加练五 特殊四边形-【一战成名新中考·乾坤卷】2024辽宁中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练答案及解析·辽宁数学 数 学 ＝１， ∵点Ｄ是ＥＦ的中点， ∴ＤＦ＝１２ＥＦ＝ １ ２， ∴在Ｒｔ△ＣＦＤ中，ＣＤ＝ ＤＦ２＋ＣＦ槡 ２＝ （１２） ２＋１槡 ２＝槡５２； （３）过点Ａ作ＡＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，过点Ｄ分别作ＤＭ⊥ＡＧ于点 Ｍ，ＤＮ⊥ＢＣ于点Ｎ，连接ＡＤ，如解图， 第１４题解图 ∵Ａ，Ｃ两点关于折痕 ＥＦ对称，∠ＡＣＤ ＝４５°， ∴ＤＡ＝ＤＣ，∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＤ＝４５°， ∴∠ＡＤＣ＝９０°， ∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＧ⊥ＢＣ， ∴点Ｇ为ＢＣ的中点， ∴ＢＧ＝ＣＧ＝１２ＢＣ＝１， ∴ＡＧ＝ ＡＢ２－ＢＧ槡 ２＝ （槡５） ２－１槡 ２＝２， ∵ＡＧ⊥ＢＣ，ＤＭ⊥ＡＧ，ＤＮ⊥ＢＣ， ∴四边形ＤＮＧＭ为矩形， ∴∠ＮＤＭ＝９０°＝∠ＡＤＣ， ∴∠ＡＤＭ＝∠ＣＤＮ． 在△ＡＤＭ和△ＣＤＮ中， ∠ＡＭＤ＝∠ＣＮＤ， ∠ＡＤＭ＝∠ＣＤＮ， ＡＤ＝ＣＤ{ ， ∴△ＡＤＭ≌△ＣＤＮ（ＡＡＳ）， ∴ＤＭ＝ＤＮ，ＡＭ＝ＮＣ， ∴四边形ＤＮＧＭ为正方形， ∴ＤＭ＝ＤＮ＝ＮＧ＝ＭＧ， 设ＤＭ＝ＤＮ＝ＮＧ＝ＭＧ＝ｘ，则ＡＭ＝ＮＣ＝ＮＧ＋ＧＣ＝ｘ＋１， ∴ＡＧ＝ＡＭ＋ＭＧ＝ｘ＋１＋ｘ＝２ｘ＋１＝２， 解得ｘ＝１２， ∴ＢＮ＝ＢＧ－ＮＧ＝１－１２＝ １ ２， ∴ＢＤ＝ ＢＮ２＋ＤＮ槡 ２＝ （１２） ２＋（１２）槡 ２＝槡２２． 加练五　特殊四边形 １．１３５ ２．Ｂ　【解析】∵ＡＢ＝１２，ＢＥ＝４，∴ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝１２－４＝８， ∴ＢＣ＝ＡＤ＝ ＡＥ２＋ＤＥ槡 ２＝ ８２＋６槡 ２＝１０，∴ＳＡＢＣＤ＝ＡＢ· ＤＥ＝ＢＣ·ＤＦ，∴ＤＦ＝ＡＢ·ＤＥＢＣ ＝ １２×６ １０ ＝７．２． ３．Ａ　【解析】如解图，取ＯＤ的中点Ｈ，连接ＨＰ， 第３题解图 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，ＡＣ＝８，ＢＤ＝１２，∴ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＯ＝ＣＯ ＝４，ＯＢ＝ＯＤ＝６，∵点Ｈ是 ＯＤ的中点，点 Ｅ是 ＯＢ的中点， 点Ｐ是ＣＤ的中点，∴ＯＨ＝３，ＯＥ＝３，ＨＰ＝１２ＯＣ＝２，ＨＰ∥ ＡＣ，∴ＥＨ＝６，∠ＥＨＰ＝９０°，∴ＥＰ＝ ＥＨ２＋ＨＰ槡 ２＝ ６２＋２槡 ２ 槡＝２１０                                                          ． 