2024年广西初中学业水平考试·乾卷·数学-【一战成名新中考·乾坤卷】2024广西中考原创压轴卷（全学科）

书 ２０２４年广西初中学业水平考试 乾卷·数学 （全卷满分１２０分，考试时间１２０分钟） 注意事项： １．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． ２．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． ３．不能使用计算器． ４．考试结束，将本试卷和答题卡 獉獉獉獉獉獉獉 一并交回． 一、单项选择题（本大题共１２小题，每小题３分，共３６分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要 求的，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） １．－１４的倒数是 Ａ．－４　　　　　　　　　Ｂ．１４　　　　　　　　　Ｃ．４　　　　　　　　　Ｄ．－ １ ２ ２．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 Ａ．圆柱 Ｂ．正方体 Ｃ．球 Ｄ．圆锥 （第２题图） 　　　　　 （第３题图） 　　　　　　 （第６题图） ３．世界最大跨径拱桥———广西天峨龙滩特大桥于２０２４年２月１日建成通车，这是世界首座跨径超６００米 的上承式劲性骨架混凝土拱桥，大桥全长２４８８．５５米，此次工程投资较斜拉桥节省了１．２５亿元．其中 １．２５亿用科学记数法表示是 Ａ．１．２５×１０７ Ｂ．０．１２５×１０８ Ｃ．１．２５×１０８ Ｄ．１．２５×１０９ ４．某校开展假期“爱·悦·读”经典诵读活动，从３２００名学生中随机抽取了３５０名学生了解诵读情况，下 列说法正确的是 Ａ．此次调查属于全面调查 Ｂ．样本容量是３５０ Ｃ．３２００名学生是总体 Ｄ．被抽取的每一名学生称为个体 ５．甲同学做一道整式运算题时，她不小心把一滴墨水滴在了上面．现已知２ａ３÷ ＝２ａ，则被墨水遮住 的内容是 Ａ．２ａ Ｂ．ａ Ｃ．ａ２ Ｄ．ａ３ ６．如图，△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，连接ＯＢ，ＯＣ，若∠Ａ＝７０°，则∠ＯＢＣ＝ Ａ．１５° Ｂ．２０° Ｃ．２５° Ｄ．３０° ７．在平面直角坐标系中，点Ａ（ａ，２）与点Ｂ（－６，ｂ）关于原点对称，则ａ＋ｂ的值为 Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ．２ Ｄ．０ ８．下列等式一定成立的是 Ａ．ａｂ＝ ａ＋１ ｂ＋１ Ｂ． ａ ｂ＝ ａ－１ ｂ－１ Ｃ． ａ ｂ＝ ２ａ ２ｂ Ｄ． ａ ｂ＝ ａ２ ｂ２ ９．飞行棋是一款经典的游戏，每位玩家依次掷骰子，点数为６者可以派出一架飞机，那么一位玩家掷一次 骰子能派出一架飞机的概率是 Ａ．１６ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ２ Ｄ． ５ ６ １０．体育是中考的必考项目，如图，在平面直角坐标系中，将甲、乙、丙三所学校的九年级人数ｘ及该校体育 （第１０题图） 成绩优秀率ｙ表示出来，其中过乙点的曲线满足ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０，ｘ＞０），则九年级体 育成绩优秀人数最多的学校是 Ａ．甲 Ｂ．乙 Ｃ．丙 Ｄ．都一样多 １１．某口琴社团为练习口琴，第一次用１２００元买了若干把口琴，第二次在同一家商店用２２００元买同一款 口琴，这次商家每把口琴优惠５元，结果比第一次多买了２０把，求第一次每把口琴的售价为多少元．若 设第一次买的口琴为每把ｘ元，则可列方程为 Ａ．１２００ｘ－５－ ２２００ ｘ ＝２０ Ｂ． ２２００ ｘ － １２００ ｘ－５＝２０ Ｃ． １２００ ｘ － ２２００ ｘ－５＝２０ Ｄ． ２２００ ｘ－５－ １２００ ｘ ＝２０ １２．如图，△ＡＢＣ是边长为４ｃｍ的等边三角形，动点Ｐ从点Ａ出发，以２ｃｍ／ｓ的速度沿Ａ→Ｃ→Ｂ运动，到 达点Ｂ即停止运动，过点Ｐ作ＰＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，设运动时间为ｘ（ｓ），△ＡＤＰ的面积为ｙ（ｃｍ２），则能够 反映ｙ与ｘ之间函数关系的图象大致是 　　 （第１２题图） 二、填空题（本大题共６小题，每小题２分，共１２分．） １３．单项式 －２ｘｙ的系数是　▲　． １４．使 ｘ槡 －１在实数范围内有意义的ｘ的取值范围是　▲　． １５．如图，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＥ⊥ＡＣ，若∠１＝５０°，则∠２的度数为　▲　． （第１５题图） 　　　 （第１７题图） 　　　 （第１８题图） １６．某校举行科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，再按照创新设计占６０％，现场展示占４０％计算选手 的综合成绩（百分制）．小华本次比赛的各项成绩分别是：创新设计８５分，现场展示９０分，则他的综合 成绩是 　▲　分． １７．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＤＥ⊥ＡＢ于点 Ｅ，ＢＦ⊥ＡＣ于点 Ｆ，ＤＥ＝１．３ｃｍ，则 ＢＦ＝ 　▲　ｃｍ． １８．如图，在△ＡＣＢ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ＡＢ＝５，点Ｐ是边ＣＢ上一点，将线段ＣＰ绕点Ｐ顺时针旋转得到 Ｃ′Ｐ，若ＣＰ＝１，当点Ｃ′到ＡＢ的距离最小时，连接Ｃ′Ｂ，则ｔａｎ∠Ｃ′ＢＡ的值为　▲　． 三、解答题（本大题共８小题，共７２分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） １９．（本题满分６分）计算：－１２０２４－（１－５）÷２×１２． ２０．（本题满分６分）解不等式组： ｘ－３（ｘ－２）≥４①， ２ｘ－１ ５ ＜ ｘ＋１ ２ ②{ ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　乾卷·广西数学　第１页（共４页）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　乾卷·广西数学　第２页（共４页） ２１．（本题满分１０分）如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＥ⊥ＢＤ于点Ｅ． （１）尺规作图：在边ＢＣ上截取ＢＧ＝ＡＤ，过点Ｇ作对角线ＢＤ的垂线，交ＢＤ于点Ｆ；（要求：保留作图痕 迹，不写作法，标明字母） （２）连接ＤＧ，求证：△ＡＥＢ≌△ＧＦＤ． （第２１题图） ２２．（本题满分１０分）“共享单车”被称为中国的“新四大发明”之一，解决了城市交通“最后一公里”的难 题．为了解甲、乙两款共享单车的使用效果，从甲、乙两款共享单车使用者中各随机抽取２０名，记录使 用者对两款共享单车的相关评价，并将数据进行整理、描述和分析如图表： 　使用者对甲、乙两款共享单车综合评分　　　　　使用者对两款共享单车灵敏度评分 　　　　　　条形统计图　　　　　　　　　　　　　　　　折线统计图 　 　 （第２２题图） 共享 单车 综合评分 灵敏度评分 平均数中位数 众数 平均数 方差 甲 ７．３ ７ ａ ５．７５ ｓ２甲 乙 ７．６５ ｂ ７ ｃ ｓ２乙 根据以上信息，解答下列问题： （１）表格中ａ＝　▲　，ｂ＝　▲　，ｃ＝　▲　； （２）若某市共有１５．４万人使用过乙款共享单车，请你估计对乙款共享单车灵敏度打分超过７分的 人数； （３）某市欲从以上两款共享单车中选择其中一款引进一批，请结合表中的统计量，给出你的建议，并说 明理由（列出一条即可）． ２３．（本题满分１０分）螺蛳粉入选国家级非物质文化遗产名录．为满足广大消费者需求，某超市对一款成 本价为每箱５０元的螺蛳粉进行销售，如果按每箱７０元销售，每天可卖出２０箱．通过市场调查发现，每 箱螺蛳粉售价每降低１元，则日销售量增加２箱． （１）若日利润为４４２元，则当天每箱螺蛳粉售价为多少元？ （２）当每箱螺蛳粉售价定为多少元时，超市可以获得最大日利润？并求出最大日利润． ２４．（本题满分１０分）【综合与实践】在研学活动中，学员们分成两个小组分别测量两个建筑物的高度，第 一组测量的是某栋大楼的高度（如图１），第二组测量的是水上摩天轮的高度（如图３），具体测量的方 案如下： 【工具准备】卷尺、测倾仪（测仰角用）． 【数据收集】说明：图２、图４为测量过程中的平面图． 第一组：如图２，ＡＢ⊥ＢＣ，ＤＥ⊥ＢＣ，标杆ＤＥ＝３ｍ，ＣＤ＝４ｍ，ＢＤ＝１６ｍ． 第二组：如图４，点Ｆ是摩天轮与水平地面的接触点（即切点），在摩天轮旁有一斜坡，在坡底点Ｋ处和 坡顶点Ｍ处分别测得摩天轮的最大仰角为５４°和２０°，且斜坡长为１５ｍ，坡高为９ｍ． 【数据处理】请你协助研学学员完成以下任务： （１）求第一组测量的大楼ＡＢ的高度； （２）结合图４，将第二组所测数据用数学符号表示为： ⊙Ｏ分别与ＦＬ，ＧＫ，ＨＭ　▲　（填“相离”“相切”或“相交”）于点Ｆ，Ｇ，Ｈ，ＭＮ∥ＦＬ，∠ＦＫＧ＝５４°， ∠ＮＭＨ＝２０°，ＯＦ⊥ＦＬ，ＭＬ⊥ＦＬ，ＫＭ＝１５ｍ，ＭＬ＝９ｍ； （３）求第二组测量的摩天轮的高度．（最后结果保留整数） （参考数据：ｔａｎ２０°≈０．３６，ｃｏｓ２０°≈０．９４，ｔａｎ２７°≈０．５１，ｔａｎ１０°≈０．１８） （图１） 　　 （图２） 　　 （图３） 　　 （图４） （第２４题图） ２５．（本题满分１０分）已知二次函数ｙ＝ａ（ｘ＋１）２－２的图象与ｙ轴交于点（０，－１），点Ｐ（ｍ，ｎ）在该二次 函数的图象上． （１）求该二次函数的解析式； （２）若ｗ＝４ｍ－ｎ，则当ｍ为何值时，ｗ有最大值，最大值是多少； （３）若点Ｑ（ｍ＋２，ｄ）也在该二次函数的图象上，当ｍ≤ｘ≤ｍ＋２时，二次函数的最大值比最小值大２， 请直接写出ｍ的值． ２６．（本题满分１０分）【认识图形】 在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＤＡＢ＝９０°，以点 Ａ为中心，把△ＡＢＣ顺时针旋转９０°得到 △ＡＤＥ，点Ｍ为ＣＤ的中点，连接ＡＭ，ＢＥ，ＡＭ与ＢＥ交于点Ｆ． 【理解应用】 （１）如图１，当ＡＢ＝ＢＣ时，判断四边形ＡＢＣＤ的形状并证明； （２）在（１）的条件下，猜想ＡＭ与ＢＥ的关系，并说明理由； 【举一反三】 （３）如图２，当ＡＢ≠ＢＣ时，（２）的结论是否仍然成立，请说明理由． （图１） 　　　　　 （图２） （第２６题图） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　乾卷·广西数学　第３页（共 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（第２１题图） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ２２．（本题满分１０分） ２３．（本题满分１０分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　乾卷·数学答题卡　第２页（共２页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ２４．（本题满分１０分） （第２４题图１） （第２４题图２） （第２４题图３） （第２４题图４） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 　　 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ２５．（本题满分１０分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 　　 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ２６．（本题满分１０分） （第２６题图１） （第２６题图２） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 乾卷参考答案及重难题解析·广西数学 数 学 数学 快速对答案 一、选择题（共１２小题，每小题３分，共３６分） １．Ａ　２．Ａ　３．Ｃ　４．Ｂ　５．Ｃ　６．Ｂ　７．Ａ　８．Ｃ　９．Ａ　１０．Ａ　１１．Ｄ　１２．Ｂ 二、填空题（共６小题，每小题２分，共１２分） １３．－２　１４．ｘ≥１　１５．４０°　１６．８７　１７．２．６　１８．１３ 三、解答题（共８小题，共７２分） １９．（６分）原式＝０ ２０．（６分）－７＜ｘ≤１ ２１．（１０分）（１）作图略；（２）证明略 ２２．（１０分）（１）９，７．５，４．９５； （２）估计对乙款共享单车灵敏度打分超过７分的人数为２．３１万；（３）选择甲款共享单车，理由略 ２３．（１０分）（１）若日利润为４４２元，则当天每箱螺蛳粉售价为６３元或６７元；（２）当每箱螺蛳粉售价定为６５元时，超市可以获 得最大日利润，最大日利润为４５０元 ２４．（１０分）（１）第一组测量的大楼ＡＢ的高度为１５ｍ；（２）相切；（３）第二组测量的摩天轮的高度约为２１ｍ ２５．（１０分）（１）ｙ＝（ｘ＋１）２－２；（２）当ｍ＝１时，ｗ有最大值，最大值为２；（３）ｍ的值为 槡－２－１或槡２－３ ２６．（１０分）（１）四边形ＡＢＣＤ为正方形；证明略；（２）猜想为ＢＥ＝２ＡＭ，ＡＭ⊥ＢＥ；理由略；（３）仍然成立，理由略 详解详析 １．Ａ　２．Ａ　３．Ｃ　４．Ｂ　５．Ｃ　６．Ｂ　７．Ａ　８．Ｃ　９．Ａ　 １０．Ａ　１１．Ｄ １２．Ｂ　【解析】∵动点Ｐ从点 Ａ出发，以２ｃｍ／ｓ的速度沿 Ａ→ Ｃ→Ｂ运动，∴点 Ｐ走过的路程为２ｘｃｍ，∵△ＡＢＣ为等边 三角形，∴∠Ａ＝∠Ｂ＝６０°，∴在点 Ｐ从 Ａ→Ｃ的过程中， ＡＤ＝ｘｃｍ，ＰＤ＝　槡３ｘｃｍ，∴ｙ＝ １ ２ＡＤ·ＰＤ＝ １ ２ｘ· 　 槡３ｘ＝ 　 槡３ ２ ｘ２（０≤ｘ≤２）；同理，在点 Ｐ从 Ｃ→Ｂ的过程中，ＢＤ＝ １ ２ （８－２ｘ）＝４－ｘ（ｃｍ），ＰＤ＝　槡３（４－ｘ）ｃｍ，∴ＡＤ＝ＡＢ－ＢＤ ＝４－（４－ｘ）＝ｘｃｍ，∴ｙ＝１２ＡＤ·ＰＤ＝ １ ２ｘ·槡３（４－ｘ）＝ － 　 槡３ ２ｘ ２＋２　槡３ｘ（２＜ｘ≤４），故选Ｂ． 　方 法 指 导 分析判断函数图象题中的要点 （１）确定横轴和纵轴表示的意义； （２）找特殊点，起点、终点、转折点、交点，理解此刻的状态 或变化； （３）分析每一段运动过程的变化规律与图象上升、下降的 变化趋势，排除部分选项； （４）注意是否需要分类、分段讨论．注意分类讨论时自变量 的取值范围． １３．－２　１４．ｘ≥１　１５．４０°　１６．８７ １７．２．６　【解析】∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴ＡＤ⊥ＢＣ，ＡＤ为 △ＡＢＣ的中线，∴Ｓ△ＡＢＣ＝２Ｓ△ＡＢＤ＝２× １ ２ＡＢ·ＤＥ＝１．３ＡＢ， ∵Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＣ·ＢＦ，∴ １ ２ＡＣ·ＢＦ＝１．３ＡＢ，∵ＡＣ＝ＡＢ，∴ １ ２ＢＦ＝１．３，∴ＢＦ＝２．６ｃｍ． １８．１３　【解析】∵∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝３，ＡＢ＝５，∴ＢＣ＝４，∵ＣＰ＝ １，∴ＢＰ＝３，如解图，过点 Ｐ作 ＰＭ⊥ＡＢ于点 Ｍ，∴∠Ｃ＝ ∠ＰＭＢ＝９０°，∵∠ＡＢＣ＝∠ＰＢＭ，∴△ＰＭＢ∽△ＡＣＢ，∴ＰＭＡＣ ＝ＰＢＡＢ＝ ＭＢ ＣＢ，∴ ＰＭ ３＝ ３ ５＝ ＭＢ ４，∴ＰＭ＝ ９ ５，ＭＢ＝ １２ ５，∵ＰＣ＝ ＰＣ′＝１，由旋转可知，点Ｃ′在以 Ｐ为圆心，１为半径的圆上 运动，∴当点Ｃ′落在ＰＭ上时，点 Ｃ′到 ＡＢ的距离最小，此 时Ｃ′Ｍ＝９５－１＝ ４ ５，∴ｔａｎ∠Ｃ′ＢＡ＝ Ｃ′Ｍ ＢＭ＝ １ ３． 第１８题解图 １９．解：原式＝－１－（－４）×１２× １ ２ ３分!!!!!!!! ＝－１＋１ ５分 !!!!!!!!!!!!!!! ＝０． ６分 !!!!!!!!!!!!!!!!! ２０．解：解不等式①，得ｘ≤１， ２分!!!!!!!!!!!! 解不等式②，得ｘ＞－７， ４分!!!!!!!!!!!! ∴不等式组的解集为－７＜ｘ≤１． ６分                                        !!!!!!!! ８ 乾卷参考答案及重难题解析·广西数学 数 学 ２１．（１）解：如解图，即为所求； 第２１题解图 ５分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）证明：∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＧ＝ＡＤ， ∴四边形ＡＢＧＤ是平行四边形， ∴ＡＢ∥ＧＤ，ＡＢ＝ＧＤ， ∴∠ＡＢＥ＝∠ＧＤＦ， ６分!!!!!!!!!!!!!! ∵ＡＥ⊥ＢＤ，ＧＦ⊥ＢＤ， ∴∠ＡＥＢ＝∠ＧＦＤ＝９０°， ８分!!!!!!!!!!!! 在△ＡＥＢ和△ＧＦＤ中， ∠ＡＥＢ＝∠ＧＦＤ， ∠ＡＢＥ＝∠ＧＤＦ， ＡＢ＝ＧＤ { ， ∴△ＡＥＢ≌△ＧＦＤ（ＡＡＳ）． １０分!!!!!!!!!!! 　 方 法 指 导 全等三角形判定方法 已知 条件 三边分 别相等 两边及其 夹角分别 相等 两角及其 夹边分别 相等 两角及其 中一角的 对边分别 相等 直角三角 形中斜边 和一条直 角边分别 相等 图示 判定 方法 ＳＳＳ ＳＡＳ ＡＳＡ ＡＡＳ ＨＬ ２２．解：（１）９，７．５，４．９５； ６分 !!!!!!!!!!!!!! （２）１５．４×３２０＝２．３１（万）， ７分!!!!!!!!!!! 答：估计对乙款共享单车灵敏度打分超过 ７分的人数为 ２．３１万； ８分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!! （３）从灵敏度评分中平均数角度看，５．７５＞４．９５，甲款共享 单车的灵敏度的平均水平比乙款共享单车的高，所以建议 选择引进甲款共享单车． １０分 !!!!!!!!!!! ２３．解：（１）设每箱螺蛳粉售价降低ｘ元，则销售量增加２ｘ箱， ∴日销售量为（２０＋２ｘ）箱，每箱螺蛳粉利润为（７０－５０－ ｘ）元， 根据题意可知： （２０＋２ｘ）（７０－５０－ｘ）＝４４２， ２分 !!!!!!!!!! 解得ｘ１＝３，ｘ２＝７， ∴售价应定为７０－３＝６７元，或者７０－７＝６３元． 答：若日利润为４４２元，则当天每箱螺蛳粉售价为６３元或 ６７元； ４分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）设每箱螺蛳粉售价降低ｘ元，超市获得的利润为Ｗ元， 由（１）知，Ｗ ＝（２０＋２ｘ）（７０－５０－ｘ） ＝－２ｘ２＋２０ｘ＋４００ ＝－２（ｘ－５）２＋４５０， ６分 !!!!!!!! ∵－２＜０， ∴抛物线开口向下，当 ｘ＝５时，Ｗ有最大值，即 Ｗ最大值 ＝ ４５０， ８分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴售价应定为７０－５＝６５（元）， 答：当每箱螺蛳粉售价定为６５元时，超市可以获得最大日 利润，最大日利润为４５０元． １０分 !!!!!!!!!! ２４．解：（１）∵ＤＥ＝３ｍ，ＣＤ＝４ｍ，ＢＤ＝１６ｍ， ∴ＢＣ＝ＣＤ＋ＤＢ＝２０ｍ， ∵ＡＢ⊥ＢＣ，ＤＥ⊥ＢＣ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＥＤＣ＝９０°， ∵∠Ｃ＝∠Ｃ， ∴△ＥＤＣ∽△ＡＢＣ， ∴ＣＤＢＣ＝ ＤＥ ＡＢ， ２分!!!!!!!!!!!!!!!!! 即 ４ ２０＝ ３ ＡＢ， ∴ＡＢ＝１５ｍ， 答：第一组测量的大楼ＡＢ的高度为１５ｍ； ３分 !!!! （２）相切； ５分 !!!!!!!!!!!!!!!!!! 　 方 法 指 导 直线与圆的位置关系：设⊙Ｏ的半径为 ｒ，圆心到直线 ｌ 的距离为ｄ． 位置 关系 相离 相切 相交 ｄ与ｒ 的关系 ｄ＞ｒ ｄ＝ｒ ｄ＜ｒ 公共点 的个数 ０ １ ２ 示意图 （３）如解图，分别延长ＨＭ，ＦＬ交于点Ｔ，连接ＯＫ，ＯＴ， ６分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第２４题解图 ∵ＭＮ∥ＦＬ，∠ＮＭＨ＝２０°， ∴∠ＦＴＨ＝∠ＮＭＨ＝２０°， ∵ＭＬ⊥ＦＬ，ＫＭ＝１５ｍ，ＭＬ＝９ｍ，ｔａｎ２０°≈０．３６， ∴在Ｒｔ△ＫＬＭ中，ＫＬ＝ ＫＭ２－ＭＬ槡 ２＝１２ｍ， ７分 !!! 在Ｒｔ△ＴＬＭ中，ＬＴ＝ ＭＬｔａｎ２０°≈２５ｍ， ８分                                                                       !!!!!!! ９ 乾卷参考答案及重难题解析·广西数学 数 学 ∵⊙Ｏ分别与 ＦＬ，ＧＫ，ＨＭ相切，∠ＦＫＧ＝５４°，∠ＦＴＨ ＝２０°， ∴∠ＦＫＯ＝１２∠ＦＫＧ＝２７°，∠ＦＴＯ＝ １ ２∠ＦＴＨ＝１０°， 在Ｒｔ△ＯＦＫ中，ＯＦＦＫ＝ｔａｎ２７°≈０．５１， 设ＯＦ＝ｒ，则ＦＫ≈１．９６ｒ， 在Ｒｔ△ＯＦＴ中，ＯＦＦＴ＝ ＯＦ ＦＫ＋ＫＬ＋ＬＴ＝ｔａｎ１０°， 即 ｒ １．９６ｒ＋１２＋２５≈０．１８， 解得ｒ≈１０．３， ９分!!!!!!!!!!!!!!!! ∴２ｒ＝２×１０．３≈２１（ｍ）． 答：第二组测量的摩天轮的高度约为２１ｍ． １０分 !!!! ２５．解：（１）将（０，－１）代入二次函数的解析式得ａ－２＝－１， 解得ａ＝１， ∴该二次函数的解析式为ｙ＝（ｘ＋１）２－２； ３分 !!!! （２）∵点Ｐ（ｍ，ｎ）在该二次函数的图象上， ∴ｎ＝（ｍ＋１）２－２， ∴ｗ＝４ｍ－ｎ ＝４ｍ－［（ｍ＋１）２－２］ ＝－（ｍ＋１）２＋４ｍ＋２ ＝－ｍ２－２ｍ－１＋４ｍ＋２ ＝－ｍ２＋２ｍ＋１ ＝－（ｍ－１）２＋２， ５分 !!!!!!!!!!!!! ∵－１＜０， ∴当ｍ＝１时，ｗ有最大值，最大值为２； ７分 !!!!! （３）ｍ的值为 槡－２－１或槡２－３． １０分!!!!!!!! 【解法提示】由二次函数的解析式ｙ＝（ｘ＋１）２－２可知，其 对称轴是直线ｘ＝－１，最小值是－２． ∵当ｍ≤ｘ≤ｍ＋２时，二次函数的最大值比最小值大２， ∴当ｍ＋２＜－１时，则ｍ＜－３， ｎ为该二次函数的最大值，ｄ为该二次函数的最小值， ∴ｎ－ｄ＝（ｍ＋１）２－２－［（ｍ＋２＋１）２－２］＝－４（ｍ＋２）， 即－４（ｍ＋２）＝２， 解得ｍ＝－５２，不合题意，舍去； 当ｍ≤－１≤ｍ＋２时，则－３≤ｍ≤－１， ∵二次函数的最小值是－２，∴最大值是０， 令ｙ＝（ｘ＋１）２－２＝０，解得ｘ１ 槡＝２－１，ｘ２ 槡＝－２－１， ∴ｍ 槡＝－２－１或ｍ 槡＋２＝２－１， 即ｍ 槡＝－２－１或ｍ 槡＝２－３； 当ｍ＞－１时， 则ｄ为该二次函数的最大值，ｎ为该二次函数的最小值， ∴ｄ－ｎ＝［（ｍ＋２＋１）２－２］－［（ｍ＋１）２－２］＝４（ｍ＋２）， 即４（ｍ＋２）＝２， 解得ｍ＝－３２，不合题意，舍去． 综上可知，ｍ的值为 槡－２－１或槡２－３． ２６．解：（１）四边形ＡＢＣＤ为正方形； １分 !!!!!!!!! 证明：∵∠ＡＢＣ＝∠ＤＡＢ＝９０°， ∴∠ＡＢＣ＋∠ＤＡＢ＝１８０°， ∴ＡＤ∥ＢＣ， ∵ＡＢ＝ＡＤ，ＡＢ＝ＢＣ， ∴ＡＤ＝ＢＣ， ２分 !!!!!!!!!!!!!!!!! ∴四边形ＡＢＣＤ为平行四边形， ∵ＡＢ＝ＡＤ，∠ＤＡＢ＝９０°， ∴四边形ＡＢＣＤ为正方形； ３分 !!!!!!!!!!! （２）猜想为ＢＥ＝２ＡＭ，ＡＭ⊥ＢＥ； ４分!!!!!!!!! 理由如下： 由（１）得四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＤＣ＝ＢＣ＝ＡＤ，∠ＡＤＣ＝∠ＤＣＢ＝９０°， 由旋转性质得ＤＥ＝ＢＣ， ∴ＥＣ＝ＥＤ＋ＤＣ＝２ＡＤ， ∵点Ｍ为ＣＤ的中点， ∴ＤＭ＝ＭＣ＝１２ＤＣ＝ １ ２ＢＣ， ∴ＤＭＢＣ＝ ＡＤ ＣＥ＝ １ ２， ５分!!!!!!!!!!!!!!! ∴△ＡＤＭ∽△ＥＣＢ， ∴∠ＡＭＤ＝∠ＥＢＣ，ＡＭＢＥ＝ １ ２，即ＢＥ＝２ＡＭ， ∵∠ＣＥＢ＋∠ＥＢＣ＝∠ＣＥＢ＋∠ＡＭＤ＝９０°， ∴∠ＥＦＭ＝９０°， 即ＡＭ⊥ＢＥ； ６分!!!!!!!!!!!!!!!!! （３）仍然成立，理由如下： 如解图，分别延长ＢＣ，ＡＭ交于点Ｇ， ７分 !!!!!!! 第２６题解图 由（１）（２）得ＡＤ∥ＢＣ，ＤＭ＝ＭＣ， ∴∠ＭＡＤ＝∠ＭＧＣ， ∵∠ＡＭＤ＝∠ＧＭＣ， ∴△ＡＤＭ≌△ＧＣＭ， ８分!!!!!!!!!!!!!! ∴ＡＭ＝ＭＧ，ＡＤ＝ＣＧ， ∴ＡＧ＝２ＡＭ，ＡＢ＝ＣＧ， ９分 !!!!!!!!!!!!! 由旋转性质得 ＡＥ＝ＡＣ，∠ＡＥＤ＝∠ＡＣＢ，∠ＡＤＥ＝∠ＡＢＣ ＝９０°， ∵∠ＡＤＥ＝∠ＤＡＢ＝９０°， ∴ＡＢ∥ＤＥ， ∴∠ＢＡＥ＋∠ＡＥＤ＝１８０°， ∵∠ＡＣＧ＋∠ＡＣＢ＝１８０°， ∴∠ＢＡＥ＝∠ＡＣＧ， 又∵ＡＢ＝ＣＧ，ＡＥ＝ＡＣ， ∴△ＥＡＢ≌△ＡＣＧ， ∴ＢＥ＝ＡＧ＝２ＡＭ，∠ＡＢＥ＝∠ＣＧＡ， ∵∠ＡＢＥ＋∠ＦＢＧ＝９０°， ∴∠ＣＧＡ＋∠ＦＢＧ＝９０°， ∴∠ＢＦＧ＝９０°，即ＡＭ⊥ＢＥ． １０分                                                                      !!!!!!!!!! ０１