加练四 三角形-【一战成名新中考·乾坤卷】2024辽宁中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练·辽宁数学 数 学 加练四　三角形 ◆平行线的性质 １．如图，ＡＢ∥ＣＤ，∠ＡＣＥ＝∠ＡＥＣ，若∠Ａ＝ １２０°，则∠ＥＣＤ的度数为 （　　） Ａ．３０°　　Ｂ．４０°　　Ｃ．４５°　　Ｄ．５０° 第１题图 　　 第２题图 ２．将一副三角板按如图所示的方式放置，６０°和 ４５°两个角的顶点重合，等腰直角三角板的斜 边与另一个三角板的较长直角边平行，且直 角顶点在较长直角边上，则图中∠１等于 （　　） Ａ．４５° Ｂ．６０° Ｃ．７５° Ｄ．９０° ３．如图，已知直线ｌ１∥ｌ２，点Ｃ，Ａ分别在直线ｌ１， ｌ２上，以点Ｃ为圆心，ＣＡ长为半径画弧，交直 线ｌ１于点Ｂ，连接ＡＢ．若∠ＢＣＡ＝１４０°，则∠１ 的度数为 （　　） Ａ．１５° Ｂ．２０° Ｃ．２５° Ｄ．３０° 第３题图 　　 第４题图 ◆中位线定理 ４．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ＝７，ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ交ＡＣ于点Ｄ，点Ｆ在ＢＣ上，且ＢＦ＝ １，连接 ＡＦ，Ｅ为 ＡＦ的中点，连接 ＤＥ，则 ＤＥ 的长为 （　　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ ５．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ＝ＡＣ＝５， 点Ｄ在ＡＣ上，且 ＡＤ＝２，点 Ｅ是 ＡＢ上的动 点，连接 ＤＥ，点 Ｆ，Ｇ分别是 ＢＣ和 ＤＥ的中 点，连接ＡＧ，ＦＧ，当ＡＧ＝ＦＧ时，线段ＤＥ的长 为　　　　． 第５题图 ◆动点问题 ６．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝３０°， ＡＢ＝５，点Ｐ是ＡＣ上的动点，连接ＢＰ，以ＢＰ 为边作等边△ＢＰＱ，连接 ＣＱ，则点 Ｐ在运动 过程中，线段ＣＱ长度的最小值为　　　　． 第６题图 　　 第７题图 ７．如图，在边长为６的等边三角形ＡＢＣ中，点Ｄ 在边ＢＣ上运动，过点Ｄ作 ＤＥ⊥ＡＣ于点 Ｅ， 当点 Ｄ运动到边 ＢＣ的三等分点时，△ＣＤＥ 的面积为　　　　                                          ． 【全角度考法探究】如图，在边长为６的等 边三角形ＡＢＣ中，Ｅ为边ＢＣ上一点，且ＢＥ ＝２，过点 Ｅ作ＥＦ⊥ＡＣ于点 Ｆ，Ｇ为 ＥＦ的 中点，Ｄ为边ＡＢ上一动点，连接ＤＧ．当点 Ｄ运动到边 ＡＢ的三等分点时，ＤＧ的长 为　　　　． 题图                                                                   ０３ 乾卷加练·辽宁数学 数 学 ◆全等三角形的判定与性质 ８．如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ在 ＢＣ上，且 ＢＥ＝ＣＦ，连接ＡＥ，ＤＦ． 求证：∠ＡＥＦ＝∠ＤＦＥ． 第８题图 ９．如图，已知等腰△ＡＢＣ与等腰△ＢＤＥ的顶角 分别是∠ＡＢＣ和∠ＤＢＥ，且∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＥ． 求证：ＡＤ＝ＣＥ． 第９题图 １０．如图，已知 ＡＢ，ＣＤ相交于点 Ｏ，ＡＣ∥ＤＢ， ＯＣ＝ＯＤ，ＣＥ平分∠ＡＣＯ交 ＡＢ于点 Ｅ，ＤＦ 平分∠ＢＤＯ交ＡＢ于点Ｆ． （１）请用尺规作图画出图中的线段 ＤＦ（不 写作法．保留作图痕迹）； （２）求证：△ＯＣＥ≌△ＯＤＦ． 第１０题图 ◆解直角三角形的实际应用 １１．球罐，可大幅度减少钢材的消耗，特别是对 于易燃、易爆、有毒、有害等特殊物质，球罐 的防护性能更好．小刚爸爸的工厂有三个球 罐，在阅读了古代数学家刘徽编撰的《重 差》后，小刚有了一个想法，他与同伴小强测 得其中一个球罐最低处Ｂ离地面的高度ＡＢ 为１．５米．接着他站在球罐最高点 Ｃ处，看 到地面Ｆ处恰好被点 Ｅ遮挡，而小刚的身 高为１．６米（即 ＣＤ＝１．６米），用测倾器测 得∠Ｄ的度数为５５°，小强测得地面上ＡＦ的 长度为２５．２８米．两人画出了如图所示的截 面图，求ＡＣ的高度．（结果精确到０．１米．参 考数据：ｓｉｎ５５°≈０．８２，ｃｏｓ５５°≈０．５７，ｔａｎ５５° ≈１．４３） 　 第１１                                                                       题图 １３ 乾卷加练·辽宁数学 数 学 １２．如图１是一台实物投影仪，图２是它的示意 图，折线 Ａ－Ｂ－Ｃ表示可转动支架，支架 ＢＣ可以伸缩调节，投影探头 ＣＤ始终垂直 于水平桌面ＭＮ，ＡＢ与ＢＣ始终在同一平面 内．已知投影仪的底座高３厘米，支架ＡＢ＝ ３０厘米，探头ＣＤ＝１０厘米． （１）如图 ２，当支架 ＡＢ与水平线的夹角为 ７５°，与支架ＢＣ的夹角为９０°，且ＢＣ＝ＡＢ 时，求探头的端点Ｄ到桌面ＭＮ的距离； （２）为获得更好的投影效果，调节支架 ＡＢ， 如图３所示，使得 ＡＢ与水平线的夹角 为５３°，同时调节支架 ＢＣ，使得探头端 点Ｄ与点Ｂ在同一水平线上，且从点Ｄ 看点Ａ的俯角为６３°，此时支架ＢＣ的长 度为多少厘米？ （参考数据：ｓｉｎ７５°≈０．９７，ｃｏｓ７５°≈ ０．２６，ｔａｎ６３°≈２，ｓｉｎ５３°≈０．８，槡６≈２．４５， 槡１０≈３．１６）（结果保留一位小数） 图１ 图２ 　 图３ 第１２题图 ◆几何探究 １３．多解法 獉獉獉 【方法探究】 （１）如图 １，在△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ， ∠ＡＢＣ＝２∠Ｃ，探究 ＡＣ，ＡＢ，ＢＤ之间的 数量关系； 小明同学通过思考发现，可以通过“截 长、补短”两种方法解决问题： 方法１：如图２，在 ＡＣ上截取 ＡＥ，使得 ＡＥ＝ＡＢ，连接 ＤＥ，可以得到全等三角 形，进而得到ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ． 方法２：如图 ３，延长 ＡＢ到点 Ｅ，使得 ＢＥ＝ＢＤ，连接 ＤＥ，可以得到等腰三角 形，进而也得到ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ． 请你选择其中一种方法的解题思路，写 出证明过程． 图１ 　　　　 图２ 图３ 第１３                                                                       题图 ２３ 乾卷加练·辽宁数学 数 学 【迁移应用】 （２）如图４，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝２∠Ｂ，ＡＤ⊥ ＢＣ于点 Ｄ，猜想 ＢＤ，ＡＣ，ＣＤ之间的数 量关系，并证明； 【拓展延伸】 （３）如图５，点Ｐ为△ＡＢＣ内一点，连接ＰＡ， ＰＢ，ＰＣ，ＡＰ平分∠ＢＡＣ，∠ＰＢＣ＝３０°， ∠ＢＰＡ＝１５０°，ＡＢ 槡＝４１３，ＡＣ 槡＝３１３，ＰＢ＝ 槡４３，求Ｓ△ＰＢＣ． 图４ 　　　　 图５ 第１３题图 １４．综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，老师将矩形 ＡＢＣＤ按如图１ 所示方式折叠，使点Ａ与点Ｃ重合，点Ｂ的 对应点为 Ｂ′，折痕为 ＥＦ，若△ＣＥＦ为等边 三角形． （１）猜想 ＡＢ与 ＡＤ的数量关系，并加以 证明； 【实践探究】 （２）小明受到此问题启发，将△ＡＢＣ按如图 ２所示方式折叠，使点Ａ与点Ｃ重合，折 痕为ＥＦ，若∠Ａ＝４５°，ＡＣ＝２． ①试判断重叠部分△ＣＥＦ的形状，并说 明理由； ②若点Ｄ为ＥＦ的中点，连接ＣＤ，求ＣＤ 的长； 【问题解决】 （３）小亮深入研究小明提出的这个问题，发 现并提出新的探究点：如图３，在△ＡＢＣ 中，将△ＡＢＣ折叠，使点Ａ与点Ｃ重合， 点Ｄ为折痕 ＥＦ上一点，连接 ＣＤ，ＢＤ． 若ＡＢ＝ＡＣ 槡＝５，ＢＣ＝２，∠ＡＣＤ＝４５°，请 求出线段ＢＤ的长． 图１ 图２ 图３ 第１４                                                                       题图 ３３ 乾卷加练答案及解析·辽宁数学 数 学 加练四　三角形 １．Ａ　２．Ｃ ３．Ｂ　【解析】由题意得：ＣＡ＝ＣＢ，∠ＢＣＡ＝１４０°，∴∠ＣＢＡ＝ ∠ＣＡＢ＝１８０°－∠ＢＣＡ２ ＝２０°，∵ｌ１∥ｌ２，∴∠１＝∠ＣＢＡ＝２０°． ４．Ｂ ５．槡１３　【解析】如解图，分别过点 Ｇ，Ｆ作 ＡＢ的垂线，垂足为 Ｍ，Ｎ，过点Ｇ作ＧＰ⊥ＦＮ于点Ｐ， 第５题解图 ∴四边形 ＧＭＮＰ是矩形，∴ＧＭ＝ＰＮ，ＧＰ＝ＭＮ，∵∠ＢＡＣ＝ ９０°，ＡＢ＝ＡＣ＝５，∴ＣＡ⊥ＡＢ，又∵点Ｇ和点Ｆ分别是线段 ＤＥ 和ＢＣ的中点，∴ＧＭ和 ＦＮ分别是△ＡＤＥ和△ＡＢＣ的中位 线，∴ＧＭ＝１２ＡＤ＝１，ＡＭ＝ １ ２ＡＥ，ＦＮ＝ １ ２ＡＣ＝ ５ ２，ＡＮ＝ １ ２ＡＢ＝ ５ ２，∴ＭＮ＝ＡＮ－ＡＭ＝ ５ ２－ １ ２ＡＥ，∴ＰＮ＝１，ＦＰ＝ ３ ２，设ＡＥ＝ｍ，∴ＡＭ＝ １ ２ｍ，ＧＰ＝ＭＮ＝ ５ ２－ １ ２ｍ，在Ｒｔ△ＡＧＭ 中，ＡＧ２＝（１２ｍ） ２＋１２，在Ｒｔ△ＧＰＦ中，ＧＦ２＝（５２－ １ ２ｍ） ２＋ （ ３ ２） ２，∵ＡＧ＝ＧＦ，∴（１２ｍ） ２＋１２＝（５２－ １ ２ｍ） ２＋（３２） ２， 解得ｍ＝３，即ＡＥ＝３，在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＤＥ＝ ＡＤ２＋ＡＥ槡 ２ 槡＝ １３． ６．５４　【解析】如解图，取 ＡＢ的中点 Ｅ，连接 ＣＥ，ＰＥ．∵∠ＡＣＢ ＝９０°，∠Ａ＝３０°，∴∠ＣＢＥ＝６０°，∵点Ｅ是ＡＢ的中点，∴ＣＥ ＝ＢＥ＝ＡＥ，∴△ＢＣＥ是等边三角形，∴ＢＣ＝ＢＥ，∵△ＢＰＱ是 等边三角形，∴ＱＢ＝ＰＢ，∠ＰＢＱ＝∠ＣＢＥ＝６０°，∴∠ＱＢＣ＝ ∠ＰＢＥ，∴△ＱＢＣ≌△ＰＢＥ，∴ＱＣ＝ＰＥ，∴当 ＥＰ⊥ＡＣ时，ＥＰ 的值最小，即 ＱＣ的值最小，在 Ｒｔ△ＡＥＰ中，∵ＡＥ＝１２ＡＢ＝ ５ ２，∠Ａ＝３０°，∴ＰＥ＝ １ ２ＡＥ＝ ５ ４，∴ＣＱ的最小值为 ５ ４． 第６题解图 ７．槡２３或槡 ３ ２　【解析】①当点Ｄ靠近点Ｂ时，∵△ＡＢＣ为等边三 角形，且边长为６，∴ＢＤ＝２，ＣＤ＝４，∠Ｃ＝６０°，又∵ＤＥ⊥ＡＣ， ∴∠ＣＤＥ＝３０°，根据直角三角形的性质可得 ＣＥ＝２，ＤＥ＝ 槡２３，∴Ｓ△ＣＤＥ＝ １ ２ 槡 槡×２×２３＝２３；②当点Ｄ靠近点Ｃ时，同 理可得ＣＤ＝２，ＣＥ＝１，ＤＥ 槡＝３，∴Ｓ△ＣＤＥ＝ １ ２ 槡×１×３＝ 槡３ ２． 综上所述，△ＣＤＥ的面积为 槡２３或槡 ３ ２                                                          ． 【全角度考法探究】３或槡７　【解析】当点 Ｄ靠近点Ａ时，如 解图１，过点 Ｄ作 ＤＭ⊥ＡＣ于点 Ｍ，∵△ＡＢＣ是等边三角 形，∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ＝６，∠Ａ＝∠Ｃ＝∠Ｂ＝６０°，∴ＡＤ＝ １ ３ＡＢ＝２，∴ＡＭ＝ １ ２ＡＤ＝１，∴ＤＭ 槡＝３ＡＭ 槡＝３，∵ＢＥ＝２， ∴ＥＣ＝ＢＣ－ＢＥ＝４，∴ＣＦ＝１２ＥＣ＝２，∴ＥＦ 槡＝３ＦＣ 槡＝２３， ∵Ｇ是ＦＥ的中点，∴ＦＧ＝１２ＦＥ 槡＝３，∵ＥＦ⊥ＡＣ，ＤＭ⊥ＡＣ， ＤＭ＝ＦＧ 槡＝３，∴四边形 ＤＧＦＭ是矩形，∴ＤＧ＝ＦＭ，∵ＦＭ ＝ＡＣ－ＡＭ－ＣＦ＝６－１－２＝３，∴ＤＧ＝３； 图１ 　 图２ 解图 当点Ｄ靠近点Ｂ时，如解图２，连接 ＤＥ，∵ＢＤ＝１３ＡＢ＝２， ∴ＢＥ＝ＢＤ，∵∠Ｂ＝６０°，∴△ＤＢＥ是等边三角形，∴ＤＥ＝ ＤＢ＝２，∠ＤＥＢ＝６０°，∵∠ＣＥＦ＝９０°－∠Ｃ＝３０°，∴∠ＤＥＧ ＝１８０°－６０°－３０°＝９０°，∵ＥＧ 槡＝３，∴ＤＧ＝ ＤＥ ２＋ＥＧ槡 ２＝ 槡７．综上所述，ＤＧ的长为３或槡７． ８．证明：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＢ＝ＤＣ，∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°， 在△ＡＢＥ和△ＤＣＦ中， ＡＢ＝ＤＣ， ∠Ｂ＝∠Ｃ ＢＥ＝ＣＦ{ ，， ∴△ＡＢＥ≌△ＤＣＦ（ＳＡＳ）， ∴∠ＡＥＢ＝∠ＤＦＣ，∴∠ＡＥＦ＝∠ＤＦＥ． ９．证明：∵△ＡＢＣ与△ＢＤＥ是等腰三角形，且顶角分别是 ∠ＡＢＣ和∠ＤＢＥ，∴ＡＢ＝ＢＣ，ＢＤ＝ＢＥ， ∵∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＥ， ∴∠ＡＢＣ＋∠ＣＢＤ＝∠ＤＢＥ＋∠ＣＢＤ，即∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＥ， 在△ＡＢＤ和△ＣＢＥ中， ＡＢ＝ＣＢ， ∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＥ ＢＤ＝ＢＥ{ ， ， ∴△ＡＢＤ≌△ＣＢＥ（ＳＡＳ），∴ＡＤ＝ＣＥ． １０．（１）解：如解图，线段ＤＦ即为所求； 第１０题解图 （２）证明：∵ＡＣ∥ＤＢ，∴∠ＡＣＯ＝∠ＢＤＯ， ∵ＣＥ，ＤＦ分别平分∠ＡＣＯ，∠ＢＤＯ，∴∠ＥＣＯ＝∠ＦＤＯ， 在△ＯＣＥ与△ＯＤＦ中， ∠ＥＣＯ＝∠ＦＤＯ， ＯＣ＝ＯＤ， ∠ＣＯＥ＝∠ＤＯＦ { ， ∴△ＯＣＥ≌△ＯＤＦ（ＡＳＡ）． １１．解：由题意得ＡＢ＝１．５米，ＣＤ＝１．６米，ＡＦ＝２５．２８米， 在Ｒｔ△ＡＤＦ中，∠ＦＡＤ＝９０°，∠Ｄ＝５５°， ∴ＡＤ＝ ＡＦｔａｎ５５°≈ ２５．２８ １．４３≈１７．７（米）， ∴ＡＣ＝ＡＤ－ＣＤ＝１７．７－１．６＝１６．１（米）， 答：ＡＣ的高度约为１６．１米                                                                       ． ０１ 乾卷加练答案及解析·辽宁数学 数 学 １２．解：（１）如解图１，连接 ＡＣ，延长 ＣＤ交过点 Ａ的水平线于 点Ｋ． 第１２题解图１ 由题意得：ＢＣ＝ＡＢ＝３０厘米，∠ＢＡＦ＝７５°，∠ＡＢＣ＝９０°， ∴ＡＣ 槡＝３０２厘米，∠ＢＡＣ＝４５°， ∴∠ＣＡＫ＝６０°， ∵ＣＤ始终垂直于水平桌面ＭＮ，∴∠Ｋ＝９０°， ∴ＣＫ＝ＡＣ·ｓｉｎ∠ＣＡＫ 槡＝１５６≈３６．８（厘米）， ∵投影仪的底座高３厘米，∴探头的端点 Ｄ到桌面 ＭＮ的 距离为３６．８－１０＋３＝２９．８（厘米）． 答：探头的端点Ｄ到桌面ＭＮ的距离约为２９．８厘米； （２）如解图２，过点Ａ作ＡＥ⊥ＢＤ于点Ｅ， 第１２题解图２ ∴∠ＡＥＢ＝∠ＡＥＤ＝９０°， 由题意得ＢＤ∥ＡＦ，∠ＢＡＦ＝５３°，∴∠ＡＢＥ＝５３°， ∵ＡＢ＝３０厘米， ∴ＡＥ＝ＡＢ·ｓｉｎ∠ＡＢＥ＝３０×ｓｉｎ５３°≈３０×０．８＝２４（厘米）， ∴ＢＥ＝ ＡＢ２－ＡＥ槡 ２＝１８（厘米）， 由题意得∠ＢＤＡ＝６３°， ∴ＤＥ＝ ＡＥｔａｎ６３°≈ ２４ ２＝１２（厘米）， ∴ＤＢ＝１２＋１８＝３０（厘米）， 由题意得∠ＣＤＢ＝９０°， ∴ＢＣ＝ ＣＤ２ ＋ＢＤ槡 ２＝ １０２ ＋３０槡 ２ 槡＝１０ １０≈１０×３．１６＝ ３１．６（厘米）． 答：此时支架ＢＣ的长度约为３１．６厘米． １３．（１）证明：方法１：如题图２，∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ， 在△ＢＡＤ和△ＥＡＤ中， ＡＤ＝ＡＤ， ∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＤ， ＡＢ＝ＡＥ { ， ∴△ＡＢＤ≌△ＡＥＤ（ＳＡＳ）， ∴ＢＤ＝ＥＤ，∠ＡＥＤ＝∠ＡＢＣ＝２∠Ｃ， ∵∠ＡＥＤ＝∠Ｃ＋∠ＥＤＣ，∴∠ＥＤＣ＝∠Ｃ， ∴ＥＤ＝ＥＣ，∴ＢＤ＝ＥＣ， ∵ＡＣ＝ＡＥ＋ＥＣ，∴ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ                        ； 方法２：如题图３，∵ＢＥ＝ＢＤ， ∴∠Ｅ＝∠ＢＤＥ，则∠ＡＢＤ＝∠Ｅ＋∠ＢＤＥ＝２∠Ｅ， ∵∠ＡＢＣ＝２∠Ｃ，∴∠Ｅ＝∠Ｃ， ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ， 在△ＥＡＤ和△ＣＡＤ中， ∠Ｅ＝∠Ｃ， ∠ＥＡＤ＝∠ＣＡＤ， ＡＤ＝ＡＤ { ， ∴△ＥＡＤ≌△ＣＡＤ（ＡＡＳ），∴ＡＥ＝ＡＣ， ∵ＡＥ＝ＡＢ＋ＢＥ，∴ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ； （两种方法选择其中一种即可） （２）解：ＢＤ＝ＡＣ＋ＣＤ， 证明：如解图１，在ＢＤ上截取 ＭＤ＝ＤＣ，连接ＡＭ， ∵ＡＤ⊥ＢＣ， 第１３题解图１ ∴ＡＭ＝ＡＣ， ∴∠Ｃ＝∠ＡＭＣ， ∵∠Ｃ＝２∠Ｂ， ∴∠ＡＭＣ＝２∠Ｂ， ∵∠ＡＭＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＭ， ∴∠Ｂ＝∠ＢＡＭ， ∴ＡＭ＝ＢＭ＝ＡＣ， ∴ＢＤ＝ＢＭ＋ＭＤ＝ＡＣ＋ＣＤ； 第１３题解图２ （３）解：如解图２，延长 ＡＣ至点 Ｄ，使 ＡＤ ＝ＡＢ，连接 ＢＤ，ＣＤ，ＰＤ，ＰＤ交 ＢＣ于 点Ｆ， ∵ＡＰ平分∠ＢＡＣ， ∴∠ＢＡＰ＝∠ＣＡＰ， 又∵ＡＢ＝ＡＤ，ＡＰ＝ＡＰ， ∴△ＢＡＰ≌△ＤＡＰ（ＳＡＳ）， ∴∠ＤＰＡ＝∠ＢＰＡ＝１５０°，ＢＰ＝ＤＰ 槡＝４３， ∴∠ＢＰＤ＝６０°， ∴△ＢＰＤ为等边三角形， ∴∠ＰＢＤ＝６０°，ＢＰ＝ＢＤ， ∵∠ＰＢＣ＝３０°，∴∠ＤＢＣ＝３０°＝∠ＰＢＣ， ∴ＢＣ为ＰＤ的垂直平分线，∴ＣＰ＝ＣＤ， 则ＰＣ 槡 槡 槡＝４ １３－３ １３＝ １３， 在Ｒｔ△ＢＰＦ中，ＰＦ＝１２ＰＢ 槡＝２３，ＢＦ＝ＢＰ·ｃｏｓ３０°＝６， 在 Ｒｔ△ＰＣＦ中，由勾股定理得 ＣＦ＝ ＰＣ２－ＰＦ槡 ２ ＝ 槡１３－１２＝１， ∴ＢＣ＝ＢＦ＋ＦＣ＝７， ∴Ｓ△ＰＢＣ＝ １ ２ＢＣ·ＰＦ＝ １ ２ 槡 槡×７×２３＝７３． １４．解：（１）ＡＢ＝槡３３ＡＤ， 证明：∵△ＣＥＦ为等边三角形， ∴∠ＥＣＦ＝６０°∴∠ＤＣＥ＝３０°， 设ＤＥ＝ｘ，在Ｒｔ△ＤＥＣ中，ＥＣ＝２ＤＥ＝２ｘ， ∴ＣＤ＝ ＣＥ２－ＤＥ槡 ２＝ （２ｘ）２－ｘ槡 ２ 槡＝３ｘ， ∵矩形ＡＢＣＤ沿ＥＦ折叠， ∴ＡＥ＝ＥＣ＝２ｘ， ∴ＡＤ＝ＡＥ＋ＤＥ＝２ｘ＋ｘ＝３ｘ． ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＢ＝ＣＤ 槡＝３ｘ， ∴ＡＢＡＤ＝ 槡３ｘ ３ｘ＝ 槡３ ３，∴ＡＢ＝ 槡３ ３ＡＤ； （２）①△ＣＥＦ为等腰直角三角形，理由如下： ∵△ＡＥＦ沿ＥＦ折叠，使点Ａ与点Ｃ重合， ∴ＥＦ是线段ＡＣ的垂直平分线，∠ＥＣＦ＝∠Ａ＝４５°， ∴∠ＥＦＣ＝９０°，∴∠ＦＥＣ＝４５°， ∴∠ＦＥＣ＝∠ＥＣＦ，∴ＥＦ＝ＦＣ， ∴△ＣＥＦ为等腰直角三角形； ②根据①和图形折叠的性质可知：ＣＦ＝ＥＦ＝ＡＦ＝１２                                                                       ＡＣ １１ 乾卷加练答案及解析·辽宁数学 数 学 ＝１， ∵点Ｄ是ＥＦ的中点， ∴ＤＦ＝１２ＥＦ＝ １ ２， ∴在Ｒｔ△ＣＦＤ中，ＣＤ＝ ＤＦ２＋ＣＦ槡 ２＝ （１２） ２＋１槡 ２＝槡５２； （３）过点Ａ作ＡＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，过点Ｄ分别作ＤＭ⊥ＡＧ于点 Ｍ，ＤＮ⊥ＢＣ于点Ｎ，连接ＡＤ，如解图， 第１４题解图 ∵Ａ，Ｃ两点关于折痕 ＥＦ对称，∠ＡＣＤ ＝４５°， ∴ＤＡ＝ＤＣ，∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＤ＝４５°， ∴∠ＡＤＣ＝９０°， ∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＧ⊥ＢＣ， ∴点Ｇ为ＢＣ的中点， ∴ＢＧ＝ＣＧ＝１２ＢＣ＝１， ∴ＡＧ＝ ＡＢ２－ＢＧ槡 ２＝ （槡５） ２－１槡 ２＝２， ∵ＡＧ⊥ＢＣ，ＤＭ⊥ＡＧ，ＤＮ⊥ＢＣ， ∴四边形ＤＮＧＭ为矩形， ∴∠ＮＤＭ＝９０°＝∠ＡＤＣ， ∴∠ＡＤＭ＝∠ＣＤＮ． 在△ＡＤＭ和△ＣＤＮ中， ∠ＡＭＤ＝∠ＣＮＤ， ∠ＡＤＭ＝∠ＣＤＮ， ＡＤ＝ＣＤ{ ， ∴△ＡＤＭ≌△ＣＤＮ（ＡＡＳ）， ∴ＤＭ＝ＤＮ，ＡＭ＝ＮＣ， ∴四边形ＤＮＧＭ为正方形， ∴ＤＭ＝ＤＮ＝ＮＧ＝ＭＧ， 设ＤＭ＝ＤＮ＝ＮＧ＝ＭＧ＝ｘ，则ＡＭ＝ＮＣ＝ＮＧ＋ＧＣ＝ｘ＋１， ∴ＡＧ＝ＡＭ＋ＭＧ＝ｘ＋１＋ｘ＝２ｘ＋１＝２， 解得ｘ＝１２， ∴ＢＮ＝ＢＧ－ＮＧ＝１－１２＝ １ ２， ∴ＢＤ＝ ＢＮ２＋ＤＮ槡 ２＝ （１２） ２＋（１２）槡 ２＝槡２２． 加练五　特殊四边形 １．１３５ ２．Ｂ　【解析】∵ＡＢ＝１２，ＢＥ＝４，∴ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝１２－４＝８， ∴ＢＣ＝ＡＤ＝ ＡＥ２＋ＤＥ槡 ２＝ ８２＋６槡 ２＝１０，∴ＳＡＢＣＤ＝ＡＢ· ＤＥ＝ＢＣ·ＤＦ，∴ＤＦ＝ＡＢ·ＤＥＢＣ ＝ １２×６ １０ ＝７．２． ３．Ａ　【解析】如解图，取ＯＤ的中点Ｈ，连接ＨＰ， 第３题解图 ∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，ＡＣ＝８，ＢＤ＝１２，∴ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＯ＝ＣＯ ＝４，ＯＢ＝ＯＤ＝６，∵点Ｈ是 ＯＤ的中点，点 Ｅ是 ＯＢ的中点， 点Ｐ是ＣＤ的中点，∴ＯＨ＝３，ＯＥ＝３，ＨＰ＝１２ＯＣ＝２，ＨＰ∥ ＡＣ，∴ＥＨ＝６，∠ＥＨＰ＝９０°，∴ＥＰ＝ ＥＨ２＋ＨＰ槡 ２＝ ６２＋２槡 ２ 槡＝２１０                                                          ． 【全角度考法探究 １】槡２３　【解析】∵ＤＨ⊥ＡＢ，ＨＡ＝ＨＢ， ∴ＤＡ＝ＤＢ，∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＢ＝ＡＤ，∴ＡＢ＝ＡＤ ＝ＢＤ，∴ △ＡＢＤ 是 等 边 三 角 形，∴ ∠ＤＡＢ ＝６０°， ∵ｔａｎ∠ＤＡＨ＝ｔａｎ６０°＝ＤＨＡＨ 槡＝３，ＡＨ＝１，∴ＤＨ 槡＝３，∵ＡＢ＝ ＡＨ＋ＢＨ＝１＋１＝２，∴菱形ＡＢＣＤ的面积＝ＡＢ·ＤＨ 槡＝２３． 【全角度考法探究２】槡４１３ｃｍ　【解析】如解图，∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，ＡＣ＝４ｃｍ，∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，ＯＢ＝ＯＤ， ＯＡ＝ＯＣ＝１２ＡＣ＝２（ｃｍ），ＡＣ⊥ＢＤ，∵菱形ＡＢＣＤ的面积是 １２ｃｍ２，∴ １２ＡＣ·ＢＤ＝１２，即 １ ２×４ＢＤ＝１２，解得 ＢＤ＝６， ∴ＯＢ＝１２ＢＤ＝ １ ２×６＝３（ｃｍ），在Ｒｔ△ＡＯＢ中，由勾股定理 得：ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２＝ ２２＋３槡 ２ 槡＝ １３（ｃｍ），∴菱形的周长为 槡４１３ｃｍ． 解图 ４．Ｃ　【解析】∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ 槡＝４２，∠ＢＡＤ＝９０°，ＯＡ＝ＯＣ＝ＯＢ＝ＯＤ，∴ＢＤ 槡＝２ＡＢ＝８，∴ ＯＢ＝ＯＤ＝４，由作图可知：ＯＥ垂直平分线段 ＢＣ，∴ＢＦ＝ＣＦ， ∵ＯＣ＝ＯＡ，∴ＯＦ∥ＡＢ，ＯＦ＝１２ＡＢ，∴△ＯＦＧ∽△ＢＡＧ，∴ ＯＧ ＧＢ ＝ＯＦＡＢ＝ １ ２，∴ＯＧ＝ １ ３ＯＢ＝ ４ ３． ５．槡２或 槡２＋２　【解析】①如解图１，当 ＤＦ⊥ＡＢ时，△ＣＤＦ是直 角三角形，∵在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，∴ＣＤ＝ＡＤ＝ＡＢ＝４，在 Ｒｔ△ＡＤＦ中，∵ＡＤ＝４，∠ＤＡＦ＝４５°，∴ＤＦ＝ＡＦ 槡＝２２，∴ＡＰ ＝１２ＡＦ 槡＝２； 第５题解图１ 第５题解图２ ②如解图２，当ＣＦ⊥ＡＢ时，△ＤＣＦ是直角三角形， 在Ｒｔ△ＣＢＦ中，∵∠ＣＦＢ＝９０°，∠ＣＢＦ＝∠Ａ＝４５°，ＢＣ＝４， ∴ＢＦ＝ＣＦ 槡＝２２，∴ＡＦ 槡＝４＋２２，∴ＡＰ＝ １ ２ＡＦ 槡＝２＋２． 综上所述，ＡＰ的长为槡２或 槡２＋２． ６．１或 ９　【解析】①当点 Ｐ在线段 ＡＤ上时，如解图 １，连接 ＢＭ，在矩形ＡＢＣＤ中，ＣＤ＝ＡＢ＝３，ＡＤ＝ＢＣ＝５，∠Ａ＝∠Ｄ＝ ９０°，∵点Ａ关于直线ＢＰ的对称点为点Ｍ，∴∠ＢＭＰ＝∠Ａ＝ ９０°，ＢＭ＝ＡＢ＝３，ＭＰ＝ＡＰ，∴ＣＭ＝ ＢＣ２－ＢＭ槡 ２＝ ５２－３槡                                                                       ２ ２１