第35讲：圆锥曲线解答题基础中等题型【知识梳理+7个题型归纳+方法总结】讲义-2026届高三数学一轮复习

【第35讲：圆锥曲线解答题基础中等题型】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、椭圆 1.标准方程：（，x轴焦点）；（y轴焦点） 2.参数关系： 3.离心率：（） 4.定义： 5.通径长： 二、双曲线 1.标准方程：（，x轴焦点）；（y轴焦点） 2.参数关系：（） 3.离心率：（） 4.定义： 5.渐近线：x轴焦点；y轴焦点 6.通径长： 三、抛物线（） 开口方向 标准方程 焦点坐标 准线方程 向右 向左 向上 向下 1.定义：（为P到准线距离） 2.通径长： 3.焦点弦（）：，， 四、通用解题工具 1.韦达定理（含超级） 联立得（），交点、： 基础：， 超级：； 纵坐标（直线）：； 2.硬解定理 椭圆+： ，， 双曲线+：（） ，， 抛物线y=kx+m（）： ，， 3.点乘双根公式 方程的根，对常数：（即，） 4.弦长与点差法 弦长：（） 点差法：椭圆中点斜率；双曲线 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：弦长公式计算】 【解题策略】 一、通用弦长公式（适用于椭圆、双曲线、抛物线，直线有斜率） 若直线（存在且）与圆锥曲线交于、，联立直线与曲线方程得一元二次方程（），则： 推导依据：两点间距离，代入，再用韦达定理、化简。 等价形式（用坐标计算）：若联立后得关于的方程，则。 二、特殊情况弦长公式（直线无斜率或抛物线焦点弦） 1.直线垂直x轴（斜率不存在，方程） 此时、横坐标均为，代入曲线方程得、，弦长直接用纵坐标差的绝对值： 示例：椭圆中，直线（焦点横坐标）的弦长即通径，可代入此公式计算。 2.抛物线焦点弦（过焦点的弦，用定义简化） 以抛物线（，焦点）为例，若焦点弦的端点为、，则弦长可借助抛物线定义（）简化： 其他开口抛物线同理： ： ： 例题精选 【例题1】（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C上一点，且的周长是，椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且，求. 【例题2】（24-25高三下·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）过的右焦点作直线与双曲线交于，是否存在这样的直线使？ 【相似题2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程; (2)若，求的值; (3)若抛物线上存在两点，关于直线对称，求的取值范围. 【题型2：几何图形面积计算】 【解题策略】 一、核心场景1：以原点/定点为顶点，直线与曲线交点为另两顶点的三角形 这是圆锥曲线大题最常见的面积场景，例如“求△OAB的面积（O为原点，A、B为直线与椭圆/双曲线/抛物线的交点）”“求△PAB的面积（P为定点，如焦点、顶点）”。 1.通用计算逻辑（必掌握） 1.求弦长：联立直线与曲线方程，用韦达定理得、，代入弦长公式（k为直线斜率）。 2.求高：计算定点（如原点O、焦点F）到直线AB的距离，用点到直线距离公式（直线AB：，定点）。 3.算面积：（核心公式，所有此类三角形通用）。 2.特殊简化（直线过原点时） 若直线AB过原点（A、B关于原点对称），可简化为： 先求（或用弦长公式取一半），再求原点到直线AB的距离（此时也是△OAB中OA边上的高），但更简单的是直接用（行列式公式，无需算弦长和距离，直接代入韦达定理结果）。 二、核心场景2：以曲线两焦点为顶点，曲线交点为第三顶点的“焦点三角形” 仅针对椭圆和双曲线（抛物线只有一个焦点，无此场景），例如“椭圆上一点P与两焦点F₁、F₂组成的△PF₁F₂，求其面积”。 1.椭圆焦点三角形 已知条件：两焦点距离（固定值，由椭圆参数$a、b$得），∠F₁PF₂=θ（或已知P点坐标/直线斜率）。 面积公式： 1.通用版：（h为P到x轴的距离，即，若P，则）。 2.高频简化版：（θ=∠F₁PF₂，由椭圆定义、余弦定理推导得出，无需算坐标，直接用角和b即可）。 2.双曲线焦点三角形 已知条件：（），∠F₁PF₂=θ。 面积公式： 1.通用版：（同椭圆，h=|y_P|）。 2.简化版：（由双曲线定义、余弦定理推导，与椭圆公式仅分母差异）。 三、次要场景3：以曲线顶点和直线交点为顶点的四边形 低频但需了解，常见于椭圆/双曲线的“梯形”或“平行四边形”，例如“椭圆的上下顶点（A(0,b)、B(0,-b)）与直线l和椭圆的交点C、D组成梯形ACBD，求其面积”。 计算逻辑（分割法） 1.判断图形：梯形ACBD中，AB和CD为两条底边（AB垂直x轴，CD平行AB），高为C、D两点横坐标的绝对值之和（或水平距离）。 2.求底边长：（椭圆上下顶点距离），（CD为直线与椭圆交点弦长）。 3.求高：若直线CD平行y轴（x=m），则高为（原点到直线CD的水平距离）；若CD有斜率，高为两平行线AB与CD的距离（AB：x=0，CD：Ax+By+C=0，距离）。 4.算面积：梯形面积公式。 四、关键提醒（避坑点） 1.必须先验证判别式：计算面积前，需确保直线与曲线有两个交点，即联立后的一元二次方程（否则面积为0，无意义）。 2.距离公式别漏绝对值：点到直线的距离、P点纵坐标均需加绝对值，保证面积为正。 3.焦点三角形优先用简化公式：已知角度θ时，直接用（椭圆）或（双曲线），比算坐标更快捷。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）已知椭圆（）的离心率为． (1)求E的方程； (2)记坐标原点为O，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的面积． 【例题2】（25-26高二上·江苏南京·期中）已知和为椭圆上两点. (1)求椭圆离心率； (2)若过的直线交于另一点，且的面积是3，求的方程. 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知点在双曲线C：上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．若，求的面积． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，若C的离心率为2，点在C上，过的直线l交C的右支于P，Q两点． (1)求直线AP，AQ的斜率之积； (2)若的面积为，求l的方程． 【题型3：圆锥曲线结合特殊图形】 【解题策略】 一、焦点三角形问题（椭圆/双曲线） 核心特征：以两焦点和曲线上一点构成三角形，常涉及角度、面积、离心率等计算。 1.面积与角度关系 椭圆：面积公式（θ为两焦点与点的夹角）。 *例*：椭圆上一点P与焦点F₁、F₂形成的角为60°，则面积。 双曲线：面积公式。 *例*：双曲线上一点P满足∠F₁PF₂=90°，则面积。 2.离心率与角度结合 椭圆：若∠F₁PF₂=90°，则离心率。 双曲线：若∠F₁PF₂=60°，则。 二、正三角形存在性问题（椭圆/双曲线/抛物线） 核心特征：判断圆锥曲线上是否存在三点构成正三角形。 1.椭圆与双曲线的正三角形 椭圆：过椭圆上任一点均存在内接正三角形。 *例*：椭圆上点P在第二象限时，可通过旋转法构造正三角形。 双曲线：当时，存在内接正三角形；当（等轴双曲线）时，不存在。 *例*：双曲线（a>b）上点P在右支时，正三角形顶点可能分布在两支上。 2.抛物线的正三角形 通径正三角形：过焦点且垂直于对称轴的弦（通径）与抛物线顶点可构成正三角形。 *例*：抛物线的通径长为4，顶点O到通径的距离为1，构成边长为2的正三角形。 三、蒙日圆与阿基米德三角形（椭圆/抛物线） 核心特征：结合圆与三角形的特殊性质。 1.蒙日圆（椭圆） 定义：椭圆上两条互相垂直的切线的交点轨迹是以原点为圆心的圆，半径。 *例*：椭圆的蒙日圆方程为。 2.阿基米德三角形（抛物线） 定义：抛物线的弦与过弦端点的两条切线围成的三角形。 性质：若弦过焦点，则两切线斜率之积为-1，且三角形面积最小值为（p为焦准距）。 *例*：抛物线的焦点弦AB对应的阿基米德三角形面积最小值为8。 四、对称性与特殊四边形（椭圆/双曲线） 核心特征：利用对称性简化计算，涉及梯形、平行四边形等。 1.等腰梯形与平行四边形 椭圆：过椭圆中心的两条平行弦与顶点构成平行四边形，面积最大时弦垂直于长轴。 *例*：椭圆的平行四边形最大面积为。 双曲线：若弦中点在原点，则四边形为菱形，面积（a>b）。 2.梯形面积计算 分割法：将梯形分解为三角形和矩形，利用弦长公式和距离公式计算。 *例*：椭圆的上下顶点与直线的交点构成梯形，面积。 五、共焦点曲线问题（椭圆/双曲线） 核心特征：椭圆与双曲线共享焦点，涉及离心率关系。 1.离心率乘积与和 结论：若椭圆与双曲线共焦点，且P为公共点，则（当∠F₁PF₂=90°时）。 *例*：椭圆与双曲线共焦点，离心率满足。 2.公共切线与正交性 正交切线：椭圆与双曲线在公共点处的切线互相垂直，此时满足（c为焦距）。 *例*：椭圆与双曲线在点P处的切线正交。 六、参数范围与最值问题（综合题型） 核心特征：结合几何图形求面积、距离的最值。 1.三角形面积最大值 抛物线焦点弦：过焦点的弦与顶点构成的三角形面积最大值为。 *例*：抛物线的焦点弦AB与顶点O的三角形最大面积为8。 2.四边形面积范围 椭圆与抛物线组合：椭圆与抛物线的交点构成的四边形面积，需通过联立方程和判别式求解范围。 *例*：椭圆与抛物线的交点四边形面积范围为。 关键解题策略 1.定义优先：利用椭圆/双曲线的定义简化距离计算。 2.对称性分析：通过对称性减少变量，如椭圆的对称点坐标关系。 3.韦达定理：联立方程后用韦达定理表达弦长、面积等。 4.几何性质：灵活运用蒙日圆、阿基米德三角形等特殊性质。 5.参数方程：对于复杂图形，可引入参数方程简化运算。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·广西梧州·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，离心率为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C交于A，B两点； ①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 【例题2】（24-25高三下·山西大同·期末）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 相似练习 【相似题1】（2025·海南·模拟预测）已知椭圆，且该椭圆的离心率为，直线不过原点且不平行于坐标轴，与椭圆交于两点，线段的中点为． (1)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值； (2)若直线的方程为，延长线段与椭圆交于点，四边形为平行四边形，求椭圆的方程． 【相似题2】（2025·广东·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在上，且． (1)求抛物线的方程； (2)直线l经过点F，且与交于A、B两点． ①点P是抛物线上位于A、B之间的动点，设点P到直线l的距离d的最大值为，求的最小值； ②设线段的垂直平分线与交于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，求直线l的方程． 【题型4：圆锥曲线中最值与取值范围类】 【解题策略】 一、函数法（最通用，核心是“单变量化”） 方法核心 把目标量（如面积、距离、斜率）表示为单个变量的函数，通过求函数在定义域内的最值（一次函数、二次函数、分式函数等）得到结果。 适用场景 目标量可通过韦达定理、曲线方程统一为单个变量（如x、y、k，k为直线斜率）。 无明显几何性质可利用，需直接代数运算的场景（如面积最值、两点距离最值）。 解题步骤 1.设变量：设目标量为S（面积）、d（距离）等，根据题意用曲线方程或韦达定理消元，将S/d表示为单变量t（如t=k、t=x₁+x₂）的函数，即S=f(t)。 2.定定义域：根据“直线与曲线有交点（Δ>0）”“变量自身范围（如椭圆x∈[-a,a]）”确定t的取值范围。 3.求最值：根据函数类型求最值（二次函数用顶点式，分式函数用分离常数，高次函数用导数）。 示例 求椭圆上一点P到直线的距离最小值： 设P(x,y)，由椭圆方程得，距离； 用x表示y（或用参数方程），转化为，设，求f(x)的最值（x∈[-2,2]），最终得。 二、几何法（利用定义与性质，简化运算） 方法核心 借助圆锥曲线的定义、几何性质或平面几何定理（如三角形三边关系、切线性质），直接转化最值条件，避免复杂代数运算。 适用场景 涉及“距离和/差”的最值（如椭圆上点到两定点距离和，双曲线上点到两焦点距离差）。 直线与曲线的距离最值（如平行线间距离、点到直线距离）。 常见子方法与示例 子方法 适用场景 解题关键 定义法 椭圆/双曲线/抛物线的距离最值 椭圆：；双曲线：；抛物线： 切线法 直线到曲线的距离最值 找与目标直线平行的曲线切线，切线与目标直线的距离即为最值（判别式Δ=0求切线参数） 三角形三边关系 曲线上点到定点的距离最值 如椭圆上点P到定点A，结合（F为焦点）求最值 示例（切线法） 求直线到椭圆的最小距离： 设平行于的椭圆切线为，代入椭圆方程得； 令Δ=0（切线条件），即，解得； 取与距离更近的切线，距离。 三、不等式法（利用均值/柯西不等式，适用于“和/积”结构） 方法核心 通过基本不等式（均值不等式）或柯西不等式，对目标量的“和式”或“积式”直接求最值，需满足“一正二定三相等”。 