【全角度考法探究 １】槡２３　【解析】∵ＤＨ⊥ＡＢ，ＨＡ＝ＨＢ， ∴ＤＡ＝ＤＢ，∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＢ＝ＡＤ，∴ＡＢ＝ＡＤ ＝ＢＤ，∴ △ＡＢＤ 是 等 边 三 角 形，∴ ∠ＤＡＢ ＝６０°， ∵ｔａｎ∠ＤＡＨ＝ｔａｎ６０°＝ＤＨＡＨ 槡＝３，ＡＨ＝１，∴ＤＨ 槡＝３，∵ＡＢ＝ ＡＨ＋ＢＨ＝１＋１＝２，∴菱形ＡＢＣＤ的面积＝ＡＢ·ＤＨ 槡＝２３． 【全角度考法探究２】槡４１３ｃｍ　【解析】如解图，∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，ＡＣ＝４ｃｍ，∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，ＯＢ＝ＯＤ， ＯＡ＝ＯＣ＝１２ＡＣ＝２（ｃｍ），ＡＣ⊥ＢＤ，∵菱形ＡＢＣＤ的面积是 １２ｃｍ２，∴ １２ＡＣ·ＢＤ＝１２，即 １ ２×４ＢＤ＝１２，解得 ＢＤ＝６， ∴ＯＢ＝１２ＢＤ＝ １ ２×６＝３（ｃｍ），在Ｒｔ△ＡＯＢ中，由勾股定理 得：ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２＝ ２２＋３槡 ２ 槡＝ １３（ｃｍ），∴菱形的周长为 槡４１３ｃｍ． 解图 ４．Ｃ　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ 槡＝４２，∠ＢＡＤ＝９０°，ＯＡ＝ＯＣ＝ＯＢ＝ＯＤ，∴ＢＤ 槡＝２ＡＢ＝８，∴ ＯＢ＝ＯＤ＝４，由作图可知：ＯＥ垂直平分线段 ＢＣ，∴ＢＦ＝ＣＦ， ∵ＯＣ＝ＯＡ，∴ＯＦ∥ＡＢ，ＯＦ＝１２ＡＢ，∴△ＯＦＧ∽△ＢＡＧ，∴ ＯＧ ＧＢ ＝ＯＦＡＢ＝ １ ２，∴ＯＧ＝ １ ３ＯＢ＝ ４ ３． ５．槡２或 槡２＋２　【解析】①如解图１，当 ＤＦ⊥ＡＢ时，△ＣＤＦ是直 角三角形，∵在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，∴ＣＤ＝ＡＤ＝ＡＢ＝４，在 Ｒｔ△ＡＤＦ中，∵ＡＤ＝４，∠ＤＡＦ＝４５°，∴ＤＦ＝ＡＦ 槡＝２２，∴ＡＰ ＝１２ＡＦ 槡＝２； 第５题解图１ 第５题解图２ ②如解图２，当ＣＦ⊥ＡＢ时，△ＤＣＦ是直角三角形， 在Ｒｔ△ＣＢＦ中，∵∠ＣＦＢ＝９０°，∠ＣＢＦ＝∠Ａ＝４５°，ＢＣ＝４， ∴ＢＦ＝ＣＦ 槡＝２２，∴ＡＦ 槡＝４＋２２，∴ＡＰ＝ １ ２ＡＦ 槡＝２＋２． 综上所述，ＡＰ的长为槡２或 槡２＋２． ６．１或 ９　【解析】①当点 Ｐ在线段 ＡＤ上时，如解图 １，连接 ＢＭ，在矩形ＡＢＣＤ中，ＣＤ＝ＡＢ＝３，ＡＤ＝ＢＣ＝５，∠Ａ＝∠Ｄ＝ ９０°，∵点Ａ关于直线ＢＰ的对称点为点Ｍ，∴∠ＢＭＰ＝∠Ａ＝ ９０°，ＢＭ＝ＡＢ＝３，ＭＰ＝ＡＰ，∴ＣＭ＝ ＢＣ２－ＢＭ槡 ２＝ ５２－３槡                                                                       ２ ２１ 乾卷加练答案及解析·辽宁数学 数 学 ＝４，设ＡＰ＝ＰＭ＝ｘ，则 ＰＤ＝ＡＤ－ＡＰ＝５－ｘ，ＣＰ＝ＣＭ＋ＰＭ ＝４＋ｘ，在Ｒｔ△ＰＤＣ中，ＰＣ２＝ＰＤ２＋ＣＤ２，即（４＋ｘ）２＝（５－ ｘ）２＋３２，解得ｘ＝１，∴ＡＰ的长为１； 图１ 　 图２ 第６题解图 ②当点Ｐ在线段ＡＤ的延长线上时，如解图２，连接ＢＭ，由对 称的性质得ＡＰ＝ＭＰ，∠ＡＰＢ＝∠ＭＰＢ，∠Ｍ＝∠Ａ＝９０°，ＢＭ ＝ＡＢ＝３，∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，∴ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＡＰＢ＝ ∠ＣＢＰ，∴∠ＣＰＢ＝∠ＣＢＰ，∴ＣＰ＝ＣＢ＝５，在Ｒｔ△ＢＣＭ中，由 勾股定理得 ＣＭ＝４，∴ＭＰ＝ＣＰ＋ＣＭ＝９，∴ＡＰ＝９．综上所 述，ＡＰ的长为１或９． ７．１０或３５１２　【解析】①如解图１，当点 Ｅ在 ＣＤ上时，过点 Ｐ作 ＰＧ⊥ＢＣ于点 Ｇ，∵ＤＥ＝６，ＡＤ＝８，∠Ｄ＝９０°，∴ＡＥ＝ ＡＤ２＋ＤＥ槡 ２＝ ８２＋６槡 ２＝１０，由折叠性质得：ＰＱ是 ＡＥ的垂 直平分线，∴∠ＤＡＥ＋∠ＡＰＱ＝９０°，∵∠ＱＰＧ＋∠ＡＰＱ＝９０°， ∴∠ＱＰＧ＝∠ＤＡＥ，∴ｃｏｓ∠ＱＰＧ＝ｃｏｓ∠ＤＡＥ，即ＰＧＰＱ＝ ＡＤ ＡＥ，∵ ＰＧ＝ＡＢ＝８，∴ ８ＰＱ＝ ８ １０，∴ＰＱ＝１０； 图１ 　　 图２ 第７题解图 ②如解图 ２，当点 Ｅ在 ＣＤ的延长线上时，设 ＱＰ交 ＡＥ于 点Ｆ， ∵ＤＥ＝６，ＡＤ＝８，∠ＡＤＥ＝９０°，∴ＡＥ＝ ＡＤ２＋ＤＥ槡 ２ ＝ ８２＋６槡 ２＝１０，由折叠性质得：ＥＦ＝１２ＡＥ＝５，∵∠ＡＤＥ＝ ∠ＱＦＥ＝９０°，∠Ｅ＝∠Ｅ，∴△ＡＤＥ∽△ＱＦＥ，∴ＤＥＦＥ＝ ＡＥ ＱＥ，即 ６ ５＝ １０ ６＋ＤＱ，∴ＤＱ＝ ７ ３，∵∠ＡＰＦ＝∠ＱＰＤ，∠ＡＦＰ＝∠ＱＤＰ ＝９０°，∴∠ＦＡＰ＝∠ＰＱＤ，∴ｃｏｓ∠ＥＡＤ＝ｃｏｓ∠ＰＱＤ，∴ＡＤＡＥ＝ ＤＱ ＰＱ，即 ８ １０＝ 　７３　 ＰＱ，∴ＰＱ＝ ３５ １２．综上所述，折痕 ＰＱ的长为１０ 或 ３５ １２． ８．槡５－１２ 或 槡３ ３　【解析】设正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ａ，ＤＥ交 ＭＮ 于点Ｐ，ＰＮ＝ｘ，①当点 Ｃ的对应点 Ｃ′落在∠ＤＭＮ的边 ＭＤ 上时，如解图１，过点Ｐ作ＰＱ⊥ＤＭ于点Ｑ， 第８题解图１ 由折叠性质可知：点Ｍ、Ｎ分别为ＡＢ、ＣＤ的中点，∴ＡＭ＝ＢＭ ＝ＣＮ＝ＤＮ＝１２ａ，∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，∴∠Ａ＝∠Ｂ＝ ∠Ｃ＝９０°，ＡＢ∥ＣＤ，∴四边形ＢＣＮＭ是矩形，∴ＭＮ∥ＢＣ，ＭＮ ⊥ＣＤ，∴△ＤＰＮ∽△ＤＥＣ，∴ＰＮＣＥ＝ ＤＮ ＣＤ＝ １ ２，∴ＣＥ＝２ｘ，由折 叠性质知：∠ＥＤＣ＝∠ＥＤＭ，∴ＰＱ＝ＰＮ＝ｘ，∴ＰＭ＝ａ－ｘ，在 Ｒｔ△ＡＤＭ中，ＤＭ＝ ａ２＋（１２ａ）槡 ２＝槡５２ａ，∵ｓｉｎ∠ＤＭＮ＝ ＰＱ ＰＭ ＝ＤＮＤＭ，∴ＰＱ·ＤＭ＝ＰＭ·ＤＮ，即ｘ· 槡５ ２ａ＝ １ ２ａ（ａ－ｘ），解得 ｘ＝槡５－１４ ａ，∴ＣＥ＝２ｘ＝ 槡５－１ ２ ａ，∴ ＥＣ ＢＣ＝ 槡５－１ ２ ａ ａ ＝ 槡５－１ ２ ； ②当点Ｃ的对应点 Ｃ′落在∠ＤＭＮ的边 ＭＮ上时，如解图２， 设正方形ＡＢＣＤ的边长为 ａ，ＤＥ交 ＭＮ于点 Ｐ，ＰＮ＝ｘ，过点 Ｃ′作Ｃ′Ｆ⊥ＢＣ于点Ｆ， 第８题解图２ 由折叠性质得：ＤＣ′＝ＤＣ＝ａ，在 Ｒｔ△Ｃ′ＤＮ中，Ｃ′Ｎ＝ Ｃ′Ｄ２－ＤＮ槡 ２ ＝ ａ２－（１２ａ）槡 ２ ＝槡３２ａ，∵∠Ｃ＝∠ＣＮＭ＝ ∠Ｃ′ＦＣ＝９０°，∴四边形 ＣＦＣ′Ｎ是矩形，∴ＣＦ＝Ｃ′Ｎ＝槡３２ａ， ∵ＭＮ∥ＢＣ，ＰＮ＝ｘ，ＣＥ＝２ｘ，∴∠Ｃ′ＰＥ＝∠ＣＥＤ，∵∠Ｃ′ＥＤ＝ ∠ＣＥＤ，∴∠Ｃ′ＰＥ＝∠Ｃ′ＥＤ，∴Ｃ′Ｐ＝Ｃ′Ｅ，∵Ｃ′Ｅ＝ＣＥ，∴Ｃ′Ｐ ＝ＣＥ＝２ｘ，∵Ｃ′Ｐ＋ＰＮ＝Ｃ′Ｎ，∴２ｘ＋ｘ＝槡３２ａ，∴ｘ＝ 槡３ ６ａ， ∴ＥＣ＝２ｘ＝槡３３ａ，∴ ＥＣ ＢＣ＝ 槡３ ３ａ ａ ＝ 槡３ ３．综上所述， ＥＣ ＢＣ的值为 槡５－１ ２ 或 槡３ ３． ９．证明：∵∠ＡＣＢ＝９０°，ＤＥ⊥ＢＣ， ∴∠ＤＥＣ＝∠ＡＣＢ＝９０°，∴ＡＣ∥ＤＥ， ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ∥ＣＥ， ∴四边形ＡＣＥＤ是平行四边形， ∵∠ＡＣＥ＝９０°，∴四边形ＡＣＥＤ是矩形． １０．证明：∵∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ，∴ＡＢ∥ＣＤ， ∵ＢＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＡＣ，∴∠ＢＥＡ＝∠ＤＦＣ＝９０°， 在△ＡＢＥ与△ＣＤＦ中， ∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ， ∠ＢＥＡ＝∠ＤＦＣ， ＢＥ＝ＤＦ { ， ∴△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ（ＡＡＳ），∴ＡＢ＝ＣＤ                                                                       ， ３１ 乾卷加练答案及解析·辽宁数学 数 学 ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． １１．证明：∵ＥＦ⊥ＢＤ，∴∠ＢＯＥ＝∠ＢＯＦ＝９０°， ∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＯＢＥ＝∠ＯＢＦ， 在△ＢＯＥ和△ＢＯＦ中， ∠ＢＯＥ＝∠ＢＯＦ， ＢＯ＝ＢＯ， ∠ＯＢＥ＝∠ＯＢＦ { ， ∴△ＢＯＥ≌△ＢＯＦ（ＡＳＡ），∴ＯＥ＝ＯＦ， ∵ＯＢ＝ＯＤ，∴四边形ＢＥＤＦ是平行四边形， ∵ＥＦ⊥ＢＤ，∴四边形ＢＥＤＦ是菱形． １２．证明：（１）由作图知，ＭＮ是线段ＡＢ的垂直平分线， ∵点Ｃ是直线ＭＮ上任意一点，ＭＮ交ＡＢ于点Ｄ， ∴ＣＡ＝ＣＢ，ＡＤ＝ＢＤ，∴∠Ａ＝∠Ｂ． 又∵ＤＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＢＣ， ∴∠ＡＥＤ＝∠ＢＦＤ＝９０°， 在△ＡＥＤ与△ＢＦＤ中， ∠ＡＥＤ＝∠ＢＦＤ， ∠Ａ＝∠Ｂ， ＡＤ＝ＢＤ { ， ∴△ＡＥＤ≌△ＢＦＤ（ＡＡＳ）； （２）∵ＡＢ＝２，∴ＡＤ＝ＢＤ＝１２ＡＢ＝１． ∴ＣＤ＝ＡＤ＝ＢＤ＝１， 又∵ＭＮ⊥ＡＢ， ∴△ＡＣＤ和△ＢＣＤ都是等腰直角三角形， ∴∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ＝４５°， ∴∠ＥＣＦ＝∠ＡＣＤ＋∠ＢＣＤ＝９０°， ∵∠ＤＥＣ＝∠ＤＦＣ＝９０°， ∴四边形ＤＥＣＦ是矩形，∠ＣＤＥ＝９０°－４５°＝４５°， ∴∠ＥＣＤ＝∠ＣＤＥ＝４５°，∴ＥＤ＝ＣＥ， ∴四边形ＤＥＣＦ是正方形． １３．解：（１）△ＣＥＮ是等腰直角三角形；【解法提示】∵△ＡＢＣ和 △ＢＦＥ是等腰直角三角形，∴∠ＡＣＢ＝∠ＢＥＦ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ ＝ＢＥ＝ＦＥ，∵Ｃ，Ｂ，Ｅ三点共线，∠ＡＣＢ＋∠ＢＥＦ＝１８０°，∴ ＡＣ∥ＥＦ，∴四边形ＡＣＥＦ是矩形，∴∠ＣＡＭ＝∠ＮＦＭ＝９０°， ∵点Ｍ是 ＡＦ的中点，∴ＡＭ＝ＦＭ，在△ＡＭＣ和△ＦＭＮ中， ∠ＣＡＭ＝∠ＮＦＭ， ＡＭ＝ＦＭ， ∠ＡＭＣ＝∠ＦＭＮ { ， ∴△ＡＭＣ≌△ＦＭＮ（ＡＳＡ），∴ＡＣ＝ＦＮ＝ ＥＦ，∴ＣＥ＝ＥＮ＝２ＡＣ，∵∠ＣＥＮ＝９０°，∴△ＣＥＮ是等腰直角 三角形． （２）①（１）中的结论仍然成立，即△ＣＥＮ是等腰直角三角 形．证明如下： 如解图１，延长ＣＢ，ＮＦ交于点Ｈ，设ＥＦ与ＢＨ交于点Ｏ， 第１３题解图１ ∵点Ｍ是ＡＦ的中点，∴ＡＭ＝ＦＭ， ∵ＮＦ∥ＡＣ，∴∠ＣＡＦ＝∠ＮＦＡ， 在△ＡＭＣ和△ＦＭＮ中， ∠ＣＡＭ＝∠ＮＦＭ， ＡＭ＝ＦＭ， ∠ＡＭＣ＝∠ＦＭＮ { ， ∴△ＡＭＣ≌△ＦＭＮ（ＡＳＡ）， ∴ＮＦ＝ＡＣ， ∵△ＡＣＢ和△ＢＥＦ是两个全等的等腰直角三角形， ∴ＡＣ＝ＣＢ＝ＢＥ＝ＥＦ＝ＮＦ，且∠ＡＣＢ＝∠ＢＥＦ＝９０°， ∵ＮＦ∥ＡＣ，∴∠ＡＣＢ＋∠ＣＨＮ＝１８０°， ∴∠ＣＨＮ＝９０°． ∵∠ＦＯＢ是△ＢＯＥ和△ＦＯＨ的外角， ∴∠ＦＯＢ＝∠ＯＦＨ＋９０°＝∠ＯＢＥ＋９０°， ∴∠ＯＦＨ＝∠ＯＢＥ，∴∠ＣＢＥ＝∠ＥＦＮ， 在△ＥＢＣ和△ＥＦＮ中， ＥＢ＝ＥＦ， ∠ＥＢＣ＝∠ＥＦＮ， ＢＣ＝ＦＮ { ， ∴△ＥＢＣ≌△ＥＦＮ（ＳＡＳ）， ∴∠ＣＥＢ＝∠ＮＥＦ，ＣＥ＝ＮＥ， ∴∠ＣＥＢ＋∠ＢＥＮ＝∠ＮＥＦ＋∠ＢＥＮ＝９０°，即∠ＣＥＮ＝９０°， ∴△ＣＥＮ是等腰直角三角形； ②△ＣＥＮ的面积为 槡１６＋８２或 槡１６－８２．【解法提示】当点 Ｆ 在ＣＢ的延长线上时，过点 Ｅ作 ＥＫ⊥ＣＦ于点 Ｋ，如解图２， ∵正方形纸片的边长是４，∴ＢＣ＝ＢＥ＝ＥＦ＝４，∵△ＢＥＦ是 等腰直角三角形，ＥＫ⊥ＢＦ，∴ＥＫ＝ＢＫ 槡＝２２，∴ＣＫ＝４＋ 槡２２，由①知△ＣＥＮ是等腰直角三角形，∴Ｓ△ＣＥＮ＝ １ ２ＣＥ ２＝ １ ２（ＣＫ ２＋ＥＫ２）＝１２×［（ 槡４＋２２） ２＋（槡２２） ２］ 槡＝１６＋８２； 图２ 　 图３ 第１３题解图 当点Ｆ在ＢＣ的延长线上时，过点 Ｅ作 ＥＧ⊥ＢＦ于点 Ｇ，如 解图３，∵正方形纸片的边长是 ４，∴ＢＣ＝ＢＥ＝ＥＦ＝４， ∵△ＢＥＦ是等腰直角三角形，ＥＧ⊥ＢＦ，∴ＢＧ＝ＥＧ＝ＦＧ＝ 槡２２，∴ＣＧ＝ＢＣ－ＢＧ 槡＝４－２２，由①知△ＣＥＮ是等腰直角三 角形，∴Ｓ△ＣＥＮ ＝ １ ２ＣＥ ２ ＝１２（ＣＧ ２ ＋ＥＧ２）＝１２ ×［（４－ 槡２２） ２＋（槡２２） ２］ 槡＝１６－８２．综上所述，当 Ｃ，Ｂ，Ｆ三点共线 时，△ＣＥＮ的面积为 槡１６＋８２或 槡１６－８２． 加练六　圆 １．Ｃ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，∠Ｄ＝１２０°，∴∠Ｂ＝ ６０°，∴∠ＡＯＣ＝２∠Ｂ＝１２０°，∴ ) ＡＣ＝１２０π×４１８０ ＝ ８ ３π． ２．Ａ　【解析】∵∠ＡＢＣ＝１５°，∴∠ＡＯＣ＝２∠ＡＢＣ＝３０°，∵ＡＯ⊥ ＢＯ，∴∠ＡＯＢ＝９０°，∴∠ＢＯＣ＝９０°－３０°＝６０°，∴ ) ＢＣ的长为 ６０π×２ １８０ ＝ ２ ３π． ３．Ｂ　【解析】∵ＣＡ＝ＣＢ，ＣＤ⊥ＡＢ，∴ＡＤ＝ＤＢ＝１２ＡＢ＝ １ ２ＡＢ′． ∴∠ＡＢ′Ｄ＝３０°，∴∠ＢＡＢ′＝６０°，∴α＝３０°，∵ＡＣ＝４，∴ＡＤ ＝ＡＣ·ｃｏｓ３０°＝４×槡３２ 槡＝２３，∴ＡＢ＝２ＡＤ 槡＝４３，∴ ) ＢＢ′                                                                       的长 ４１ 乾卷加练·辽宁数学 数 学 加练五　特殊四边形 ◆特殊四边形的性质 １．如图，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ， 且ＡＯ＝ＡＢ，∠ＢＡＤ的平分线交 ＢＣ于点 Ｅ， 连接ＯＥ，则∠ＡＯＥ＝　　　　度． 第１题图 ２．如图，四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，过点Ｄ分 别作 ＡＢ，ＢＣ的垂线，垂足分别为点 Ｅ，Ｆ，若 ＡＢ＝１２，ＤＥ＝６，ＢＥ＝４，则ＤＦ的长为 （　　） Ａ．７　　　Ｂ．７．２　　　Ｃ．８　　　Ｄ．８．８ 第２题图 　　 第３题图 ３．如图，菱形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ和ＢＤ相交于 点Ｏ，ＡＣ＝８，ＢＤ＝１２，点Ｅ是ＯＢ的中点，点Ｐ 是ＣＤ的中点，连接ＰＥ，则ＰＥ的长为 （　　） Ａ．２槡１０　　Ｂ．槡１０　　Ｃ．２槡３　　Ｄ．槡                                ３ 题图 【全角度考法探究１】 如图，已知菱形 ＡＢ ＣＤ，若过点 Ｄ作 ＤＨ ⊥ＡＢ于点 Ｈ，ＨＡ＝ ＨＢ＝１，则菱形ＡＢＣＤ的面积是　　　　． 【全角度考法探究２】已知菱形 ＡＢＣＤ的面 积是１２ｃｍ２，对角线ＡＣ＝４ｃｍ，则菱形的周 长为　　　　． ４．如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，按如下步骤作图： ①连接ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ；②分别以点Ｂ，点 Ｃ为圆心，大于１２ＢＣ的长为半径画弧，两弧 相交于点Ｅ；③作射线ＯＥ交ＢＣ于点Ｆ；④连 接ＡＦ交ＢＯ于点Ｇ．若ＡＤ＝４槡２，则ＯＧ的长 为 （　　） 第４题图 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．４３ Ｄ．槡２ ◆动点、折叠问题 ５．如图，在菱形ＡＢＣＤ中，∠ＤＡＢ＝４５°，ＡＢ＝４， 点Ｐ为线段ＡＢ上一个动点，过点Ｐ作ＰＥ⊥ ＡＢ交直线ＡＤ于点Ｅ，沿ＰＥ将∠Ａ折叠，点Ａ 的对应点为点 Ｆ，连接 ＥＦ、ＤＦ、ＣＦ，当△ＣＤＦ 为直角三角形时，ＡＰ的长为　　　　． 第５题图 　 第６题图 ６．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝５，若点Ｐ 是射线ＡＤ上一个动点，连接ＢＰ，点Ａ关于直 线ＢＰ的对称点为点 Ｍ，连接 ＭＰ，ＭＣ，当 Ｐ， Ｍ，Ｃ三点共线时，ＡＰ的长为　　　　． ７．如图，在正方形纸片ＡＢＣＤ中，边长为８，点Ｐ在 ＡＤ上，点Ｑ是正方形边上的动点，将正方形纸 片沿ＰＱ折叠，使顶点Ａ落在直线ＣＤ上的点Ｅ 处，若ＤＥ＝６，则折痕ＰＱ的长为　　　　． 第７题图                                                                   ４３ 乾卷加练·辽宁数学 数 学 ８．较难 獉獉 如图，将正方形 ＡＢＣＤ对折后展开，得 折痕 ＭＮ，连接 ＭＤ．点 Ｅ在边 ＢＣ上，连接 ＤＥ，将△ＤＥＣ沿ＤＥ折叠，当点Ｃ的对应点Ｃ′ 落在∠ＤＭＮ的边上时，ＥＣＢＣ的值为　　　　． 第８题图 ◆特殊四边形的判定 ９．如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，连接 ＡＣ， ∠ＡＣＢ＝９０°，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ＢＣ交 ＢＣ的延 长线于点Ｅ，连接ＡＥ交ＣＤ于点Ｆ． 求证：四边形ＡＣＥＤ是矩形． 第９题图 １０．如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ与 ＢＤ交于点 Ｏ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ，ＢＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＡＣ，垂足 分别为Ｅ，Ｆ，且ＢＥ＝ＤＦ． 求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． 第１０题图 １１．如图，在△ＡＢＣ中，ＢＤ平分∠ＡＢＣ交 ＡＣ于 点 Ｄ，过 ＢＤ的中点 Ｏ作 ＥＦ⊥ＢＤ分别交 ＡＢ、ＢＣ于点Ｅ、Ｆ，连接ＤＥ、ＤＦ． 求证：四边形ＢＥＤＦ是菱形． 第１１题图 １２．如图，分别以线段ＡＢ的两个端点为圆心，大 于 １ ２ＡＢ的长为半径作弧，两弧交于 Ｍ、Ｎ两 点，作直线 ＭＮ，交 ＡＢ于点 Ｄ，点 Ｃ是直线 ＭＮ上任意一点，连接 ＣＡ、ＣＢ，过点 Ｄ分别 作ＤＥ⊥ＡＣ于点Ｅ，ＤＦ⊥ＢＣ于点Ｆ． （１）求证：△ＡＥＤ≌△ＢＦＤ； （２）若 ＡＢ＝２，ＣＤ＝１．求证：四边形 ＤＥＣＦ 是正方形． 第１２题图                                                                       ５３ 乾卷加练·辽宁数学 数 学 ◆几何探究 １３．“综合与实践”课上，杨老师提出如下问题： 将图１中的正方形纸片沿对角线剪开，得到 两个全等的等腰直角三角形纸片，分别表示 为△ＡＣＢ和△ＤＥＦ，其中∠ＡＣＢ＝∠ＤＥＦ＝ ９０°，将△ＡＣＢ和△ＤＥＦ按图２所示方式摆 放（Ｃ，Ｂ，Ｅ三点共线），其中点 Ｂ与点 Ｄ重 合（标记为点Ｂ）．连接ＡＦ，取ＡＦ的中点Ｍ， 过点Ｆ作ＮＦ∥ＡＣ交ＣＭ的延长线于点Ｎ． （１）试判断△ＣＥＮ的形状，直接写出答案； （２）杨老师将图２中的△ＢＥＦ绕点 Ｂ顺时 针旋转，当Ｃ，Ｂ，Ｅ三点不在一条直线上 时，如图３所示，让同学们提出新的问题 并解决新问题． ①“洞察小组”提出的问题是：（１）中的 结论是否仍然成立？若成立，请你证 明；若不成立，请你写出新的结论，并 证明； ②“思考小组”提出的问题是：若正方形 纸片的边长是４，把图２中的△ＢＥＦ 绕点Ｂ顺时针旋转，当Ｃ，Ｂ，Ｆ三点共 线时，请你直接写出△ＣＥＮ的面积． 图１ 图２ 　 图３ 第１３                                                                       题图 ６３