精品解析：2025届河南省信阳市罗山县高级中学、第二高级中学高三二模联考数学试题

2025届罗山县高级中学、第二高级中学二模联考 高三数学试题卷 注意事项: 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷(选择题，共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知复数是实数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则计算得到，再根据实数的定义求解即可. 【详解】 因为是实数， 所以，即. 故选：D. 2. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，，结合重要不等式、基本不等式判断各项的正误即可. 【详解】由题设，，所以，故A错； 且，而，故B对； ，故C错； ， 设，则，则在上递增， 所以，故D错. 故选：B. 3. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 平均数为2，方差为2.4 C. 中位数为3，众数为2 D. 中位数为3，方差为2.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案． 【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误； 对于B，若平均数为2，且出现6点，则方差， 则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故B正确； 对于C，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故C错误； 对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为， 方差为， 可以出现点数6，故D错误； 故选：B． 4. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分焦点在轴或轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数，再求椭圆的焦距. 【详解】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 所以该椭圆的焦距为或. 故选：D 5. 设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式求解. 【详解】由得，， 由题意可知直线的斜率存在，故设其方程为， 联立与可得， 设，则，故， 因此，当且仅当时取等号， 故选：C 6. 甲乙丙丁四名同学去听同时举行的三个讲座，每名同学可自由选择听其中的一个讲座，则甲乙二人正好听的同一讲座而丙丁听的不同讲座的情况为（ ）种 A. 6 B. 10 C. 18 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】先安排甲乙，再安排丙丁，根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】解：先安排甲乙共有,再安排丙丁共有, 所以根据分步乘法计数原理得总共有（种）， 故选:C. 7. 已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列、等比数列的性质，利用二次函数及均值不等式可得解. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 因为为等比数列，所以， 而， 所以，故A对C错； 因为，而可同为正数也可同为负数， 当时，，当时， 所以，大小不确定，故BD错误. 故选：A 8. 设，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察4个数易得均与0.1有关，故考虑，，，在时的大小关系，故利用作差法，分别构造相减的函数判断单调性以及与0的大小关系即可. 【详解】设，，，，易得. 设，则令有，故在上单调递增. ①因为，即，故，即，故，即. ②设，则，设，则. 设，则，故为增函数，故，即. 故，当时， 为增函数，故，故当时为增函数，故，故. ③设，，易得当时，故，即. 综上 故选：B 【点睛】本题主要考查了构造函数求导根据单调性分析函数大小的问题，需要根据题中所给的信息判断出需要构造的函数，再求导适当放缩分析函数的单调性，进而得出函数值的大小即可.属于难题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且，则（ ） A. ，，成等比数列 B. C. ，，成等差数列 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正弦定理角化边化简已知，并结合等比数列的定义可判断A；由正弦定理的边角转化与三角形角度关系即可判断B；假设，，成等差数列，得，结合余弦定理可判断C；由边之间的关系确定三边长度，再利用平方关系求，利用面积公式可得三角形面积，即可判断D. 【详解】，由正弦定理可得，且，则，，成等比数列，故正确； 将，利用正弦定理化简得：，即， ，利用正弦定理化简得：，，， ，故B错误； 若，，成等差数列，则，且，可得， 则由余弦定理可得，故C错误； 若，可得，，则，由，可得，所以，故D正确. 故选：AD. 10. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为.则（ ） 参考公式：样本划分为层，各层的容量､平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A. B. 估计该年级学生成绩的中位数约为 C. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为 D. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，列等式求出实数的值，可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用总体平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 则，解得，A错； 对于B选项，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 设计该年级学生成绩的中位数为，则， 根据中位数的定义可得，解得， 所以，估计该年级学生成绩的中位数约为，B对； 对于C选项，估计成绩在分以上的同学的成绩的平均数为 分，C对； 对于D选项，估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为 ，D对. 故选：BCD. 11. 已知函数 的定义域和值域均为 ，对于任意非零实数 ，函数 满足: ，且 在 上单调递减， ，则下列结 论正确的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 在定义域内单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】利用对恒等式赋值来得到的值，通过赋值得到递推关系求等比数列的和，通过赋值可得到奇函数恒等式，由于定义域是有断点，所以不能确定在定义域内是否单调. 