适用场景 目标量可表示为“两个正数的和”或“积”（如xy的最值、的最值）。 涉及对称式（如椭圆中、）。 常见不等式与示例 1.基本不等式（a,b>0）：（和定积最大，积定和最小）； 示例：椭圆中，求的最大值： 由，得，即（等号成立时）。 2.柯西不等式：； 示例：椭圆中，求的最值： 令，由柯西不等式，即？不对，调整为，实际应为，得，若求，则，即，故。 四、参数法（利用参数方程，简化变量） 方法核心 用圆锥曲线的参数方程（如椭圆的θ参数、抛物线的t参数）表示曲线上点的坐标，将目标量转化为“参数的函数”，再求最值。 适用场景 椭圆、双曲线、抛物线的参数方程可简化变量（如椭圆用三角函数参数，避免x、y双变量）。 目标量涉及“角度”或“周期性”（如旋转相关的最值）。 常见参数方程与示例 曲线类型 参数方程（常用） 适用场景 椭圆 （θ为离心角） 点到直线距离、xy最值 双曲线 （θ为参数） 距离和/差最值 抛物线 ：（t为参数） 点到定点距离、焦点弦相关 示例 求抛物线上一点P到点A(0,1)的距离最小值： 设P(2pt²,2pt)，这里2p=4，故p=2，参数方程为； 距离平方； 令，求导得，令，得t=1/2（试根），代入得，故。 五、导数法（应对复杂函数，精准求极值） 方法核心 当目标函数为高次函数、分式函数或含根号的复杂函数时，通过求导找函数的极值点，再结合定义域确定最值。 适用场景 函数法无法用初等方法（如二次函数顶点、均值不等式）求最值的情况（如三次函数、分式+根号函数）。 目标量涉及“切线斜率”“非线性距离”等复杂表达式。 解题步骤 1.建函数：同函数法，将目标量表示为单变量函数f(t)。 2.求导数：计算f’(t)，令f’(t)=0，求解极值点t₀。 3.判最值：比较极值点f(t₀)与定义域端点的函数值，确定最大/最小值。 示例 直线与椭圆交于A、B两点，求△OAB（O为原点）面积的取值范围： 联立方程得，Δ>0得； 弦长，原点到直线距离； 面积，令（t>0），则； 求导，令S’(t)=0得t=2（t>0）； 当t=2时，；当t→+∞时，S→0，故S∈(0,1]。 六、关键解题策略与避坑点 1.优先选方法： 见“距离和/差”→先试几何法（定义）； 见“和/积结构”→先试不等式法； 见“复杂表达式”→用参数法/导数法； 通用情况→用函数法。 2.必验证定义域： 直线与曲线相交需满足Δ>0，避免所求最值超出实际范围（如上述面积示例中k²>3/4，t>0）。 3.等号成立条件： 不等式法、几何法需验证等号是否能取到（如椭圆中xy的最大值，需确认存在点(x,y)满足）。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若点在第一象限，求直线斜率的取值范围． 【例题2】 （25-26高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长之积为8，椭圆的一条弦的中点为，满足:在直线上且不为坐标原点，点分别为椭圆的左、右焦点. (1)求的方程； (2)（i）记椭圆右顶点为，线段上是否存在点，使得?若存在，请求点横坐标的范围；若不存在，请说明理由； （ii）若点均在轴上方，且点在点上方，证明四边形的面积小于2. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·上海·阶段练习）如图，双曲线的实轴长为4，离心率为，斜率为k的直线l过x轴上一点，双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B、C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P、Q. (1)求双曲线E的标准方程； (2)当时，求t的取值范围； (3)当时，求的最小值. 【相似题2】（25-26高三上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线的准线与半椭圆相交于两点，且，点是半椭圆上一动点. (1)求抛物线的方程； (2)过点作抛物线的两条切线，切点分别为，记的中点为. （i）证明轴； （ii）求面积的取值范围. 【题型5：圆锥曲线中的定点问题】 【解题策略】 一、核心类型1：直线过定点（高频，占定点问题80%以上） 直线过定点的本质是：将直线方程整理为“参数×含x,y的式子+含x,y的式子=0”，令参数的系数和常数项均为0，解方程组即得定点。 常用方法：参数分离法（核心）+特殊值法（辅助验证） 适用场景 直线含单参数（如斜率k、截距m），且参数变化时直线始终过某定点（如“无论k为何值，直线l过定点P”）。 题目中涉及“弦的中垂线、焦点弦的伴随直线、切线的包络线”等与直线相关的定点。 解题步骤（以“直线含参数k”为例） 1.设直线方程：根据题意设直线方程，含参数k（如，其中m(k)是与k相关的表达式，或直接设为）。 2.联立与消元：若直线与曲线相交，联立曲线方程，利用韦达定理表示交点坐标的关系（如、），代入直线方程的变形中；若无需交点，直接整理直线方程。 3.参数分离：将直线方程整理为“”的形式（A、B是仅含x、y的式子，不含参数k）。 4.求定点：令，解方程组得(x,y)，即为定点。 5.验证：将定点代入原直线方程，确认对任意参数k均成立（避免计算错误）。 示例：椭圆中弦的中垂线过定点 已知椭圆，过点的直线l交C于A、B两点，求AB的中垂线过的定点P。 步骤1：设l的斜率为k（k存在），方程为，联立C得。 步骤2：设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，AB中点为N(x₀,y₀)，由韦达定理得，。 步骤3：AB中垂线的斜率为，方程为，代入x₀、y₀得： 步骤4：整理为参数k的分离形式：，进一步变形为。 步骤5：令，解得，，即定点P(3,0)（验证：k不存在时，l为x=1，AB中垂线为x轴，也过(3,0)）。 二、核心类型2：曲线过定点（低频，需参数分离） 曲线过定点的本质是：将曲线方程整理为“参数×含x,y的项+含x,y的常数项=0”，令各参数的系数均为0，解方程组得定点。 常用方法：参数分离法（唯一核心） 适用场景 曲线含参数（如椭圆/双曲线的系数、抛物线的焦准距参数），且参数变化时曲线始终过某定点（如“无论λ为何值，曲线过定点”）。 两曲线的交点轨迹过定点（如“椭圆与含参数的直线的交点轨迹过定点”）。 解题步骤 1.设曲线方程：写出含参数λ的曲线方程（如）。 2.分类整理：将方程按参数λ的次数分类（一次项、常数项），整理为“”（P、Q不含λ）。 3.求定点：令，解方程组得(x,y)，即为定点。 4.验证：将定点代入原曲线方程，确认对任意参数λ均成立。 示例：含参数的圆过定点 求曲线（a为参数）过的定点。 步骤1：整理方程，按a的次数分离：。 步骤2：令，解得或。 步骤3：验证：将(1,1)代入原方程，左边=1+1-2a+2(a-2)+2=0，恒成立；同理(-1,-1)也成立，故定点为(1,1)和(-1,-1)。 三、核心类型3：结合向量/几何条件的定点（综合型） 此类问题需先将几何条件（如“”“以AB为直径的圆过定点”）转化为代数方程，再按“参数分离法”求定点。 关键转化（必记） 几何条件 代数转化 以AB为直径的圆过定点P （即） 直线PA与PB斜率之积为定值k 点P在AB的中垂线上 （即） 解题步骤（以“”为例） 1.设定点P：设P(x₀,y₀)（待求），设含参数的直线/曲线方程（如直线l:y=kx+m）。 2.联立与韦达：联立直线与曲线，得韦达定理结果（、、、）。 3.代入几何条件：将展开，用韦达定理替换等，整理为“参数×含x₀,y₀的式子+含x₀,y₀的式子=0”。 4.求P点：令参数的系数和常数项均为0，解方程组得(x₀,y₀)，即为定点。 示例：抛物线中向量垂直的定点 已知抛物线，过点(2,0)的直线l交C于A、B两点，求存在定点P，使得，求P。 步骤1：设l:y=k(x-2)（k存在），联立C得，韦达定理得，，（由、推导）。 步骤2：设P(x₀,y₀)，则，展开代入韦达结果： 步骤3：整理为k的分离形式（）： 步骤4：令参数系数为0，解得P(0,0)（验证：k不存在时，l:x=2，A(2,2√2)、B(2,-2√2)，，成立）。 四、避坑点与核心总结 1.必验证定点：求出定点后，需代入原直线/曲线方程，确认对所有参数值均成立（尤其注意参数不存在的情况，如直线斜率不存在时）。 2.参数分离要彻底：整理方程时，需确保“参数的系数”中不含参数（如将变形为，而非保留分式）。 3.优先用特殊值法找定点：若参数分离复杂，可先取2个特殊参数值（如k=1、k=-1），求两条直线/曲线的交点，再验证该交点是否为定点（减少计算量）。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，证明：直线l过定点，并求出此定点. 【例题2】（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）已知为坐标原点，椭圆的右焦点为的长轴长为4，直线过点且与交于两点. (1)求的标准方程； (2)在轴上是否存在一个定点，使得直线关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当的斜率不为时，直线交于另一点，直线交于另一点，证明：直线过定点. 相似练习 【相似题1】（2025·四川德阳·模拟预测）已知双曲线过点，离心率，左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点. (1)求双曲线的标准方程. (2)若直线的斜率为1，求的面积. (3)若直线与直线交于点.证明：直线过定点. 【相似题2】（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． (1)求C的方程． (2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 【题型6：圆锥曲线中的定直线问题】 【解题策略】 一、核心类型1：动点轨迹为定直线（最基础，占比40%） 此类问题是“定直线”的本质——某动点（如弦中点、满足条件的交点）的坐标始终满足某条固定直线的方程，核心是消去参数求轨迹。 方法：消参法（核心）+验证法 适用场景 题目明确“求动点P的轨迹，并证明其为定直线”（如“椭圆中弦AB的中点P的轨迹是定直线”“抛物线中满足的点P的轨迹是定直线”）。 动点坐标与参数（如直线斜率k、截距m）相关，需通过曲线方程或韦达定理消去参数。 解题步骤 1.设动点坐标：设动点P(x,y)，明确与P相关的参数（如弦AB的斜率k、端点坐标）。 2.列参数关系：根据题意（如中点公式、向量条件、几何性质）列出x、y与参数的关系式（如中点，）。 3.消去参数：结合曲线方程或韦达定理，消去所有参数（如用椭圆方程消去，用韦达定理消去k），得到仅含x、y的方程。 4.验证：确认所得方程为直线（次数为1，无二次项），且所有满足条件的动点均在该直线上。 示例：椭圆中弦中点的定直线轨迹 已知椭圆，过定点M(1,0)的直线l交C于A、B两点，求AB中点P的轨迹，并证明其为定直线。 步骤1：设P(x,y)，直线l斜率为k（k存在），方程为，联立C得。 步骤2：由韦达定理，，故中点横坐标；中点纵坐标。 步骤3：消去参数k：由得（x≠1），代入，两边平方得，再代入化简： 整理得？不对，重新消参：直接用和，两式相除得（y≠0），即，代入： （若k不存在，l为x=1，中点为(1,0)，代入方程成立），但此例轨迹是椭圆？哦，换个场景：若直线l过M(2,0)，则消参后得（定直线），更贴合“定直线”——核心是消参后方程为一次式。 二、核心类型2：含参数直线恒为定直线（高频，占比50%） 此类问题是“定直线”的典型考法——直线方程含参数（如k、m），但无论参数如何变化，直线始终是同一条固定直线，核心是参数分离+系数为0。 方法：参数分离法（核心）+特殊值法（辅助） 适用场景 题目明确“证明：无论参数λ（如斜率k、截距m）为何值，直线l恒为定直线”（如“无论k为何值，椭圆的某条切线恒为x=2”“含参数m的直线l恒过定直线x+y=1”）。 直线方程可整理为“参数×含x,y的项+含x,y的项=0”，且仅当所有参数的系数为0时恒成立。 解题步骤 1.设直线方程：写出含参数λ的直线方程（如，）。 2.参数分离：将直线方程整理为“”的形式（f、g不含参数λ，且f、g为x,y的一次式）。 3.定直线条件：要使方程对任意λ成立，需满足“参数的系数=0”且“常数项=0”，即，联立解得的x,y关系即为定直线方程。 4.验证：取2个不同参数值，求出对应的直线，确认两直线重合（即定直线）。 示例：含参数的抛物线切线恒为定直线 已知抛物线，证明：无论t为何值，过点的切线恒为定直线？不，换“无论k为何值，直线恒过定直线x=1”？更精准的示例：证明“椭圆中，过顶点A(a,0)的弦AB，其垂直平分线与x轴交点M的轨迹是定直线”。 步骤1：设AB斜率为k，方程为，联立椭圆得。 步骤2：AB中点N(x₀,y₀)，由韦达定理，。 步骤3：AB垂直平分线方程为，令y=0（M在x轴），得M(x,0)： 步骤4：代入x₀、y₀消去k： 若椭圆为（a=2，b=1），则，不是定直线——调整条件：若AB过焦点F(c,0)，则消参后得（定直线，即椭圆的右准线），符合“定直线”。 三、核心类型3：几何条件推导定直线（含固定公式，占比10%） 此类问题依赖圆锥曲线的特殊几何性质（如切点弦、极线、准线），有固定公式可直接套用，无需复杂消参。 方法：公式法（核心）+几何意义验证 适用场景 涉及“切点弦”“极线”“准线”的定直线（如“椭圆外一点P引两条切线，切点连线为定直线”“抛物线的焦点弦的垂直平分线恒过定直线——准线”）。 