精品解析：2025年广东省肇庆市第一中学实验学校九年级下学期第二次模拟考试数学试题

2024—2025学年第二学期九年级数学第二次模拟考试试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列数中，最小的是（　　） A. B. C. 0 D. 2 2. 一组数据2，4，3，5，2的中位数是（ ） A 5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 2020年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下的9899万农村贫困人口全部脱贫，其中9899万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的周长为16，点，，分别为三条边的中点，则的周长为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 4 7. 把函数图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（　　） A. B. C D. 8. 如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与平行射入接收天线，经反射聚集到焦点处，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若的周长为，，则的周长为（　　） A. 7 B. C. D. 10. 观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：___________________． 12. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为________． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过路径为，则图中阴影部分的面积是___ 14. 某商店销售某种商品可获利润40元，若打八折销售，每件商品所获利润比原来减少了20元，则该商品进价是______元． 15. 如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为____． 三、解答题（一）（本大题3小题，16题9分，17题、18题各6分，共21分） 16. （1）计算：； （2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，四边形内接于，为的直径，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，连接．若．求证：为的切线． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）． 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）将两幅不完整的图补充完整； （3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽人数； （4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率． 20. 某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚，如图所示，遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为米，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，（结果精确到米；参考数据：，，） （1）如图1，求遮阳棚上的B点到墙面的距离； （2）如图2，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长（参考数据：，，） 21. 综合与实践 “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题： 问题情境： 如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是______； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）； 拓展迁移： 如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹． （3）请求出蚂蚁爬行的最短距离． 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点C，点在线段上，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点． （1）求二次函数的解析式； （2）在点运动过程中，若是直角三角形，求点的坐标； （3）在轴上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形． （1）如图1，连接，求的度数和的值； （2）如图2，当点在射线上时，求线段的长； （3）如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期九年级数学第二次模拟考试试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列数中，最小的是（　　） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较法则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即最小数是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，绝对值，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 2. 一组数据2，4，3，5，2的中位数是（ ） A. 5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】把这组数据从小到大的顺序排列，取最中间位置的数就是中位数． 【详解】把这组数据从小到大的顺序排列：2，2，3，4，5，处于最中间位置的数是3， ∴这组数据的中位数是3， 故选：C． 【点睛】本题考查了求中位数，熟练掌握中位数的求法是解答的关键． 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为（3，-2）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． 4. 若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和公式， 利用n边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：根据多边形的内角和可得： ， 解得：， ∴该多边形的边数为5， 故选：B． 5. 2020年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下的9899万农村贫困人口全部脱贫，其中9899万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：万=， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 6. 已知的周长为16，点，，分别为三条边的中点，则的周长为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由，，分别为三条边的中点，可知DE、EF、DF为的中位线，即可得到的周长． 【详解】解：如图， ∵，，分别为三条边的中点， ∴，，， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且是第三边的一半是解题的关键． 7. 把函数图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将函数图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为， 故选：C． 8. 如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束与平行射入接收天线，经反射聚集到焦点处，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，作，则，结合得出，推出，最后由，即可得解． 【详解】解：如图，作，则， ， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若的周长为，，则的周长为（　　） A. 7 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得是的垂直平分线，即，根据的周长为得，即可得． 【详解】解：∵在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质． 10. 观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，可得∶纵坐标为， 纵坐标为 ，利用阅读学习的知识迁移计算解答即可． 本题考查了交点问题，距离规律计算，熟练掌握规律是解题的关键． 【详解】∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点； ∴令，可得∶纵坐标为， 纵坐标为 ， ，，． ， 当时． 原式 故选D． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 先提公因式，再利用平方差公式即可求解． 【详解】解： 故答案为： 12. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为________． 【答案】k＞1 【解析】 【分析】根据由方程无实数根得到方程的判别式小于零，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得k＞1． 故答案为：k＞1． 【点睛】本题考查了一元二次方程（a≠0）的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是___ 【答案】 【解析】 【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=1， ∴AB=， ∴S扇形ABD==． 又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB， ∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=． 故答案为． 14. 某商店销售某种商品可获利润40元，若打八折销售，每件商品所获利润比原来减少了20元，则该商品的进价是______元． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该商品的进价为x元，则该商品打折后的售价为元，再根据每件商品所获利润比原来减少了20元建立方程求解即可． 【详解】解：设该商品的进价为x元， 由题意得，， 解得， ∴该商品的进价为60元， 故答案为：60． 15. 如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点)，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设点的坐标为， ∵矩形的对称中心， ∴延长恰好经过点， ∵点在上，且， ∴， ∴， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 三、解答题（一）（本大题3小题，16题9分，17题、18题各6分，共21分） 16. （1）计算：； （2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先求出立方根及有理数的乘方运算，绝对值的化简，然后计算加减法即可； （2）将两个点代入解析式求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵一次函数的图象经过点与点， ∴代入解析式得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． 【点睛】题目主要考查实数的混合运算及待定系数法确定一次函数解析式，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先对分式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 当时，原式． 18. 如图，四边形内接于，为的直径，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，连接．若．求证：为的切线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，平行线的性质与判定，等边对等角等，连接，根据平角的定义和已知条件可证明，再证明，再由等边对等角得到，则可证明，得到，据此可证明结论． 【详解】证明：连接，如图所示， ，， ， 为的直径，， ，， ， ， ， ， ， ，即：， 又∵为的半径， 为切线． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）． 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）将两幅不完整的图补充完整； （3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数； （4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率． 【答案】（1）600；（2）见解析；（3）3200；（4） 【解析】 【详解】（1）60÷10%=600（人）． 答：本次参加抽样调查的居民有600人． （2）如图， （3）8000×40%=3200（人）． 答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人． （4）如图； 共有12种等可能的情况，其中他第二个吃到的恰好是C粽的有3种， ∴P（C粽）==． 答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是． 20. 某商铺老板为了防止商品久晒受损，在门前安装了一个遮阳棚，如图所示，遮阳篷长为米，与墙面的夹角，靠墙端A离地高为米，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，（结果精确到米；参考数据：，，） （1）如图1，求遮阳棚上的B点到墙面的距离； （2）如图2，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长（参考数据：，，） 【答案】（1）遮阳棚上的B点到墙面的距离约为米 （2）阴影的长约为米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键， （1）过点作于点，根据代入数据求出的值即可； （2）过点作于点，通过，求出的长，进而即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ，， ， ， 遮阳棚上的B点到墙面的距离约为米； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 阴影的长约为米． 21. 综合与实践 “转化”是一种重要数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题： 问题情境： 如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是______； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）； 拓展迁移： 如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹． （3）请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了求曲面上两点之间的最短距离问题和勾股定理，关键是化曲为直，把空间问题转化为平面问题是解题的关键． （1）两点之间线段最短；（2）把圆柱的侧面沿母线剪开，得所求的路线为线段，利用勾股定理求解；（3）把圆锥的侧面沿母线剪开，得所求的路线为线段，先利用弧长公式求圆心角度数，再用中位线定理和勾股定理求解． 【详解】解：（1）两点之间线段最短； （2）剪开后，，， 最短路线的长为； （3）圆锥的底面周长为， 设侧面展开图的圆心角度数为， ，解得， 如答图，该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， 点为中点， 是的中位线， 蚂蚁爬行的最短距离为． 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点C，点在线段上，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点． （1）求二次函数的解析式； （2）在点运动过程中，若是直角三角形，求点的坐标； （3）在轴上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可； （3）分四边形为菱形和四边形为菱形，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象交轴于、两点， 把、代入， 得，解得， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， 轴， ，， ， 是直角三角形， 当时，则：， ， ∴关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为， ， 此时点的坐标为， 当时， 设的解析式为， 把，代入， 得，解得， ， 设点，则，， 则：，， ，， ， ∴， ， ，， ， 则， 即， 解得，（此时点和点重合，故舍去）， 点； 综上或； 【小问3详解】 存在，或； 如图：依题意，当四边形为菱形时，由（2）知的解析式为； 设点，，； 四边形为菱形， ， 即， 则， 由（2）知，此时， ， ∵， ∴， ∴， ， 即如下图所示： 如图：依题意，当四边形为菱形时 点，，， ，即， ∴， ， ， 解得，（舍去）， ， ； 综上或． 23. 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形． （1）如图1，连接，求的度数和的值； （2）如图2，当点在射线上时，求线段的长； （3）如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，进而根据正切函数得出，可求出，由矩形和矩形可得，，求出，证明，根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）过点作于点，由矩形和矩形可得，，，证明，进而得出，设，则，根据，得出，求出，进而可得出答案； （3）连接，先证明是等边三角形，，得出， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，进而求出，，，得出，可得当点，，三点共线时，的值最小，此时为． 【小问1详解】 解：∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， 由矩形和矩形可得，， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如答案图1，过点作于点， 由矩形和矩形可得，， ， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如答案图2，连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到， ∴，，， ∴， ∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$