精品解析：2025年湖南省娄底市涟源市中考三模数学试题

2025年初中毕业学业考试冲刺卷（5·20A） 九年级数学 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数：0，，，，，，其中是负数的是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负数的定义，小于0的数为负数，据此即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴，是负数， 故选：B． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，二次根式的加减运算分析选项即可． 【详解】解：由题意可知： A. ，∵，∴该选项错误，故不符合题意； B. ，∵，∴该选项错误，故不符合题意； C. ，∵，∴该选项错误，故不符合题意； D. ，∵，∴该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点并能够进行正确计算． 3. 2025年春节是中国“春节”申遗成功后的首个农历新年，被称为首个“非遗版”春节，为迎接这个特别的春节，各地开展了丰富多彩的非遗主题活动．根据山西省文化和旅游厅数据统计，2025年春节放假期间全省共接待国内游客2837.97万人次，同比增长22.20%．数据“2837.97万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，读懂题意，按照科学记数法的表示原则得到即可确定答案，表示时关键要正确确定的值以及的值．注意，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：2837.97万， 故选：B． 4. 2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱成功着陆．创造了中国航天员“太空出差”时长新纪录．下列航天图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题关键．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A.不是中心对称图形，本选项不符合题意； B. 不是中心对称图形，本选项不符合题意； C. 不是中心对称图形，本选项不符合题意； D. 是中心对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 5. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：36，39，35，38，则这组数据的中位数是（ ） A. 35 B. 36 C. 37 D. 39 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数的能力，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据数据的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．把所给数据按照由小到大的顺序排序，再求出中间两个数的平均数即可． 【详解】把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为35，36，38，39 ∴中位数： 故选：C． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式得； 解不等式得 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为， 故选： C． 7. 如图，已知，点在边上，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作垂直平分线，含直角三角形的性质，勾股定理． 由作图知是的垂直平分线，可得，然后证明，根据含直角三角形的性质和勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：由作图知，，， ∴， ∴， 由作图知是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，（负值不合题意舍去） ∴． 故选：B． 8. 如图，中，，，，则的内切圆半径r为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于的方程，即可求出． 【详解】解：如图，设的内切圆与各边相切于，，，连接，，， 则，，， 设半径为，则， ，，， ， ，， ， ． 的内切圆的半径为2． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，两直线的交点坐标就是两函数解析式组成方程组的解． 先将代入求出的值，再根据题意作答即可． 【详解】将代入得，即 ∵直线与直线交于点， ∴关于的方程组的解为， 即关于的方程组的解为， 故选：B 10. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，平移性质，勾股定理，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点向上平移2个单位为，结合勾股定理以及旋转性质得，再运用30度所对的直角边是斜边的一半，得，最后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点向上平移2个单位为，如图所示： ∵，过点作轴于点， 则， ∴， ∵点按照变换后得到点的坐标， ∴， 过作轴， 在中，， 则 ∴的坐标为， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． 【详解】解：二次根式有意义， ， ． 12. 已知反比例函数的图像经过点和点，如果点与关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解答本题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和点，且点与关于原点对称， ，， ，， 设反比例函数解析式为，代入点坐标可得， 反比例函数的解析式为． 故答案为：． 13. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取1本，则抽到《论语》的概率是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，解题的关键是熟悉概率公式．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得：共有种等可能的结果， 故， 故答案为：． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的增根的知识，理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键．将分式方程去分母得，由分式方程的增根是，代入计算即可． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母，得， 整理可得 ， 由于分式方程的增根是， 将代入，得， 解得：． 故答案为：． 15. 关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设另一根为a，根据两根之和为，进行求解即可． 【详解】解：设另一根为a， 则：， 解得， ∴另一个根为1， 故答案为：1． 16. 光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线，为射线延长线上一点．若，，则______． 【答案】##125度 【解析】 【分析】利用平行线的性质和邻补角的定义求解即可． 【详解】解：如图， 则， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 17. 如图，点E为正方形的边上一点，连接，，且与相交于点M．若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正方形的性质，关键是由，得到． 由，推出，得到，因此，令，，由勾股定理得到，即可求出．由求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 令，， ， ． ， ， ． 故答案为：． 18. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则______． 【答案】108 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：108 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19. 计算 【答案】6 【解析】 【分析】先运用负整数指数幂、特殊角的三角函数、化简绝对值及零指数幂运算，再根据二次根式乘法计算，去括号，最后运用二次根式减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数混合运算，涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数、化简绝对值、零指数幂运算、二次根式乘法及减法运算，熟练掌握实数相关运算法则求解是解决问题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化；先计算括号内分式的减法运算，再计算分式的除法运算，得到化简的结果，再把代入计算即可. 【详解】解： ； 当时， 原式. 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 21. 为进一步提高课后服务质量，将“双减”政策落地，某校课后开设了“园艺、围棋、面塑、数独、编织”五大类课程．为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中，的值为______；“编织”所对应的圆心角的度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）假设本校八年级共有1200名学生，请估算选择“围棋”的有多少人？ 【答案】（1）25，72 （2） 补全统计图如下： （3）360人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体： （1）用选择围棋的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，用园艺的人数除以参与调查的人数即可求出的值，用360度乘以选择编织的人数占比即可得到答案； （2）先求出选择面塑的人数，据此补全统计图即可； （3）用1200乘以样本中选择选择“围棋”的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， 本次共调查了80人， ， ； “编织”所对应的圆心角的度数为； 故答案为：25，； 【小问2详解】 解：选择面塑的人数为（人， 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计选择“围棋”的有360人． 22. 如图，的对角线相交于点O，平分过点B作，过点A作，交于点E，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，等角对等边，熟知菱形的性质与判定定理，矩形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形对边平行，平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可证明结论； （2）根据菱形对角线互相垂直平分得到，再利用勾股定理求出，接着证明四边形是矩形，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23. 袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里！”为扩大粮食生产规模，稻田公园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元． （1）求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，则有哪几种购买方案？ 【答案】（1）购进1件甲种农机和1件乙种农机各需万元和万元 （2）方案一：购进甲种农机件，购进乙种农机件；方案二：购进甲种农机件，购进乙种农机件；方案三：购进甲种农机件，购进乙种农机件． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键： （1）设购进1件甲种农机和1件乙种农机各需万元和万元，根据购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进甲种农机件，根据投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，列出不等式组进行求解即可． 【小问1详解】 解：设购进1件甲种农机和1件乙种农机各需万元和万元，由题意，得： ，解得：， 答：购进1件甲种农机和1件乙种农机各需万元和万元； 【小问2详解】 解：设购进甲种农机件，则购进乙种农机件，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴； ∴共有3种购买方案：方案一：购进甲种农机件，购进乙种农机件； 方案二：购进甲种农机件，购进乙种农机件； 方案三：购进甲种农机件，购进乙种农机件． 24. 慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然耸立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一、某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上，．结果精确到1m．参考数据：， （1）求无人机从点到点处的飞行距离； （2）求慈氏塔的高度． 【答案】（1）无人机从点到点处的飞行距离为 （2）慈氏塔的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． （1）证明为等腰直角三角形，即可求解； （2）延长交直线于点，设为，则，在Rt中，利用锐角三角函数解答，即可． 【小问1详解】 解：由题可知，， ， 为等腰直角三角形， ， 答：无人机从点到点处的飞行距离为； 【小问2详解】 解：如图，延长交直线于点， 由题可知，四边形为矩形， ， 在中，， 为等腰直角三角形， ， 设为，则， ， 在中，， 解得， 答：慈氏塔的高度约为． 六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求的值． 【答案】（1）； （2）面积的最大值是，点的坐标为； （3）． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的交点问题等知识，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入得到 ，解方程组求出的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得 的面积为，配方可得，从而可知当 时，的面积有最大值，，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为是抛物线与直线的交点，可得方程 ，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【小问1详解】 解：把点和点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为，把点和点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， ∴点的横坐标为，点H的纵坐标为， ， ， 整理得：， ∴可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 在一元二次方程中， ， ∴一元二次方程：有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为， ∴． 26. 如图，的半径为1，直径，的夹角，点是上一点，连接，分别交，于点，. （1）若，求证：； （2）当点在上运动时. ①猜想：线段与有怎样的数量关系，并给出证明； ②求证：. 【答案】（1）证明：∵，， ∴. ∴. ∴. ∴. （2）①猜想：. 如图，连结. ∵，， ∴是等边三角形. ∴，. ∵，， ∴，. 又∵， ∴. ∴. ②∵的半径为1， ∴. ∵， ∴. 又∵， ∴. ∴，即. ∵，， ∴. ∴，即. ∵， ∴，. ∴. 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得出即可得出结论； （2）①根据已知条件可得出是等边三角形；再证明即可；②根据已知条件可得出，再推出，在等量代换即可得出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业学业考试冲刺卷（5·20A） 九年级数学 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数：0，，，，，，其中是负数的是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年春节是中国“春节”申遗成功后的首个农历新年，被称为首个“非遗版”春节，为迎接这个特别的春节，各地开展了丰富多彩的非遗主题活动．根据山西省文化和旅游厅数据统计，2025年春节放假期间全省共接待国内游客2837.97万人次，同比增长22.20%．数据“2837.97万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱成功着陆．创造了中国航天员“太空出差”时长新纪录．下列航天图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：36，39，35，38，则这组数据的中位数是（ ） A. 35 B. 36 C. 37 D. 39 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，点在边上，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 如图，中，，，，则的内切圆半径r为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 二次根式有意义，则的取值范围是______． 12. 已知反比例函数的图像经过点和点，如果点与关于原点对称，那么该反比例函数的解析式是___________． 13. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取1本，则抽到《论语》的概率是_____________． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____． 15. 关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为_______． 16. 光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线，表示一块玻璃的两个面，且．现有一束光线从空气射向玻璃，是折射光线，为射线延长线上一点．若，，则______． 17. 如图，点E为正方形的边上一点，连接，，且与相交于点M．若，则______． 18. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19. 计算 20. 先化简，再求值：，其中． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 21. 为进一步提高课后服务质量，将“双减”政策落地，某校课后开设了“园艺、围棋、面塑、数独、编织”五大类课程．为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中，的值为______；“编织”所对应的圆心角的度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）假设本校八年级共有1200名学生，请估算选择“围棋”的有多少人？ 22. 如图，的对角线相交于点O，平分过点B作，过点A作，交于点E，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23. 袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里！”为扩大粮食生产规模，稻田公园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元． （1）求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，则有哪几种购买方案？ 24. 慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然耸立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一、某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上，．结果精确到1m．参考数据：， （1）求无人机从点到点处的飞行距离； （2）求慈氏塔的高度． 六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求的值． 26. 如图，的半径为1，直径，的夹角，点是上一点，连接，分别交，于点，. （1）若，求证：； （2）当点在上运动时. ①猜想：线段与有怎样的数量关系，并给出证明； ②求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $