2024年辽宁省初中毕业生水平考试乾卷·数学-【一战成名新中考·乾坤卷】2024辽宁中考原创压轴卷（全学科）

书 乾卷·辽宁数学　第１页（共８页） 乾卷·辽宁数学　第２页（共８页） ２０２４年辽宁省初中学业水平考试 乾卷·数学 （本试卷共２３道题　满分１２０分　考试时间１２０分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分　选择题（共３０分） 一、选择题（本题共１０小题，每小题３分，共３０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） １．去年１２月的某天，沈阳、大连、丹东、哈尔滨这四个城市的最低气温分别是－１２℃，３℃，０℃， －１８℃，其中气温最低的城市是 （　　） Ａ．大连　　　　　　　Ｂ．丹东　　　　　　　Ｃ．沈阳　　　　　　　Ｄ．哈尔滨 ２．如图是由６个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图为 （　　） 第２题图 　　 ３．大连市２０２４年清明小长假期间，来星海湾广场的游客高达８０９０００人次，８０９０００用科学记数法 表示为 （　　） Ａ．８０９×１０３ Ｂ．８．０９×１０６ Ｃ．８．０９×１０５ Ｄ．０．８０９×１０６ ４．今年五一前，某校举办春季趣味运动会，老师要求同学们为运动会设计班徽，班徽要按照轴对称 的形式设计，下列是同学们设计好的班徽，最符合老师要求的是 （　　） ５．下列计算正确的是 （　　） Ａ．ａ５×ａ３＝ａ１５ Ｂ．ａ６÷ａ３＝ａ２ Ｃ．（－ａ２ｂ３）４＝ａ８ｂ１２ Ｄ．（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋ｂ２ ６．若ｘ＝２是方程ｘ２－５ｘ＋ｍ＝０的一个解，则ｍ的值为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．６ ７．为参加体育中考测试，某校体育室里备有篮球和足球若干（具体数量如下表），如果小明和小红 随机拿走一个球（每一个球被拿走的可能性是一样的），那么他们同时拿走的球都是篮球的概 率是 （　　） 球类 篮球 足球 数量 ３个 ２个 Ａ．１１０ Ｂ． ３ １０ Ｃ． ３ ５ Ｄ． １ ５ ８．电影《草木人间》于４月３日上映，首周累计总票房约３．５亿元，第三周累计总票房约６．８亿元． 若每周累计总票房的增长率相同，设增长率为ｘ，根据题意可列方程为 （　　） Ａ．３．５ｘ２＝６．８ Ｂ．３．５（１＋ｘ）＝６．８ Ｃ．３．５（１＋ｘ）２＝６．８ Ｄ．３．５（１－ｘ）２＝６．８ ９．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，ＢＥ⊥ＡＣ，若ＢＤ＝３ＣＤ，Ｓ△ＢＣＥ∶Ｓ△ＡＣＤ＝９∶４，则ＡＥ∶ＣＥ的值是 （　　） Ａ．４∶５ Ｂ．５∶４ Ｃ．７∶９ Ｄ．９∶７ 第９题图 　　　　 第１０题图 　　　　 第１３题图 １０．如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为２，点Ｅ，Ｆ分别是ＤＣ，ＣＢ的中点，点Ｐ从点Ｂ处出发，沿着Ｂ→Ｆ →Ｅ→Ｄ的路径匀速运动，设点Ｐ经过的路径长为ｘ，△ＡＰＥ的面积为ｙ，则下列图象能大致反 映ｙ与ｘ的函数关系的是 （　　） 第二部分　非选择题（共９０分） 二、填空题（本题共５小题，每小题３分，共１５分） １１．因式分解：８ａ２－２＝　　　　． １２．不等式５ｘ＋１＞３（ｘ－１）的解集为　　　　． １３．如图，在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，ＣＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，点Ｆ，Ｇ分别是ＢＣ，ＯＥ的中点， 连接ＦＧ，则ＦＧＢＤ的值是　　　　． 乾卷·辽宁数学　第３页（共８页） 乾卷·辽宁数学　第４页（共８页） １４．抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的对称轴是直线ｘ＝－１，且过点（１，０），顶点位于第二象限，其部 分图象如图所示，给出以下结论：①ａｂ＞０且ｃ＜０；②４ａ－２ｂ＋ｃ＞０；③８ａ＋ｃ＞０；④直线ｙ＝２ｘ ＋２与抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ两个交点的横坐标分别为ｘ１，ｘ２，则ｘ１＋ｘ２＋ｘ１ｘ２＝－５．其中结论 正确的是 　　　　． 第１４题图 　　　　　　　　　 第１５题图 １５．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ＝２，∠Ｂ＝９０°，点Ｄ是ＢＣ的中点，Ｅ为ＡＣ边上一点，将线段ＤＥ 绕点Ｅ逆时针旋转９０°，得到线段ＥＦ，连接ＣＦ，若ＣＦ＝１２，则ＣＥ的长是　　　　． 三、解答题（本题共８小题，共７５分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） １６．（每题５分，共１０分） （１）计算： 槡｜－２｜＋（－ １ ３） －１ 槡 槡－ １２÷３＋（π－２０２４） ０； （２）解方程：ｘｘ－１＝ ３ ２ｘ－２－２． １７．（本小题８分） 某团队准备给成员网购若干帽子和手套，网店的组合报价为购买１顶帽子和２双手套共需２１０ 元；购买２顶帽子和３双手套共需３４０元． （１）求每顶帽子和每双手套的价格各是多少元？ （２）经沟通后团队计划最多拿出３２００元购买帽子和手套共５０份，由于需要帽子的成员不足 ３０人，请你规划一下有哪几种购买方案？ １８．（本小题８分） 辽宁省教育厅印发《辽宁“六地”红色文化资源融入思政课教学的实施方案》，阐释辽宁“六地” 内涵和育人功能，充分发挥辽宁红色文化资源重要作用，讲好辽宁红色故事，传承红色基因，为 此某校特地举办了一场比赛，将从中选拔出最优秀的小记者们来拍摄一组以“辽宁红色文化” 为主题的短视频，现有２０名学生报名参加比赛，参加的学生需完成采访、写作、摄影三项测试． 信息一：每项测试均由七位评委打分（满分１００分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、 写作、摄影三项的测试成绩按４∶４∶２的比例计算出每人的总评成绩． 信息二：小华、小明的三项测试成绩和总评成绩如下表： 信息三：这２０名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图． 选手 测试成绩／分 采访 写作 摄影 总评成绩／分 小华 ８３ ７２ ８０ ７８ 小明 ８６ ８４ ▲ ▲ 　　 第１８题图 请根据以上信息，解答下列问题： （１）在摄影测试中，七位评委给小明打出的分数如下：６６，７２，６９，６９，７５，６９，７０，这组数据的中位 数是　　　　，众数是　　　　，平均数是　　　　； （２）请你计算小明的总评成绩； （３）学校决定根据总评成绩择优选拔１２名小记者，试分析小华和小明能否入选，并说明理由． 乾卷·辽宁数学　第５页（共８页） 乾卷·辽宁数学　第６页（共８页） １９．（本小题８分） 为迎接端午假期的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新鲜的水果共１６０千克，这两种水果的 进价、售价如表所示： 品种 进价（元／千克） 售价（元／千克） 甲种 ５ ８ 乙种 ９ １３ （１）若该水果店准备用１０００元购进甲、乙两种水果，则这两种水果应各购进多少千克？ （２）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的３倍，应怎样安排进货才能 使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？ ２０．（本小题８分） 如图１是辽宁锦州梁士英烈士雕像的平面示意图，从平地到雕像底端有一条等高和等宽的台 阶，每个台阶高１５ｃｍ，宽３０ｃｍ，小明用高为１５０ｃｍ的测角仪，在点 Ｄ处测得点 Ａ的仰角为 ３９．５３°，在点Ｆ处测得点Ａ的仰角为４５°． （参考数据：ｓｉｎ３９．５３°≈０．６３，ｃｏｓ３９．５３°≈０．７７，ｔａｎ３９．５３°≈０．８２，槡２≈１．４，槡３≈１．７） （１）求雕像ＡＢ的高度约是多少米？（结果精确到０．１ｍ） （２）如图２，若在距点Ｂ水平距离为２．４ｍ的Ｓ处安装一个仰角为３０°的射灯，让射灯光线的上 沿恰好经过Ａ点，射灯下沿的光线与ＡＢ交于点Ｔ，求ＢＴ的长．（结果精确到０．１ｍ） 　　 图１ 　　 图２ 第２０题图 ２１．（本小题８分） 如图１，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＣ⊥ＡＢ，连接ＡＣ交⊙Ｏ于点Ｄ， （１）①尺规作图：作出ＢＣ的中点Ｅ（保留作图痕迹，不写作法）； ②连接ＤＥ，求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）如图２，ＯＦ⊥ＡＣ交⊙Ｏ于点 Ｆ，连接 ＢＦ交 ＡＣ于点 Ｇ，若 ＡＢ 槡＝４５，ＦＧ∶ＢＧ＝１∶３，求 ＢＣ 的长． 图１ 　　　 图２ 第２１题图 乾卷·辽宁数学　第７页（共８页） 乾卷·辽宁数学　第８页（共８页） ２２．（本小题１２分） 【提出问题】 （１）在数学活动课上，老师在黑板上写出了如下问题：如图１，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ是 ＡＤ的中点，Ｆ是ＡＤ上任意一点，连接 ＣＦ，将四边形 ＡＢＣＦ沿 ＣＦ翻折得到四边形 ＧＨＣＦ， 连接ＨＤ，ＧＥ，ＡＤ 槡＝２ＣＤ．现让同学根据已知背景补充条件，再对线段ＧＥ与ＨＤ的数量关 系进行思考探究． 【问题思考】 　　①“兴趣小组”给出的补充条件为：∠Ｂ＝４５°，最终得出ＥＧＤＨ＝ 槡２ ２． 下面是“兴趣小组”给出的部分证明过程： 证明：连接ＡＣ，ＣＧ，ＣＥ，过点Ａ作ＡＮ⊥ＢＣ于点Ｎ，如图２， ∵∠Ｂ＝４５°，∴Ｒｔ△ＡＢＮ是等腰直角三角形， ∴ＢＮ＝ＡＮ＝槡２２ＡＢ， …… 请补全“兴趣小组”的证明过程； 　　②“智慧小组”根据补充的条件ｔａｎＢ＝槡１４２给出的解题思路如下：如图３，连接ＡＣ，过点Ｃ 作ＣＭ⊥ＡＤ于点Ｍ，通过探究△ＥＣＤ∽△ＣＡＤ和△ＧＣＥ∽△ＨＣＤ，从而得出线段 ＧＥ与 ＨＤ的数量关系，请根据“智慧小组”的解题思路写出完整的解答过程； 【问题拓展】 （２）如图４，若ＡＢ＝ＡＣ＝２，ＡＣ⊥ＡＢ，Ｄ是平面内一点，以ＡＢ，ＢＤ为边构造平行四边形ＡＢＤＥ，点 Ｆ是ＡＥ的中点，将四边形ＡＢＤＦ沿ＤＦ翻折得到四边形ＧＨＤＦ，连接ＨＣ，ＨＢ，求ＣＨ的最小值． 图１ 图２ 图３ 图４ 第２２题图 ２３．（本小题１３分） 在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形ＡＢＣＤ对角线的两个端点相交，则定义该函数为 矩形ＡＢＣＤ的“友好函数”． （１）如图，矩形ＡＢＣＤ，ＡＢ∥ｘ轴，经过点Ａ（－１，１）和点Ｃ（３，３）的一次函数ｙ１＝ｋｘ＋ｂ是矩形 ＡＢＣＤ的“友好函数”，求一次函数ｙ１＝ｋｘ＋ｂ的解析式； （２）已知第一象限内矩形ＡＢＣＤ的两条边的长分别为２和４，且它的两条边分别平行ｘ轴和ｙ 轴，经过点Ｄ和点Ｂ的反比例函数ｙ２＝ ６ ｘ是矩形ＡＢＣＤ的“友好函数”，求矩形距原点最近 的顶点坐标； （３）①若ｙ３＝ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）是矩形ＡＢＣＤ的“友好函数”且经过Ａ，Ｃ两点，点Ｂ的坐标为 （１，－３），点Ｄ的坐标为（－３，５），ＡＢ∥ｙ轴，若ｙ３＝ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象与矩形ＡＢ ＣＤ有且只有两个交点，求ａ的取值范围； ②点Ｐ（ｘＰ，ｙＰ）是ｙ３＝ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）图象上一点，且ａ－１２ａ≤ｘＰ≤ ３ａ－１ ２ａ，当ａ＞０时，ｙＰ 的最大值和最小值的差是３，求ａ的值． 第２３题图 书 　　　　　　　　　乾卷·数学答题卡　第１页（共６页） 乾卷·数学答题卡　第２页（共６页） 乾卷·数学答题卡　第３页（共６页） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ２０２４年辽宁省初中学业水平考试 乾卷·数学答题卡 姓　　名 　　　　　　　　　　　　　 准考证号 　　　　　　　　　　　　　 考生 禁填 缺考考生，由监考员贴条形码，并 用２Ｂ铅笔填涂右面的缺考标记。 贴条形码区 正确填涂 　　 错误填涂 ［√］［］［—］［●］ 注 意 事 项 １．答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号填写在规定的 位置，核准条形码上的准考证号、姓名与本人相符并完全正确及 考试科目也相符后，将条形码粘贴在规定的位置。 ２．选择题必须使用２Ｂ铅笔填涂，非选择题必须使用０．５ｍｍ黑色 签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。 ３．考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域 范围书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。 ４．保持答题卡面清洁，不准折叠、不得弄破。 第一部分　选择题（共３０分） 一、选择题（本题共１０小题，每小题３分，共３０分） １　［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ２ ［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ３ ［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ４ ［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ 　　 　　 ５　［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ６ ［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ７ ［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ 　　 　　 ８　［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ９ ［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ １０ ［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ 第二部分　非选择题（共９０分） 二、填空题（本题共５小题，每小题３分，共１５分） １１． 　 １２． １３． １４． １５． 三、解答题（本题共８小题，共７５分．解答应写出文字说明、演算步骤或推 理过程） １６．（１） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （２） １７． １８． 第１８题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ １９． ２０． 图１ 　　 图２ 第２０题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 　　　　　　　　　乾卷·数学答题卡　第４页（共６页） 乾卷·数学答题卡　第５页（共６页） 乾卷·数学答题卡　第６页（共６页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ２１． 图１ 　　　 图２ 第２１题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ２２． 图１ 图２ 图３ 图４ 第２２题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第２３题图 ２３． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 乾卷参考答案及重难题解析·辽宁数学 数 学 数学 快速对答案 一、选择题（本题共１０小题，每小题３分，共３０分） １．Ｄ　２．Ａ　３．Ｃ　４．Ｂ　５．Ｃ　６．Ｄ　７．Ｂ　８．Ｃ　９．Ｃ　１０．Ａ 二、填空题（本题共５小题，每小题３分，共１５分） １１．２（２ａ＋１）（２ａ－１）　１２．ｘ＞－２　１３．１４　１４．②④　１５． 槡２ ４或 槡３２ ４ 三、解答题（本题共８小题，共７５分） １６．（１）槡２－４；（２）ｘ＝ ７ ６ １７．（１）每顶帽子的价格是５０元，每双手套的价格是８０元；（２）购买方案有三种：①购买２９顶帽子，２１双手套；②购买２８顶帽 子，２２双手套；③购买２７顶帽子，２３双手套 １８．（１）６９，６９，７０；（２）小明的总评成绩为８２分；（３）不能判断小华能否入选，但是小明能入选；理由略 １９．（１）甲种水果应购进１１０千克，乙种水果应购进５０千克；（２）购进甲种水果４０千克，乙种水果１２０千克，才能使水果店在销 售完这批水果时获利最多，此时利润为６００元 ２０．（１）雕像ＡＢ的高度约为３．２ｍ；（２）ＢＴ的长约为１．２ｍ ２１．（１）①作图略；②证明略；（２）ＢＣ 槡＝３５ ２２．（１）①ＥＧＨＤ＝ 槡２ ２；② ＥＧ ＨＤ＝ 槡３０ ６ ；（２）ＣＨ的最小值是 槡４－２２ ２３．（１）ｙ１＝ １ ２ｘ＋ ３ ２；（２）矩形距原点最近的顶点坐标为（１，２）或（２，１）；（３）①ａ的取值范围为 ０＜ａ≤ １ ２或 － １ ２≤ａ＜０； ②ａ＝１２ 详解详析 １．Ｄ　２．Ａ　３．Ｃ　４．Ｂ　５．Ｃ　６．Ｄ　７．Ｂ　８．Ｃ ９． 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 Ｃ 解 题 关 键 根据Ｓ△ＢＣＥ∶Ｓ△ＡＣＤ＝９∶４，可得ＣＥ∶ＣＤ＝３∶２，ＢＥ∶ＡＤ＝ ３∶２，设ＣＤ＝２ｘ，则ＣＥ＝３ｘ，ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝６ｘ＋２ｘ，在 Ｒｔ△ＢＣＥ中，结合勾股定理可得出 ＢＥ的长度，从而 得到ＡＤ的长度，在Ｒｔ△ＡＤＣ中，结合勾股定理得出 ＡＣ的长度，进而求得ＡＥ∶ＣＥ的值． １０． 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 Ａ 方 法 指 导 分析判断函数图象题中的要点 （１）确定横轴和纵轴表示的量：看横轴和纵轴表示 的变量的意义； （２）找特殊点（起点、终点、转折点、交点），理解此刻 的状态或变化； （３）分析每一段运动过程的变化规律与图象上升、 下降的变化趋势，排除部分选项； （４）注意是否需要分类、分段讨论．注意分类、分段 讨论时自变量的取值范围 【解析】如解图１，当点Ｐ与点Ｂ重合时，ｘ＝０，作ＧＥ⊥ＡＢ交 ＡＢ于点Ｇ，∵正方形ＡＢＣＤ的边长为２，∴ＡＢ＝ＡＤ＝ＧＥ＝２， ∴ｙ＝Ｓ△ＡＰＥ＝ １ ２ＡＢ·ＧＥ＝ １ ２×２×２＝２，即当 ｘ＝０时，ｙ＝ ２；如解图２，当点Ｐ与点Ｆ重合时，Ｓ△ＡＰＥ＝Ｓ正方形ＡＢＣＤ－Ｓ△ＡＢＰ－ Ｓ△ＡＤＥ－Ｓ△ＥＣＰ，∵正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ２，点 Ｅ，Ｆ分别是 ＤＣ，ＣＢ的中点，∴ｘ＝ＢＦ＝ＦＣ＝ＤＥ＝ＥＣ＝１２×２＝１，∴ｙ＝ Ｓ△ＡＰＥ＝２×２－ １ ２×２×１－ １ ２×１×２－ １ ２×１×１＝ ３ ２，即当 ｘ＝１时，ｙ＝３２；如解图３，当点 Ｐ与点 Ｅ重合时，点 Ａ，Ｐ，Ｅ 三点共线，∴ｙ＝Ｓ△ＡＰＥ＝０，∵ＦＣ＝ＥＣ＝１，∠Ｃ＝９０°，∴ＥＦ＝ 槡２，∴ｘ＝ＥＦ＋ＢＦ 槡＝２＋１，即当 ｘ 槡＝２＋１时，ｙ＝０；如解图 ４，当点Ｐ与点Ｄ重合时，ｘ＝ＢＦ＋ＥＦ＋ＤＥ 槡＝２＋２，∵正方 形ＡＢＣＤ的边长为２，ＤＥ＝１，∴ｙ＝Ｓ△ＡＰＥ＝ １ ２ＤＥ·ＡＤ＝ １ ２× １×２＝１，即当 ｘ 槡＝２＋２时，ｙ＝１；故选项 Ａ中的图象符合 题意，选Ａ． 图１ 　　 图２ 　　　 图３ 　　　 图４ 第１０题解图 １１．２（２ａ＋１）（２ａ－１）　１２．ｘ                                    ＞－２ ５ 乾卷参考答案及重难题解析·辽宁数学 数 学 １３． 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 １ ４ 解 题 关 键 连接ＯＦ，根据 ＡＣ⊥ＢＤ，ＣＥ⊥ＡＢ易得 Ｂ、Ｅ、Ｏ、Ｃ四 点共圆，进而得到△ＯＦＣ是等边三角形，设 ＯＣ＝ ＣＦ＝ｘ，则ＯＧ＝１２ｘ，在 Ｒｔ△ＯＧＦ中，结合勾股定理 可得出ＦＧ，在 Ｒｔ△ＢＯＣ中，可用 ｘ表示出 ＯＢ的长 度，从而得到ＢＤ的长度，最终求出ＦＧＢＤ的值． １４．②④　【解析】∵抛物线的对称轴为直线 ｘ＝－１，且过点 （１，０），∴－ｂ２ａ＝－１，ａ＋ｂ＋ｃ＝０，∴ｂ＝２ａ，ｃ＝－３ａ，根据 图象可知ａ＜０，∴ｂ＜０，ｃ＞０，∴ａｂ＞０且ｃ＞０，８ａ＋ｃ＝８ａ－ ３ａ＝５ａ＜０，故①③错误；∵抛物线的对称轴为直线ｘ＝－１， ∴（－２，０）和（０，０）关于直线ｘ＝－１对称，∴当ｘ＝－２时， ｙ＞０，∴４ａ－２ｂ＋ｃ＞０，故②正确；∵直线 ｙ＝２ｘ＋２与抛物 线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ两个交点的横坐标分别为 ｘ１，ｘ２，∴方程 ａｘ２＋（ｂ－２）ｘ＋ｃ－２＝０的两个根分别为ｘ１，ｘ２，∴ｘ１＋ｘ２＝ －ｂ－２ａ，ｘ１·ｘ２＝ ｃ－２ ａ，∴ｘ１＋ｘ２＋ｘ１ｘ２＝－ ｂ－２ ａ ＋ ｃ－２ ａ ＝ －２ａ－２ａ ＋ －３ａ－２ ａ ＝－５，故④正确． １５．槡２４或 槡３２ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ４ 易 错 剖 析 ∵点Ｅ的位置不确定，ＣＦ＝１２，∴需要对ＣＦ是位于直 线ＣＤ的上方还是下方进行分类讨论，从而避免漏算 结果 【解析】作ＧＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，如解图，∵△ＡＢＣ是等腰直角三 角形，∴∠ＡＣＢ＝４５°，又∵ＧＥ⊥ＡＣ，∴△ＣＥＧ是等腰直角三 角形，∴ＣＥ＝ＧＥ，由题意知，ＥＦ＝ＥＤ，∠ＤＥＦ＝９０°，∴ ∠ＣＥＦ＋∠ＧＥＦ＝∠ＧＥＤ＋∠ＧＥＦ＝９０°，∴ ∠ＣＥＦ＝ ∠ＧＥＤ，在△ＣＥＦ和△ＧＥＤ中， ＣＥ＝ＧＥ， ∠ＣＥＦ＝∠ＧＥＤ， ＥＦ＝ＥＤ{ ， ∴△ＣＥＦ ≌△ＧＥＤ（ＳＡＳ）．当 ＣＦ在直线 ＣＤ下方时，如解图１，ＧＤ＝ ＣＦ＝１２，∵ＡＢ＝ＢＣ＝２，点Ｄ是ＢＣ的中点，∴ＣＤ＝ １ ２ＢＣ＝１， ∵ＧＤ＝１２，∴ＣＧ＝ＣＤ－ＧＤ＝ １ ２，∴在等腰直角△ＣＥＧ中， ＣＥ＝ＣＧ·ｃｏｓ４５°＝１２× 槡２ ２＝ 槡２ ４；当ＣＦ在直线 ＣＤ上方时， 如解图２，ＣＧ＝ＣＤ＋ＧＤ＝３２，∴在等腰直角△ＣＥＧ中，ＣＥ ＝ＣＧ·ｃｏｓ４５°＝３２× 槡２ ２＝ 槡３２ ４．综上所述，ＣＥ的长是 槡２ ４ 或 槡 ３２ ４． 图１ 　　 图２ 第１５题解图 １６．解：（１）原式 槡＝２－３－２＋１ 槡＝２－４； ５分!!!!!!!!!!!!! （２）方程两边同乘２（ｘ－１），得２ｘ＝３－４（ｘ－１）， 去括号，得２ｘ＝３－４ｘ＋４，即６ｘ＝７，解得ｘ＝７６， 检验：当ｘ＝７６时，２（ｘ－１）＝ １ ３≠０， ∴ｘ＝７６是原分式方程的解． １０分!!!!!!!!!! １７．解：（１）设每顶帽子的价格是ｘ元，每双手套的价格是ｙ元． 根据题意得 ｘ＋２ｙ＝２１０， ２ｘ＋３ｙ＝３４０{ ，解得 ｘ＝５０，ｙ＝８０{ ． 答：每顶帽子的价格是５０元，每双手套的价格是８０元； ４分 ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）设购买ｎ顶帽子，则购买（５０－ｎ）双手套． 根据题意得 ５０ｎ＋８０（５０－ｎ）≤３２００， ｎ＜３０{ ， 解得２６２３≤ｎ＜３０， ∵ｎ为正整数，∴可以购买帽子的顶数ｎ为２７，２８，２９， ∴购买方案有三种：①购买２９顶帽子，２１双手套；②购买２８ 顶帽子，２２双手套；③购买２７顶帽子，２３双手套． ８分!! １８．解：（１）６９，６９，７０； ３分 !!!!!!!!!!!!!!! 【解法提示】七位评委给小明打出的分数从小到大排列为 ６６，６９，６９，６９，７０，７２，７５，所以这组数据的中位数是６９分，众数 是６９分，平均数是６６＋６９＋６９＋６９＋７０＋７２＋７５７ ＝７０（分）； （２）８６×４＋８４×４＋７０×２４＋４＋２ ＝８２（分）， 答：小明的总评成绩为８２分； ５分 !!!!!!!!!! （３）不能判断小华能否入选，但是小明能入选， 理由：由２０名学生的总评成绩频数分布直方图可知，总评 成绩低于８０分的有１０人， ∵小华的总评成绩为７８分、小明的总评成绩为８２分， 小明成绩在前１２名，小华成绩不一定在前１２名． ∴不能判断小华能否入选，但是小明能入选． ８分 !!!! １９．解：（１）设甲种水果应购进 ｘ千克，则乙种水果应购进（１６０ －ｘ）千克， 由题意可得５ｘ＋９（１６０－ｘ）＝１０００，解得ｘ＝１１０， ∴１６０－ｘ＝５０， 答：甲种水果应购进１１０千克，乙种水果应购进５０千克； ４分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）设甲种水果应购进 ｍ千克，则乙种水果应购进（１６０－ ｍ）千克，获得的利润为ｗ元， 由题意可得 ｗ＝（８－５）ｍ＋（１３－９）（１６０－ｍ）＝－ｍ＋ ６４０，∵－１＜０， ∴ｗ随ｍ的增大而减小， ∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货 量的３倍， ∴１６０－ｍ≤３ｍ， 解得ｍ≥４０， ∴当ｍ＝４０时，ｗ取得最大值，此时ｗ＝６００，１６０－ｍ＝１２０， 答：购进甲种水果４０千克，乙种水果１２０千克，才能使水果 店在销售完这批水果时获利最多，此时利润为６００元． ８分 ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２０．解：（１）分别作ＦＭ⊥ＡＢ，ＤＮ⊥ＡＢ，ＥＰ⊥ＡＢ，ＣＱ⊥ＡＢ，交直线 ＡＢ于点Ｍ，Ｎ，Ｐ，Ｑ，如解图１， ∵ＦＭ⊥ＡＢ，ＤＮ⊥ＡＢ，ＥＰ⊥ＡＢ，ＣＱ⊥ＡＢ， ∴四边形ＥＰＭＦ和四边形ＤＮＱＣ都是矩形， ∴ＤＣ＝ＥＦ＝ＮＱ＝ＭＰ＝１５０ｃｍ， ∵∠ＡＦＭ＝４５°，设ＡＭ＝ＦＭ＝ｎ， ∴ＦＭ＝ＥＰ＝ｎ                                                                       ， ６ 乾卷参考答案及重难题解析·辽宁数学 数 学 ∵ＰＱ＝ＭＮ＝１５×４＝６０（ｃｍ）， ∴ＡＮ＝ｎ＋６０， ∵ＤＮ＝ＣＱ＝ｎ＋３０×４＝ｎ＋１２０， ∴ｔａｎ∠ＡＤＮ＝ＡＮＤＮ＝ ｎ＋６０ ｎ＋１２０≈０．８２，解得ｎ≈２１３．３３， ∵ＢＰ＝１５×３＝４５（ｃｍ）， ∴ＡＢ＝ＡＭ＋ＭＰ－ＢＰ≈２１３．３３＋１５０－４５＝３１８．３３（ｃｍ）， ∵３１８．３３ｃｍ≈３．２ｍ， ∴雕像ＡＢ的高度约是３．２ｍ； ４分 !!!!!!!!!! （２）作ＴＲ⊥ＡＳ于点Ｒ，如解图２， ∵ＢＳ＝２．４ｍ，ＡＢ＝３．２ｍ， ∴ＡＳ＝ ＡＢ２＋ＢＳ槡 ２＝４ｍ， ∴ＢＳ∶ＡＢ∶ＡＳ＝３∶４∶５＝ＲＴ∶ＡＲ∶ＡＴ， 设ＲＴ＝３ｎ，则ＡＲ＝４ｎ，ＡＴ＝５ｎ， 在Ｒｔ△ＳＲＴ中，∠ＲＳＴ＝３０°，ＲＴ＝３ｎ， ∴ＳＲ 槡＝３３ｎ， 槡∴３３ｎ＋４ｎ＝４，解得ｎ＝ 槡 １２３－１６ １１ ， ∴ＢＴ＝ＡＢ－ＡＴ＝３．２－５ｎ≈１．２， ∴ＢＴ的长约为１．２ｍ． ８分 !!!!!!!!!!!!! 图１ 　　 图２ 第２０题解图 ２１．（１）①解：如解图１，点Ｅ即为所求； ２分!!!!!!!! ②证明：连接ＯＤ，ＯＥ，如解图１， ∵ＯＡ＝ＯＤ，∴∠ＣＡＯ＝∠ＡＤＯ． ∵点Ｏ是ＡＢ的中点，点Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＯＥ是△ＡＢＣ的 中位线． ∴ＯＥ∥ＡＣ， ∴∠ＢＯＥ＝∠Ａ，∠ＤＯＥ＝∠ＡＤＯ， ∴∠ＤＯＥ＝∠ＢＯＥ， 在△ＯＤＥ和△ＯＢＥ中， ＯＥ＝ＯＥ， ∠ＤＯＥ＝∠ＢＯＥ， ＯＤ＝ＯＢ{ ， ∴△ＯＤＥ≌△ＯＢＥ（ＳＡＳ）， ∴∠ＯＤＥ＝∠ＯＢＥ＝９０°， ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径， ∴ＤＥ是⊙Ｏ的切线； ５分!!!!!!!!!!!!!! （２）解：连接ＡＦ，如解图２，∵ＯＦ⊥ＡＣ，∴ ) ＡＦ＝ ) ＦＤ， ∴∠１＝∠２． ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＦＢ＝９０°， ∴△ＡＦＧ∽△ＢＦＡ，∴ＦＧＦＡ＝ ＡＦ ＢＦ＝ ＡＧ ＢＡ， ∴ＦＧ∶ＢＧ＝１∶３，设ＦＧ＝ｍ，ＢＧ＝３ｍ， ∴ＦＢ＝４ｍ，ＡＦ２＝ＦＧ·ＢＦ＝４ｍ２， ∴ＡＦ＝２ｍ． 在Ｒｔ△ＡＢＦ中，ＡＦ２＋ＢＦ２＝ＡＢ２， ∴（２ｍ）２＋（４ｍ）２＝（槡４５） ２， 解得ｍ＝２或ｍ＝－２（舍）． ∴ＡＦ＝４，ＦＧ＝２，ＢＦ＝８， ∴ＡＧＡＢ＝ ＡＦ ＢＦ＝ １ ２， ∴ＡＧ＝１２ＡＢ 槡＝２５． ∵∠２＋∠６＝∠１＋∠４＝９０°，∴∠６＝∠４， ∵∠４＝∠５，∴∠６＝∠５，∴ＢＣ＝ＣＧ， 设ＢＣ＝ＣＧ＝ｎ，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＢ２＋ＢＣ２＝ＡＣ２， 即（槡４５） ２＋ｎ２＝（ｎ 槡＋２５） ２，解得ｎ 槡＝３５， ∴ＢＣ 槡＝３５． ８分!!!!!!!!!!!!!!!!! 图１ 　 图２ 第２１题解图 ２２．（１）①证明：连接ＡＣ，ＣＧ，ＣＥ，过点 Ａ作 ＡＮ⊥ＢＣ于点 Ｎ，如 题图２， ∵∠Ｂ＝４５°，∴Ｒｔ△ＡＢＮ是等腰直角三角形， ∴ＢＮ＝ＡＮ＝槡２２ＡＢ， ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ， ∵ＡＤ 槡＝２ＣＤ， ∴ＡＤ 槡＝２ＡＢ， ∴ＢＮ＝１２ＡＤ＝ １ ２ＢＣ， ∴ＢＮ＝ＮＣ， ∴ＡＢ＝ＡＣ，∴△ＡＢＣ是等腰直角三角形， ∴△ＡＣＤ是等腰直角三角形， ∵点Ｅ是ＡＤ的中点， ∴△ＤＣＥ是等腰直角三角形， ∵四边形ＡＢＣＦ沿ＣＦ翻折得到四边形ＧＨＣＦ， ∴ＣＧ＝ＣＡ，ＣＨ＝ＢＣ，∠ＧＣＨ＝∠ＡＣＢ＝４５°＝∠ＥＣＤ， ∴∠ＧＣＥ＝∠ＨＣＤ， ∵ＣＤ 槡＝２ＣＥ，ＣＨ＝ＢＣ 槡＝２ＡＣ 槡＝２ＣＧ， ∴△ＧＣＥ∽△ＨＣＤ，∴ＥＧＤＨ＝ ＣＥ ＣＤ＝ 槡２ ２； ３分!!!!!!! ②解：∵ｔａｎＢ＝ｔａｎ∠ＡＤＣ＝ＣＭＭＤ＝ 槡１４ ２ ， ∴设ＣＭ 槡＝ １４ｎ，ＭＤ＝２ｎ， 在Ｒｔ△ＭＣＤ中，ＣＭ２＋ＭＤ２＝ＣＤ２， ∴ＣＤ 槡＝３２ｎ，∴ＡＤ 槡＝２ＣＤ＝６ｎ， ∵点Ｅ是ＡＤ的中点， ∴ＥＤ＝３ｎ，ＥＭ＝ＥＤ－ＭＤ＝ｎ， 在Ｒｔ△ＥＣＭ中，ＣＥ２＝ＣＭ２＋ＭＥ２，∴ＣＥ 槡＝ １５ｎ， ∵ＥＤＣＤ＝ ＣＤ ＡＤ＝ 槡２ ２，∠ＡＤＣ＝∠ＣＤＥ，∴△ＥＣＤ∽△ＣＡＤ， ∴∠ＥＣＤ＝∠ＣＡＤ＝∠ＡＣＢ，ＥＣＣＡ＝ ＣＤ ＡＤ＝ ＣＤ ＢＣ， ∵四边形ＡＢＣＦ沿ＣＦ翻折得到四边形ＧＨＣＦ， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＧＣＨ＝∠ＥＣＤ，ＡＣ＝ＣＧ，ＢＣ＝ＣＨ， ∴ＥＣＣＧ＝ ＣＤ ＢＣ＝ ＣＤ ＣＨ，∠ＧＣＥ＝∠ＨＣＤ，∴△ＧＣＥ∽△ＨＣＤ， ∴ＥＧＨＤ＝ ＣＥ ＣＤ＝ 槡１５ｎ 槡３２ｎ ＝槡３０６ ； ８分!!!!!!!!!!! （２）解：延长 ＤＦ，交 ＢＡ、ＨＧ的延长线于点 Ｍ，连接 ＣＭ，如 解图， ∵ＡＦ∥ＢＤ，∴△ＭＡＦ∽△ＭＢＤ， ∴ＭＡＭＢ＝ ＭＦ ＭＤ＝ ＡＦ ＢＤ                                                                       ， ７ 乾卷参考答案及重难题解析·辽宁数学 数 学 ∵点Ｆ是ＡＥ的中点， ∴点Ａ是ＭＢ的中点， ∴ＡＦＢＤ＝ １ ２，∴ＭＢ＝２ＭＡ＝２ＡＢ＝４， ∵四边形ＡＢＤＦ沿ＤＦ翻折得到四边形ＧＨＤＦ， ∴∠ＡＢＨ＝∠ＧＨＢ， ∴ＭＨ＝ＭＢ＝４， ∵在Ｒｔ△ＣＡＭ中，ＡＣ＝ＡＭ＝２， ∴ＭＣ 槡＝２２， ∵当Ｍ，Ｃ，Ｈ三点共线时，ＣＨ最小，此时ＣＨ＝ＭＨ－ＣＭ， ∴ＣＨ的最小值是 槡４－２２． １２分!!!!!!!!!!! 第２２题解图 ２３．解：（１ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） 方 法 指 导 一次函数解析式的确定（待定系数法） （１）设一次函数解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）； （２）用图象上的点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）的横、纵坐标 分别去替换函数解析式中的ｘ和ｙ，得到二元一次方 程组 ｙ１＝ｋｘ１＋ｂ， ｙ２＝ｋｘ２＋ｂ{ ； （３）解方程组，求出ｋ，ｂ的值； （４）将ｋ，ｂ代人所设解析式即可． 将Ａ（－１，１）和 Ｃ（３，３）代入 ｙ１＝ｋｘ＋ｂ，得 １＝－ｋ＋ｂ， ３＝３ｋ＋ｂ{ ，解 得 ｋ＝１２， ｂ＝３２ { ， ∴ｙ１＝ １ ２ｘ＋ ３ ２； ２分!!!!!!!!!!!!!!! （２）分两种情况讨论：①当ＡＤ＝２时，如解图１，设点 Ｄ的坐 标为（ｔ，６ｔ）， 则点Ｂ的坐标为（ｔ＋２，６ｔ－４）， 把点Ｂ的坐标代入ｙ２＝ ６ ｘ中， 得 ６ ｔ－４＝ ６ ｔ＋２， 解得ｔ＝１或ｔ＝－３（舍），∴ｔ＝１， ∴点Ｄ的坐标为（１，６），点Ｂ的坐标为（３，２）， ∴点Ｃ的坐标为（１，２）， 即矩形距原点最近的顶点坐标为（１，２）； ②当ＡＤ＝４时，如解图２，设点Ｄ的坐标为（ｔ，６ｔ）， 则点Ｂ的坐标为（ｔ＋４，６ｔ－２）， 把点Ｂ的坐标代入ｙ２＝ ６ ｘ中， 得 ６ ｔ－２＝ ６ ｔ＋４， 解得ｔ＝２或ｔ＝－６（舍），∴ｔ＝２， ∴点Ｄ的坐标为（２，３），点Ｂ的坐标为（６，１）， ∴点Ｃ的坐标为（２，１）， 即矩形距原点最近的顶点坐标为（２，１）． 综上所述，矩形距原点最近的顶点坐标为（１，２）或（２，１）； ６分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 图１ 　 图２ 第２３题解图 （３）∵点Ｂ的坐标为（１，－３），点Ｄ的坐标为（－３，５）， ∴点Ａ的坐标为（１，５），点Ｃ的坐标为（－３，－３）， 将点Ａ和点Ｃ代入ｙ３＝ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ中， 得 ａ＋ｂ＋ｃ＝５， ９ａ－３ｂ＋ｃ＝－３{ ，∴ ｂ＝２ａ＋２，ｃ＝－３ａ＋３{ ， ∴ｙ３＝ａｘ ２＋（２ａ＋２）ｘ－３ａ＋３， ∴抛物线ｙ３＝ａｘ ２＋（２ａ＋２）ｘ－３ａ＋３的对称轴为直线 ｘ＝ －２ａ＋２２ａ ＝－ ａ＋１ ａ． ①如解图３，当ａ＞０时，－ａ＋１ａ ≤－３，解得ａ≤ １ ２， ∴ａ的取值范围为０＜ａ≤ １２； ８分!!!!!!!!!! 如解图４，当ａ＜０时，－ａ＋１ａ≥１，解得ａ≥－ １ ２， ∴ａ的取值范围为－１２≤ａ＜０； 综上所述，ａ的取值范围为０＜ａ≤ １２或－ １ ２≤ａ＜０； ９分 !! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 图３ 　 图４ 第２３题解图 ②∵抛物线ｙ３的对称轴为直线ｘ＝－ ａ＋１ ａ，且ａ＞０， ∴ａ－１２ａ＞－ ａ＋１ ａ恒成立，即ｘＰ在对称轴的右侧， 当ｘＰ＝ ａ－１ ２ａ时， ｙＰ取最小值为ａ·（ ａ－１ ２ａ） ２＋（２ａ＋２）·ａ－１２ａ －３ａ＋３， 当ｘＰ＝ ３ａ－１ ２ａ时， ｙＰ取最大值为ａ·（ ３ａ－１ ２ａ） ２＋（２ａ＋２）·３ａ－１２ａ －３ａ＋３， １１分 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ａ·（３ａ－１２ａ ） ２＋（２ａ＋２）·３ａ－１２ａ －３ａ＋３－［ａ·（ ａ－１ ２ａ） ２ ＋（２ａ＋２）·ａ－１２ａ－３ａ＋３］＝３，解得ａ＝ １ ２． １３分                                                                       !!! ８