【详解】对于A ，令，则，因，故，故 A 正确; 对于B ，由 ，令，则， 则，即，故是以 为首项，2 为公比的等比数列， 于是 ，故 B 错误; 对于C，由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则 (1)， 在 中，将 都取成， 可得: (2)， 将(2)式代入(1)式，可得， 化简可得 ，即 为奇函数，故 C正确. 对于D，在上单调递减，函数为奇函数，可得在 上单调递减， 但是不能判断在定义域上的单调性，例如 ，故 错误. 故选：AC. 第II卷(非选择题，共92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a的值为_____. 【答案】6 【解析】 【分析】确定极差，求出第30百分位数的表达式，结合题意列式求解，即得答案. 【详解】由题意知这组数据的极差是， 由于，故第30百分位数为， 故， 故答案为：6 13. 已知等差数列的前项和为是等比数列，若，且，则的最小值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列分析可知，进而可得，再结合等比数列性质可得，即可得结果. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可知， 且，则，即， 所以； 又因为是等比数列，且，则， 显然，可得， 则，所以最小值为5. 故答案为：5. 14. 在空间直角坐标系下，由方程所表示的曲面叫做椭球面（或称椭圆面）.如果用坐标平面分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个截面的方程分别为，，上述三个椭圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）.已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆与点，则这个椭球面的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】采用待定系数法，结合已知定义可设，代入点坐标即可结果. 【详解】设椭球面的方程为：， 椭球面过点，，解得：， 椭球面的方程为：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查与椭圆有关的新定义问题的求解，解题关键是能够充分理解椭球面方程与截面方程之间的关系，进而采用待定系数法来进行求解. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，. （1）若，，求的大小； （2）若求四边形ABCD面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理可得，由等腰三角形可得，然后在中利用正弦定理即可求解； （2）利用勾股定理求得，然后四边形面积分成即可求解. 【小问1详解】 在中，，，所以， 由余弦定理可得，，即， 又，所以， 在中，由正弦定理可得，得， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 在中，，所以， 所以，四边形ABCD的面积 ， 当时，，即四边形ABCD面积的最大值为. 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，，过的平面与分别交于点. （1）证明：四边形为平行四边形； （2）若，则当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？ 【答案】（1） 因为平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面，所以. 因为平面平面，平面平面，平面平面，所以， 所以四边形为平行四边形. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理证明线线平行，即可得证； （2）取的中点，利用面面垂直的性质定理证明，然后建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后代入线面角的向量公式，利用二次函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 由及，得为等边三角形，所以. 又平面平面，平面平面平面， 所以平面. 又平面，所以，由及， 得为等腰直角三角形，所以. 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向， 建立如图的空间直角坐标系， 则，， 所以， 设，则， 设平面的法向量为， 则，即，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则， 所以当，即为的中点时，， 故当时，直线与平面所成角的正弦值最大. 17. 某手机App为了答谢新老用户，设置了开心大转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制： 每次抽奖中奖的概率为p，n次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖．每次中奖时有的概率中积分奖，有的概率中现金奖．若某一次中奖为积分奖，则下一次抽奖必定中现金奖，抽到现金奖后抽奖结束． （1）若，，试求直到第3次才抽到现金奖的概率； （2）若，，X表示抽到现金奖时的抽取次数． （ⅰ）求X的分布列（用p表示即可）； （ⅱ）求X的数学期望．（，结果四舍五入精确到个位数） 【答案】（1） （2）（ⅰ）X的分布列为 X 1 2 … i … 20 21 P … … （ⅱ）19【解析】 【分析】（1）先设抽到现金奖时共抽取了3次为事件A，事件A包括两种情况，分别算出概率即可. （2）X的可能取值为1，2，3，…，19，20，21，由（1）可得，3，…，19的概率，因为19次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖，所以求的概率时，可以包括前18次没中第19次中了积分奖第20次一定中现金奖或前19次没中奖第20次中现金奖两种情况，分别写出概率列出分布列求期望即可. 【小问1详解】 设抽到现金奖时共抽取了3次为事件A， 则事件A包括第一次未中奖第二次未中奖第三次中了现金奖或第一次未中奖第二次中了积分奖第三次中现金奖， 其中中了积分奖的概率为， 则， 所以直到第3次才抽到现金奖的概率为． 【小问2详解】 （ⅰ）X的可能取值为1，2，3，…，19，20，21． ， ，，3，…，19， ， ， 所以X的分布列为 X 1 2 … i … 20 21 P … … 其中，3，…，19． （ⅱ） ， 令， 则， 作差得， 则， 所以， ， ， ， 代入，因为，所以得， 所以X的数学期望约为19. 18. 已知双曲线，直线与双曲线交于两个不同的点A，B，直线与直线交于点. （1）求证：点是线段AB的中点； （2）若点A，B两点分别在双曲线两支上，求的面积的最小值(其中是坐标原点). 【答案】（1）证明：设， 联立，消去得， 由于直线与双曲线交于两个不同的点，所以， ， 得，且 于是， 即线段的中点为， 联立与，得， 即点，因此点是线段AB的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）联立方程组双曲线与直线，利用韦达定理求中点坐标，再求直线与直线交于点，即可证明； （2）根据弦长公式和三角形面积公式，结合函数性质求最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若点两点分别在双曲线两支上， ，所以， ， 点到直线的距离， 的面积 ， 令，所以， 令，则, 因为，由，得， 由，得，由， 得， 即当时，的面积的最小值为. 【点睛】 方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知定点，轴于点H，F是直线OA上任意一点，轴于点D，于点E，OE与FD相交于点G． （1）求点G的轨迹方程C； （2）过的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为和，证明：为定值； （3）在直线上任取一点，过点B分别作曲线C：的两条切线，切点分别为M和N，设的面积为S，求S的最小值. 【答案】（1） （2） 设，过的直线为 与联立得，则， 又，同理， 故； （3）4 【解析】 【分析】（1）设，进而得,由三点共线得点G的轨迹方程； （2）设过的直线为与抛物线联立，化简同理得，将韦达定理代入化简得为定值； （3）设，写出直线，的方程，点在直线上则得，，即可推出直线过定点，联立抛物线的方程与直线的方程，结合韦达定理可得，，再计算的面积，即可得出答案． 【小问1详解】 设，易知直线，则，因为三点共线， 则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，因为，所以， 所以处切线方程为方程为：，处切线方程为：， 整理得，和， 代入上述方程，得，，因此直线的方程为， 由，整理得， 易知，所以，， 所以 ， 点到直线的距离为， ， 当且仅当时，取得最小值4． 【点睛】关键点点睛:本题考查直线与抛物线位置关系，关键是利用导数求得切线方程，进而确定直线MN的方程并与抛物线联立求得面积表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届罗山县高级中学、第二高级中学二模联考 高三数学试题卷 注意事项: 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷(选择题，共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知复数是实数，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 平均数为2，方差为2.4 C. 中位数为3，众数为2 D. 中位数为3，方差为2.8 4. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 甲乙丙丁四名同学去听同时举行的三个讲座，每名同学可自由选择听其中的一个讲座，则甲乙二人正好听的同一讲座而丙丁听的不同讲座的情况为（ ）种 A. 6 B. 10 C. 18 D. 36 7. 已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，且，则（ ） A. ，，成等比数列 B. C. ，，成等差数列 D. 若，则 10. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为.则（ ） 参考公式：样本划分为层，各层的容量､平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A. B. 估计该年级学生成绩的中位数约为 C. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为 D. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为 11. 已知函数 的定义域和值域均为 ，对于任意非零实数 ，函数 满足: ，且 在 上单调递减， ，则下列结 论正确的是（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 在定义域内单调递减 第II卷(非选择题，共92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a的值为_____. 13. 已知等差数列的前项和为是等比数列，若，且，则的最小值为__________. 14. 在空间直角坐标系下，由方程所表示的曲面叫做椭球面（或称椭圆面）.如果用坐标平面分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个截面的方程分别为，，上述三个椭圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）.已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆与点，则这个椭球面的方程为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，. （1）若，，求的大小； （2）若求四边形ABCD面积的最大值. 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，，过的平面与分别交于点. （1）证明：四边形为平行四边形； （2）若，则当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？ 17. 某手机App为了答谢新老用户，设置了开心大转盘抽奖游戏，制定了如下中奖机制： 每次抽奖中奖的概率为p，n次抽奖仍未中奖则下一次抽奖时一定中奖．每次中奖时有的概率中积分奖，有的概率中现金奖．若某一次中奖为积分奖，则下一次抽奖必定中现金奖，抽到现金奖后抽奖结束． （1）若，，试求直到第3次才抽到现金奖的概率； （2）若，，X表示抽到现金奖时的抽取次数． （ⅰ）求X的分布列（用p表示即可）； （ⅱ）求X的数学期望．（，结果四舍五入精确到个位数） 18. 已知双曲线，直线与双曲线交于两个不同的点A，B，直线与直线交于点. （1）求证：点是线段AB的中点； （2）若点A，B两点分别在双曲线两支上，求的面积的最小值(其中是坐标原点). 19. 已知定点，轴于点H，F是直线OA上任意一点，轴于点D，于点E，OE与FD相交于点G． （1）求点G的轨迹方程C； （2）过的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率分别为和，证明：为定值； （3）在直线上任取一点，过点B分别作曲线C：的两条切线，切点分别为M和N，设的面积为S，求S的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $