第5讲 一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式，高次不等式讲义（知识梳理+典型例题+对应练习+答案）--2026届高三数学一轮复习

常见不等式及其解法 一．一元二次不等式 1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零． (2)左边化为二次项系数大于零的不等式． (3)计算相应的判别式． (4)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (5)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} 口诀：大于取两边，小于取中间 3．含参数的一元二次不等式讨论依据： 1．对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； 2．当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； 3．当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 4．判断不等式恒成立问题的方法（）： 1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ 2．一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ 1．不等式解法的理解（判断） (1)不等式x2＋x－2＜0的解集为．(√) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0．(√) (3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2．(√) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0．(×) 【解析】不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立还有一种可能． (5)若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则a≤－．(√) (6)若不等式x2＋ax＋1≥0对x∈恒成立，则a的最小值为－．(√) 考点一 解不含参数的一元二次不等式 【例1】1．解下列不等式． （1）； （2）． 【答案】（1）或；（2） 【解析】（1）由得：，解得：或， 所以不等式的解集为：或； （2）由，令，可知， 又对应抛物线开口向上，所以的解集为：. 2．使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，即，解得，因为真包含于， 所以是成立的一个充分不必要条件.故选：A 规律方法 解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集． 【训练1】1．不等式的解集___________． 【答案】 【解析】不等式，可化为，方程的解为或， 观察图象（图像略）可得不等式的解集为， 所以不等式的解集为； 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴.故选：D 3．求下列不等式的解集：； 【答案】； 【解析】因为， 所以方程有两个不相等的实根，. 又二次函数的图象开口向下，所以原不等式的解集为. 4．不等式4x－3·2x＋2＜0的解集是__________． 【答案】 【解析】由4x－3·2x＋2＜0可得，（2x）2－3·2x＋2＜0， ∴（2x－1）（2x－2）＜0，∴1＜2x＜2，∴0＜x＜1，故不等式的解集是 考点二 解含参数的一元二次不等式 【例2】1．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】一元二次方程的两个根为，因为， 所以， 因此不等式的解集是，故选：D 2．解不等式：x2－4ax－5a2＞0(a≠0)； 【答案】a＜0时，解集为；a＞0时，解集为. 【解析】由x2－4ax－5a2＞0知(x－5a)(x＋a)＞0.由于a≠0故分a＞0与a＜0讨论． 当a＜0时，x＜5a或x＞－a； 当a＞0时，x＜－a或x＞5a. 综上，a＜0时，解集为；a＞0时，解集为. 【训练2】1．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集，则，故， 所以实数的取值范围为．故选：C． 2．已知，求关于x的不等式的解集． 【答案】答案见解析； 【解析】由，因为， 所以当时，即，由； 当时，即，由； 当时，即，由， 综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 3．解不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0) 【答案】答案见解析； 【解析】原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，因为a＞0，所以a(x－1)＜0. 所以当a＞1时，解为＜x＜1；当a＝1时，解集为； 当0＜a＜1时，解为1＜x＜.综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为；当a＞1时，不等式的解集为. 4．若，解关于的不等式 【答案】答案见解析. 【解析】原不等式可化为 ⑴ 当时，原不等式可化为，解得∴ 原不等式的解集为； ⑵ 当时，方程的两根， 若，原不等式可化为, ∵ ，∴ 原不等式的解集为; 若，原不等式可化为, ①若，即，原不等式的解集为或； ②若，即，原不等式的解集为或； ③若，即，原不等式可化为，解得； 综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或， 当，原不等式的解集为或， 当，原不等式的解集为. 考点三 由一元二次不等式的解求参数 【例3】1．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是( ) A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) C． D． 【答案】A 【解析】由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根， 所以由根与系数的关系得－＋＝，×＝－．解得a＝－6，b＝5， 不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)． 2．已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由f(x)＞0，得ax2＋(ab－1)x－b＞0，又其解集是(－1,3)， ∴a＜0．且解得a＝－1或，∴a＝－1，b＝－3． ∴f(x)＝－x2＋2x＋3，∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3＜0，得4x2＋4x－3＞0， 解得x＞或x＜－，故选A． 【训练3】1．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，∵a＞0， ∴不等式x2－2ax－8a2＜0的解集为(－2a,4a)，又∵不等式x2－2ax－8a2＜0的解集为(x1，x2)， ∴x1＝－2a，x2＝4a．∵x2－x1＝15，∴4a－(－2a)＝15，解得a＝，故选A． 2．设关于的不等式的解集为，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】因为不等式的解集为， 所以、是方程的两根， 所以，，所以.故选：C. 3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜－3，或x＞1}，则函数y＝f(－x)的图象可以为( ) 【答案】B 【解析】由f(x)＜0的解集为{x|x＜－3，或x＞1}知a＜0，y＝f(x)的图象与x轴交点为(－3,0)，(1,0)， ∴f(－x)图象开口向下，与x轴交点为(3,0)，(－1,0)． 4．已知，关于的不等式的解集中有且只有3个整数，则a的值可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】令二次函数，则二次函数开口向上， 且对称轴为，根据二次函数对称性可知：若不等式的解集中有且只有3个整数， 则需要满足，即，解得，故选D． 5．（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】因为关于x的不等式的解集为或，所以且方程的根为，故A正确； 则不等式即为不等式，解得，所以不等式的解集为，故B正确； 则，所以，所以，故C错误； 不等式即为不等式，即为，解得或， 所以不等式的解集为或，故D正确.故选：ABD. 考点四 一元二次不等式恒成立与有解问题 【例4】1．若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去； 当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需解得a＞． 综上，所求实数a的取值范围是． 2．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( ) A．[－4,4] B．(－4,4) C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 【答案】D 【解析】不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16＞0，∴a＜－4或a＞4． 【训练4】1．不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( ) A．[－1,4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2,5] 【答案】A　 【解析】x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4， 所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4. 2．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图像恒在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A．[1,19] B．(1,19) C．[1,19) D．(1,19] 【答案】C 【解析】函数图像恒在x轴上方，即不等式(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对于一切x∈R恒成立． (1) 当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1．若a＝－5，不等式化为24x＋3>0，不满足题意； 若a＝1，不等式化为3>0，满足题意． (2)当a2＋4a－5≠0时，应有 解得1<a<19．综上可知，a的取值范围是1≤a<19． 3．在R上定义运算：＝ad－bc．若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为( ) A．－ B．－ C． D． 【答案】D 【解析】原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立， x2－x－1＝－≥－，所以－≥a2－a－2，－≤a≤． 4．不等式x2－2x＋3 ≤a2－2a－1在R上的解集是，则实数a的取值范围是________． 【答案】(－1,3) 【解析】原不等式即x2－2x－a2＋2a＋4≤0，在R上解集为， ∴Δ＝4－4(－a2＋2a＋4)＜0，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3. 5．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________． 【答案】[0,1) 【解析】①当m＝0时，1>0显然成立． ②当m≠0时，由条件知得0<m<1，由①②知0≤m<1. 6．（1），求实数a的取值范围； （2），求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）因为，所以，即，解得. （2）因为，所以，即，解得或. 考点五 实际问题中一元二次不等式问题 【例5】1．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】结合题意易知，,即，解得，因为， 所以，这批台灯的销隹单价的取值范围是，故选：A. 【训练5】1．某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（单位：元/件）与月销售量（单位：件）之间的关系为，生产件的成本（单位：元）.若每月获得的利润（单位：元）不少于元，则该厂的月销售量的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得，，令， 得，，，.故选：D. 2．设某企业每月生产电机台，根据企业月度报表知，每月总产值 (万元)与总支出 (万元)近似地满足下列关系:，，当时，称不亏损企业；当时，称亏损企业，且为亏损额. （1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机? （2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少? 【答案】（1）4台电机 （2）当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元. 【解析】（1）依题意，，即，整理得， 解得或（舍，企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机； （2） 由（1）可知当时企业亏损，亏损额， 当时，取最大值，此时，即当月总产值为万元时， 企业亏损最严重，最大亏损额为万元． 二．分式不等式 解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式． （1）（2） （3）（4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0； 考点六 分式不等式 【例6】1．不等式 的解集是为（ ） A． B． C． D．∪ 【答案】C 【解析】原不等式等价于即，所以不等式的解为. 2．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式可化为，即，等价于 解得 所以不等式的解集为.故选：D. 【训练6】1．不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】原不等式等价于或，即或， 所以不等式的解为，选A. 2．若集合，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意，，， 则，故答案为C． 3．已知关于x的不等式＜0的解集是，则a＝________． 【答案】－2 【解析】由于不等式＜0的解集是，故－应是ax－1＝0的根，∴a＝－2． 4．不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由于，所以不等式即不等式， 即，解得或，故不等式的解集为. 5．解不等式． 【答案】或 【解析】由得，即，即且， 解得或.∴原不等式的解集为或． 三．含绝对值不等式 1．绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 2．绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3．两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． 4．绝对值不等式： （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）． （4）或 方法：①平方；②讨论去绝对值；③口诀：大于取两边，小于取中间 考点七 绝对值不等式 【例7】1．不等式的解集为（ ） A．R B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，解得：，所以不等式的解集为：.故选：D 2．不等式|x2－2|<2的解集是( ) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－2,0)∪(0,2) 【答案】D　 【解析】由|x2－2|<2得－2<x2－2<2，即0<x2<4，所以－2<x<0或0<x<2． 【训练7】1．不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________． 【答案】{x|x≥1}　 【解析】 由|x＋1|≥|x－3|两边平方得x2＋2x＋1≥x2－6x＋9，即8x≥8． 2．若不等式的解集为，则实数__________． 【答案】2 【解析】由可得，所以，所以，故． 3．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】绝对值大于本身，值为负数．，解得A．或者选择x=1和x=-1，两个检验进行排除． 5．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝__________，n＝________． 【答案】－1；1 【解析】因为|x＋2|<3，即－5<x<1，所以A＝(－5,1)，又A∩B≠∅， 所以m<1，B＝(m,2)，由A∩B＝(－1，n)得m＝－1，n＝1. 5．不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】原不等式等价于，对于，当时，， 则此时不等式无解.当时，.则原不等式解集为：. 6．不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】当时，，解得，此时解集为空集， 当时，，即，符合要求，此时解集为， 当时，，解得，此时解集为空集， 综上：不等式的解集为.故答案为： 四．高次不等式 如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： 1．标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； 2．分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； 3．求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注） 4．穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） 5．得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 【例8】1．不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】不等式，即， 方程的根有（2重根），，，，（2重根）， 按照数轴标根法可得不等式的解集为. 【训练8】1．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，等价于， 由穿根法可得不等式的解集为.故选：B 2．不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 即，由高次不等式的性质可知：不等式解集为： 3．的解集为 ． 【答案】 【解析】由可得， 即，如下图所示：由图可知，原不等式的解集为.故答案为：. 4．关于不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由题意，可得方程的解为，且，由不等式， 等价于，整理可得，解得， 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常见不等式及其解法 一．一元二次不等式 1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零． (2)左边化为二次项系数大于零的不等式． (3)计算相应的判别式． (4)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (5)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} 口诀：大于取两边，小于取中间 3．含参数的一元二次不等式讨论依据： 1．对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； 2．当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； 3．当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 4．判断不等式恒成立问题的方法（）： 1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ 2．一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ 1．不等式解法的理解（判断） (1)不等式x2＋x－2＜0的解集为．( ) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0．( ) (3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2．( ) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0．( ) (5)若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则a≤－．( ) (6)若不等式x2＋ax＋1≥0对x∈恒成立，则a的最小值为－．( ) 考点一 解不含参数的一元二次不等式 【例1】1．解下列不等式． （1）； （2）． 2．使“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 规律方法 解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集． 【训练1】1．不等式的解集___________． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．求下列不等式的解集：； 4．不等式4x－3·2x＋2＜0的解集是__________． 考点二 解含参数的一元二次不等式 【例2】1．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．解不等式：x2－4ax－5a2＞0(a≠0)； 【训练2】1．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A．或 B． C． D．或 2．已知，求关于x的不等式的解集． 3．解不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0) 4．若，解关于的不等式 考点三 由一元二次不等式的解求参数 【例3】1．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是( ) A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) C． D． 2．已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1,3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是( ) A． B． C． D． 【训练3】1．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于（ ）A． B． C． D． 2．设关于的不等式的解集为，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜－3，或x＞1}，则函数y＝f(－x)的图象可以为( ) 4．已知，关于的不等式的解集中有且只有3个整数，则a的值可以是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 考点四 一元二次不等式恒成立与有解问题 【例4】1．若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________． 2．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( ) A．[－4,4] B．(－4,4) C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 【训练4】1．不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( ) A．[－1,4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2,5] 2．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图像恒在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A．[1,19] B．(1,19) C．[1,19) D．(1,19] 3．在R上定义运算：＝ad－bc．若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为( ) A．－ B．－ C． D． 4．不等式x2－2x＋3 ≤a2－2a－1在R上的解集是，则实数a的取值范围是________． 5．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________． 6．（1），求实数a的取值范围； （2），求实数a的取值范围． 考点五 实际问题中一元二次不等式问题 【例5】1．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【训练5】1．某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（单位：元/件）与月销售量（单位：件）之间的关系为，生产件的成本（单位：元）.若每月获得的利润（单位：元）不少于元，则该厂的月销售量的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．设某企业每月生产电机台，根据企业月度报表知，每月总产值 (万元)与总支出 (万元)近似地满足下列关系:，，当时，称不亏损企业；当时，称亏损企业，且为亏损额. （1）企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机? （2）当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少? 二．分式不等式 解分式不等式的实质就是将分式不等式转化为整式不等式． （1）（2） （3）（4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0； 考点六 分式不等式 【例6】1．不等式 的解集是为（ ） A． B． C． D．∪ 2．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【训练6】1．不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 2．若集合，则=（ ） A. B. C. D. 3．已知关于x的不等式＜0的解集是，则a＝________． 4．不等式的解集为 ． 5．解不等式． 三．含绝对值不等式 1．绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 2．绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3．两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． 4．绝对值不等式： （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）． （4）或 方法：①平方；②讨论去绝对值；③口诀：大于取两边，小于取中间 考点七 绝对值不等式 【例7】1．不等式的解集为（ ） A．R B． C． D． 2．不等式|x2－2|<2的解集是( ) A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－2,0)∪(0,2) 【训练7】1．不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集是________． 2．若不等式的解集为，则实数__________． 3．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 4．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝__________，n＝________． 5．不等式的解集为 ． 6．不等式的解集是__________． 四．高次不等式 如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： 1．标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； 2．分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； 3．求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注） 4．穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） 5．得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 【例8】1．不等式的解集为 ． 【训练8】1．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为 ． 3．的解集为 ． 4．关于不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$