几何条件对应圆锥曲线的固定性质（如“以椭圆焦点弦为直径的圆与准线相切，准线为定直线”）。 常用定直线公式（必记） 几何对象 曲线类型 定直线方程（核心公式） 切点弦（外点P(x₀,y₀)引切线的切点连线） 椭圆 （定直线，仅与P有关） 极线（点P(x₀,y₀)对应的极线） 双曲线 （若P在曲线上，极线即为切线；若P在外部，极线为切点弦） 焦点弦的垂直平分线 抛物线 恒过定直线（即抛物线的准线） 解题步骤 1.识别几何类型：判断题目对应的几何对象（如“切点弦”“极线”）。 2.套用公式写直线方程：根据曲线类型和已知点坐标，代入固定公式得直线方程。 3.验证几何意义：确认直线符合性质（如切点弦确实过两切点，极线与曲线的位置关系正确）。 示例：椭圆外点的切点弦定直线 已知椭圆，点P(4,0)在椭圆外，过P引C的两条切线，证明切点连线AB为定直线。 步骤1：识别几何类型——“椭圆外点的切点弦”，套用公式：椭圆外点P(x₀,y₀)的切点弦方程为。 步骤2：代入P(4,0)（x₀=4，y₀=0），a²=4，b²=1，得： 步骤3：验证：设切线方程为，联立椭圆得Δ=0，解得k=±，切点坐标分别为和，连线为x=1（定直线），成立。 四、避坑点与核心总结 1.区分“轨迹定直线”与“直线恒为定直线”： 前者是“动点在定直线上”，需消参求轨迹； 后者是“含参直线本身固定”，需参数分离使系数为0。 2.公式需对应曲线类型：椭圆、双曲线的切点弦/极线公式仅符号不同（椭圆“+”，双曲线“-”），避免混淆；抛物线的公式需注意开口方向（如的准线为）。 3.特殊值法辅助验证：若消参或套用公式后不确定，可取2个不同参数值（如k=1、k=-1），求出对应的直线，确认两直线重合（即定直线）。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）椭圆，长轴长为4，焦点坐标为. (1)求椭圆方程； (2)椭圆上,下顶点为,，过点的直线与椭圆交于异于,的两点,，直线,的交点在一条定直线上，求出该定直线方程. 【例题2】（25-26高三上·湖北·开学考试）已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点为，离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线��不过原点、椭圆顶点且不垂直于x轴． （i）设直线和的斜率分别为，用表示； （ii）设点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，其中为坐标原点，证明：点在一条定直线上． 相似练习 【相似题1】（2025·湖南郴州·一模）已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点. （i）求证：点在定直线上； （ii）求证：射线平分. 【相似题2】（25-26高三上·福建·开学考试）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点. (1)求的方程； (2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于. （i）证明：三点共线； （ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上. 【题型7：圆锥曲线中点弦问题】 【解题策略】 一、核心方法：点差法（最常用，适用于椭圆、双曲线、抛物线） 方法原理 设弦的两端点为、，中点为（已知，），将$A、B$代入曲线方程，两式相减后利用“平方差公式”和“中点坐标”推导弦的斜率，进而求直线方程。 分曲线公式推导（必记） 曲线类型 标准方程 中点弦斜率公式（） 推导关键步骤（以椭圆为例） 椭圆 （） （） 两式相减：，分解得，代入、，化简得。 双曲线 （） （） 类似椭圆，两式相减后符号为“-”，化简得。 抛物线（开口右） （） （） 两式相减：，分解得，代入，化简得。 解题步骤（以椭圆为例） 1.设点与中点：设弦两端点、，中点（已知）。 2.代入曲线方程： 3.两式相减（点差）：①-②得，分解后代入中点坐标： 4.求直线方程：用点斜式，代入即得弦所在直线方程。 5.验证存在性：确保直线与曲线有两个交点（判别式），且中点在曲线内部（椭圆：；双曲线：（焦点在x轴））。 二、辅助方法：联立方程+韦达定理（适用于需参数范围或斜率不存在的情况） 方法原理 设弦所在直线方程为（或斜率不存在时），与曲线方程联立，消元得一元二次方程，利用韦达定理“中点坐标”建立关于的方程，求解后得直线方程，同时可通过判别式确定参数范围。 适用场景 点差法中斜率的分母为0（即，需单独讨论斜率不存在的直线）。 题目要求“求参数的取值范围”（需结合判别式）。 抛物线中点弦中，当中点纵坐标时（点差法失效，需用联立韦达）。 解题步骤（以双曲线为例） 1.设直线方程：若中点，斜率存在时设；斜率不存在时设。 2.联立与消元：代入双曲线方程，消去得关于的一元二次方程（）。 3.用韦达定理：由中点坐标，建立关于的方程，解得（与点差法结果一致）。 4.验证判别式：，确保弦存在，同时确定的取值范围（若有参数）。 三、特殊情况处理（易漏点） 1.斜率不存在的中点弦 当弦所在直线垂直于x轴（斜率不存在）时，中点横坐标固定，弦的方程为，代入曲线方程可直接求弦的端点（需满足方程有两解）。 示例：椭圆中，中点为（），斜率不存在的直线，代入得，弦存在。 2.中点弦不存在的情况 椭圆：若中点满足（在椭圆外部或边界），则中点弦不存在。 双曲线：若中点满足（焦点在x轴时，在双曲线内部），则中点弦可能不存在（需结合判别式）。 四、典型例题与应用 例1：椭圆中点弦 已知椭圆，求以为中点的弦所在直线方程。 解：由椭圆，，中点，点差法得斜率，直线方程：，即（验证：代入椭圆，，且，弦存在）。 例2：抛物线中点弦 已知抛物线，求以为中点的弦所在直线方程。 解：由抛物线，中点，点差法得斜率，直线方程：，即（验证：联立抛物线得，，弦存在）。 五、核心总结与避坑点 1.优先用点差法：步骤少、计算快，直接得斜率，但需注意（避免分母为0）。 2.必验证存在性：通过“中点在曲线内部”和“判别式”确保弦存在，否则答案无效。 3.不可漏斜率不存在的情况：当（椭圆/双曲线）或直线垂直x轴时，单独讨论是否为有效弦。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段练习）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，且满足条件． (1)求椭圆C的离心率； (2)若坐标原点O到直线AB的距离为，求椭圆C的方程； (3)在（2）的条件下，过点的直线l与椭圆C交于M、N两点，且点P恰为线段的中点，求直线l的方程． 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）（1）过点的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，求直线的方程． （2）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于，且点是线段的中点？若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由． ． 相似练习 【相似题1】（2025·湖南娄底·二模）已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求C的离心率； (2)若，求直线的一般式方程． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）过点作抛物线的弦，恰被点平分，求的所在直线方程及弦的长度. 课后针对训练 一、解答题 1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知抛物线的焦点到直线的距离为，直线与交于两点. (1)求的准线方程； (2)若直线的方程为，求； (3)过两点分别作的切线，且相交于点，若点的纵坐标为，证明：直线过定点. 2．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 3．（25-26高三上·天津·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一点. (1)求椭圆的方程； (2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值. 4．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知椭圆C：的离心率，以C的四个顶点为顶点的四边形的面积为. (1)求的方程； (2)若直线交椭圆于两点，求. 5．（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知抛物线，过点的直线交于两点，为坐标原点．当与轴垂直时，． (1)求抛物线的解析式； (2)若，过轴上一点作直线的垂线，垂足分别为，且满足三点共线． （i）求直线的方程； （ii）求点的坐标． 6．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为. (1)求C的方程. (2)若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D. （i）证明：直线DN恒过点； （ii）设O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值. 7．（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知椭圆的离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)求直线与椭圆相切时的值及切点坐标； (3)过定点的直线与椭圆交于两点，若的面积为，求直线方程及弦的长. 8．（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知椭圆C：的离心率为，长轴的右端点为）． (1)求C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． (3)不经过点A的直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且以为直径的圆过点A，试证明直线l过一定点，并求出此定点； 9．（24-25高三上·上海松江·期末）已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点． (1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度； (2)设点，当时，求点A的坐标； (3)设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围． 10．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知抛物线，圆，点在抛物线上，过点作圆的两条切线，切线与抛物线E的另一个交点分别为B，C. (1)当点为坐标原点，时，求的面积； (2)当点的坐标为时，求直线BC的斜率； (3)当点在抛物线E上运动时，是否存在实数，使得直线始终与圆相切，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【第35讲：圆锥曲线解答题基础中等题型】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、椭圆 1.标准方程：（，x轴焦点）；（y轴焦点） 2.参数关系： 3.离心率：（） 4.定义： 5.通径长： 二、双曲线 1.标准方程：（，x轴焦点）；（y轴焦点） 2.参数关系：（） 3.离心率：（） 4.定义： 5.渐近线：x轴焦点；y轴焦点 6.通径长： 三、抛物线（） 开口方向 标准方程 焦点坐标 准线方程 向右 向左 向上 向下 1.定义：（为P到准线距离） 2.通径长： 3.焦点弦（）：，， 四、通用解题工具 1.韦达定理（含超级） 联立得（），交点、： 基础：， 超级：； 纵坐标（直线）：； 2.硬解定理 椭圆+： ，， 双曲线+：（） ，， 抛物线y=kx+m（）： ，， 3.点乘双根公式 方程的根，对常数：（即，） 4.弦长与点差法 弦长：（） 点差法：椭圆中点斜率；双曲线 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：弦长公式计算】 【解题策略】 一、通用弦长公式（适用于椭圆、双曲线、抛物线，直线有斜率） 若直线（存在且）与圆锥曲线交于、，联立直线与曲线方程得一元二次方程（），则： 推导依据：两点间距离，代入，再用韦达定理、化简。 等价形式（用坐标计算）：若联立后得关于的方程，则。 二、特殊情况弦长公式（直线无斜率或抛物线焦点弦） 1.直线垂直x轴（斜率不存在，方程） 此时、横坐标均为，代入曲线方程得、，弦长直接用纵坐标差的绝对值： 示例：椭圆中，直线（焦点横坐标）的弦长即通径，可代入此公式计算。 2.抛物线焦点弦（过焦点的弦，用定义简化） 以抛物线（，焦点）为例，若焦点弦的端点为、，则弦长可借助抛物线定义（）简化： 其他开口抛物线同理： ： ： 例题精选 【例题1】（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C上一点，且的周长是，椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据周长和离心率列出方程组可得方程； （2）联立方程结合韦达定理和向量数量积求出斜率，利用弦长公式可得答案. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得， 解得，，所以， 所以椭圆C的方程为. （2）由题意可知直线l的斜率存在，设为k，所以直线l的方程为. 设，， 由，得， 所以，，由得. 由， 得，满足，所以，， 所以. 【例题2】（24-25高三下·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，为坐标原点，，若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知求出得方程； （2）设直线，由求出，根据弦长公式求. 【详解】（1）因为短轴长为，故． 又离心率为，由且， 故， 故椭圆方程为：． （2）如图，由题设直线的斜率存在，故设直线， 即，令， 由可得． 故，即， 且， 则． 又点到直线距离，点到直线距离， 故 ， 故， 即，解得， 故． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）过的右焦点作直线与双曲线交于，是否存在这样的直线使？ 【答案】不存在 【分析】分类讨论直线斜率是否为0，设直线方程，联立方程韦达定理，求出弦长表达式，然后求解弦长最小值，即可判断. 【详解】若过F的直线斜率为0，则弦长为； 若过F的直线斜率不为0，右焦点，设直线的方程为， 联立方程得， 则，， 设，则， 所以由弦长公式得 ，当且仅当即时，等号成立； 因为，所以过F的最短的弦长为，    所以不存在这样的直线使． 【相似题2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程; (2)若，求的值; (3)若抛物线上存在两点，关于直线对称，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由准线方程求出，即可得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，解得即可； （3）设，，当时显然不成立，当时，由得到，从而得到中点的纵坐标，即可求出中点的横坐标，即可得到，即可得到关于的方程有实根，由求出参数的取值范围. 【详解】（1）由题意，，抛物线的方程为； （2）由题意，整理得，设，， 则， ，， ，整理可得， ，解得； （3）设，， 若，则，易得此时不合题意； 若，由于，关于直线对称，故，可得， 中点的纵坐标为， 将其代入中，可得， 又，化简可得， ，且， 化简可得，要使得上述关于的方程有实根， 当时不合题意， 则，故，或， 即的取值范围为或. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 【题型2：几何图形面积计算】 【解题策略】 一、核心场景1：以原点/定点为顶点，直线与曲线交点为另两顶点的三角形 这是圆锥曲线大题最常见的面积场景，例如“求△OAB的面积（O为原点，A、B为直线与椭圆/双曲线/抛物线的交点）”“求△PAB的面积（P为定点，如焦点、顶点）”。 1.通用计算逻辑（必掌握） 1.求弦长：联立直线与曲线方程，用韦达定理得、，代入弦长公式（k为直线斜率）。 2.求高：计算定点（如原点O、焦点F）到直线AB的距离，用点到直线距离公式（直线AB：，定点）。 3.算面积：（核心公式，所有此类三角形通用）。 2.特殊简化（直线过原点时） 若直线AB过原点（A、B关于原点对称），可简化为： 先求（或用弦长公式取一半），再求原点到直线AB的距离（此时也是△OAB中OA边上的高），但更简单的是直接用（行列式公式，无需算弦长和距离，直接代入韦达定理结果）。 二、核心场景2：以曲线两焦点为顶点，曲线交点为第三顶点的“焦点三角形” 仅针对椭圆和双曲线（抛物线只有一个焦点，无此场景），例如“椭圆上一点P与两焦点F₁、F₂组成的△PF₁F₂，求其面积”。 1.椭圆焦点三角形 已知条件：两焦点距离（固定值，由椭圆参数$a、b$得），∠F₁PF₂=θ（或已知P点坐标/直线斜率）。 面积公式： 1.通用版：（h为P到x轴的距离，即，若P，则）。 2.高频简化版：（θ=∠F₁PF₂，由椭圆定义、余弦定理推导得出，无需算坐标，直接用角和b即可）。 2.双曲线焦点三角形 已知条件：（），∠F₁PF₂=θ。 面积公式： 1.通用版：（同椭圆，h=|y_P|）。 2.简化版：（由双曲线定义、余弦定理推导，与椭圆公式仅分母差异）。 三、次要场景3：以曲线顶点和直线交点为顶点的四边形 低频但需了解，常见于椭圆/双曲线的“梯形”或“平行四边形”，例如“椭圆的上下顶点（A(0,b)、B(0,-b)）与直线l和椭圆的交点C、D组成梯形ACBD，求其面积”。 计算逻辑（分割法） 1.判断图形：梯形ACBD中，AB和CD为两条底边（AB垂直x轴，CD平行AB），高为C、D两点横坐标的绝对值之和（或水平距离）。 2.求底边长：（椭圆上下顶点距离），（CD为直线与椭圆交点弦长）。 3.求高：若直线CD平行y轴（x=m），则高为（原点到直线CD的水平距离）；若CD有斜率，高为两平行线AB与CD的距离（AB：x=0，CD：Ax+By+C=0，距离）。 4.算面积：梯形面积公式。 四、关键提醒（避坑点） 1.必须先验证判别式：计算面积前，需确保直线与曲线有两个交点，即联立后的一元二次方程（否则面积为0，无意义）。 2.距离公式别漏绝对值：点到直线的距离、P点纵坐标均需加绝对值，保证面积为正。 3.焦点三角形优先用简化公式：已知角度θ时，直接用（椭圆）或（双曲线），比算坐标更快捷。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）已知椭圆（）的离心率为． (1)求E的方程； (2)记坐标原点为O，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件先求出椭圆的半焦距，继而求得短半轴长，即得椭圆方程； （2）先检验当直线的斜率为0时，不合题意，再设，将其与椭圆方程联立，消元后写出韦达定理，利用弦长公式建立方程，求得，即得直线的方程，求出点到直线的距离，即可求得的面积. 【详解】（1）不妨记E的半焦距为c，则，解得， 故E的方程为． （2）当直线AB的斜率为0时，，不合题意，舍去； 当直线AB的斜率不为0时，记，联立， 消去可得，显然，设，， 则，， 于是， ， 即，可得（舍）或，故， 故：，故O到的距离， 故的面积．    【例题2】（25-26高二上·江苏南京·期中）已知和为椭圆上两点. (1)求椭圆离心率； (2)若过的直线交于另一点，且的面积是3，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标、将代入方程可得椭圆的标准方程，再关系及离心率公式求解即可. （2）利用斜截式方程求出直线的方程，设过点且与平行的直线为，与直线距离为，则，求出直线的方程，联立直线与椭圆的方程，可求出的坐标，再利用直线的两点式方程即可求解. 【详解】（1）由题意，， 将代入椭圆方程，得，即， 故椭圆方程为：， 所以离心率. （2）直线斜率，其方程为，即， 设点到直线的距离为，而， 由，解得，则， 整理得或， 由，解得或，而无解， 当时，此时方程为：，即， 当时，此时方程为：，即. 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知点在双曲线C：上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．若，求的面积． 【答案】． 【分析】点代入求得双曲线方程，直线AP，AQ的斜率之和为0．得直线倾斜角关系，然后由求得直线的斜率、方程，直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理求得，再由面积公式得结论. 【详解】将点代入C得， 解得．所以C的方程为． 不妨设直线的倾斜角， 则或． 因为C的渐近线的斜率为， 由得， 解得或（舍）或（舍）或（舍）， 所以，． 故直线的方程为， 直线的方程为， 联立消去得， ，， 所以 ． 联立消去得， ，， 同理． 由得， 所以． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，若C的离心率为2，点在C上，过的直线l交C的右支于P，Q两点． (1)求直线AP，AQ的斜率之积； (2)若的面积为，求l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据条件求出双曲线方程为：，设l的方程为，，，与双曲线方程联立，由韦达定理可得，，代入化简即可求解. （2）化简，由，解出的值，判断其合理性即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以C的方程为． 所以，由于直线l的斜率不为0，设l的方程为，，， 联立消去得， 由， 得，则，， 故 ． （2）由（1）得，， 所以 所以， 即，即， 解得或， 因为直线l交C的右支于P，Q两点， 所以且， 即，， 解得，所以仅有满足题意， 所以直线l的方程为或． 【题型3：圆锥曲线结合特殊图形】 【解题策略】 一、焦点三角形问题（椭圆/双曲线） 核心特征：以两焦点和曲线上一点构成三角形，常涉及角度、面积、离心率等计算。 1.面积与角度关系 椭圆：面积公式（θ为两焦点与点的夹角）。 *例*：椭圆上一点P与焦点F₁、F₂形成的角为60°，则面积。 双曲线：面积公式。 *例*：双曲线上一点P满足∠F₁PF₂=90°，则面积。 2.离心率与角度结合 椭圆：若∠F₁PF₂=90°，则离心率。 双曲线：若∠F₁PF₂=60°，则。 二、正三角形存在性问题（椭圆/双曲线/抛物线） 核心特征：判断圆锥曲线上是否存在三点构成正三角形。 1.椭圆与双曲线的正三角形 椭圆：过椭圆上任一点均存在内接正三角形。 *例*：椭圆上点P在第二象限时，可通过旋转法构造正三角形。 双曲线：当时，存在内接正三角形；当（等轴双曲线）时，不存在。 *例*：双曲线（a>b）上点P在右支时，正三角形顶点可能分布在两支上。 2.抛物线的正三角形 通径正三角形：过焦点且垂直于对称轴的弦（通径）与抛物线顶点可构成正三角形。 *例*：抛物线的通径长为4，顶点O到通径的距离为1，构成边长为2的正三角形。 三、蒙日圆与阿基米德三角形（椭圆/抛物线） 核心特征：结合圆与三角形的特殊性质。 1.蒙日圆（椭圆） 定义：椭圆上两条互相垂直的切线的交点轨迹是以原点为圆心的圆，半径。 *例*：椭圆的蒙日圆方程为。 2.阿基米德三角形（抛物线） 定义：抛物线的弦与过弦端点的两条切线围成的三角形。 性质：若弦过焦点，则两切线斜率之积为-1，且三角形面积最小值为（p为焦准距）。 *例*：抛物线的焦点弦AB对应的阿基米德三角形面积最小值为8。 四、对称性与特殊四边形（椭圆/双曲线） 核心特征：利用对称性简化计算，涉及梯形、平行四边形等。 1.等腰梯形与平行四边形 椭圆：过椭圆中心的两条平行弦与顶点构成平行四边形，面积最大时弦垂直于长轴。 *例*：椭圆的平行四边形最大面积为。 双曲线：若弦中点在原点，则四边形为菱形，面积（a>b）。 2.梯形面积计算 分割法：将梯形分解为三角形和矩形，利用弦长公式和距离公式计算。 *例*：椭圆的上下顶点与直线的交点构成梯形，面积。 五、共焦点曲线问题（椭圆/双曲线） 核心特征：椭圆与双曲线共享焦点，涉及离心率关系。 1.离心率乘积与和 结论：若椭圆与双曲线共焦点，且P为公共点，则（当∠F₁PF₂=90°时）。 *例*：椭圆与双曲线共焦点，离心率满足。 2.公共切线与正交性 正交切线：椭圆与双曲线在公共点处的切线互相垂直，此时满足（c为焦距）。 *例*：椭圆与双曲线在点P处的切线正交。 六、参数范围与最值问题（综合题型） 核心特征：结合几何图形求面积、距离的最值。 1.三角形面积最大值 抛物线焦点弦：过焦点的弦与顶点构成的三角形面积最大值为。 *例*：抛物线的焦点弦AB与顶点O的三角形最大面积为8。 2.四边形面积范围 椭圆与抛物线组合：椭圆与抛物线的交点构成的四边形面积，需通过联立方程和判别式求解范围。 *例*：椭圆与抛物线的交点四边形面积范围为。 关键解题策略 1.定义优先：利用椭圆/双曲线的定义简化距离计算。 2.对称性分析：通过对称性减少变量，如椭圆的对称点坐标关系。 3.韦达定理：联立方程后用韦达定理表达弦长、面积等。 4.几何性质：灵活运用蒙日圆、阿基米德三角形等特殊性质。 5.参数方程：对于复杂图形，可引入参数方程简化运算。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·广西梧州·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，离心率为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C交于A，B两点； ①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）根据题意，求出得解； （2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解的值；②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围. 