(5)平行四边形-【一战成名新中考·乾坤卷】2024安徽中考原创压轴卷（全学科）

六∠APB=∠APM+∠BPM=90, DE=CE: .∠BPC=90°. 又：BP∥CQ. ∠ACQ=90°， ..AC =AB =2AP=23x, ∴tm∠c40=g2=3x-E Ac252 图 图2 第12题答案图 太∠C40的正切值为号 (3)解：如答案图2.由(1)(2)的证明过程可知，E4=EC =ED, ∠ECA=∠EAC, ,:∠BAC=90°， .∴.∠FCA+∠CFA=∠EAC+∠EAF=90°， 又∠ECA=∠EAC. 第11题答案图 ∴.∠EFA=∠EAF. I2.(1)证明：：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， ∴.EF=EA ∠C=45", ∴EA=EC=ED=EF :以AD为斜边作等樱直角△ADE, 四边形ACDF是圆内接四边形，且CF为直径， ∠EDA=∠EAD=45e. ∠FDC=90°.CF=2EF=25】 ∠ADC=180°-∠C-∠EAD=90°， AC=AB=4,∠B4C=90°， 六∠CDE=45, ∠B=45°，AF=CF-AC=2.BC=2AB=42, 六∠C=∠CDE=45°， .DE =CE: am=B·AC= 2×4×4=8 (2)解：仍然成立， 理由如下：如答案图1，取BC中点F,连接EF,AF, BF=AB-AF=2,Sar5ae=7×宁AF·AC= 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AF是边BC上的中线， 7×7x2×4=2, 11 AFLRC.LFAB-4S".AF-BF=CFC. ,∠FBD=∠CBA=45°，∠BDF=90°， ∴.∠BFD=∠FBD=45°， 六AF=2B. 2 DF=BD=BF·cos45°=2. :以AD为斜边作等腰直角△ADE, CD=BC -BD =3, 数 ∠B0=45,ED=BA.A=号0， Sm=D:F=×万x万=， 学 EA AF 1 11 AD-AB' 器 2 :∠FAE+∠FAD=45=∠BAD+∠FAD. 7 S=Se-Sam-Sx-Sx=8-1- 3 -2=2 2 ∴∠FAE=∠BAD △EAF∽△DAB (五)平行四边形 ,.∠B=∠EFA=45° 1.C【解析】A.BD∥CF,DE∥BC,.四边形BCFD为平行 .AF⊥BC.即∠AFC=90°： 四边形，故选项A不符合题意：B.:DF∥BC,DF=BC,四 六∠CFE=45, 边形BCFD为平行四边形.故选项B不符合题意：C,由DF∥ 在△CEF和△AEF中， BC,BD=CE,不能判定四边形BCFD为平行四边形，故选项 CF=AF. C符合题意：D.DE∥BC,∠B+∠BDF=180°，：∠B= ∠CFE=∠AFE ∠F,∴.∠F+∠BDF=180,∴BD∥CF,.∴.四边形BCFD为 LEF =EF. 平行四边形.故选项D不符合题意 △CEF≌△AEF(SAS), 2.D【解析】：在口ABCD中，AB=4,BC=6,∴AD∥BC,AB= ∴CE=AE DC=4,AD=BC=6,∠AEB=∠EBC,∠EDF=∠DFC, DE =AE, BE平分LABC,DF平分∠ADC,∴LEBA=∠EBC,∠EDF= 24 乾卷加练答案及解析·安搬致学 ∠CDF,∠AEB=∠ABE,∠CDF=∠DFC,AB=AE=CD5.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， =CF=4.DE=BF=2,故A正确：DE=BF,DE∥BF, .AB∥DC, 四边形BEDF是平行四边形，故B正确：设口ABCD的AD,C ∴.∠BAD+∠ADC=180 之间的距离为k,则四边形BEDF的面积为BF·h=2h ,AF,DE分别是∠B4D,∠ADC的平分线： 1 1 △ABE的面积为2E·h=Z×4h=2h,四边形BEDF的 ∠DAF=∠BF=子∠BA0,LADE=∠CE=∠AC, 面积等于△ABE的面积，故C正确：无法计算BE=4/3,故D ∴.∠DAF+∠ADE= RAD+4DC-90 错误。 ∠AGD=90°， 3.①②3④【解析】小：四边形ABCD是平行四边形，AB∥ .AF⊥DE: CD,AD=BC,∠DAB=∠BCD,∠ADC=∠ABC,EB⊥BC :四边形ABCD是平行四边形， ED⊥CD.∴.∠CDE=∠CBE=90°，∴.∠ADC-∠CDE= AD∥BC,AB=CD. ∠ABC-∠CBE.即∠ADE=∠ABE,故①正确：延长DE交AB ∠DAF=∠AFB, 于点F,如答案图所示，AB∥CD,ED⊥CD,DF⊥AB, 又∠DAF=∠BAF ∠BFE=∠DFA=90°，·∠EB=45°，∴.∠AEF=∠E4F= LBAF=∠AFB, L FBE=∠FDA. ∴AB=BF. 45,EF=AF,在△BFE和△DFA中，∠BFE=∠DFA, 同理可得CD=GE LEF=AF. .BF =CE: △BFE≌△DFA(AAS),二.BE=AD,故③正确：由上可得BE (2)解：如答案图，过点C作CK∥AF交AD于点K,交DE =AD=BC,,∠CBE=90°，，∠BCE=∠EAB=45°， 于点， ∠DAB-∠EAB=∠BCD-∠BCE,即∠DAE=∠DCE.故② 正确：当∠DAB=60时，∠ABE=∠ADE=90°-60°=30°， BE=2EF,△AEF,△CBE都是等樱直角三角形，∴AE= 2EF,CE=2BE=22EF,CE■2AE,故④正确.综上所 述，所有正确结论的序号是①②③④ 第5题答案图 ,AK∥FC,AFCK, 四边形AFCK是平行四边形，∠AGD=∠D=90°， AF=CK=8,∠KDI+∠DK=90°，∠IDC+∠DCI=90°， ,∠DK=∠DC, 第3题答案图 ∠DKI=∠DCI,.DR=DC=AB=6 ∴.=C1=4 4.(1)60:(2)2或25【解析】(1)当EF⊥AC时，即∠AEF 由(1)知，CE=CD =90°，：∠A=30°，.∠AFE=60°，由折叠的性质得∠A'下E ,CI⊥DE =∠AFE=60°，.∠A'FB=180°-2∠AFE=60°：(2)如答案 数 ∴EI=Dl 图1，四边形A'CEF是平行四边形，且点A'与点F在直线AC 学 的同侧，AC=4,点E为4C的中点，，AE=CE=A'F= Dl=/CD-CT=6-4=25. 之C=2,由折叠的性质得AF=F=2:如答案图2，四边形 DE=2D1=45: 由(1)得BF=CE=AB=6, A'CFE是平行四边形，且点A'与点F在直线AC的异侧，过点 ,BC=AD=10, c作cG1AB于点G.LA6c=0,A=30°CG=宁4C .CF =BC-BF=4, ∴EF=CE-CF=2 =2,A'E=AE=2,CF=A'E=2,CF=CG,点F与点 6.(1)解：30°：【解法提示】△ABC为等边三角形，AB=BC G重合，∠AFC=∠AGC=90°，·AF=√AC-CF= =AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=6O°，当点E和点A重合时， √4-2=25综上所述，线段AF的长为2或25 如答案图1，BE=2CD,AC=2CD,∴BD⊥DE,,DF⊥ E点B与点F重合∠BD=∠CFD=∠AC=30 A(E F(C) 图 图2 (B 第4题答案图 第6题答案图1 乾卷加练答案及解析·安搬致学 25 (2)证明：，DF∥AB 六EH=EF ∴.∠CFD=∠B=60°，∠CDF=∠A=60°， ..AE+CF EM +MH=EH EF. .△CDF为等边三角形 7.(I)证明：由折叠的性质可知，AD=AE,DF=EF,∠DAF ∴，CD=DF=CF =∠EAF. 如答案图2，过点F作FGLAB于点G, EF∥AD, ·DF⊥DE.FG⊥AB.DF∥AB. ∠DAF=∠EFA. ,∠EDF=∠DEG=∠EGF=∠DFG=90. ·∠EFA=∠EAF, ,四边形DEGF为矩形. .EA=EF, :EG=DF =CD ∴AD=DF=EF=AE, BE =2CD 四边形AEFD是菱形： :BE =2EG. (2)解：结论：PF⊥P℃. 即EG=BG=子E。 理由：如答案图1，连接AE D ,∴，FG垂直平分BE :BF=EF. ,△BEF为等腰三角形」 ·∠B=60°. 第7题答案图1 ,△BEF为等边三角形。 由折叠的性质可知，PD=PE,∠PEC=∠PDC,∠DPC =∠EPC, ,∠BEF=60 :四边形ABCD是平行四边形， ,∠BEF=∠A=60, ,EF∥AD, 六∠ADC+∠DAB=180°， ,∠PEC+∠PEF=180 又：DF∥AB, ,四边形AEFD为平行四边形： ∠DAB=∠PEF, :点P是AD的中点， ∴.PA=PD=PE, ∠PAE=∠PEA 六∠DAB-∠PAE=∠PEF-∠PEA, ·.∠EAF=∠AEF .AF =EF. 图2 图3 PF =PF. 第6题答案图 △PAF≌△PEF(SSS), (3)解：AE+CF=EF, .∠APF=∠EPF, 数 证明：如答案图3，过点E作EH∥BC,交AC于点M,交FD的 ."∠DPC+∠CPE+∠EPF+∠APF=18O° 学 延长线于点H,则∠AEM=∠B=60°，∠AME=∠C=60°， 2∠CPE+2∠FPE=180°， .△AEM为等边三角形， ∠FPC=90 .AE EM=AM .PF⊥PC: AB-AE=AC-AM,即BE=CM. (3)解：如答案图2，廷长CP交B4的延长线于点 BE =2CD. D ..CM=2CD. P 又CH=CD+DM, :CD =DM, EH∥BC 第7题答案图2 ∠HMD=∠FCD. 由折叠的性质可知，∠PCD=∠PCE,CD=CE=20 在△AMDH和△CDF中， :CD∥BT r∠HMD=∠FCD, ∴∠T=∠DCP, DM =DC. ∴∠T=∠PCE. L∠MDH=∠CDF. .∴.EC=ET=20」 ÷△AMDI≌△CDF(ASA), 设AE=x,则AT=20-x, .DI DF,MH CF, :AT∥CD. DF⊥DE,DH=DF ∴.△MP∽△DCP 26 乾卷加练答案及解析·安搬致学 AP AT 3 PD CD' 之=1，心B的最小值为1， 名20 20 x=5, ∴，AE=5 (六)矩形 M P 第3题答案图 1.A【解析】如答案图，连接CE,由题意可得.OE为对角线AC 的垂直平分线，.AE=CE,Sanw=Sor=5,.SA4=2Saem 4.)AP1BD(或垂直)：(2)号 【解析】(1)易知∠BAD= =10子4E·CD=10,:CD=AB=4,AE=EC=5,在 ∠ABF=∠AEF=90°，：在Rt△ABD中，AB=6,AD=8,∴BD =AB+AD=√36+64=10，在Rt△MBF和△AEF中， B1△CDE中，由勾股定理得DE=√-4=3. 「AB=AE, Rt△ABF≌Rt△AEF(HL),,BF=EF,又，AB AF=AF, =A证A1BD:(2)由()知AF1BDSm=宁B,AD 第1题答案图 =号：A06×8=104040-号在△40B中， 【全角度考法探究】8：5【解析】由第1题可得AD=AE+ 0=VG-A0-√6-（产=g:m∠0-0 DE=5+3=8,在Rt△ACD中，AC=√AD+CD=8+4 =45,0C=4C=25,在△C0E中，0B= BF 5 BF 9 立6BF= CE-0C=√5-(25)2=5. 2.D【解析】小：四边形ABCD为矩形，AB=3,BC=4,CD= 5.解：(1)由题可知，AG+M0=16+PM,AE+MN=12+PF, AB=3,AD=BC=4,AB∥CD.∠ADC=90°，在RI△ADC中， 16+PM=12+PF, AC=D+CT=√+3=5，DE⊥AC,Sax= 即16+x=12+y, 2CD:A0=分4C,0E,即cD·4D=AC·DE,3X4= y关于x的函数表达式为y=x+4: (2)正方形AEFG和正方形CHN的面积相等. 5DE,E=号，在R△CDE中，CE=√D-E- .AG=M, 2AG=16+x, √3-号=号AE=4c-E=5-号= ,∠CDE 5 即AG=16+x 21 数 +∠DCE=90,∠CDE+∠FDE=90°.∠DCE=∠FDE,: AB∥CD,∠BAE=∠DCE,∴∠BAE=∠FDE,EF⊥BE Sme=SE南an=(65), 2 学 ∴.∠BEF=∠BEA+∠AEF=90,又∠AEF+∠DEF=90° 又S2=x·y=x(x+4), ∠=∠F△ME△FE提-提即- ·S■Sm+S2+Sw=16×12-(S在有Ee+SE0ww-2Sz) =16x12-2(16,+52+2x(x+4. 2 3 xDF=号 整理，得S关于：的函数表达式为S=-+6: 5 3.D【解析】如答案图，取AD的中点O,连接OB,OM.四边 “立>0，对称轴为直线x=--8=8 3 3=3 形ABCD是矩形，∠BAD=90°，AD=EC=3,∴AD=OD= 是，∠BP+∠DAW=90,:∠A0N=∠BP∠ADW+ 当≥号时，S随x的增大而增大，当x<号时，S随x的始 ∠DW=90∠AD=90,0W=4D=子点N在 大而减小， 又：2≤e4,4-号1>2-号1 以点0为圆心，号为半径的半圆0上，：在△40B中，0B =VAG+A0=√2+(=2M≥0B-0M=号 当4时.5取最大值此时S=号×4-8×4+64=56. 即S的最大值为56. 乾卷加练答案及解析·安搬致学 27乾卷加练!安徽数学 数 学 "五#平行四边形 考情总结+近 %" 年每年考 % #! 道"仅 !"%) 年未考查#%以平行四边形为背景考查 $ 次%其余均与 其他知识点"三角形,四边形,圆,函数,折叠#结合考查, !,"猜押第 - 题#在 . #$&中#点 (#*分别是 #$##&上的点#且(* 4 $&#点 '是 (*延长 线上一点#连接&',添加下列条件后#不能判 断四边形$&'(是平行四边形的是 !''" 1&$( 4 &' 2&('<$& 4&$(<&' 5& / $< / ' 第 % 题图 ' 第 ! 题图 ","猜押第 - 题#如图#在 8 #$&(中##$<(# $&<*#$*平分 / #$&交 #(于点 *#('平 分 / #(&交$&于点',下列选项中不一定正 确的是 !''" 1&(*<! 2&四边形$*('是平行四边形 4&四边形$*('的面积等于 . #$*的面积 5&$* 槡<( $ #,"猜押第 %( 题#如图#点 *在 8 #$&(内部# *$ 0 $&#*( 0 &(#且 / *#$<()E#连接 &*, 对于下列四个结论) !/ #(*< / #$*' " / (#*< / (&*' # $*<#(' $ 当 / (#$< *"E时#&*<!#*,其中所有正确结论的序号 是'''', 第 $ 题图 $,"猜押第 %( 题#如图#在 . #$&中##$L#&# / #<$"E##&<(#点*为#&的中点#点'为 边#$上的一个动点#将 . #$&沿 *'折叠# 使得点#落在点#O, !%"当*' 0 #&时# / #O'$<''''' !!"当以*#'##O#&为顶点的四边形是平行 四边形时#线段#'的长为'''', 第 ( 题图 %,"猜押第 !% 题#如图#在 8 #$&(中# / $#(# / #(&的平分线#'#(*分别与线段$&交于 点'#*##'与(*交于点%, !%"求证)#' 0 (*#$'<&*' !!"若 #(<%"##$<*##'<,#求 *'和 (* 的长, 第 ) 题图 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " *' 乾卷加练!安徽数学 数 学 &,"猜押第 !! 题#如图 %#已知 . #$&为等边三 角形#(#*分别在#&##$上#且$*<!&(#连 接(*#过点(作(' 0 (*交$&于点'#连接 *', !%"若点*和点#重合#则 / *'(<'''' !!"若 (' 4 #$#如图 !#求证)四边形 #*'( 为平行四边形' !$"猜想线段 #*#*'#&'之间的数量关系# 并利用图 % 给出证明, 图 % '' 图 ! 第 * 题图 ',"猜押第 !! 题#在数学活动课上#老师让同 学们根据下面情境提出问题并解答, 问题情境! 在 8 #$&(中#点9是边#(上一点#将 . 9(& 沿直线9&折叠#点(的对应点为*, 数学思考! !%"%兴趣小组&提出的问题是)如图 %#若点 9与点#重合#过点*作*' 4 #(#与9& 交于点'#连接('#则四边形#*'(是菱 形,请你证明%兴趣小组&提出的问题' 拓展探究! !!"%智慧小组&提出的问题是)如图 !#当点 9为 #(的中点时#延长 &*交 #$于点 '#连接 9',试判断 9'与 9&的位置关 系#并说明理由' 问题解决! !$"%创新小组&在前两个小组的启发下#提 出的问题是)如图$#当点*恰好落在#$边 上时##9<*#9(<,#(&<!"#求#*的长, 图 % '' 图 ! 图 $ 第 + " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 题图 该部分常考知识点见中考心法 (̂* !'