加练六 圆-【一战成名新中考·乾坤卷】2024辽宁中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练答案及解析·辽宁数学 数 学 ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． １１．证明：∵ＥＦ⊥ＢＤ，∴∠ＢＯＥ＝∠ＢＯＦ＝９０°， ∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∴∠ＯＢＥ＝∠ＯＢＦ， 在△ＢＯＥ和△ＢＯＦ中， ∠ＢＯＥ＝∠ＢＯＦ， ＢＯ＝ＢＯ， ∠ＯＢＥ＝∠ＯＢＦ { ， ∴△ＢＯＥ≌△ＢＯＦ（ＡＳＡ），∴ＯＥ＝ＯＦ， ∵ＯＢ＝ＯＤ，∴四边形ＢＥＤＦ是平行四边形， ∵ＥＦ⊥ＢＤ，∴四边形ＢＥＤＦ是菱形． １２．证明：（１）由作图知，ＭＮ是线段ＡＢ的垂直平分线， ∵点Ｃ是直线ＭＮ上任意一点，ＭＮ交ＡＢ于点Ｄ， ∴ＣＡ＝ＣＢ，ＡＤ＝ＢＤ，∴∠Ａ＝∠Ｂ． 又∵ＤＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＢＣ， ∴∠ＡＥＤ＝∠ＢＦＤ＝９０°， 在△ＡＥＤ与△ＢＦＤ中， ∠ＡＥＤ＝∠ＢＦＤ， ∠Ａ＝∠Ｂ， ＡＤ＝ＢＤ { ， ∴△ＡＥＤ≌△ＢＦＤ（ＡＡＳ）； （２）∵ＡＢ＝２，∴ＡＤ＝ＢＤ＝１２ＡＢ＝１． ∴ＣＤ＝ＡＤ＝ＢＤ＝１， 又∵ＭＮ⊥ＡＢ， ∴△ＡＣＤ和△ＢＣＤ都是等腰直角三角形， ∴∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ＝４５°， ∴∠ＥＣＦ＝∠ＡＣＤ＋∠ＢＣＤ＝９０°， ∵∠ＤＥＣ＝∠ＤＦＣ＝９０°， ∴四边形ＤＥＣＦ是矩形，∠ＣＤＥ＝９０°－４５°＝４５°， ∴∠ＥＣＤ＝∠ＣＤＥ＝４５°，∴ＥＤ＝ＣＥ， ∴四边形ＤＥＣＦ是正方形． １３．解：（１）△ＣＥＮ是等腰直角三角形；【解法提示】∵△ＡＢＣ和 △ＢＦＥ是等腰直角三角形，∴∠ＡＣＢ＝∠ＢＥＦ＝９０°，ＡＣ＝ＢＣ ＝ＢＥ＝ＦＥ，∵Ｃ，Ｂ，Ｅ三点共线，∠ＡＣＢ＋∠ＢＥＦ＝１８０°，∴ ＡＣ∥ＥＦ，∴四边形ＡＣＥＦ是矩形，∴∠ＣＡＭ＝∠ＮＦＭ＝９０°， ∵点Ｍ是 ＡＦ的中点，∴ＡＭ＝ＦＭ，在△ＡＭＣ和△ＦＭＮ中， ∠ＣＡＭ＝∠ＮＦＭ， ＡＭ＝ＦＭ， ∠ＡＭＣ＝∠ＦＭＮ { ， ∴△ＡＭＣ≌△ＦＭＮ（ＡＳＡ），∴ＡＣ＝ＦＮ＝ ＥＦ，∴ＣＥ＝ＥＮ＝２ＡＣ，∵∠ＣＥＮ＝９０°，∴△ＣＥＮ是等腰直角 三角形． （２）①（１）中的结论仍然成立，即△ＣＥＮ是等腰直角三角 形．证明如下： 如解图１，延长ＣＢ，ＮＦ交于点Ｈ，设ＥＦ与ＢＨ交于点Ｏ， 第１３题解图１ ∵点Ｍ是ＡＦ的中点，∴ＡＭ＝ＦＭ， ∵ＮＦ∥ＡＣ，∴∠ＣＡＦ＝∠ＮＦＡ， 在△ＡＭＣ和△ＦＭＮ中， ∠ＣＡＭ＝∠ＮＦＭ， ＡＭ＝ＦＭ， ∠ＡＭＣ＝∠ＦＭＮ { ， ∴△ＡＭＣ≌△ＦＭＮ（ＡＳＡ）， ∴ＮＦ＝ＡＣ， ∵△ＡＣＢ和△ＢＥＦ是两个全等的等腰直角三角形， ∴ＡＣ＝ＣＢ＝ＢＥ＝ＥＦ＝ＮＦ，且∠ＡＣＢ＝∠ＢＥＦ＝９０°， ∵ＮＦ∥ＡＣ，∴∠ＡＣＢ＋∠ＣＨＮ＝１８０°， ∴∠ＣＨＮ＝９０°． ∵∠ＦＯＢ是△ＢＯＥ和△ＦＯＨ的外角， ∴∠ＦＯＢ＝∠ＯＦＨ＋９０°＝∠ＯＢＥ＋９０°， ∴∠ＯＦＨ＝∠ＯＢＥ，∴∠ＣＢＥ＝∠ＥＦＮ， 在△ＥＢＣ和△ＥＦＮ中， ＥＢ＝ＥＦ， ∠ＥＢＣ＝∠ＥＦＮ， ＢＣ＝ＦＮ { ， ∴△ＥＢＣ≌△ＥＦＮ（ＳＡＳ）， ∴∠ＣＥＢ＝∠ＮＥＦ，ＣＥ＝ＮＥ， ∴∠ＣＥＢ＋∠ＢＥＮ＝∠ＮＥＦ＋∠ＢＥＮ＝９０°，即∠ＣＥＮ＝９０°， ∴△ＣＥＮ是等腰直角三角形； ②△ＣＥＮ的面积为 槡１６＋８２或 槡１６－８２．【解法提示】当点 Ｆ 在ＣＢ的延长线上时，过点 Ｅ作 ＥＫ⊥ＣＦ于点 Ｋ，如解图２， ∵正方形纸片的边长是４，∴ＢＣ＝ＢＥ＝ＥＦ＝４，∵△ＢＥＦ是 等腰直角三角形，ＥＫ⊥ＢＦ，∴ＥＫ＝ＢＫ 槡＝２２，∴ＣＫ＝４＋ 槡２２，由①知△ＣＥＮ是等腰直角三角形，∴Ｓ△ＣＥＮ＝ １ ２ＣＥ ２＝ １ ２（ＣＫ ２＋ＥＫ２）＝１２×［（ 槡４＋２２） ２＋（槡２２） ２］ 槡＝１６＋８２； 图２ 　 图３ 第１３题解图 当点Ｆ在ＢＣ的延长线上时，过点 Ｅ作 ＥＧ⊥ＢＦ于点 Ｇ，如 解图３，∵正方形纸片的边长是 ４，∴ＢＣ＝ＢＥ＝ＥＦ＝４， ∵△ＢＥＦ是等腰直角三角形，ＥＧ⊥ＢＦ，∴ＢＧ＝ＥＧ＝ＦＧ＝ 槡２２，∴ＣＧ＝ＢＣ－ＢＧ 槡＝４－２２，由①知△ＣＥＮ是等腰直角三 角形，∴Ｓ△ＣＥＮ ＝ １ ２ＣＥ ２ ＝１２（ＣＧ ２ ＋ＥＧ２）＝１２ ×［（４－ 槡２２） ２＋（槡２２） ２］ 槡＝１６－８２．综上所述，当 Ｃ，Ｂ，Ｆ三点共线 时，△ＣＥＮ的面积为 槡１６＋８２或 槡１６－８２． 加练六　圆 １．Ｃ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，∠Ｄ＝１２０°，∴∠Ｂ＝ ６０°，∴∠ＡＯＣ＝２∠Ｂ＝１２０°，∴ ) ＡＣ＝１２０π×４１８０ ＝ ８ ３π． ２．Ａ　【解析】∵∠ＡＢＣ＝１５°，∴∠ＡＯＣ＝２∠ＡＢＣ＝３０°，∵ＡＯ⊥ ＢＯ，∴∠ＡＯＢ＝９０°，∴∠ＢＯＣ＝９０°－３０°＝６０°，∴ ) ＢＣ的长为 ６０π×２ １８０ ＝ ２ ３π． ３．Ｂ　【解析】∵ＣＡ＝ＣＢ，ＣＤ⊥ＡＢ，∴ＡＤ＝ＤＢ＝１２ＡＢ＝ １ ２ＡＢ′． ∴∠ＡＢ′Ｄ＝３０°，∴∠ＢＡＢ′＝６０°，∴α＝３０°，∵ＡＣ＝４，∴ＡＤ ＝ＡＣ·ｃｏｓ３０°＝４×槡３２ 槡＝２３，∴ＡＢ＝２ＡＤ 槡＝４３，∴ ) ＢＢ′                                                                       的长 ４１ 乾卷加练答案及解析·辽宁数学 数 学 是 ６０π 槡×４３ １８０ ＝ 槡４３ ３π． ４．Ｂ　【解析】连接ＣＤ，如解图，∵∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＡＢ＝ ８，∴∠Ａ＝９０°－３０°＝６０°，ＡＣ＝１２ＡＢ＝４，由题意得 ＡＣ＝ ＣＤ，∴△ＡＣＤ为等边三角形，∴∠ＡＣＤ＝６０°，ＣＤ＝ＡＣ＝４，∴ ∠ＥＣＤ＝９０°－６０°＝３０°，∴ ) ＤＥ的长为３０π×４１８０ ＝ ２π ３． 第４题解图                  【全角度考法探究】（槡 ５ ２，０）　【解析】∵点 Ａ（１，０），点 Ｂ（０，２），∴ＯＡ＝１，ＯＢ＝２，∴ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２＝ １２＋２槡 ２ 槡＝５，∵∠ＡＯＢ＝９０°，点 Ｄ为 ＡＢ的中点，∴ＯＤ＝ １ ２ＡＢ＝ 槡５ ２，∴ＯＣ＝ 槡５ ２，∴点Ｃ的坐标为（ 槡５ ２，０）． ５．（１）证明：∵ＡＤ是⊙Ｏ的切线， ∴ＥＡ⊥ＡＤ，即∠ＥＡＤ＝９０°， ∵点Ｂ是ＤＦ的中点， ∴ＡＢ＝１２ＤＦ＝ＢＦ，∴∠ＢＡＥ＝∠ＡＦＢ， ∵∠Ｃ＝∠ＢＡＥ，∴∠ＡＦＢ＝∠Ｃ； （２）解：如解图，连接ＡＣ，则∠ＥＣＡ＝∠ＥＣＦ＋∠ＡＣＤ＝９０°， 第５题解图 由（１）可知，∠ＥＡＤ＝９０°，∴∠ＡＦＢ＋∠Ｄ＝９０°， ∵∠ＡＦＢ＝∠ＥＣＦ，∠ＡＦＢ＝∠ＣＦＥ， ∴∠ＡＣＤ＝∠Ｄ，∠ＣＦＥ＝∠ＥＣＦ， ∴ＡＣ＝ＡＤ，ＥＣ＝ＥＦ， ∵ＡＢ＝５，ＡＢ＝１２ＤＦ，∴ＤＦ＝１０， ∵⊙Ｏ的半径为４， ∴ＡＥ＝８，设ＡＦ＝ｘ，则ＣＥ＝ＥＦ＝８－ｘ， 又∵ＡＣ＝ＡＤ，∴ＡＥ２－ＣＥ２＝ＤＦ２－ＡＦ２， 即８２－（８－ｘ）２＝１０２－ｘ２，解得ｘ＝２５４， ∴ＡＦ＝２５４． ６．解：（１）如解图，直线ＯＤ，ＣＤ即为所求； （２）如解图，连接ＯＣ， ∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＣＢ＝９０°， 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ 槡＝６３，ＢＣ＝６， ∴ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２＝１２， ∴ＯＤ＝ＯＣ＝ＯＢ＝１２ＡＢ＝６， ∴ＯＣ＝ＯＢ＝ＢＣ， ∴△ＯＢＣ是等边三角形，∴∠ＯＣＢ＝６０°， ∵ＯＤ⊥ＡＣ，ＡＣ⊥ＢＣ，∴ＯＤ∥ＢＣ， ∴∠ＤＯＣ＝∠ＯＣＢ＝６０°， ∴Ｓ扇形ＤＯＣ＝ ６０π×６２ ３６０ ＝６π． 第６题解图 ７．（１）证明：连接ＯＣ，如解图， ∵ＯＡ＝ＯＢ，ＣＡ＝ＣＢ，∴ＡＢ⊥ＯＣ， 又∵ＯＣ是⊙Ｏ的半径， ∴直线ＡＢ是⊙Ｏ的切线； 第７题解图 （２）解：连接ＣＦ，如解图， ∵∠ＡＣＯ＝９０°，∠Ａ＝∠Ｂ＝３０°， ∴∠ＣＯＡ＝９０°－∠Ａ＝６０°， ∵ＯＣ＝ＯＦ，∴△ＣＯＦ是等边三角形， ∴∠ＯＣＦ＝６０°，ＯＣ＝ＣＦ， ∴∠ＦＣＧ＝∠ＡＣＯ－∠ＯＣＦ＝３０°， ∵ＯＥ＝ＯＦ，∠ＥＯＦ＝∠Ａ＋∠Ｂ＝６０°， ∴△ＥＯＦ是等边三角形， ∴∠ＯＦＥ＝６０°＝∠ＣＯＡ，∴ＥＦ∥ＯＣ， ∴∠ＣＧＦ＝∠ＢＣＯ＝９０°，∴ＣＧＣＦ＝ｃｏｓ３０°＝ 槡３ ２， ∵ＣＧ 槡＝３，∴ＣＦ＝２， ∴ＯＤ＝ＯＣ＝ＣＦ＝２，∴ＯＡ＝ＯＢ＝２ＯＣ＝４， ∴ＢＤ＝ＯＢ－ＯＤ＝４－２＝２，∴ＢＤ的长是２                                                             ． ５１ 乾卷加练·辽宁数学 数 学 加练六　圆 ◆弧长的计算 １．如图，四边形 ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，⊙Ｏ的半径 为４，∠Ｄ＝１２０°，则 ) ＡＣ的长是 （　　） Ａ．π　 　 Ｂ．４３π　 　 Ｃ． ８ ３π　 　 Ｄ．４π 第１题图 　　　 第２题图 ２．如图，在⊙Ｏ中，半径 ＡＯ⊥ＢＯ，Ｃ为 ) ＡＢ上一 点，连接 ＡＣ，ＢＣ，ＡＢ，ＯＣ，若∠ＡＢＣ＝１５°， ＣＯ＝２，则 ) ＢＣ的长为 （　　） Ａ．２π３　　　Ｂ． π ６　　　Ｃ． π ３　　　Ｄ． π ２ ３．如图，在△ＡＢＣ中，ＣＡ＝ＣＢ＝４，∠ＢＡＣ＝α， 将△ＡＢＣ绕点Ａ逆时针旋转２α，得到△ＡＢ′Ｃ′， 连接Ｂ′Ｃ并延长交 ＡＢ于点 Ｄ，当 Ｂ′Ｄ⊥ＡＢ 时， ) ＢＢ′的长是 （　　） Ａ．２槡３３π　 Ｂ． ４槡３ ３π　 Ｃ． ２槡３ ９π　 Ｄ． ８槡３ ９π 第３题图 　　　 第４题图 ４．如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ｂ＝３０°， ＡＢ＝８，以点Ｃ为圆心，ＣＡ的长为半径画弧， 交ＡＢ于点Ｄ，交ＢＣ于点Ｅ，则 ) ＤＥ的长为 （　　） Ａ．１３π　　 Ｂ． ２ ３π　　 Ｃ． ８ ３π　　 Ｄ． ２槡３ ３                                      π 【全角度考法探究】如图，平面直角坐标系 ｘＯｙ中，点Ａ（１，０），点Ｂ（０，２），点Ｄ为ＡＢ的 中点，以点Ｏ为圆心，ＯＤ长为半径画弧，交ｘ 轴正半轴于点Ｃ，则点Ｃ的坐标为　　　　． 题图 ◆圆的综合题 ５．如图，ＡＥ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＢ与 ＡＥ交于点 Ｆ，连接ＣＥ，过点Ａ作⊙Ｏ的切线交ＣＢ的延 长线于点Ｄ，点Ｂ是ＤＦ的中点． （１）求证：∠ＡＦＢ＝∠Ｃ； （２）若⊙Ｏ的半径为４，ＡＢ＝５，求ＡＦ的长． 第５题图                                                                  ７３ 乾卷加练·辽宁数学 数 学 ６．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点 Ｃ在⊙Ｏ上，且 ＡＣ 槡＝６３，ＢＣ＝６． （１）尺规作图：过点 Ｏ作 ＡＣ的垂线，交劣弧 ＡＣ于点Ｄ，连接ＣＤ（保留作图痕迹，不写 作法）； （２）根据（１）中所作的图形，求扇形 ＤＯＣ的 面积． 第６题图 ７．如图，直线ＡＢ经过⊙Ｏ上的点Ｃ，并且ＯＡ＝ ＯＢ，ＣＡ＝ＣＢ，⊙Ｏ交直线ＯＢ于点Ｅ，点Ｄ，交 ＯＡ于点Ｆ，连接ＥＦ并延长交ＡＢ于点Ｇ． （１）求证：直线ＡＢ是⊙Ｏ的切线； （２）若∠Ｂ＝３０°，ＣＧ 槡＝３，求ＢＤ的长． 第７题图                                                                       ８３