【详解】（1）由椭圆的一个顶点为，可得，又离心率为，则， 所以由，即椭圆C的标准方程为. （2）①直线过椭圆右焦点可得：，即， 所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得： ， 设两交点，则有， 所以， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 所以， 解得：或（舍去），即； ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形， 由于直线过定点，且，可知直线方程为， 与椭圆联立方程组，消去得：， 由，且，解得，   设两交点，中点，则有，且， 所以， 即，整理得， 又因为，所以，当且仅当，即， 所以，则.    【例题2】（24-25高三下·山西大同·期末）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左右焦点，点A是椭圆C上一动点，且的最大值为6． (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点． ①若P，Q中点的横坐标为，求m的值： ②已知点，直线，与直线分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形为平行四边形．若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②存在，. 【分析】（1）由离心率及椭圆的定义，基本不等式求椭圆参数，即可得方程； （2）①设，，联立直线与椭圆，应用中点公式及中点在直线上得到关于的方程，求参数值； ②设直线的方程为，分别求出的纵坐标，结合韦达公式得，确定的中点坐标，再由平行四边形的性质求坐标，即可得结论. 【详解】（1）因为离心率为，所以，由椭圆的定义知， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 故，所以，所以，故椭圆C的方程为. （2）①设，， 由，得， 由，得，，， 设中点坐标为，则， 因为在直线上，所以，即 所以，解得； ②存在点使得四边形为平行四边形， 因为在椭圆上，所以易知，， 设直线的方程为， 令，得，同理， 又由①知， 所以 所以线段的中点坐标为， 连接，则线段的中点坐标也为， 由于，可得，所以点H的坐标为. 相似练习 【相似题1】（2025·海南·模拟预测）已知椭圆，且该椭圆的离心率为，直线不过原点且不平行于坐标轴，与椭圆交于两点，线段的中点为． (1)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值； (2)若直线的方程为，延长线段与椭圆交于点，四边形为平行四边形，求椭圆的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据给定条件利用“点差法”结合斜率的坐标公式计算求解； （2）联立直线与椭圆方程，结合（1）及已知条件求出点坐标，即可求得椭圆方程. 【详解】（1）依题意，因为，所以， 设，则， 两式相减可得，得，即， 因为为线段的中点，则， 直线的斜率，直线的斜率， 于是得是定值， 所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值． （2）设点的坐标为， 由，消去并整理得：， 则， 又四边形为平行四边形，即线段与线段互相平分， 则即点， 而点在椭圆上，于是得，解得， 所以椭圆的方程为：． 【相似题2】（2025·广东·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在上，且． (1)求抛物线的方程； (2)直线l经过点F，且与交于A、B两点． ①点P是抛物线上位于A、B之间的动点，设点P到直线l的距离d的最大值为，求的最小值； ②设线段的垂直平分线与交于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)①1 ；②或 【分析】（1）根据抛物线定义即可求解； （2）①设，，，，直线l的方程为，联立得，，再利用点到直线的距离求解； ②设方程为，，，AB中点，联立得到，，再由得到即可． 【详解】（1），     所以，抛物线的方程为． （2）① 设，，，，为直线l与x轴正半轴的夹角， 则直线l的方程为， 将直线方程代入抛物线方程得， 不妨设，则，，， 所以，即， 点P到直线l的距离 （当时取等） 所以 （，时取等）， 所以的最小值为1． ②设方程为，，，AB中点， 直线的方程为，，， 因为垂直平分，且四点共圆， 所以关于对称，且MN是直径， 将方程代入抛物线方程得， 所以，， 因为C既在AB上，又在MN上， 所以，，得， 将方程代入抛物线方程得， 因为，所以， 得，即， 进而， 又因为，所以， 因为，所以，得， 所以直线l的方程为或． 【题型4：圆锥曲线中最值与取值范围类】 【解题策略】 一、函数法（最通用，核心是“单变量化”） 方法核心 把目标量（如面积、距离、斜率）表示为单个变量的函数，通过求函数在定义域内的最值（一次函数、二次函数、分式函数等）得到结果。 适用场景 目标量可通过韦达定理、曲线方程统一为单个变量（如x、y、k，k为直线斜率）。 无明显几何性质可利用，需直接代数运算的场景（如面积最值、两点距离最值）。 解题步骤 1.设变量：设目标量为S（面积）、d（距离）等，根据题意用曲线方程或韦达定理消元，将S/d表示为单变量t（如t=k、t=x₁+x₂）的函数，即S=f(t)。 2.定定义域：根据“直线与曲线有交点（Δ>0）”“变量自身范围（如椭圆x∈[-a,a]）”确定t的取值范围。 3.求最值：根据函数类型求最值（二次函数用顶点式，分式函数用分离常数，高次函数用导数）。 示例 求椭圆上一点P到直线的距离最小值： 设P(x,y)，由椭圆方程得，距离； 用x表示y（或用参数方程），转化为，设，求f(x)的最值（x∈[-2,2]），最终得。 二、几何法（利用定义与性质，简化运算） 方法核心 借助圆锥曲线的定义、几何性质或平面几何定理（如三角形三边关系、切线性质），直接转化最值条件，避免复杂代数运算。 适用场景 涉及“距离和/差”的最值（如椭圆上点到两定点距离和，双曲线上点到两焦点距离差）。 直线与曲线的距离最值（如平行线间距离、点到直线距离）。 常见子方法与示例 子方法 适用场景 解题关键 定义法 椭圆/双曲线/抛物线的距离最值 椭圆：；双曲线：；抛物线： 切线法 直线到曲线的距离最值 找与目标直线平行的曲线切线，切线与目标直线的距离即为最值（判别式Δ=0求切线参数） 三角形三边关系 曲线上点到定点的距离最值 如椭圆上点P到定点A，结合（F为焦点）求最值 示例（切线法） 求直线到椭圆的最小距离： 设平行于的椭圆切线为，代入椭圆方程得； 令Δ=0（切线条件），即，解得； 取与距离更近的切线，距离。 三、不等式法（利用均值/柯西不等式，适用于“和/积”结构） 方法核心 通过基本不等式（均值不等式）或柯西不等式，对目标量的“和式”或“积式”直接求最值，需满足“一正二定三相等”。 适用场景 目标量可表示为“两个正数的和”或“积”（如xy的最值、的最值）。 涉及对称式（如椭圆中、）。 常见不等式与示例 1.基本不等式（a,b>0）：（和定积最大，积定和最小）； 示例：椭圆中，求的最大值： 由，得，即（等号成立时）。 2.柯西不等式：； 示例：椭圆中，求的最值： 令，由柯西不等式，即？不对，调整为，实际应为，得，若求，则，即，故。 四、参数法（利用参数方程，简化变量） 方法核心 用圆锥曲线的参数方程（如椭圆的θ参数、抛物线的t参数）表示曲线上点的坐标，将目标量转化为“参数的函数”，再求最值。 适用场景 椭圆、双曲线、抛物线的参数方程可简化变量（如椭圆用三角函数参数，避免x、y双变量）。 目标量涉及“角度”或“周期性”（如旋转相关的最值）。 常见参数方程与示例 曲线类型 参数方程（常用） 适用场景 椭圆 （θ为离心角） 点到直线距离、xy最值 双曲线 （θ为参数） 距离和/差最值 抛物线 ：（t为参数） 点到定点距离、焦点弦相关 示例 求抛物线上一点P到点A(0,1)的距离最小值： 设P(2pt²,2pt)，这里2p=4，故p=2，参数方程为； 距离平方； 令，求导得，令，得t=1/2（试根），代入得，故。 五、导数法（应对复杂函数，精准求极值） 方法核心 当目标函数为高次函数、分式函数或含根号的复杂函数时，通过求导找函数的极值点，再结合定义域确定最值。 适用场景 函数法无法用初等方法（如二次函数顶点、均值不等式）求最值的情况（如三次函数、分式+根号函数）。 目标量涉及“切线斜率”“非线性距离”等复杂表达式。 解题步骤 1.建函数：同函数法，将目标量表示为单变量函数f(t)。 2.求导数：计算f’(t)，令f’(t)=0，求解极值点t₀。 3.判最值：比较极值点f(t₀)与定义域端点的函数值，确定最大/最小值。 示例 直线与椭圆交于A、B两点，求△OAB（O为原点）面积的取值范围： 联立方程得，Δ>0得； 弦长，原点到直线距离； 面积，令（t>0），则； 求导，令S’(t)=0得t=2（t>0）； 当t=2时，；当t→+∞时，S→0，故S∈(0,1]。 六、关键解题策略与避坑点 1.优先选方法： 见“距离和/差”→先试几何法（定义）； 见“和/积结构”→先试不等式法； 见“复杂表达式”→用参数法/导数法； 通用情况→用函数法。 2.必验证定义域： 直线与曲线相交需满足Δ>0，避免所求最值超出实际范围（如上述面积示例中k²>3/4，t>0）。 3.等号成立条件： 不等式法、几何法需验证等号是否能取到（如椭圆中xy的最大值，需确认存在点(x,y)满足）。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若点在第一象限，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据离心率，以及点在椭圆上，即可代入椭圆方程中，联立求解； （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，根据面积公式，结合基本不等式即可求解； （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可得两个点的坐标，根据斜率公式，代入韦达定理化简可得，即可根据直线的斜率范围求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆的方程为 （2）, 设直线, 联立可得， 故， 当且仅当，即时取到等号， 故的面积的最大值为. （3）设直线 联立可得， 则，又， 所以，， 同理可得， 故 , 由于位于第一象限，故， 因此 【例题2】 （25-26高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长之积为8，椭圆的一条弦的中点为，满足:在直线上且不为坐标原点，点分别为椭圆的左、右焦点. (1)求的方程； (2)（i）记椭圆右顶点为，线段上是否存在点，使得?若存在，请求点横坐标的范围；若不存在，请说明理由； （ii）若点均在轴上方，且点在点上方，证明四边形的面积小于2. 【答案】(1)； (2)（i）不存在，理由见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）（i）利用中点弦问题求出直线的斜率，进而求出线段中垂线方程，并求出与轴交点的横坐标即可判断得解；（ii）设出直线的方程，与椭圆方程联立求出四边形面积关系，借助基本不等式求出范围即可. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆长轴长与短轴长之积为8，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）若存在上的点，使得，则， 由题意，设， 由，得， 则， 直线的斜率，直线的斜率， 直线的方程为， 即，令，则， 由，得， 因此，， 当点在线段上时，，又， 所以线段上不存在点，使得. （ii）由（i）知，， 直线的方程， 由消去得， 由，得， ，由在轴上方，得， 因此，设直线与交于点， 所以四边形的面积 .    相似练习 【相似题1】（25-26高三上·上海·阶段练习）如图，双曲线的实轴长为4，离心率为，斜率为k的直线l过x轴上一点，双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B、C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P、Q. (1)求双曲线E的标准方程； (2)当时，求t的取值范围； (3)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据实轴长，求出a值，根据离心率，求出c值，根据a，b，c的关系，求出，即可得答案. （2）设出P、A、B点坐标及直线BC的方程，与双曲线联立，根据韦达定理，可得、表达式，当时，，进而可得t的表达式，根据判别式，可得m的范围，即可得答案. （3）根据条件及（2）结果，分别求出的表达式，代入面积公式，化简整理，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）因为实轴长为4，则，所以， 因为离心率为，所以， 所以， 所以双曲线E的标准方程为 （2）设，由题意可知，故可设直线BC方程为， 联立，得， ， 解得， 由韦达定理得， 所以， 当时， 因为，所以， 因为，即或， 所以或，即t的取值范围为. （3）当时，由（2）得，，， 因为， 所以， 所以，整理的， 又， 所以， ， 因为，所以，， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以，满足题意， 综上，的最小值为. 【相似题2】（25-26高三上·福建厦门·阶段练习）已知抛物线的准线与半椭圆相交于两点，且，点是半椭圆上一动点. (1)求抛物线的方程； (2)过点作抛物线的两条切线，切点分别为，记的中点为. （i）证明轴； （ii）求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由抛物线准线与椭圆相交的弦长构建方程求得值即可； （2）（i）设点坐标为，由题意可知切线斜率不会为0，设出两条切线的直线方程，联立直线与抛物线方程，由相切关系构建方程，并由两切点分别得到是方程的两根，得中点的纵坐标，即可得证；（ii）由韦达定理与直线和方程的关系可知，是的两点，再由点到直线的距离公式和弦长公式表示的底和高从而表示面积，最后换元求函数的最值即可. 【详解】（1）由题可知，抛物线的准线为， 则有得，所以. （2）（i）设点，且满足. 由题意可知切线斜率不会为0，即设切线为， 代入得， 由可得.① 设切点，抛物线的上半部曲线函数关系式为，， 则，故， 将其代入①可得.② 设切线为，切点， 同理可得.③ 由②③可知，是方程的两根， 所以， 中点的纵坐标，所以轴. （ii）又，， 所以代入②③可知，是的两点， 即直线方程为. 则 又因为且，所以. 令，， 由二次函数性质可知，其在上单调递减， 故，所以.    【题型5：圆锥曲线中的定点问题】 【解题策略】 一、核心类型1：直线过定点（高频，占定点问题80%以上） 直线过定点的本质是：将直线方程整理为“参数×含x,y的式子+含x,y的式子=0”，令参数的系数和常数项均为0，解方程组即得定点。 常用方法：参数分离法（核心）+特殊值法（辅助验证） 适用场景 直线含单参数（如斜率k、截距m），且参数变化时直线始终过某定点（如“无论k为何值，直线l过定点P”）。 题目中涉及“弦的中垂线、焦点弦的伴随直线、切线的包络线”等与直线相关的定点。 解题步骤（以“直线含参数k”为例） 1.设直线方程：根据题意设直线方程，含参数k（如，其中m(k)是与k相关的表达式，或直接设为）。 2.联立与消元：若直线与曲线相交，联立曲线方程，利用韦达定理表示交点坐标的关系（如、），代入直线方程的变形中；若无需交点，直接整理直线方程。 3.参数分离：将直线方程整理为“”的形式（A、B是仅含x、y的式子，不含参数k）。 4.求定点：令，解方程组得(x,y)，即为定点。 5.验证：将定点代入原直线方程，确认对任意参数k均成立（避免计算错误）。 示例：椭圆中弦的中垂线过定点 已知椭圆，过点的直线l交C于A、B两点，求AB的中垂线过的定点P。 步骤1：设l的斜率为k（k存在），方程为，联立C得。 步骤2：设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，AB中点为N(x₀,y₀)，由韦达定理得，。 步骤3：AB中垂线的斜率为，方程为，代入x₀、y₀得： 步骤4：整理为参数k的分离形式：，进一步变形为。 步骤5：令，解得，，即定点P(3,0)（验证：k不存在时，l为x=1，AB中垂线为x轴，也过(3,0)）。 二、核心类型2：曲线过定点（低频，需参数分离） 曲线过定点的本质是：将曲线方程整理为“参数×含x,y的项+含x,y的常数项=0”，令各参数的系数均为0，解方程组得定点。 常用方法：参数分离法（唯一核心） 适用场景 曲线含参数（如椭圆/双曲线的系数、抛物线的焦准距参数），且参数变化时曲线始终过某定点（如“无论λ为何值，曲线过定点”）。 两曲线的交点轨迹过定点（如“椭圆与含参数的直线的交点轨迹过定点”）。 解题步骤 1.设曲线方程：写出含参数λ的曲线方程（如）。 2.分类整理：将方程按参数λ的次数分类（一次项、常数项），整理为“”（P、Q不含λ）。 3.求定点：令，解方程组得(x,y)，即为定点。 4.验证：将定点代入原曲线方程，确认对任意参数λ均成立。 示例：含参数的圆过定点 求曲线（a为参数）过的定点。 步骤1：整理方程，按a的次数分离：。 步骤2：令，解得或。 步骤3：验证：将(1,1)代入原方程，左边=1+1-2a+2(a-2)+2=0，恒成立；同理(-1,-1)也成立，故定点为(1,1)和(-1,-1)。 三、核心类型3：结合向量/几何条件的定点（综合型） 此类问题需先将几何条件（如“”“以AB为直径的圆过定点”）转化为代数方程，再按“参数分离法”求定点。 关键转化（必记） 几何条件 代数转化 以AB为直径的圆过定点P （即） 直线PA与PB斜率之积为定值k 点P在AB的中垂线上 （即） 解题步骤（以“”为例） 1.设定点P：设P(x₀,y₀)（待求），设含参数的直线/曲线方程（如直线l:y=kx+m）。 2.联立与韦达：联立直线与曲线，得韦达定理结果（、、、）。 3.代入几何条件：将展开，用韦达定理替换等，整理为“参数×含x₀,y₀的式子+含x₀,y₀的式子=0”。 4.求P点：令参数的系数和常数项均为0，解方程组得(x₀,y₀)，即为定点。 示例：抛物线中向量垂直的定点 已知抛物线，过点(2,0)的直线l交C于A、B两点，求存在定点P，使得，求P。 步骤1：设l:y=k(x-2)（k存在），联立C得，韦达定理得，，（由、推导）。 步骤2：设P(x₀,y₀)，则，展开代入韦达结果： 步骤3：整理为k的分离形式（）： 步骤4：令参数系数为0，解得P(0,0)（验证：k不存在时，l:x=2，A(2,2√2)、B(2,-2√2)，，成立）。 四、避坑点与核心总结 1.必验证定点：求出定点后，需代入原直线/曲线方程，确认对所有参数值均成立（尤其注意参数不存在的情况，如直线斜率不存在时）。 2.参数分离要彻底：整理方程时，需确保“参数的系数”中不含参数（如将变形为，而非保留分式）。 3.优先用特殊值法找定点：若参数分离复杂，可先取2个特殊参数值（如k=1、k=-1），求两条直线/曲线的交点，再验证该交点是否为定点（减少计算量）。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，证明：直线l过定点，并求出此定点. 【答案】(1) (2)证明见解析，直线过定点 【分析】（1）根据给定条件，列式求出，进而得到椭圆方程. （2）法一：设，直线的方程为，直线的方程为，分别联立椭圆方程，求出的坐标，得到直线的方程为，所以直线过定点；法二：设，求出，所以，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到，由得到方程，求出，所以直线过定点. 【详解】（1）由的最大值为3，得，由为椭圆上顶点时，为等边三角形， 得，联立解得，则， 所以椭圆的标准方程为． （2）法一：由（1）知，设， 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程为，直线的方程为， 由，得， 由，得，即， 由，得， 由，得，即， 则， 因此直线的方程为，即， 所以直线过定点． 法二：由（1）知，设， 直线斜率分别为， 则，由，得， 于是，由，得， 设直线的方程为， 由，得， 由，得，解得， 则，， 则，解得， 所以直线过定点. 【例题2】（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）已知为坐标原点，椭圆的右焦点为的长轴长为4，直线过点且与交于两点. (1)求的标准方程； (2)在轴上是否存在一个定点，使得直线关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当的斜率不为时，直线交于另一点，直线交于另一点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组即可求出； （2）设，联立椭圆方程，韦达定理，结合斜率公式利用斜率相反化简求得的坐标，即可求解； （3）设，，直线与轴的交点，设，通过坐标运算得，且，设，同理可知，利用斜率坐标公式化简得，从而有，代入化简得，即可求解直线过的定点. 【详解】（1）由题意可得，，所以， 故椭圆的标准方程为； （2）设，设，联立，得，， 设，则， 因为直线关于轴对称，所以时，， 所以（也符合），所以， 所以，所以， 化简得，与无关，所以，故， 故存在，使得直线关于轴对称； （3）设，， 由于位于轴两侧，根据直线的任意性，可知对任意的直线均经过轴， 故直线恒过的定点在轴上，设直线与轴的交点， 设，则，所以， 又，两式相减得， 所以，代入可得，所以，且， 设，同理可知，且， 所以 ， 所以，所以， 所以， 故，所以直线恒过定点.   【点睛】 相似练习 【相似题1】（2025·四川德阳·模拟预测）已知双曲线过点，离心率，左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点. (1)求双曲线的标准方程. (2)若直线的斜率为1，求的面积. (3)若直线与直线交于点.证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，求解即得双曲线的方程； （2）依题得直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，消元后写出韦达定理，根据计算即得； （3）在直线的斜率不为0时，设，将其与双曲线的方程联立，写出韦达定理，求出直线的方程，令，求得点，写出直线的方程，令，经过化简并将韦达定理代入可推出，即得定点，验证斜率为0的情况即得证. 【详解】（1）由题意，得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）由，可知，则直线的方程为， 代入，消去，可得， 设，则， 由图知，的面积为 . （3）当直线的斜率不为0时，设， 将其代入，消去，整理得， 则， 且，则（*） 直线的方程为，令，代入解得，即， 于是直线的方程为，令， 可得 ， 故此时直线经过定点. 当直线的斜率为0时，点分别是双曲线的左右顶点，此时直线即轴，显然经过点. 综上，直线经过定点.      【相似题2】（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． (1)求C的方程． (2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）由得，由点在C上求得； （2）（ⅰ）设，，利用斜率公式证明； （ii）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理与（ⅰ）中结论，可求出，进而可得结论． 【详解】（1）因为，所以，则双曲线， 又点在C上，所以，解得， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）易知，，设，， 则，，即， 而， 所以， 又，所以， 故，为定值． （ii）设直线的方程为，，，， 由，得， 所以． 由（ⅰ）可知，， 即， 即， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点． 【题型6：圆锥曲线中的定直线问题】 【解题策略】 一、核心类型1：动点轨迹为定直线（最基础，占比40%） 此类问题是“定直线”的本质——某动点（如弦中点、满足条件的交点）的坐标始终满足某条固定直线的方程，核心是消去参数求轨迹。 方法：消参法（核心）+验证法 适用场景 题目明确“求动点P的轨迹，并证明其为定直线”（如“椭圆中弦AB的中点P的轨迹是定直线”“抛物线中满足的点P的轨迹是定直线”）。 动点坐标与参数（如直线斜率k、截距m）相关，需通过曲线方程或韦达定理消去参数。 解题步骤 1.设动点坐标：设动点P(x,y)，明确与P相关的参数（如弦AB的斜率k、端点坐标）。 2.列参数关系：根据题意（如中点公式、向量条件、几何性质）列出x、y与参数的关系式（如中点，）。 3.消去参数：结合曲线方程或韦达定理，消去所有参数（如用椭圆方程消去，用韦达定理消去k），得到仅含x、y的方程。 4.验证：确认所得方程为直线（次数为1，无二次项），且所有满足条件的动点均在该直线上。 示例：椭圆中弦中点的定直线轨迹 已知椭圆，过定点M(1,0)的直线l交C于A、B两点，求AB中点P的轨迹，并证明其为定直线。 步骤1：设P(x,y)，直线l斜率为k（k存在），方程为，联立C得。 步骤2：由韦达定理，，故中点横坐标；中点纵坐标。 步骤3：消去参数k：由得（x≠1），代入，两边平方得，再代入化简： 整理得？不对，重新消参：直接用和，两式相除得（y≠0），即，代入： （若k不存在，l为x=1，中点为(1,0)，代入方程成立），但此例轨迹是椭圆？哦，换个场景：若直线l过M(2,0)，则消参后得（定直线），更贴合“定直线”——核心是消参后方程为一次式。 二、核心类型2：含参数直线恒为定直线（高频，占比50%） 此类问题是“定直线”的典型考法——直线方程含参数（如k、m），但无论参数如何变化，直线始终是同一条固定直线，核心是参数分离+系数为0。 方法：参数分离法（核心）+特殊值法（辅助） 适用场景 题目明确“证明：无论参数λ（如斜率k、截距m）为何值，直线l恒为定直线”（如“无论k为何值，椭圆的某条切线恒为x=2”“含参数m的直线l恒过定直线x+y=1”）。 直线方程可整理为“参数×含x,y的项+含x,y的项=0”，且仅当所有参数的系数为0时恒成立。 解题步骤 1.设直线方程：写出含参数λ的直线方程（如，）。 2.参数分离：将直线方程整理为“”的形式（f、g不含参数λ，且f、g为x,y的一次式）。 3.定直线条件：要使方程对任意λ成立，需满足“参数的系数=0”且“常数项=0”，即，联立解得的x,y关系即为定直线方程。 4.验证：取2个不同参数值，求出对应的直线，确认两直线重合（即定直线）。 示例：含参数的抛物线切线恒为定直线 已知抛物线，证明：无论t为何值，过点的切线恒为定直线？不，换“无论k为何值，直线恒过定直线x=1”？