加练二 反比例函数-【一战成名新中考·乾坤卷】2024辽宁中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练·辽宁数学 数 学 加练二　反比例函数 ◆反比例函数的图象与性质 １．（开放性设问）若反比例函数ｙ＝ｋ－２ｘ的图象 位于第一、三象限，则ｋ的值可以是　　　　． （只要写出一个满足条件的ｋ值） ２．已知点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）在反比例函数ｙ＝ ３ ｘ的图象上，且ｘ１＜ｘ２＜０，则ｙ１　　　　ｙ２． （填“＞”“＜”或“＝”） ３．已知反比例函数ｙ＝２ｘ，下列结论不正确的是 （　　） Ａ．图象必经过点（１，２） Ｂ．在每个象限内，ｙ随ｘ的增大而减小 Ｃ．图象在第二、四象限内 Ｄ．图象与坐标轴没有交点 ◆ｋ的几何意义 ４．如图，菱形 ＡＢＣＤ的顶点 Ｂ在 ｙ轴的正半轴 上，Ｃ在 ｘ轴的正半轴上，Ａ，Ｄ均在第一象 限，连接ＡＣ，ＢＤ，相交于点Ｅ，ＢＤ∥ｘ轴，反比 例函数ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）的图象经过菱形 ＡＢＣＤ 的中心点Ｅ，交ＡＢ于点Ｆ，已知Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝２， 则ｋ的值为　　　　． 第４题图          【全角度考法探究】在上述条件下， ＢＦ ＡＢ的值 为　　　　． ５．如图，四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，ＣＤ在 ｘ轴上，点 Ｂ在 ｙ轴上，反比例函数 ｙ＝ｋｘ （ｘ＞０）的图象经过点Ａ，且平行四边形ＡＢＣＤ 的面积为８，则ｋ＝　　　　． 第５题图 　　　 第６题图 ６．如图，△ＡＢＣ的两个顶点Ａ，Ｂ分别在反比例 函数ｙ＝６ｘ（ｘ＞０）和ｙ＝ ｋ ｘ（ｘ＜０）的图象上， 顶点Ｃ在ｘ轴上．已知ＡＢ∥ｘ轴，且△ＡＢＣ的 面积等于８，则ｋ的值为　　　　． ◆反比例函数的实际应用 ７．（数学文化）古希腊著名的科学家阿基米德 发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆 原理”，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”． 小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力 和阻力臂分别是 １２００Ｎ和 ０．５ｍ，则动力 Ｆ（单位：Ｎ）关于动力臂ｌ（单位：ｍ）的函数表 达式正确的是 （　　） Ａ．Ｆ＝１２００ｌ　　　 　　Ｂ．Ｆ＝ ６００ ｌ Ｃ．Ｆ＝１０００ｌ Ｄ．Ｆ＝ ２４００ ｌ ８．如图，在平面直角坐标系中有四个点，分别代 表阻值Ｒ不同的甲、乙、丙、丁四个电阻通过 不同电流Ｉ时的情况，其中甲、丙两个电阻对 应的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 则这四个电阻中两端电压最大的是 （　　） 第８题图 Ａ．甲　　　Ｂ．乙　　　Ｃ．丙　　　Ｄ．                                                                   丁 ５２ 乾卷加练·辽宁数学 数 学 ９．在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同 相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以 波的形式移动，随着５Ｇ技术的发展，依靠电 磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于 民用及军事领域．电磁波的波长λ（单位：ｍ） 会随着电磁波的频率ｆ（单位：ＭＨｚ）的变化而 变化．如表是某段电磁波在同种介质中，波长 λ与频率ｆ的部分对应值： 频率ｆ／ＭＨｚ ５ １０ １５ ２０ ２５ ３０ 波长λ／ｍ ６０ ３０ ２０ １５ １２ １０ （１）该段电磁波的波长 λ与频率 ｆ满足怎样 的函数关系？求出波长 λ关于频率 ｆ的 函数关系式； （２）当ｆ＝５０ＭＨｚ时，求此电磁波的波长λ． １０．（真实情境）在一次物理实验中，小冉同学 用一固定电压为１２Ｖ的蓄电池，通过调节 滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡 Ｌ（灯丝的阻值 ＲＬ＝２Ω）亮度的实验（如 图），已知串联电路中，电流与电阻 Ｒ、ＲＬ之 间关系为 Ｉ＝ ＵＲ＋ＲＬ ，通过实验得出如下 数据： 第１０题图 Ｒ／Ω … １ ２ ａ ４ ６ … Ｉ／Ａ … ｂ ３ ２．４ ２ １．５ … （１）ａ＝　　　　，ｂ＝　　　　； （２）【应用探究】根据以上实验，构建出函数 ｙ＝１２ｘ＋２（ｘ≥０），结合表格信息，探究函 数ｙ＝１２ｘ＋２（ｘ≥０）的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出函数ｙ＝ １２ ｘ＋２（ｘ≥０）的图象； ②随着自变量 ｘ的不断增大，请说明函 数值ｙ的变化趋势． （３）【问题拓展】结合（２）中函数图象分析， 当ｘ≥０时，求出 １２ｘ＋２≥－ｘ＋６的解集                                                                       ． ６２ 乾卷加练答案及解析·辽宁数学 数 学 在△ＢＴＱ和△ＣＴＲ中， ∠ＢＴＱ＝∠ＣＴＲ， ＢＴ＝ＣＴ， ∠ＱＢＴ＝∠ＲＣＴ { ， ∴△ＢＴＱ≌△ＣＴＲ，∴ＴＲ＝ＱＴ， ∵ＡＢ＝ＢＣ 槡＝４２，∠ＡＢＣ＝９０°， ∴ＡＣ 槡＝２ＡＢ＝８， ∴ＡＴ＝ＣＴ＝ＢＴ＝４， ∴ＱＴ＝ＲＴ＝２， ∴ＢＦ＝ＴＥ＝２， ∴ＣＥ＝２， ∴Ｓ△ＣＥＦ＝ １ ２ＣＥ·ＦＴ＝ １ ２×２×２＝２． 加练一　一次函数 １．      Ｂ 【全角度考法探究１】四 【全角度考法探究２】＞，＜ ２．Ｂ　【解析】∵ｋ＝－５＜０，∴ｙ随 ｘ的增大而减小，又∵点 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）都在一次函数 ｙ＝－５ｘ＋ｍ（ｍ是常数） 的图象上，且ｘ１＞ｘ２，∴ｙ１＜ｙ２．故选Ｂ． ３．Ｄ　【解析】如解图，在图象上分别取横坐标为ｍ（ｍ＜０）的两 个点Ａ和Ｂ，则Ａ（ｍ，ｍｋ２），Ｂ（ｍ，ｍｋ１），∵ｋ１ｍ＜ｋ２ｍ，∴ｋ１＞ ｋ２，当取横坐标 ｍ为正数时，同理可得 ｋ１＞ｋ２，综上所述， ｋ２＜ｋ１＜０，故选Ｄ． 第３题解图 ４．Ｃ　【解析】∵ｙ＝－２ｘ＋４，ｋ＝－２＜０，ｂ＝４＞０，∴图象经过 第一、二、四象限，ｙ随ｘ的增大而减小，故 Ａ，Ｂ不符合题意； 当ｙ＝０时，－２ｘ＋４＝０，解得 ｘ＝２，∴图象与 ｘ轴交于 （２，０），故Ｃ符合题意；当ｘ＝０时，ｙ＝４，∴图象与 ｙ轴交于 （０，４），故Ｄ不符合题意；故选Ｃ． ５．      Ａ 【全角度考法探究１】ｙ＝１５ｘ＋１０ 【全角度考法探究２】Ｃ ６．解：（１）设Ａ种树苗每捆ｘ元，则Ｂ种树苗每捆（ｘ＋６）元， 根据题意，得５ｘ＝４（ｘ＋６），解得ｘ＝２４． ∴ｘ＋６＝３０． 答：Ａ种树苗每捆２４元，Ｂ种树苗每捆３０元； （２）设Ａ种树苗购进 ａ捆，则 Ｂ种树苗购进（１００－ａ）捆，购 进树苗所需费用为ｗ元． 根据题意，得ｗ＝２４ａ＋３０（１００－ａ）＝－６ａ＋３０００． ∵购进Ｂ种树苗的捆数不少于Ａ种树苗捆数的三分之一，两 种树苗总费用不超过２７００元． ∴ １００－ａ≥ １３ａ， －６ａ＋３０００≤２７００{ ，解得５０≤ａ≤７５． ∵－６＜０，∴ｗ随ａ的增大而减小． ∴当ａ＝７５时，ｗ最小，最小值为２５５０． ∴１００－ａ＝２５． 答：Ａ种树苗购进７５捆，Ｂ种树苗购进２５捆，公司所需费用 最少，最少费用是２５５０元． ７．解：（１）由题意得：ｍ＝０，ｙ＝０， ∵ｍ０＝１０，Ｍ＝５０， ∴１０ｌ＝５０ａ， ∴ｌ＝５ａ； （２）由题意得：ｍ＝１０００，ｙ＝５０， ∴（１０＋１０００）ｌ＝５０（ａ＋５０）， ∴１０１ｌ－５ａ＝２５０； （３）由（１）（２）可得 ｌ＝５ａ， １０１ｌ－５ａ＝２５０{ ，解得 ａ＝１２， ｌ＝５２ { ； （４）由（３）可知：ｌ＝５２，ａ＝ １ ２， ∴ ５２（１０＋ｍ）＝５０（ １ ２＋ｙ），∴ｙ＝ １ ２０ｍ． ８．解：（１）一次函数ｙ＝－ｘ＋４， 令ｘ＝０，则ｙ＝４；令ｙ＝０，则ｘ＝４， ∴Ａ（０，４），Ｂ（４，０）； ∵点Ｄ是ＡＢ的中点，∴Ｄ（２，２）， 设直线ＣＤ的函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），代入点 Ｄ，点 Ｅ 坐标，则 ６ｋ＋ｂ＝４， ２ｋ＋ｂ＝２{ ，解得 ｋ＝ １ ２， ｂ＝１{ ， ∴直线ＣＤ的函数关系式为ｙ＝１２ｘ＋１； （２）由（１）知直线 ＣＤ的函数关系式为 ｙ＝１２ｘ＋１，令 ｙ＝０， 则ｘ＝－２，∴Ｃ（－２，０），∴ＢＣ＝２＋４＝６， ∴Ｓ△ＤＢＥ＝Ｓ△ＢＣＥ－Ｓ△ＢＣＤ＝ １ ２×６×（４－２）＝６； （３）点 Ｆ的坐标为（２，２）或（－４，２）或（－４，－２）或 （２，－２）．【解法提示】如解图所示，当点 Ｆ在第一象限时，点 Ｆ与点Ｄ重合，即点Ｆ的坐标为（２，２）； 当点Ｆ在第二象限时，点Ｆ的坐标为（－４，２）； 当点Ｆ在第三象限时，点Ｆ的坐标为（－４，－２）； 当点Ｆ在第四象限时，点Ｆ的坐标为（２，－２）． 第８题解图 加练二　反比例函数 １．３（答案不唯一）． ２．＞　【解析】∵ｋ＝３＞０，∴反比例函数ｙ＝３ｘ的图象在第一、 三象限，且在每一个象限内ｙ随ｘ的增大而减小，∵ｘ１＜ｘ２＜ ０，∴ｙ１＞ｙ２． ３．Ｃ ４．１　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，∴ＡＣ⊥ＢＤ，∵ＢＤ∥ｘ轴， ∴四边形 ＢＯＣＥ是矩形，∵菱形 ＡＢＣＤ面积为２，∴Ｓ△ＢＣＥ＝ １ ２，∴Ｓ四边形ＢＯＣＥ＝２Ｓ△ＢＣＥ＝１，∵点 Ｅ在反比例函数 ｙ＝ ｋ ｘ                                                                       的 ６ 乾卷加练答案及解析·辽宁数学 数 学 图象上且点Ｅ在第一象限，∴ｋ＝１                                                  ． 【全角度考法探究】槡 ５－１ ２ 　【解析】∵由题可知 ｋ＝１，∴反 比例函数的解析式为 ｙ＝１ｘ，设点 Ｅ的坐标为（ｍ， １ ｍ），则 Ｃ（ｍ，０），Ａ（ｍ，２ｍ），Ｂ（０， １ ｍ），设直线 ＡＢ的解析式为 ｙ＝ ｋ１ｘ＋ｂ（ｋ≠０），将Ａ（ｍ， ２ ｍ），Ｂ（０， １ ｍ）代入直线解析式中， 得 ｂ＝１ｍ， ｍｋ１＋ｂ＝ ２ ｍ { ，解得 ｂ＝ １ ｍ， ｋ１＝ １ ｍ２ { ，∴直线ＡＢ的解析式为 ｙ＝ １ ｍ２ ｘ＋１ｍ，联立方程组 ｙ＝１ ｍ２ ｘ＋１ｍ， ｙ＝１ｘ { ， 整理得 １ｍ２ｘ＋１ｍ ＝ １ ｘ，解得ｘ１＝ （槡５－１）ｍ ２ ，ｘ２＝ （ 槡－１－５）ｍ ２ （舍去），∴ ＢＦ ＡＢ＝ ｘＦ ｘＡ ＝ 　（槡５－１）ｍ２ 　 ｍ ＝ 槡５－１ ２ ． ５．８　【解析】过点 Ａ作 ＡＥ⊥ＣＤ于点 Ｅ，如解图，∵四边形 ＡＢ ＣＤ为平行四边形，∴ＡＢ∥ｘ轴，∴四边形 ＡＢＯＥ为矩形，∴ ＳＡＢＣＤ＝Ｓ矩形ＡＢＯＥ＝８，∴｜ｋ｜＝８，∵ｋ＞０，∴ｋ＝８． 第５题解图 ６．－１０　【解析】分别过点 Ａ，Ｂ作 ｘ轴的垂线，垂足分别为 Ｅ， Ｄ，设ＡＢ交ｙ轴于点Ｆ，如解图． 第６题解图 ∵ＡＢ∥ｘ轴，ＡＥ⊥ＣＥ，ＢＤ⊥ＣＥ，∴四边形 ＡＢＤＥ是矩形，∵ Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＢＤ＝８，∴Ｓ矩形ＡＢＤＥ＝ＡＢ·ＢＤ＝１６．∵点Ａ在反 比例函数ｙ＝６ｘ（ｘ＞０）的图象上，∴Ｓ矩形ＡＦＯＥ＝６，∴Ｓ矩形ＢＦＯＤ＝ Ｓ矩形ＡＢＤＥ－Ｓ矩形ＡＦＯＥ＝１０．∵点Ｂ在反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ（ｘ＜０）的 图象上，∴｜ｋ｜＝１０．∵反比例函数ｙ＝ｋｘ（ｘ＜０）的图象在第 二象限，∴ｋ＜０，∴ｋ＝－１０． ７．Ｂ　８．Ｄ ９．解：（１）观察表中数据可知５×６０＝１０×３０＝１５×２０＝２０×１５ ＝２５×１２＝３０×１０， ∴波长λ与频率ｆ成反比例函数关系， 设波长λ关于频率 ｆ的函数关系式为 λ＝ｋｆ（ｋ≠０），把点 （１０，３０）代入上式中，得 ｋ１０＝３０， 解得ｋ＝３００， ∴波长λ关于频率ｆ的函数关系式为λ＝３００ｆ； （２）当ｆ＝５０ＭＨｚ时，λ＝３００５０＝６（ｍ）， 答：当ｆ＝５０ＭＨｚ时，此电磁波的波长λ为６ｍ． １０．解：（１）３，４； （２）①作图如解图１； 第１０题解图１ ②由图象可知随着自变量 ｘ的不断增大，函数值 ｙ不断 减小； （３）作函数ｙ＝－ｘ＋６的图象，如解图２， 第１０题解图２ 由函数图象可知， 当ｘ≥４或ｘ＝０时，１２ｘ＋２≥－ｘ＋６， 即当ｘ≥０时，１２ｘ＋２≥－ｘ＋６的解集为ｘ≥４或ｘ＝０． 加练三　二次函数 １．Ｄ　２．Ｃ　３．          Ｃ 【全角度考法探究】Ｄ　【解析】在二次函数ｙ＝－（ｘ－１）２＋３ 中，∵ａ＝－１＜０，∴函数图象开口向下，∴函数有最大值， ∵函数图象的顶点坐标为（１，３），∴二次函数 ｙ＝－（ｘ－ １）２＋３的最大值为３． ４．Ｄ　【解析】∵在二次函数ｙ＝２（ｘ－３）２＋２中，ａ＝２，∴该函 数图象开口向上，对称轴为直线 ｘ＝３，顶点坐标为（３，２）， ∴函数有最小值２，当 ｘ＞３时，ｙ随 ｘ的增大而增大，故选项 Ａ，Ｂ，Ｃ错误；选项Ｄ正确；故选Ｄ． ５．６００　【解析】设ＡＨ＝ｘｍ，种植两种花卉的计划成本为ｙ元， 则ＤＨ＝（１０－ｘ）ｍ，由题意得：ｙ＝２０×１２ｘ ２＋１５（１０－ｘ）２＝ ２５ｘ２－３００ｘ＋１５００＝２５（ｘ－６）２＋６００，∵２５＞０，∴当 ｘ＝６ 时，ｙ取得最小值为６００，∴种植两种花卉的计划成本最少为 ６００元． ６．解：（１）由题意得降价 ｘ元后的利润为（１８０－１００－ｘ），销售 量为（２００＋５ｘ），可得函数关系式为 ｙ＝（１８０－１００－ｘ）（２００＋５ｘ）＝－５ｘ２＋２００ｘ＋１６０００； （２）由（１）可知ｙ＝－５ｘ２＋２００ｘ＋１６０００ ＝－５（ｘ－２０）２＋１８０００， ∵ａ＝－５＜０                                                                       ， ７