2024年广西初中学业水平考试·坤卷·数学-【一战成名新中考·乾坤卷】2024广西中考原创压轴卷（全学科）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　坤卷·数学答题卡　第１页（共２页） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ２０２４年广西初中学业水平考试 坤卷·数学答题卡 缺考标记：［　］　　（由监考员填涂，考生严禁填涂） 姓　　名：　　　　　　　　　　　　 准考证号：　　　　　　　　　　　　 条形码粘贴区 正确填涂 　 　　　 错误填涂 ［√］［］［—］［●］ 注 意 事 项 １．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真 核对条形码上的准考证号、姓名。 ２．选择题部分必须使用２Ｂ铅笔填涂；非选择题部分必须使用 黑色墨水笔书写，字体工整、笔迹清楚。 ３．请看清题目序号，在各题目的答题区域内规范作答，超出答 题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 ４．保持卡面清洁，不折叠、不破损。 一、单项选择题（每小题３分，共３６分．） １．［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ２．［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ３．［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ４．［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ 　 ５．［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ６．［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ７．［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ８．［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ 　 ９．［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ １０．［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ １１．［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ １２．［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ 二、填空题（每小题２分，共１２分．） １３．　 　 　 　　　１４．　 　 　 　　　１５．　 　 　 　　　 １６．　 　 　 　　　１７．　 　 　 　　　１８．　 　 　 　　　 三、解答题（本大题共８小题，共７２分．解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤．） １９．（本题满分６分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ２０．（本题满分６分） ２１．（本题满分１０分） （第２１题图） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ２２．（本题满分１０分） （第２３题图） ２３．（本题满分１０分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　坤卷·数学答题卡　第２页（共２页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ２４．（本题满分１０分） （第２４题图１） （第２４题图２） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 　　 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ２５．（本题满分１０分） （第２５题图１） （第２５题图２） （第２５题图３） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 　　 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ２６．（本题满分１０分） （第２６题图１） （第２６题图２） （第２６题图３） （第２６题图４） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ２０２４年广西初中学业水平考试 坤卷·数学 （全卷满分１２０分，考试时间１２０分钟） 注意事项： １．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． ２．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． ３．不能使用计算器． ４．考试结束，将本试卷和答题卡 獉獉獉獉獉獉獉 一并交回． 一、单项选择题（本大题共１２小题，每小题３分，共３６分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要 求的，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） １．下列四个实数中，是无理数的为 Ａ．　槡４ Ｂ． ３ 槡９ Ｃ．０ Ｄ．０．３ · ５ · ２．下列“幸福安康”的篆体中可看作轴对称图形的是 ３．平陆运河是新时代推进西部大开发、促进区域协调发展的关键工程，对推动广西及西南地区的发展具 有战略意义．运河建成通航后，年单向通过能力可达到８９００００００吨，其中数据“８９００００００”用科学记 数法表示为 Ａ．８．９×１０７ Ｂ．８９×１０６ Ｃ．８９×１０７ Ｄ．８．９×１０６ ４．不等式３ｘ－３＞０的解集是 Ａ．ｘ＜－１ Ｂ．ｘ＞－１ Ｃ．ｘ＜１ Ｄ．ｘ＞１ ５．如图，是一款手推车的平面示意图，其中ＡＢ∥ＣＤ，∠Ａ＝６０°，则∠ＡＣＤ的度数是 Ａ．１２０° Ｂ．１３０° Ｃ．１４０° Ｄ．１５０° （第５题图） 　　 （第６题图） 　　 （第１１题图） ６．有理数ａ，ｂ在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是 Ａ．ａ＞ｂ Ｂ．ａｂ＞０ Ｃ．－ａ＞ｂ Ｄ．｜ａ｜＜｜ｂ｜ ７．下列运算正确的是 Ａ．ｍ２·ｍ３＝ｍ６ Ｂ．ｍ２＋ｍ３＝ｍ５ Ｃ．ｍ４÷ｍ＝ｍ３ Ｄ．２ｍ＋３ｍ＝５ｍ２ ８．分式方程 ３ｘ－２＝１的解是 Ａ．ｘ＝５ Ｂ．ｘ＝１ Ｃ．ｘ＝－１ Ｄ．ｘ＝２ ９．学校招募升旗手，现从两名男生和两名女生中随机选取两人，则选中的两人恰好是一男一女的概率是 Ａ．１３ Ｂ． １ ２ Ｃ． ２ ３ Ｄ． ３ ４ １０．某中学九年级师生共２６８人准备到青秀山风景区春游，上山的观光车有大小两种，若租用５辆大车，３ 辆小车，则剩余７个座位，若租用６辆大车，１辆小车，则有３人无座位，求大车和小车每辆分别有几个 座位．设大车每辆有ｘ个座位，小车每辆有ｙ个座位，根据题意可以列方程为 Ａ． ５ｘ＋３ｙ＝２６１， ６ｘ＋ｙ{ ＝２７１ Ｂ． ５ｘ＋３ｙ＝２７５，６ｘ＋ｙ{ ＝２６５ Ｃ． ５ｘ＋３ｙ＝２６１，６ｘ＋ｙ{ ＝２６５ Ｄ． ５ｘ＋３ｙ＝２７５，６ｘ＋ｙ{ ＝２７１ １１．如图，已知ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点Ｃ，Ｄ在⊙Ｏ上，∠Ｄ＝６０°，ＢＣ＝４，则劣弧ＡＣ的长为 Ａ．４３π Ｂ． ８ ３π Ｃ． ３ ２π Ｄ． １ ３π １２．已知抛物线经过点Ａ（１，０），Ｂ（５，０），Ｃ（６，－５），其顶点为Ｄ，平移抛物线使其顶点始终在直线ｙ＝ｘ＋ ３上，设平移后的抛物线与ｙ轴的交点为Ｐ，当ＰＣ＋ＰＤ取得最小值时，平移后的抛物线的顶点坐标为 Ａ．（２，５） Ｂ．（３，４） Ｃ．（２，５）或（－１，２） Ｄ．（－１，２）或（３，４） 二、填空题（本大题共６小题，每小题２分，共１２分．） １３．分解因式：ｍ２－４＝　▲　． １４．有一组数据如下：３，ａ，４，６，７，它们的平均数是５，那么这组数据的方差是　▲　． １５．若ｍ，ｎ是方程ｘ２＋ｘ－２０２４＝０的两个实数根，则ｍ２＋２ｍ＋ｎ的值为　▲　． １６．如图，南宁地铁１号线最长的自动扶梯ＡＢ全长为２０米，坡角∠ＢＡＣ＝３０°，其边上的步行上下台阶分 为３段，第一段ＡＤ＝９米，坡角与电动扶梯相同，第二段ＤＥ为缓冲平台，第三段ＢＥ的坡角为４５°，则 缓冲平台ＤＥ的长约为　▲　米．（结果取整数，参考数据： 　 槡２≈１．４１４， 　 槡３≈１．７３２） （第１６题图） 　　 （第１７题图） 　　 （第１８题图） １７．如图，反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＜０）的图象经过ＡＯＢＣ的顶点Ａ，ＡＯＢＣ的顶点Ｂ，Ｃ在第一象限，对角 线ＡＢ∥ｘ轴，已知ＡＢ＝１０，ＳＡＯＢＣ＝３０，且ｔａｎ∠ＡＢＯ＝ １ ２，则ｋ的值为　▲　． １８．如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，点 Ｅ是边 ＡＤ上的动点，连接 ＣＥ，以 ＣＥ为边作等边三角形 ＣＥＦ，连接ＢＦ，则ＢＦ的最小值为　▲　． 三、解答题（本大题共８小题，共７２分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） １９．（本题满分６分）计算：３２＋｜５－７｜＋８÷（－１４）． ２０．（本题满分６分）化简求值：（２ｘｘ－ｙ＋ ｘ ｘ＋ｙ）÷ ｘ ｘ２－ｙ２ ，其中ｘ，ｙ的值满足３ｘ＋ｙ－２＝０． ２１．（本题满分１０分）如图，已知△ＡＢＣ． （１）请用尺规作图的方法，在ＢＣ边上作出点Ｄ，使ＡＤ＝ＢＤ；（不写作法，保留作图痕迹） （２）在（１）的条件下，若ＡＢ＝８　槡５，ＡＣ＝ＡＤ＝１０，求ＢＣ的长． （第２１题图） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　坤卷·广西数学　第１页（共 ４页）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　坤卷·广西数学　第２页（共 ４页） ２２．（本题满分１０分）２０２４年是新中国成立的第７５周年，也是实施“十四五”规划的关键一年，这７５年的 沧桑巨变、历史改革，让中国踏入了强国建设、民族复兴的新征程．我校为了解学生对新中国成立以来 历史事件的了解情况，在七、八年级举行了一次测试，从七、八年级各随机抽取了１０名学生的测试成 绩（百分制），测试成绩（成绩得分用ｘ表示，共分成四组：Ａ．８０≤ｘ＜８５，Ｂ．８５≤ｘ＜９０，Ｃ．９０≤ｘ＜９５， Ｄ．９５≤ｘ≤１００）整理、描述和分析如下： 七年级１０名学生的成绩是：９６，８３，９６，８７，９６，９６，９０，１００，８９，８４； 八年级１０名学生的成绩在Ｃ组中的是：９４，９０，９２． （第２２题图） 　 　　七、八年级抽取的学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 ９１．７ ９３ ９６ ３１．０１ 八年级 ９２ ｂ １００ ５０．４ 根据以上信息，解答下列问题： （１）求出统计图中ａ的值以及表格中ｂ的值； （２）该校七年级共８６０人参加了此次测试，估计参加此次测试成绩优秀（ｘ≥９０）的七年级学生人数是 多少； （３）判断这次测试中哪个年级学生成绩更好，并说明理由． ２３．（本题满分１０分）已知，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠ＡＢＣ的平分线交ＡＣ于点Ｏ，以Ｏ为圆心，ＯＣ的长 （第２３题图） 为半径作⊙Ｏ，交ＡＣ于点Ｄ． （１）求证：ＡＢ是⊙Ｏ的切线； （２）若ｔａｎ∠ＣＢＯ＝１２，ＡＤ＝２，求⊙Ｏ的半径． ２４．（本题满分１０分）如图１，已知边长为４的菱形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝６０°，点Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＢＣ边上的点， 且ＡＥ＝ＢＦ，连接ＤＥ，ＤＦ． （１）求证：ＤＥ＝ＤＦ； （２）如图２，点Ｐ是菱形边上的一动点，过点Ｐ作ＰＧ⊥直线ＡＤ于点Ｇ，点Ｐ从点Ａ沿Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ的 路径以每秒１个单位长度的速度匀速运动到点Ｄ，设运动时间为ｔ秒，线段ＰＧ的长为ｙ，求ｙ关于 ｔ的函数解析式； （３）结合（２）所得的函数，描述线段ＰＧ的长随点Ｐ的运动时间ｔ增大如何变化． （图１） 　 （图２） （第２４题图） ２５．（本题满分１０分）【综合与实践】 广西首府南宁的主城区跨江大桥一共有１９座，每座大桥都是一道靓丽的风景线，其中凌铁大桥（如 图１）可以看作由两条漂亮的相互对称的抛物线组成，某兴趣小组在学习了二次函数的有关知识后，对 这座桥梁进行了考察和研究． 【问题情境】 如图２，两条对称的抛物线拱桥由公共的端点Ｏ连接在一起，经小组成员实地测量，两条抛物线拱桥的 跨度ＯＡ，ＯＢ都是２００米，且测得右拱桥距离Ｏ点２０米处的第一条立柱ＣＤ的高为１８米． 【深入探究】 （１）建立适当的平面直角坐标系，并根据上面实地测量所得数据分别求出左右两座拱桥所在的抛物线 的解析式； （２）求出两座拱桥中央最高立柱的高度； 【应用设计】 （３）为了让凌铁大桥成为邕江夜景的一幅多彩画卷，计划在桥上安装射灯来美化拱桥，设计在右拱桥 中央安装的射灯Ｍ射出的光线要经过左拱桥的最高点 Ｎ，在右拱桥外安装的射灯 Ｅ射出的光线 ＥＦ与ＭＮ平行且与右拱桥相切于点Ｆ（如图３），请求出射灯Ｅ应安装在距点Ｏ多少米处． （图１） 　 （图２） 　 （图３） （第２５题图） ２６．（本题满分１０分）【探究与证明】 【基本图形】 如图１，ＡＤ∥ＢＣ，ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线，则△ＡＢＤ是　▲　三角形； 【操作证明】 如图２，将矩形ＡＢＣＤ沿对角线ＢＤ折叠，使点Ｃ落在点Ｅ处，ＢＥ与ＡＤ交于点Ｆ，试判断△ＢＤＦ的形 状，并说明理由； 【类比应用】 如图３，在ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝１０，ＡＢ＝３ 　 槡５，点Ｐ是ＢＣ边上一动点，连接ＡＰ，将△ＡＢＰ沿直线ＡＰ翻折， 得到△ＡＰＥ． （１）若点Ｂ的对应点Ｅ恰好落在ＡＤ上，试判断四边形ＡＢＰＥ的形状，并说明理由； （２）如图４，连接ＤＰ，当点Ｂ的对应点Ｅ恰好落在ＤＰ上时，延长ＡＥ交ＤＣ于点Ｆ，若Ｐ是ＢＣ的中点， 求ＡＦ的长． （图１） 　　 （图２） 　　 （图３） 　　 （图４） （第２６题图） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　坤卷·广西数学　第３页（共 ４页）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　坤卷·广西数学　第４页（共 ４页） 坤卷参考答案及重难题解析·广西数学 数 学 数学 快速对答案 一、选择题（共１２小题，每小题３分，共３６分） １．Ｂ　２．Ｄ　３．Ａ　４．Ｄ　５．Ａ　６．Ｃ　７．Ｃ　８．Ａ　９．Ｃ　１０．Ｂ　１１．Ｂ　１２．Ｃ 二、填空题（共６小题，每小题２分，共１２分） １３．（ｍ＋２）（ｍ－２）　１４．２　１５．２０２３　１６．４　１７．－１２　１８．２　槡３－３ 三、解答题（共８小题，共７２分） １９．（６分）原式＝－２１ ２０．（６分）原式＝２ ２１．（１０分）（１）作图略；（２）ＢＣ＝２２ ２２．（１０分）（１）ａ＝４０，ｂ＝９３；（２）估计参加此次比赛成绩优秀（ｘ≥９０）的七年级学生人数是５１６；（３）八年级学生成绩更好，理 由略 ２３．（１０分）（１）证明略；（２）⊙Ｏ的半径为３ ２４．（１０分）（１）证明略；（２）ｙ＝ 　 槡３ ２ｔ（０≤ｔ＜４）， ２　槡３（４≤ｔ＜８）， － 　 槡３ ２ｔ＋６ 　 槡３（８≤ｔ≤１２      ）； （３）①当０≤ｔ＜４时，线段ＰＧ的长随点 Ｐ的运动时间ｔ的增大而增 大；②当４≤ｔ＜８时，线段ＰＧ的长恒等于２ 　 槡３；③当８≤ｔ≤１２时，线段ＰＧ的长随点Ｐ的运动时间ｔ的增大而减小 ２５．（１０分）（１）左侧抛物线的解析式为ｙ＝－１２００ｘ ２－ｘ（－２００≤ｘ≤０），右侧抛物线的解析式为ｙ＝１２００ｘ ２＋ｘ（０≤ｘ≤２００）；（２） 拱桥中央最高立柱的高度为５０米；（３）射灯Ｅ应安装在距点Ｏ３１２．５米处 ２６．（１０分）【基础图形】等腰；【操作证明】△ＢＤＦ是等腰三角形，理由略；【类比应用】（１）四边形ＡＢＰＥ是菱形，理由略；（２）ＡＦ 的长为４　槡５ 详解详析 １．Ｂ　２．Ｄ　３．Ａ　４．Ｄ　５．Ａ　６．Ｃ　７．Ｃ　８．Ａ ９．Ｃ　【解析】画树状图如解图， 第９题解图 由树状图知，共有１２种等可能的结果，选中的两人恰好是一 男一女的结果有８种，∴选中的两人恰好是一男一女的概率 为 ８ １２＝ ２ ３． １０．Ｂ １１．Ｂ　【解析】如解图，连接 ＯＣ，∵ＯＢ＝ＯＣ，∠Ｂ＝∠Ｄ＝６０°， ∴△ＯＢＣ是等边三角形，∠ＡＯＣ＝１２０°，∴ＯＣ＝ＢＣ＝４， ∴劣弧ＡＣ的长为１２０π×４１８０ ＝ ８ ３π． 第１１题解图 １２．Ｃ　【解析】设抛物线的解析式为 ｙ＝ａ（ｘ－１）（ｘ－５），把 Ｃ（６，－５）代入得ａ＝－１，∴抛物线的解析式为 ｙ＝－（ｘ－ １）（ｘ－５）＝－ｘ２＋６ｘ－５＝－（ｘ－３）２＋４，∴顶点坐标为 Ｄ（３，４），如解图，作点 Ｄ（３，４）关于 ｙ轴的对称点 Ｅ（－３， ４），连接ＣＥ交ｙ轴于点 Ｆ，连接 ＤＦ，∴ＣＦ＋ＤＦ＝ＣＦ＋ＥＦ ＝ＣＥ，此时ＣＦ＋ＤＦ取得最小值 ＣＥ，设 ＣＥ所在直线的解 析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），把 Ｃ（６，－５），Ｅ（－３，４）代入得 ６ｋ＋ｂ＝－５， －３ｋ＋ｂ＝４{ ，解得 ｋ＝－１，ｂ＝１{ ， ∴ＣＥ所在直线的解析式为 ｙ＝－ｘ＋１，∴点Ｆ的坐标为（０，１），当平移后的抛物线与ｙ 轴的交点Ｐ与点Ｆ重合时，ＰＣ＋ＰＤ就会取得最小值，∵平 移后的抛物线的顶点始终在直线 ｙ＝ｘ＋３上，∴可设平移 后的抛物线顶点坐标为（ｔ，ｔ＋３），则平移后的抛物线解析 式为ｙ＝－（ｘ－ｔ）２＋ｔ＋３，把Ｐ（０，１）代入得ｔ２－ｔ－２＝０， 解得ｔ１＝２，ｔ２＝－１，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（２，５） 或（－１，２）． 第１２题解图 １３．（ｍ＋２）（ｍ－２）　１４．                                  ２ ８ 坤卷参考答案及重难题解析·广西数学 数 学 １５．２０２３　【解析】∵ｍ，ｎ是方程ｘ２＋ｘ－２０２４＝０的两个实数 根，∴ｍ２＋ｍ＝２０２４，ｍ＋ｎ＝－１，∴ｍ２＋２ｍ＋ｎ＝（ｍ２＋ ｍ）＋（ｍ＋ｎ）＝２０２４－１＝２０２３． 　 方 法 指 导 一元二次方程根与系数的关系 若方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）有两个实数根ｘ１，ｘ２，则有ｘ１＋ｘ２ ＝－ｂａ，ｘ１ｘ２＝ ｃ ａ． １６．４　【解析】如解图，过点 Ｄ作 ＤＧ⊥ＡＣ于点 Ｇ，在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中，∵∠ＢＡＣ＝３０°，ＡＢ＝２０米，ＡＤ＝９米，∴ＢＣ＝１２ＡＢ＝ １０米，ＤＧ＝ＣＦ＝１２ＡＤ＝ ９ ２米，∴ＢＦ＝１０－ ９ ２＝ １１ ２（米）， ∴ＤＦ＝　槡３ＢＦ＝ 槡 １１３ ２ ，∵∠ＢＥＦ＝４５°，∴ＥＦ＝ＢＦ＝ １１ ２米， ∴ＤＥ＝ＤＦ－ＥＦ＝ 槡１１３２ － １１ ２≈４．０２６≈４（米）． 第１６题解图 １７．－１２　【解析】∵ｔａｎ∠ＡＢＯ＝ＯＤＢＤ＝ １ ２，∴设 ＯＤ＝ｍ，则 ＢＤ ＝２ｍ，∵ＡＢ＝１０，∴ＡＤ＝１０－２ｍ，∵ＳＡＯＢＣ＝３０，∴２Ｓ△ＡＯＢ ＝３０，即２×１２×１０ｍ＝３０，解得ｍ＝３，∴ＡＤ＝１０－２×３＝ ４，∴Ａ（－４，３），∴ｋ＝－４×３＝－１２． １８．２　槡３－３　【解析】如解图１，将ＢＣ绕点Ｃ顺时针旋转６０°得 到Ｂ′Ｃ，连接 Ｂ′Ｅ，∴ＢＣ＝Ｂ′Ｃ，∠ＦＣＢ＋∠Ｂ′ＣＦ＝６０°，∵ △ＣＥＦ为等边三角形，∴ＣＥ＝ＣＦ，∠ＥＣＦ＝６０°，∴∠ＥＣＢ′ ＋∠Ｂ′ＣＦ＝６０°，∴∠ＦＣＢ＝∠ＥＣＢ′，在△ＦＣＢ和△ＥＣＢ′ 中， ＣＦ＝ＣＥ， ∠ＦＣＢ＝∠ＥＣＢ′， ＣＢ＝ＣＢ′ { ， ∴△ＦＣＢ≌△ＥＣＢ′（ＳＡＳ），∴ＢＦ＝ Ｂ′Ｅ．要求ＢＦ的最小值，即求Ｂ′Ｅ的最小值，∵点Ｅ为线段 ＡＤ上的动点，则Ｂ′Ｅ的最小值为点 Ｂ′到 ＡＤ的距离，∴当 Ｂ′Ｅ⊥ＡＤ时，Ｂ′Ｅ取得最小值，如解图２，过点 Ｂ′作 Ｂ′Ｇ⊥ ＢＣ于点Ｇ，交ＡＤ于点Ｅ，∵∠Ｂ′ＣＢ＝６０°，Ｂ′Ｃ＝ＢＣ＝４，∴ Ｂ′Ｇ＝Ｂ′Ｃ·ｓｉｎ∠Ｂ′ＣＢ＝４× 　 槡３ ２＝２ 　 槡３，∴Ｂ′Ｅ＝Ｂ′Ｇ－ＥＧ＝ Ｂ′Ｇ－ＡＢ＝２　槡３－３，∴ＢＦ的最小值为 槡２３－３． （图１） 　 （图２） 第１８题解图 １９．解：原式＝９＋２－３２ ４分 !!!!!!!!!!!!!! ＝－２１． ６分 !!!!!!!!!!!!!!! ２０．解：原式＝２ｘ（ｘ＋ｙ）＋ｘ（ｘ－ｙ） （ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ） · （ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ） ｘ ＝２ｘ＋２ｙ＋ｘ－ｙ ＝３ｘ＋ｙ， ３分 !!!!!!!!!!!!!!! ∵ｘ，ｙ的值满足３ｘ＋ｙ－２＝０， ∴３ｘ＋ｙ＝２， ５分 !!!!!!!!!!!!!!!!! ∴原式＝２． ６分 !!!!!!!!!!!!!!!!! ２１．解：（１）如解图１，点Ｄ即为所求； ４分 !!!!!!!! （图１） 　 （图２） 第２１题解图 （２）如解图２，过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＣ于点Ｅ， ∵ＡＣ＝ＡＤ＝１０， ∴ＤＥ＝ＣＥ，设ＤＥ＝ＣＥ＝ｘ， ５分 !!!!!!!!!! 又∵ＢＤ＝ＡＤ＝１０， ∴ＢＥ＝ＤＥ＋ＢＤ＝ｘ＋１０， ６分 !!!!!!!!!!!! 由勾股定理得ＡＢ２－ＢＥ２＝ＡＥ２＝ＡＣ２－ＣＥ２， ∴（８　槡５） ２－（ｘ＋１０）２＝１０２－ｘ２， ８分 !!!!!!!!! 解得ｘ＝６， ∴ＤＥ＝ＣＥ＝６， ∴ＢＣ＝１０＋６＋６＝２２． １０分 !!!!!!!!!!!! ２２．解：（１）∵八年级学生成绩在Ｃ组的人数所占百分比为３÷ １０×１００％＝３０％， ∴ａ％＝１－（２０％＋１０％＋３０％）＝４０％，即ａ＝４０； ２分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴八年级学生成绩在 Ａ，Ｂ组人数为 １０×（１０％ ＋２０％） ＝３， ∴八年级学生成绩的第５，６个数据分别为９２，９４， ∴八年级学生成绩的中位数ｂ＝９２＋９４２ ＝９３， ∴ａ＝４０，ｂ＝９３； ４分 !!!!!!!!!!!!!!! （２）８６０×６１０＝５１６（人）． ５分!!!!!!!!!!!! 答：估计参加此次测试成绩优秀（ｘ≥９０）的七年级学生人 数是５１６； ６分 !!!!!!!!!!!!!!!!!! （３）八年级学生成绩更好； ７分 !!!!!!!!!!! 理由：七年级和八年级学生成绩的中位数相等，但八年级学 生成绩的平均数、众数均高于七年级，所以八年级学生成绩 更好．（合理即可） １０分 !!!!!!!!!!!!!! ２３．（１）证明：如解图，过点Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ于点Ｅ， ∵ＢＯ是∠ＡＢＣ的平分线，且ＯＣ⊥ＢＣ， ２分!!!!!! ∴ＯＥ＝ＯＣ，即ＯＥ是⊙Ｏ的半径， ∴ＡＢ是⊙Ｏ的切线； ４分!!!!!!!!!!!!! 第２３题解图                                                                       ９ 坤卷参考答案及重难题解析·广西数学 数 学 图２ 图１ 　 方 法 指 导 切线的判定 ①定义法：满足切线的定义即可得证； ②判定定理法 具体内容：过半径外端且垂直于半 径的直线是圆的切线； 运用情况：直线与圆的公共点明确； 步骤：如图１，连接ＯＡ，证明ＯＡ⊥ＣＤ； 简称：公共点明确，连半径，证垂直      ． ③距离法 具体内容：若圆心到直线的距离等于 圆的半径，则此直线是圆 的切线； 运用情况：直线与圆的公共点不明确； 步骤：如图２，过点Ｏ作ＯＡ⊥ＣＤ于点 Ａ，证明ＯＡ＝ｒ； 简称：公共点不明确，作垂直，证与半径相等        ． （２）解：设⊙Ｏ的半径为ｒ， ∵ｔａｎ∠ＣＢＯ＝ＯＣＢＣ＝ １ ２， ∴ＢＣ＝２ｒ， ５分 !!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵∠Ｃ＝∠ＢＥＯ，∠Ａ＝∠Ａ， ∴△ＡＢＣ∽△ＡＯＥ， ６分!!!!!!!!!!!!!! ∴ＡＥＡＣ＝ ＯＥ ＢＣ＝ ｒ ２ｒ＝ １ ２， 设ＡＥ＝ｘ，则ＡＣ＝２ｘ， ∴ＯＡ＝ＡＣ－ＯＣ＝２ｘ－ｒ， 在Ｒｔ△ＡＯＥ中，ＡＥ２＋ＯＥ２＝ＡＯ２， 即ｘ２＋ｒ２＝（２ｘ－ｒ）２， 解得ｘ＝４３ｒ（ｘ＝０舍去）， ８分!!!!!!!!!!! ∵ＡＤ＝２，ＯＤ＝ｒ，∴ＡＯ＝２＋ｒ， ∴（４３ｒ） ２＋ｒ２＝（２＋ｒ）２，解得ｒ＝３（负值已舍去）， ∴⊙Ｏ的半径为３． １０分!!!!!!!!!!!!!! ２４．（１）证明：连接ＢＤ，如解图１， ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＡＤ＝ＡＢ，∠ＤＢＣ＝∠ＤＢＡ， 又∵∠Ａ＝６０°， ∴△ＤＡＢ为等边三角形， ∴ＤＡ＝ＤＢ，∠ＤＢＣ＝∠ＤＢＡ＝∠Ａ＝６０°， ２分!!!!! 又∵ＡＥ＝ＢＦ， ∴△ＤＡＥ≌△ＤＢＦ（ＳＡＳ）， ∴ＤＥ＝ＤＦ； ３分 !!!!!!!!!!!!!!!!! 第２４题解图１ （２）解：①当０≤ｔ＜４时，点Ｐ在ＡＢ边上运动， 在Ｒｔ△ＡＰＧ中，∵∠Ａ＝６０°，ＡＰ＝ｔ， ∴ＰＧ＝ｓｉｎ６０°·ＡＰ＝ 　 槡３ ２ｔ，即ｙ＝ 　 槡３ ２ｔ； ４分!!!!!!! ②当４≤ｔ＜８时，点Ｐ在ＢＣ边上运动， 过点Ｂ作ＢＨ⊥ＡＤ于点Ｈ，如解图２，则ＢＨ＝ｓｉｎ６０°·ＡＢ＝ 　 槡３ ２×４＝２ 　 槡３， ∵ＢＣ∥ＡＤ，∴ＰＧ＝ＢＨ＝２ 　 槡３，即ｙ＝２ 　 槡３； ５分!!!!! 第２４题解图２ ③当８≤ｔ≤１２时，点Ｐ在ＣＤ边上运动，点Ｇ在ＡＤ的延长 线上，如解图３，则ＤＰ＝１２－ｔ， ∵ＣＤ∥ＡＢ，∴∠ＧＤＰ＝∠Ａ＝６０°， ∴ＰＧ＝ｓｉｎ６０°·ＤＰ＝ 　 槡３ ２（１２－ｔ）＝－ 　 槡３ ２ｔ＋６ 　 槡３， 即ｙ＝－ 　 槡３ ２ｔ＋６ 　 槡３． ６分!!!!!!!!!!!!!! 综上所述， ｙ关于ｔ的函数解析式为ｙ＝ 　 槡３ ２ｔ（０≤ｔ＜４）， ２　槡３（４≤ｔ＜８）， － 　 槡３ ２ｔ＋６ 　 槡３（８≤ｔ≤１２      ）； ７分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第２４题解图３ （３）解：①当０≤ｔ＜４时，ｙ＝ 　 槡３ ２ｔ， ∵ 　 槡３ ２＞０， ∴线段ＰＧ的长随点Ｐ的运动时间ｔ的增大而增大； ８分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ②当４≤ｔ＜８时，ｙ＝２ 　 槡３，线段ＰＧ的长恒等于２ 　 槡３； ９分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ③当８≤ｔ≤１２时，ｙ＝－ 　 槡３ ２ｔ＋６ 　 槡３， ∵－ 　 槡３ ２＜０， ∴线段ＰＧ的长随点Ｐ的运动时间ｔ的增大而减小． １０分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２５．解：（１）如解图，以Ｏ为原点，ＯＡ，ＯＢ所在直线为 ｘ轴建立 平面直角坐标系，则有Ａ（２００，０），Ｂ（－２００，０），Ｄ（２０，１８）， １分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第２５题解图                                                                       ０１ 坤卷参考答案及重难题解析·广西数学 数 学 设右侧抛物线的解析式为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ， 把Ａ（２００，０），Ｄ（２０，１８）代入得 ４００００ａ＋２００ｂ＝０， ４００ａ＋２０ｂ＝１８{ ， 解得 ａ＝－１２００， ｂ＝１{ ， ∴右侧抛物线的解析式为ｙ＝－１２００ｘ ２＋ｘ（０≤ｘ≤２００）， ２分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵左、右两条抛物线关于ｙ轴对称， ∴左侧抛物线的解析式为ｙ＝－１２００ｘ ２－ｘ（－２００≤ｘ≤０）； ４分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）把ｙ＝－１２００ｘ ２＋ｘ配方得ｙ＝－１２００（ｘ－１００） ２＋５０， ５分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴右侧抛物线的顶点坐标为（１００，５０）， ∴拱桥中央最高立柱的高度为５０米； ６分 !!!!!! （３）∵点Ｍ在右拱桥中央，∴Ｍ（１００，０）， ∵点Ｎ为左拱桥的顶点，∴Ｎ（－１００，５０）， 设直线ＭＮ的解析式为ｙ＝ｍｘ＋ｎ（ｍ≠０）， 把Ｍ（１００，０），Ｎ（－１００，５０）代入得 １００ｍ＋ｎ＝０， －１００ｍ＋ｎ＝５０{ ， 解得 ｍ＝－１４， ｎ＝２５{ ， ∴直线ＭＮ的解析式为ｙ＝－１４ｘ＋２５， ７分!!!!!! ∵ＥＦ∥ＭＮ， ∴设直线ＥＦ的解析式为ｙ＝－１４ｘ＋ｄ， 联立 ｙ＝－１２００ｘ ２＋ｘ， ｙ＝－１４ｘ＋ｄ { ，得－１２００ｘ２＋５４ｘ－ｄ＝０， ∵ＥＦ与右拱桥相切，∴Δ＝０， 即（ ５ ４） ２－４×（－１２００）×（－ｄ）＝０， 解得ｄ＝６２５８， ８分!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴直线ＥＦ的解析式为ｙ＝－１４ｘ＋ ６２５ ８， 把ｙ＝０代入，解得ｘ＝３１２．５， ∴射灯Ｅ应安装在距点Ｏ３１２．５米处． １０分 !!!!! ２６．解：【基本图形】等腰； １分 !!!!!!!!!!!!! 【操作证明】△ＢＤＦ是等腰三角形．理由如下： 由折叠得∠ＦＢＤ＝∠ＤＢＣ， ∵四边形ＡＢＣＤ为矩形， ∴ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＦＤＢ＝∠ＤＢＣ， ∴∠ＦＢＤ＝∠ＦＤＢ， ∴ＢＦ＝ＤＦ， ∴△ＢＤＦ是等腰三角形； ３分!!!!!!!!!!!! 【类比应用】 （１）四边形ＡＢＰＥ为菱形，理由如下： 由折叠得∠ＡＰＢ＝∠ＡＰＥ，ＢＰ＝ＰＥ，ＡＢ＝ＡＥ， ４分!!!! ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＥＡＰ＝∠ＡＰＢ， ∴∠ＥＡＰ＝∠ＡＰＥ， ∴ＡＥ＝ＰＥ＝ＢＰ＝ＡＢ， ５分 !!!!!!!!!!!!! ∴四边形ＡＢＰＥ是菱形； ６分 !!!!!!!!!!!! 　 方 法 指 导 菱形的判定 已知四边形ＡＢＣＤ，请添加适当的条件，使四边形ＡＢＣＤ为 菱形． 图形 添加条件 判定定理 （１）ＡＢ＝ＢＣ 一 组 邻 边 相等 的 平 行 四 边 形 是菱形 （２）ＡＣ⊥ＢＤ 对 角 线 互 相垂 直 的 平 行 四 边 形是菱形 （３）ＡＢ＝ＢＣ ＝ＣＤ＝ＤＡ 四条边都相 等的四边形 是菱形 （２）由折叠得△ＡＢＰ≌△ＡＥＰ， ∴∠ＡＰＢ＝∠ＡＰＥ，ＡＢ＝ＡＥ，ＢＰ＝ＰＥ， ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ＝１０，ＡＢ＝ＣＤ＝ＡＥ 槡＝３５， ∴∠ＡＤＰ＝∠ＤＰＣ，∠ＤＡＰ＝∠ＡＰＢ，∴∠ＤＡＰ＝∠ＡＰＤ， ∴ＡＤ＝ＰＤ＝ＢＣ＝１０， 又∵Ｐ是ＢＣ的中点， ∴ＢＰ＝ＰＣ＝ＰＥ＝ＤＥ＝５， ７分 !!!!!!!!!!! 在△ＡＤＥ和△ＤＰＣ中， ＡＤ＝ＤＰ， ∠ＡＤＥ＝∠ＤＰＣ， ＤＥ＝ＰＣ { ， ∴△ＡＤＥ≌△ＤＰＣ（ＳＡＳ）， ∴∠ＤＡＥ＝∠ＰＤＣ， 又∵∠ＡＦＤ＝∠ＥＦＤ， ∴△ＡＦＤ∽△ＤＦＥ， ∴ＥＦＤＦ＝ ＤＦ ＡＦ＝ ＤＥ ＡＤ＝ ５ １０＝ １ ２， ８分!!!!!!!!!!! 设ＥＦ＝ａ，则ＤＦ＝２ａ， ∴ＡＦ＝ＤＦ ２ ＥＦ＝ （２ａ）２ ａ ＝４ａ， ∵ＡＦ＝ＡＥ＋ＥＦ， ∴４ａ＝３　槡５＋ａ，解得ａ＝ 　 槡５， ∴ＡＦ＝４ａ＝４　槡５，即ＡＦ的长为 槡４５． １０分                                                                       !!!!!!! １１