更精准的示例：证明“椭圆中，过顶点A(a,0)的弦AB，其垂直平分线与x轴交点M的轨迹是定直线”。 步骤1：设AB斜率为k，方程为，联立椭圆得。 步骤2：AB中点N(x₀,y₀)，由韦达定理，。 步骤3：AB垂直平分线方程为，令y=0（M在x轴），得M(x,0)： 步骤4：代入x₀、y₀消去k： 若椭圆为（a=2，b=1），则，不是定直线——调整条件：若AB过焦点F(c,0)，则消参后得（定直线，即椭圆的右准线），符合“定直线”。 三、核心类型3：几何条件推导定直线（含固定公式，占比10%） 此类问题依赖圆锥曲线的特殊几何性质（如切点弦、极线、准线），有固定公式可直接套用，无需复杂消参。 方法：公式法（核心）+几何意义验证 适用场景 涉及“切点弦”“极线”“准线”的定直线（如“椭圆外一点P引两条切线，切点连线为定直线”“抛物线的焦点弦的垂直平分线恒过定直线——准线”）。 几何条件对应圆锥曲线的固定性质（如“以椭圆焦点弦为直径的圆与准线相切，准线为定直线”）。 常用定直线公式（必记） 几何对象 曲线类型 定直线方程（核心公式） 切点弦（外点P(x₀,y₀)引切线的切点连线） 椭圆 （定直线，仅与P有关） 极线（点P(x₀,y₀)对应的极线） 双曲线 （若P在曲线上，极线即为切线；若P在外部，极线为切点弦） 焦点弦的垂直平分线 抛物线 恒过定直线（即抛物线的准线） 解题步骤 1.识别几何类型：判断题目对应的几何对象（如“切点弦”“极线”）。 2.套用公式写直线方程：根据曲线类型和已知点坐标，代入固定公式得直线方程。 3.验证几何意义：确认直线符合性质（如切点弦确实过两切点，极线与曲线的位置关系正确）。 示例：椭圆外点的切点弦定直线 已知椭圆，点P(4,0)在椭圆外，过P引C的两条切线，证明切点连线AB为定直线。 步骤1：识别几何类型——“椭圆外点的切点弦”，套用公式：椭圆外点P(x₀,y₀)的切点弦方程为。 步骤2：代入P(4,0)（x₀=4，y₀=0），a²=4，b²=1，得： 步骤3：验证：设切线方程为，联立椭圆得Δ=0，解得k=±，切点坐标分别为和，连线为x=1（定直线），成立。 四、避坑点与核心总结 1.区分“轨迹定直线”与“直线恒为定直线”： 前者是“动点在定直线上”，需消参求轨迹； 后者是“含参直线本身固定”，需参数分离使系数为0。 2.公式需对应曲线类型：椭圆、双曲线的切点弦/极线公式仅符号不同（椭圆“+”，双曲线“-”），避免混淆；抛物线的公式需注意开口方向（如的准线为）。 3.特殊值法辅助验证：若消参或套用公式后不确定，可取2个不同参数值（如k=1、k=-1），求出对应的直线，确认两直线重合（即定直线）。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）椭圆，长轴长为4，焦点坐标为. (1)求椭圆方程； (2)椭圆上,下顶点为,，过点的直线与椭圆交于异于,的两点,，直线,的交点在一条定直线上，求出该定直线方程. 【答案】(1) (2)直线与的交点在定直线上. 【分析】（1）求出、，即可求出，从而求出方程； （2）由题意得直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求根公式可求得，联立直线的方程与直线的方程，化简可求得直线与的交点在定直线上． 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4，焦点坐标为， 所以，即，又，则， 故所求的椭圆方程为． （2）由题意得，， 依题意设直线的方程，设， 联立，整理得， 由，即， 所以，. 所以，即， 又直线的方程为，直线的方程为， 联立， 得， 代入，可得， ，即直线与的交点在定直线上.      【例题2】（25-26高三上·湖北·开学考试）已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点为，离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线��不过原点、椭圆顶点且不垂直于x轴． （i）设直线和的斜率分别为，用表示； （ii）设点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，其中为坐标原点，证明：点在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用椭圆的离心率及所过的点列式求出即可. （2）（i）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及斜率坐标公式求出；（ii）法一：利用椭圆对称性，结合（i）的结论求出的斜率，进而求出直线方程，再求出点横坐标即可；法二：由椭圆对称性，结合（i）的信息求出的坐标，再利用斜率坐标公式求出的斜率，进而求出直线方程，再求出点横坐标即可. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由消去得，设点， 则，而，依题意， 所以. （ii）法一：设，由点关于原点的对称点为点，为中点，得， 直线的斜率，，， 由（i）得，解得，则直线方程为：， 由，消去得，而不恒为0，解得， 所以点在定直线上. 法二：由（i）得， 设，由点关于原点的对称点为点，得， 由三点共线，得，由三点共线，得， 则， 解得，因此直线方程为：， 由，消去得，而不恒为0，解得， 所以点在定直线上. 相似练习 【相似题1】（2025·湖南郴州·一模）已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点. （i）求证：点在定直线上； （ii）求证：射线平分. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，再求即可求解， （2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，可得， （i）求直线的方程，由此可得，再求，由此证明结论； （ii）由（i）求的坐标，求，，，由此证明. 【详解】（1）由题意，设左焦点的坐标为， 双曲线的渐近线方程为：，， 左焦点到其中一条渐近线的距离为，可得， 又因为，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）由题知， 因为直线过，，点在第一象限，故直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 则， 方程的判别式， 由已知为方程的两个根， 所以， （i）证明：因为直线的方程为，直线的方程为 联立可得 ， 则，即在直线上； （ii）证明：由（i）知，（其中） 则 即，故射线平分. 【相似题2】（25-26高三上·福建·开学考试）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，圆与恰有两个交点. (1)求的方程； (2)设为的左顶点，过且斜率存在的直线交的右支于两点，直线分别交圆的另一点于. （i）证明：三点共线； （ii）设直线与直线交于，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）根据圆过双曲线顶点求出，再由离心率即可得解； （2）（i）设出直线方程，联立双曲线方程，由根与系数的关系及斜率公式可证明，即可得证； （ii）设直线方程，联立圆的方程可得点坐标，求出，得出直线方程，联立方程求出点横坐标为定值得证. 【详解】（1）因为圆与恰有两个交点， 由双曲线及圆的对称性知，圆过双曲线的左右顶点， 所以， 又，所以，故， 所以双曲线的方程为. （2）（i）由（1）知，, 设过的直线方程为，，如图， 由，可得， ，其中， ， ， ，为圆的一条直径， 三点共线. （ii）不妨设直线，其中， 由（i）可知， 由，可得，解得, 故可得，即， ， 直线， 由，可解得， 点在定直线上. 【题型7：圆锥曲线中点弦问题】 【解题策略】 一、核心方法：点差法（最常用，适用于椭圆、双曲线、抛物线） 方法原理 设弦的两端点为、，中点为（已知，），将$A、B$代入曲线方程，两式相减后利用“平方差公式”和“中点坐标”推导弦的斜率，进而求直线方程。 分曲线公式推导（必记） 曲线类型 标准方程 中点弦斜率公式（） 推导关键步骤（以椭圆为例） 椭圆 （） （） 两式相减：，分解得，代入、，化简得。 双曲线 （） （） 类似椭圆，两式相减后符号为“-”，化简得。 抛物线（开口右） （） （） 两式相减：，分解得，代入，化简得。 解题步骤（以椭圆为例） 1.设点与中点：设弦两端点、，中点（已知）。 2.代入曲线方程： 3.两式相减（点差）：①-②得，分解后代入中点坐标： 4.求直线方程：用点斜式，代入即得弦所在直线方程。 5.验证存在性：确保直线与曲线有两个交点（判别式），且中点在曲线内部（椭圆：；双曲线：（焦点在x轴））。 二、辅助方法：联立方程+韦达定理（适用于需参数范围或斜率不存在的情况） 方法原理 设弦所在直线方程为（或斜率不存在时），与曲线方程联立，消元得一元二次方程，利用韦达定理“中点坐标”建立关于的方程，求解后得直线方程，同时可通过判别式确定参数范围。 适用场景 点差法中斜率的分母为0（即，需单独讨论斜率不存在的直线）。 题目要求“求参数的取值范围”（需结合判别式）。 抛物线中点弦中，当中点纵坐标时（点差法失效，需用联立韦达）。 解题步骤（以双曲线为例） 1.设直线方程：若中点，斜率存在时设；斜率不存在时设。 2.联立与消元：代入双曲线方程，消去得关于的一元二次方程（）。 3.用韦达定理：由中点坐标，建立关于的方程，解得（与点差法结果一致）。 4.验证判别式：，确保弦存在，同时确定的取值范围（若有参数）。 三、特殊情况处理（易漏点） 1.斜率不存在的中点弦 当弦所在直线垂直于x轴（斜率不存在）时，中点横坐标固定，弦的方程为，代入曲线方程可直接求弦的端点（需满足方程有两解）。 示例：椭圆中，中点为（），斜率不存在的直线，代入得，弦存在。 2.中点弦不存在的情况 椭圆：若中点满足（在椭圆外部或边界），则中点弦不存在。 双曲线：若中点满足（焦点在x轴时，在双曲线内部），则中点弦可能不存在（需结合判别式）。 四、典型例题与应用 例1：椭圆中点弦 已知椭圆，求以为中点的弦所在直线方程。 解：由椭圆，，中点，点差法得斜率，直线方程：，即（验证：代入椭圆，，且，弦存在）。 例2：抛物线中点弦 已知抛物线，求以为中点的弦所在直线方程。 解：由抛物线，中点，点差法得斜率，直线方程：，即（验证：联立抛物线得，，弦存在）。 五、核心总结与避坑点 1.优先用点差法：步骤少、计算快，直接得斜率，但需注意（避免分母为0）。 2.必验证存在性：通过“中点在曲线内部”和“判别式”确保弦存在，否则答案无效。 3.不可漏斜率不存在的情况：当（椭圆/双曲线）或直线垂直x轴时，单独讨论是否为有效弦。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段练习）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，且满足条件． (1)求椭圆C的离心率； (2)若坐标原点O到直线AB的距离为，求椭圆C的方程； (3)在（2）的条件下，过点的直线l与椭圆C交于M、N两点，且点P恰为线段的中点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意列方程即可求解； （2）结合点到直线的距离公式列方程，再结合的关系即可求解； （3）由点差法即可求解. 【详解】（1）由题意，所以， 又，解得， （2）由题意直线的方程为：， 若坐标原点O到直线AB的距离为，则， 因为，所以，解得， 所以椭圆C的方程为； （3）设，直线l的斜率为，则， 所以， 因为点恰为线段的中点， 所以， 故直线的方程为，即， 联立与，消去得， ，故直线与椭圆有两个交点， 综上，所求为. 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）（1）过点的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，求直线的方程． （2）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于，且点是线段的中点？若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在这样的直线，理由见解析 【分析】（1）设直线与椭圆的交点为，代入椭圆方程，利用点差法可求出直线的斜率，从而可求出直线方程； （2）设，代入双曲线方程，利用点差法可求出直线的斜率，从而可求出直线方程，然后将直线方程代入双曲线方程检验即可. 【详解】（1）设直线与椭圆的交点为． 因为，所以点在椭圆内， 为的中点，． 又两点在椭圆上，则， 两式相减得， 于是， ，即， 故所求直线的方程为，即． （2）设存在被点平分的弦，且， 则，， 两式相减，得， 故直线． 由，消去得， ． 这说明直线与双曲线不相交， 故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线． 相似练习 【相似题1】（2025·湖南娄底·二模）已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求C的离心率； (2)若，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算当时点坐标，利用得出关于的方程； （2）利用点差法求直线的方程即可. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 当时，点的横坐标为， 代入C的方程，得，故，即 因，所以，故，解得， 故C的离心率为． （2）由（1）知，设，， 因为P，Q是C上的两点，故， 两式相减得：， 若，则直线的斜率不存在， 由双曲线的对称性可知，此时线段的中点位于轴，故不符合题意； 若，则， 因为是线段的中点，所以，， 则， 所以直线的方程为，即， 经检验此时该直线与双曲线有两个交点，满足题意， 则直线的一般式方程为， 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）过点作抛物线的弦，恰被点平分，求的所在直线方程及弦的长度. 【答案】， 【分析】解法1、利用点差法，设，得，则，根据点斜式即可求直线方程；解法2、设，联立曲线方程，根据韦达定理即可求得斜率，得到直线方程及弦长. 【详解】解法1：设以为中点的弦端点坐标为， 则有，两式相减，得. 又， 则， 所以所求直线的方程为，即， 点在抛物线内，所以直线符合条件， 由整理得，，则. 由弦长公式得，. 解法2：设所在的直线方程为 由，整理得. 设，由韦达定理得， 又是的中点，， 所以所求直线的方程为. 由整理得，，则. 由弦长公式得，. 课后针对训练 一、解答题 1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知抛物线的焦点到直线的距离为，直线与交于两点. (1)求的准线方程； (2)若直线的方程为，求； (3)过两点分别作的切线，且相交于点，若点的纵坐标为，证明：直线过定点. 2．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 3．（25-26高三上·天津·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一点. (1)求椭圆的方程； (2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值. 4．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知椭圆C：的离心率，以C的四个顶点为顶点的四边形的面积为. (1)求的方程； (2)若直线交椭圆于两点，求. 5．（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知抛物线，过点的直线交于两点，为坐标原点．当与轴垂直时，． (1)求抛物线的解析式； (2)若，过轴上一点作直线的垂线，垂足分别为，且满足三点共线． （i）求直线的方程； （ii）求点的坐标． 6．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为. (1)求C的方程. (2)若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D. （i）证明：直线DN恒过点； （ii）设O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值. 7．（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知椭圆的离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)求直线与椭圆相切时的值及切点坐标； (3)过定点的直线与椭圆交于两点，若的面积为，求直线方程及弦的长. 8．（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段练习）已知椭圆C：的离心率为，长轴的右端点为）． (1)求C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． (3)不经过点A的直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且以为直径的圆过点A，试证明直线l过一定点，并求出此定点； 9．（24-25高三上·上海松江·期末）已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点． (1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度； (2)设点，当时，求点A的坐标； (3)设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围． 10．（25-26高二上·重庆·阶段练习）已知抛物线，圆，点在抛物线上，过点作圆的两条切线，切线与抛物线E的另一个交点分别为B，C. (1)当点为坐标原点，时，求的面积； (2)当点的坐标为时，求直线BC的斜率； (3)当点在抛物线E上运动时，是否存在实数，使得直线始终与圆相切，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用点到直线的距离公式，结合抛物线焦点坐标列方程求解，即可得准线方程. （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合弦长公式即可计算弦长. （3）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到根与系数的关系，再利用导数得出切线的方程， 联立切线的方程得到交点的坐标，最后结合点纵坐标条件推导直线过定点，即可得证. 【详解】（1）根据题意作图如下：    由题意知.因为点到直线的距离为，所以， 解得或，又因为，所以， 所以抛物线的准线方程为. （2）根据题意作图如下：    将代入，得， 则， 所以. （3）证明：根据题意作图如下：    由已知，直线与抛物线有两个交点，则其斜率一定存在. 设. 由，得， 所以. 由，得，则， 所以过点的切线方程为，即， 同理过点的切线方程为， 由，得，即， 又点的纵坐标为，所以，又， 所以， 解得，所以直线过定点. 2．(1)； (2). 【分析】（1）根据条件，结合双曲线的性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 3．(1) (2) 【分析】（1）由条件得，将点坐标代入方程，结合，即可求得的值，即可得答案. （2）由题意直线l的斜率不为0，设其方程为，与椭圆联立，根据韦达定理，可得表达式，根据弦长公式，可得的表达式，求出P点坐标，即可得的表达式，代入所求，利用换元法，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）因为左焦点为，所以， 由点在椭圆上， 代入可得， 又，与上式联立可得， 所以椭圆E的方程为： （2）当直线l的斜率为0时，线段的垂直平分线为x=0，与不相交，不符合题意， 故直线l的斜率不为0，设其方程为，， 联立，可得， ， ， 则 =. 又，， 由可得，直线PQ的斜率为， 所以， 所以， 令，则，所以 代入上式可得，， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以的最小值为 4．(1) (2) 【分析】（1）由条件得到，求解即可； （2）直线方程与椭圆方程联立，由弦长公式即可求解. 【详解】（1）设C的半焦距为. 由题意得得 C的方程为. （2）设，. 联立，得化简得， ，. . 5．(1) (2)（i）或；（ii）（10，0） 【分析】（1）由抛物线的对称性质可得到,继而得到抛物线方程； （2）设，联立抛物线方程与直线方程，结合韦达定理， (i)结合题干角的余弦值即可得到直线方程； (2)结合对称性以及三点共线即可得. 【详解】（1）当与轴垂直时，，则， 解得：，即． （2）（i）由与抛物线交于两点，可设， 联立方程组：得到：，得到， 由韦达定理：， 则， 法一：因为 代入可知：，解得：， 即或． 法二：因为，所以． 因为， 所以 ，即． 由，得，解得：，即或． （i）法一：由对称性，不妨取，由于，故， 因为，所以，联立解得：， 同理有：， 所以， 由（2）得：，代入可得：， 故， 由于，故， 则，即， 因为，所以，联立解得：， 因为三点共线，所以在直线上，代入得：，解得：， 故的坐标为（10，0）． 法二：由对称性，不妨取，设在第一象限， 联立方程：，解得：， 则：，故， 因为，所以， 联立方程：，解得， 同理有：，可知， 因为，所以，联立解得：， 则：， 因为三点共线，所以，代入解得：， 故的坐标为（10，0）． 6．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）15 【分析】（1）由渐近线方程与右焦点建立方程，结合双曲线标准方程，可得答案. （2）（i）设出点的坐标以及直线方程，联立方程组，写出韦达定理，由题意整理代数式，结合直线过定点，可得答案；（ii）由题意作图，利用三角形面积公式，整理其函数解析式，根据函数单调性，可得答案. 【详解】（1）由题意知解得 所以C的方程为. （2）（i）设l：，点，，. 由可得， 因为l与C在第一象限和第四象限各有一个交点，所以， 且，， 直线DN：， 令，得， 又， 所以直线DN恒过点. （ii）如图，设， 则. 设，则，在上单调递增， 所以当时，S取最小值，最小值为15. 7．(1) (2)，切点坐标为；，切点坐标为； (3)，. 【分析】（1）由离心率及长轴长列出等式即可求解； （2）直线方程与椭圆方程联立，由，即可求解； （3）设直线方程为，结合弦长公式及点到线的距离公式即可求解. 【详解】（1）由，得， 所以， 所以椭圆方程为； （2）联立直线和椭圆方程： ，消去得：， 由题意， 解得， 当时，由， 解得，此时，即切点坐标为， 当时，由， 解得，此时，即切点坐标为， （3） 由题意直线斜率存在， 设直线方程为， 联立椭圆方程消去得：， 设， 则， 所以， 由到直线的距离， 所以， 解得：，即， 则 所以直线方程为. 8．(1)； (2)； (3)证明见解析，定点． 【分析】（1）根据椭圆的几何性质可得方程； （2）根据韦达定理和弦长公式可得； （3）根据条件找到直线的斜率和截距之间的关系，进而确定直线过定点. 【详解】（1）椭圆C：的离心率为，长轴的右端点为， 可得，解得，，， 所以椭圆的标准方程为． （2）设，，联立，消去， 得，，由韦达定理得，， 由弦长公式得. 故弦长. （3）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 联立方程组，整理得， 可得，，， 设，，所以，， 由题意得，即， 可得 ， 所以，解得或， 当时，直线方程为此时过，不符合题意（舍去）； 当时，直线方程为，此时过定点，符合题意， ②当直线l的斜率不存在时，设直线l：，根据对称性， 不妨设M，N的坐标分别为，， 所以，解得，直线l过点， 综上可得，直线l过定点． 9．(1)3 (2)或 (3) 【分析】（1）可根据椭圆定义和弦长公式求解； （2）利用点和点的中点可知中点坐标为左焦点坐标，之后利用椭圆的定义求得点坐标； （3）第三问分类讨论，当斜率不存在时，直接求坐标和斜率，当斜率存在时，设斜率为，设点、坐标，写出直线方程，最终将转化为与斜率的关系，可通过直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理和基本不等式最终解决该题. 【详解】（1）由题意可知，，所以， 又因为当直线垂直于轴时，直线的方程为， 由得，， 所以弦的长为. （2）因为，且直线过点， 所以，在中，， 所以斜边的中点，恰为椭圆的左焦点, 所以，又由椭圆的定义可得， 所以点在线段的垂直平分线上， 又因为在椭圆上，所以为椭圆的上顶点或下顶点， 所以或. （3）当直线的斜率不存在时，不妨设， 所以， 故； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线：，设， 由得，， 所以， 所以， 化简得， ①当时， ，当且仅当时等式成立； ②当时，，当且仅当时等式成立； ③当时，； 综上所述可得，的取值范围为. 10．(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）设出直线方程，根据直线与圆相切求出斜率，然后联立抛物线方程求出的坐标，然后可求得三角形面积； （2）设出直线，联立抛物线方程求出的坐标，由斜率公式可得； （3）利用特例求出，然后点、、，写出直线的方程，结合圆心到直线的距离等于半径即可得证. 【详解】（1）当时，圆与轴不相切， 设过原点与圆相切的直线方程为， 联立消去得：， 由得， 不妨记直线的方程为，代入得：， 解得或，所以，由对称性可知，， 所以. （2）由题知，所以与轴垂直，故直线的斜率存在，且互为相反数， 设直线的方程为，即，， 联立得， 则，，即， 同理可得，又， 所以直线的斜率. （3）设，由题意可知，圆与抛物线没有交点， 当的一边所在直线斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则关于轴对称， 若直线始终与圆相切，则由对称性可知点必在轴上，即与原点重合， 此时直线方程为，直线的方程为，即， 依题意，，得 又，所以，解得或（舍去）， 所以. 所以，当点在抛物线E上运动时，若存在实数，使得直线始终与圆相切，则， 下证时，直线始终与圆相切： 如图，由上可知，三点的横坐标各不相等， 设点、、， 则直线的方程为，即， 同理可得直线的方程为， 所以直线的方程为， 因为直线与圆相切，则，即， 同理由直线与圆相切得， 则、为方程的两个不等的实根， 则，， 点到直线的距离为， 即直线与圆相切， 综上所述，存在，使得当点在抛物线上运动时，直线总与圆相切. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $