第四章《因式分解》单元复习题（1） -2024—2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版数学八年级下册 第四章《因式分解》 单元复习题（1） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．x（a+b）＝ax+bx B． C．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2 D．x2﹣9+6x＝（x+3）（x﹣3）+6x 2．把多项式12a2b3+8a3b分解因式，应提的公因式是（　　） A．ab B．4ab C．2ab D．4a2b 3．把多项式m2（a﹣3）+m（3﹣a）分解因式等于（　　） A．（a﹣3）（m2+m） B．（a﹣3）（m2﹣m） C．m（a﹣3）（m﹣1） D．m（a﹣3）（m+1） 4．多项式因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若a，b，c是△ABC的三边长，则a2﹣（b﹣c）2的结果（　　） A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不确定 6．分解因式：ax2+by2＝（3x+4y）（3x﹣4y），则a+b的值为（　　） A．7 B．﹣1 C．25 D．﹣7 7．已知x+2y＝5，2y﹣x＝3，则代数式x2﹣4y2+2x﹣4y的值为（　　） A．9 B．﹣12 C．﹣21 D．2 8．若k为任意整数，则（k+1）2﹣（k﹣1）2的值总能（　　） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 9．用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解，正确的是（　　） A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 B．a2+2a+1＝（a+1）2 C．（a+1）2＝a2+2a+1 D．a2﹣1＝（a+1）（a﹣1） 10．对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则的最大值为（　　） A．2 B． C． D．4 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．在括号内填入适当的单项式，使多项式x2﹣y2+x+（　　）能因式分解，则括号内的单项式可以是　 　 ．（填一种即可） 12．若x+2是x2﹣2x+m的一个因式，则常数m的值为 　 　 ． 13．一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3，则m2n+mn2的值为　 　 ． 14．分解因式：（5a﹣b）x2﹣（5a﹣b）y2＝ 　 　 ． 15．已知代数式x﹣2y的值为3，则代数式x2﹣4y2﹣12y的值为　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．分解因式： （1）3x﹣12x2； （2）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）． 17．因式分解： （1）2（a﹣b）2+4（b﹣a）； （2）（2x+1）（3x﹣2）﹣（2x+1）2． 18．分解因式： （1）2a2﹣8a+8； （2）x2（x﹣2）+9（2﹣x）． 19．已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足a4+b4﹣c4＝﹣2a2b2，试判断△ABC的形状，并说明理由． 20．判断498﹣142×712能否被9整除，并说明理由． 21．阅读下列材料：经过研究发现，常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：x2﹣mn+2n﹣2n，细心观察这个多项式就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可以提取公因式，前、后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为n2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题： （1）因式分解：a3﹣3a2+6a﹣18； （2）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2． 22．阅读材料，解答后面的问题． 分解因式（x2+3x﹣3）（x2+3x+4）﹣8． 观察代数式：代数式中有两部分都包含x2+3x，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：设t＝x2+3x．进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为（t﹣3）（t+4）﹣8，得到t2+t﹣20． 因式分解简化后的代数式：对t2+t﹣20进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：t2＝t•t，﹣20＝（+5）×（﹣4） ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式，得到（t+5）（t﹣4） 还原变量：将t还原x2+3x，得到（x2+3x+5）（x2+3x﹣4） 进一步分解，得到（x2+3x+5）（x+4）（x﹣1） 上述这种因式分解的方法称为“换元法”． （1）分解因式（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12时，设y＝x2+x，则原代数式化为 　 　 ； （2）模仿上述方法分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12． 23．已知：整式A＝2t+4，B＝2t﹣4，t为任意有理数． （1）A•B+18的值可能为负数吗？请说明理由； （2）请通过计算说明：当t是整数时，A2﹣B2的值一定能被32整除． 24．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值等问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式： x2+4x﹣5 ＝x2+4x+4﹣4﹣5 ＝（x+2）2﹣9 ＝（y+2+3）（x+2﹣3） ＝（x+5）（x﹣1）． ②求a2﹣6a+8的最小值． a2﹣6a+8＝（a﹣3）2﹣1． ∵（a﹣3）2≥0， ∴（a﹣3）2﹣1≥﹣1， 即a2﹣6a+8的最小值为﹣1． 【解决问题】请根据上述材料，解答下列问题． （1）用配方法分解因式：y2﹣2y﹣15． （2）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2）． ①用含有t的代数式表示S． ②当t为何值时，S的值最大，最大值是多少？ 25．在学习第八章“整式乘法与因式分解”这一章内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：　 　 ； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）在直角△ABC中，∠C＝90°，三边分别为a、b、c，a+b＝7，ab＝12，直接写出c的值为 　 　 ． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C D A D C A B B 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．﹣y． 12．﹣8． 13．12． 14．（5a﹣b）（x+y）（x﹣y）． 15．9． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）原式＝3x（1﹣4x）； （2）原式＝n2（m﹣2）+n（m﹣2） ＝n（m﹣2）（n+1）． 17．解：（1）2（a﹣b）2+4（b﹣a） ＝2（a﹣b）2﹣4（a﹣b） ＝2（a﹣b）（a﹣b﹣2）； （2）（2x+1）（3x﹣2）﹣（2x+1）2 ＝（2x+1）（3x﹣2﹣2x﹣1） ＝（2x+1）（x﹣3）． 18．解：（1）原式＝2（a2﹣4a+4） ＝2（a﹣2）2； （2）原式＝x2（x﹣2）﹣9（x﹣2） ＝（x﹣2）（x2﹣9） ＝（x﹣2）（x+3）（x﹣3）． 19．解：△ABC 是直角三角形；理由如下： 将a4+b4﹣c4＝﹣2a2b2变形整理得， a4+b4+2a2b2＝c4， ∴（a2+b2）2＝（c2）2， ∵a2+b2＞0，c2＞0， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC 是直角三角形． 20．解：498﹣142×712能被9整除，理由如下： 498﹣142×712 ＝（72）8﹣（2×7）2×712 ＝72×714﹣4×714 ＝45×714 ＝5×9×714， ∴498﹣142×712能被9整除． 21．解：（1）a3﹣3a2+6a﹣18 ＝a2（a﹣3）+6（a﹣3） ＝（a2+6）（a﹣3）； （2）ax+a2﹣2ab﹣bx+b2． ＝（a2﹣2ab+b2）+（ax﹣bx） ＝（a﹣b）2+（a﹣b）x ＝（a﹣b）（a﹣b+x） 22．解：（1）设y＝x2+x， ∴（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12 ＝（y+1）（y+2）﹣12 ＝y2+2y+y+2﹣12 ＝y2+3y﹣10 故答案为：y2+3y﹣10； （2）设y＝x2+x， ∴（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12 ＝（y+1）（y+2）﹣12 ＝y2+2y+y+2﹣12 ＝y2+3y﹣10 ＝（y+5）（y﹣2） ＝（x2+x+5）（x2+x﹣2） ＝（x2+x+5）（x+2）（x﹣1）． 23．解：（1）因为A＝2t+4，B＝2t﹣4， 所以：A•B+18 ＝（2t+4）（2t﹣4）+18 ＝4t2﹣16+18 ＝4t2+2， 因为t为任意有理数， 所以t2≥0， 所以4t2+2≥2， 即A•B+18≥2， 所以A•B+18的值不可能为负数． （2）因为A＝2t+4，B＝2t﹣4， 所以A2﹣B2 ＝（2t+4）2﹣（2t﹣4）2 ＝4t2+16t+16﹣（4t2﹣16t+16） ＝32t， 当t是整数时，32t能被32整除， 即A2﹣B2一定能被32整除． 24．解：（1）原式＝y2﹣2y+1﹣15﹣1 ＝（y﹣1）2﹣16 ＝（y﹣1+4）（y﹣1﹣4） ＝（y+3）（y﹣5）； （2）①∵BC＝8，AB＝6， ∴8÷2＝4＜6÷1＝6， ∴0＜t≤4， 由题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm， ∴BP＝（6﹣t）cm， ∵∠ABC＝90°， ∴△BPQ的面积为；． ②由①知S＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9（0＜t≤4）， ∵﹣（t﹣3）2≤0， ∴当t＝3时，S的值最大，最大值是9． 25．解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （2）方法一： （a+b）×（a+b）÷2 ＝（a+b）2÷2 ， 方法二： ， 发现： ， ， 即a2+b2＝c2； （3）因为在直角△ABC中，∠C＝90°， 所以a2+b2＝c2， 因为a+b＝7，ab＝12，且a＞0，b＞0，c＞0， 所以a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝72﹣2×12 ＝25， 即c2＝25， c＝5． 故答案为：5． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$