】 【解析】，从而可求得函数的值域为． 3．（换元法） 求函数在时的值域________． 【答案】 【解析】令，则，∴， ∵，∴，∵对称轴为时，开口向下， ∴当时，y的最大值为4，当时，y的最大值为,综上所述，值域为． 4．1（数形结合法）的值域为________． 【答案】 【解析】当时，则，∴； 当时，则，∴； 当时，则，∴，则， 如下图，所以函数的值域是． 4．2（数形结合法）函数的值域是________． 【答案】 【解析】，表示到A的距离和． 利用三角形两边之和大于第三边的性质，的最小值即为点A关于x轴对称点A1到B的距离，即．因此，函数的值域为． 5．（分离常数）函数y＝的值域为________． 【答案】{y|y≠1} 【解析】y＝＝＝1－，因为≠0，所以1－≠1．即函数的值域是{y|y≠1}． 6．（平方法）求函数的值域为________． 【答案】 【解析】函数定义域为：，， 由，得，∴，∴原函数值域为． 7．（基本不等式法）的值域为________． 【答案】 【解析】，由对勾函数得，或，，所以或． 8．（反表示法）当时，函数的值域为________． 【答案】 【解析】由可得，由题意可得，， 解得，故答案为． 9．（中间变量值域法）的值域为________． 【答案】 【解析】，∵，∴， ∴，∴，即函数的值域为． 10．（判别式法）求函数的值域为________． 【答案】 【解析】由变形得， 当时，此方程无解； 当时，∵，∴， 解得，又，∴∴函数的值域为 11．（复合函数求值域）为________． 【答案】 【解析】由题意知，函数的定义域为，令，则， 因为在上单调递增，所以，所以． 小结：①形如的值域： 通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域． ②形如：的值域： （1）若定义域为时，其值域为． （2）若时，我们把原函数变形为，然后利用（即的有界性），便可求出函数的值域． ③对形如（、不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y的范围，即值域．值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论． 注意：主要适用于定义在R上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论． ④采用“平方开方法”，则它通常具有如下特征： （1）的值总是非负，即对于任意的，恒成立； （2）的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即 （，为常数），其中，新函数（）的值域比较容易求得. 【训练5】1．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是( ) 【答案】B 【解析】A项定义域为[－2,0]，D项值域不是[0,2]， C项对定义域中除2以外的任一x都有两个y与之对应，都不符合条件，故选B． 2．求下列函数的值域： （1）y=； （2）y=10－； 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），，∴； （2），∴，y=10－． 3．函数y＝x2－4x＋1，x∈[2,5]的值域是( ) A．[1,6] B．[－3,1] C．[－3,6] D．[－3，＋∞) 解析：y＝(x－2)2－3，函数在[2，＋∞)上是增函数，所以f(2)＝－3，又x∈[2,5]，∴f(5)＝6.答案：C 【答案】C 【解析】y＝x2－4x＋1，图像开口向上，对称轴是， ∴y＝x2－4x＋1在[2,5]是增函数，∴当时，y取最大值， ∴y＝x2－4x＋1在[2,5]的值域为[－3,6]． 4．求函数的值域． 【答案】 【解析】因为，即，， 于是：，． 5．函数的值域为 ． 【答案】 【解析】, 当且仅当时成立，故函数的值域为. 6．求函数的值域． 【答案】 【解析】令，则 （1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以 （2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为： 7．函数的最大值为_________． 【答案】2 【解析】； ∴在上单调递减，∴时，的最大值2．故答案为2． 8．求函数的值域． 【答案】 【解析】∵， ∵，∴，∴函数的值域为． 9．求函数的值域． 【答案】 【解析】令（），则，∴． ∵当，即时，，无最小值， ∴函数的值域为． 10．求函数的值域． 【答案】 【解析】因为，而与在定义域内的单调性不一致， 现构造相关函数，易知在定义域内单调增． ，，，， 又，所以：，。 11． 的值域为 ． 【答案】 【解析】若，则；若时，， 当时，，当且仅当，即时取等号，∴，∴； 当时，，，当且仅当，即时取等号， ∴，综上所诉，原函数的值域为． 12．求函数在区间的值域． 【答案】 【解析】由配方得：， 当时，函数是单调减函数，所以； 当时，函数是单调增函数，所以； 所以函数在区间的值域是． 13．求函数的值域． 【答案】 【解析】由解得，∵，∴， ∴∴函数的值域为． 14．求函数的值域：． 【答案】 【解析】 当且仅当时，即时等号成立， ，所以元函数的值域为. 15．求函数（，）的值域． 【答案】 【解析】首先，当时，；其次，是函数与的和； 最后，可见，函数满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）. 这里，（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”， 即可求得的值域为.于是，的值域为.（根号下“和没”，根号下二倍“和没”） 16．求函数 的值域（至少两种方法） 【答案】见解析 【解析】解法一：（反表示法） ∴原函数的值域为 解法二：（复合函数法）设 ，则 ， ∵，∴，∴，∴原函数的值域为 解法三：（判别式法）原函数可化为 （1）时 不成立 （2）时， 综合（1）、（2）值域 4．分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 例如：，为分段函数，求；． 【答案】；． 【解析】；． 考点六 分段函数 【例6】1．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________． 【答案】2 【解析】f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，解得a＝2． 2．函数f(x)＝若f(a)＝，则实数a的值为 ． 【答案】或－2 【解析】当时，则，解得，符合； 当时，则，∴，即，综上，a的值为或－2． 【训练6】1．已知函数，若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】，，若， 则，即，解得的取值范围是． 2．设函数f(x)＝则f(f(3))＝ ． 【答案】 【解析】． 3．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________． 【答案】－ 【解析】当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1．此时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a， f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a．由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a，解得a＝－．不合题意，舍去． 当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，此时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a，f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a． 由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得a＝－．综上可知，a的值为－． 4．设,若，则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】若，则，由得， 即，解得，若，则， 由得，方程无解， ∴，，∴=6． 5．已知，则f(7)＝___________． 【答案】6 【解析】∵7＜9，∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)． 又∵8＜9，∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6.即f(7)＝6. 6．(18全国Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是(　　) A．(－，－1] B．(0，＋) C．(－1,0) D．(－，0) 【答案】D 【解析】　∵f(x)＝∴函数f(x)的图象如图所示．结合图象知， 要使f(x＋1)＜f(2x)，则需或∴x＜0，故选D. 7．（22浙江） 已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________． 【答案】 ①. ②. / 【解析】由已知，，所以， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为.故答案为：，. 8．（多选）已知函数，若，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】根据题意，函数，当时，， 其中当时，，此时，解可得，符合题意； 当时，，此时，解可得或，符合题意； 当时，必有，此时， 变形可得或，若，解可得，若，无解； 综合可得：或或或，分析可得选项可得：ACD符合；故选：ACD． 考点七 求函数的解析式 【例7】1．（代入法）已知 【答案】 【解析】 2．（待定系数法）已知是一次函数，且满足 【答案】或 【解析】, ，或,或, 综上所述，结论是：或. 3．（换元法）已知，求． 解析：令 【答案】 【解析】设，∴， ∴， ∴ 4．（配凑法）已知，求． 【答案】 【解析】令，， ∴，∴ 5．（消元法）已知，求． 【答案】 【解析】① ②消去得： 6．（赋值法）设是定义在上的函数，且满足对任意实数都有求． 【答案】 【解析】，∴令，得， ，则 规律方法 求函数解析式常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数．二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)方程法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 【训练7】1．已知f(x)＝2x2＋x－1，则f(x＋1)＝ ． 【答案】f(x＋1)＝2x2＋5x＋2（直接带入法） 【解析】f(x＋1)＝2x2＋5x＋2． 2．已知函数，则 （ ） A． B． C． D． 答案：A 【答案】A 【解析】，故选A． 3．若f(x＋1)＝2x2＋1，则f(x)＝________． 【答案】2x2－4x＋3 【解析】令t＝x＋1，则x＝t－1， 所以f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3．所以f(x)＝2x2－4x＋3． 4．已知f(－1)＝x，求函数f(x)的解析式． 【答案】 【解析】令，则， ∴，∴． 5．已知，则函数f（x+2）为（ ） A． y＝x2+4x+4（x﹣2） B．y＝x2﹣4x+4（x0） C．y＝x2+2（x0） D．y＝x2﹣2（x0） 【解答】解：，设t＝，（t≥0），则x＝t2． 那么转化为g（t）＝t2．（t≥0）故得f（x）＝x2，（x≥0） ∴f（x+2）＝（x+2）2＝x2+4x+4，（x≥﹣2）故选：A． 【答案】A 【解析】设，则，那么，故得， ∴． 6．f（x）为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2．试求出f（x）的解析式． 【答案】f(x)＝x2－x＋3 【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3．∴f(x)＝ax2＋bx＋3， ∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2． ∴∴∴f(x)＝x2－x＋3． 7．已知满足 ，求函数f(x)的解析式． 【答案】 【解析】因为①，所以②， ②①得，所以. 8．已知f（x）是一次函数，且f（x﹣1）＝3x﹣5，则f（x）的解析式为（ ） A． f（x）＝3x+2 B．f（x）＝3x﹣2 C．f（x）＝2x+3 D．f（x）＝2x﹣3 【答案】B 【解析】设, ，解得：,【解答】解：设f（x）＝kx+b，（k≠0） ∴f（x﹣1）＝k（x﹣1）+b＝3x﹣5，即kx﹣k+b＝3x﹣5， 比较得：k＝3，b＝﹣2，∴f（x）＝3x﹣2，故选：B． 9．若一次函数f（x）满足，则f（﹣1）＝_________． 【解答】解：设f（x）＝ax+b，则：f（f（x））＝f（ax+b）＝a（ax+b）+b＝a2x+ab+b＝x+4； ∴；解得；∴f（x）＝x+2；∴f（﹣1）＝1．故答案为：1． 【答案】1 【解析】设, ，解得：,，∴ 10．已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式． 【答案】f(x)＝，x∈R. 【解析】由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，② ①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.即f(x)＝. 故f(x)的解析式是f(x)＝，x∈R. 11．已知函数f(x)对一切实数x，y都有成立，且，求f(x)的解析式． 【答案】 【解析】令，得，令，得， ∴，∴ 12．（难）已知，求f(x)的解析式． 【答案】 【解析】① 用代替①中得② 用代替①中得③ 联立①②③，得 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函 数 1．函数的基本概念 (1)函数的定义 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 确定的实数y与x对应；则称f为定义在集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A． (2)函数的定义域．值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x称为 ，y称为 ，自变量的取值范围（即数集A）称为这个函数的 ；所有函数值组成的集合称为函数的 ． 例如：如图，以x为自变量的函数的图象为 ． (3)函数的三要素是： 、 和 ． (4)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 2．函数定义域的求法 类型 x满足的条件 x≥0 x≠0 x≠0 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 3．函数的表示方法 ①解析式法 例：， ②列表法 x 1 5 7 y 6 8 5 ③图像法 1．同一函数的判断 判断下列各组函数是不是相同函数： (1)函数y＝1，y＝x0．( ) (2)f(x)＝，g(x)＝()2．( ) (3)f(x)＝1，g(x)＝x2．( ) (4)f(x)＝g(t)＝|t|．( ) (5)f(x)＝x＋1，g(x)＝．( ) (6)，．( ) (7)，，，．( ) 考点一 函数的概念 【例1】1．函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（     ） A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个 【训练1】1．如图，可以表示函数的图象的是（    ） A．B．C． D． 2．存在函数满足：对任意都有（    ） A． B． C． D． 考点二 函数的定义域 【例2】1．函数f(x)＝＋的定义域为( ) A．(－3,0] B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1] 2．若，则_________． 【训练2】1．函数y＝的定义域为________． 2．函数f(x)＝的定义域为( ) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．R 3．函数y＝的定义域为 ． 4．已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 5．（19江苏）函数的定义域是_____． 6．（22北京） 函数的定义域是_________． 考点三 抽象函数定义域 【例3】1．若的定义域为，求的定义域． 2．若的定义域为，求的定义域． 【训练3】1．已知函数的定义域为(0,1)，求的定义域． 2．若的定义域为，求的定义域． 3．已知的定义域为，求的定义域． 4．已知函数的定义域为（－1,0），则函数的定义域为（ ） A．（－1,1） B．（0，） C．（－1,0） D．（，1） 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 小结：1．定义域是指的取值范围； 2．法则相同，取值范围相同． 考点四 函数定义域的应用 【例4】1．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________． 【训练4】1．若函数的定义域是R，则实数的取值范围是__________． 2．函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________． 3．函数值域的常见求法 方法 示例 示例答案 1、直接法 ________ 2、配方法 y＝x2＋2x－2 ________ 3、换元法 ________ 4、数形结合法 ________ 5、分离常数法 y＝ ________ 6、平方法 ________ 7、基本不等式法 ________ 8、反表示法 ________ 9、中间变量值域法 ________ 10、判别式法 ________ 11、 复合函数的值域 （由内到外逐层计算） ________ 考点五 函数的值域 【例5】1．（直接法）的值域为________． 2．（配方法）的值域为________． 3．（换元法） 求函数在时的值域为________． 4．1（数形结合法）的值域为________． 4．2（数形结合法）函数的值域是________． 5．（分离常数）函数y＝的值域为________． 6．（平方法）求函数的值域为________． 7．（基本不等式法）的值域为________． 8．（反表示法）当时，函数的值域为________． 9．（中间变量值域法）的值域为________． 10． （判别式法）求函数的值域为________． 11．（复合函数求值域）为________． 小结：①形如的值域： 通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域． ②形如：的值域： （1）若定义域为时，其值域为． （2）若时，我们把原函数变形为，然后利用（即的有界性），便可求出函数的值域． ③对形如（、不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论． 注意：主要适用于定义在R上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。 ④采用“平方开方法”，则它通常具有如下特征： （1）的值总是非负，即对于任意的，恒成立； （2）的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即 （，为常数），其中，新函数（）的值域比较容易求得． 【训练5】1．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是( ) 2．求下列函数的值域： （1） y=； （2）y=10－； 3． 函数y＝x2－4x＋1，x∈[2,5]的值域是( ) A．[1,6] B．[－3,1] C．[－3,6] D．[－3，＋∞) 4．求函数的值域． 5．函数的值域为 ． 6．求函数的值域为 ． 7．函数的最大值为_________． 8．求函数的值域． 9．求函数的值域． 10．求函数的值域． 11．的值域为 ． 12．求函数在区间的值域． 13．求函数的值域． 14．求函数的值域：． 15．求函数（，）的值域． 16．求函数 的值域（至少两种方法） 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 例如：，为分段函数，求， 考点六 分段函数 【例6】1．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________． 2．函数f(x)＝若f(a)＝，则实数a的值为 ． 【训练6】1．已知函数，若，则的取值范围是________． 2．设函数f(x)＝则f(f(3))＝ ． 3、已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________． 4．设，若,则（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．已知，则f(7)＝___________． 6．(18全国Ⅰ)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)＜f(2x)的x的取值范围是( ) A．(－，－1] B．(0，＋) C．(－1,0) D．(－，0) 7．（22浙江） 已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________． 8．（多选）已知函数，若，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 考点七 求函数的解析式 【例7】1．（代入法）已知 2．（待定系数法）已知是一次函数，且满足． 3．（换元法）已知，求． 4．（配凑法）已知，求． 5．（消元法）已知，求． 6．（赋值法）设是定义在上的函数，且满足对任意实数都有求． 规律方法 求函数解析式常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数．二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)方程法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 【训练7】1．已知f(x)＝2x2＋x－1，则f(x＋1)＝ ． 2．已知函数，则 （ ） A． B． C． D． 3．若f(x＋1)＝2x2＋1，则f(x)＝________． 4．已知f(－1)＝x，求函数f(x)的解析式． 5．已知，则函数f（x+2）为（ ） A． y＝x2+4x+4（x﹣2） B．y＝x2﹣4x+4（x0） C．y＝x2+2（x0） D．y＝x2﹣2（x0） 6．f（x）为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2．试求出f（x）的解析式． 7．已知满足 ，求函数f(x)的解析式． 8．已知f（x）是一次函数，且f（x﹣1）＝3x﹣5，则f（x）的解析式为（ ） A． f（x）＝3x+2 B．f（x）＝3x﹣2 C．f（x）＝2x+3 D．f（x）＝2x﹣3 9．若一次函数f（x）满足，则f（﹣1）＝_________． 10．已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式． 11．已知函数f(x)对一切实数x，y都有成立，且，求f(x)的解析式． 12．（难）已知，求f(x)的解析式． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$