(4)三角形-【一战成名新中考·乾坤卷】2024安徽中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练!安徽数学 数 学 "四#三角形 考情总结+等腰"等边#三角形,直角三角形的性质及判定近 %" 年每年必考 ( #* 道%锐角三角函 数的应用每年必考 % 道, !,"猜押第 ) 题#如图#将一副三角尺按图中所 示位置摆放#点 '在 #&上#若 #$ 4 (*#则 / *'&的度数是 !''" 1&*"E 2&*)E 4&+"E 5&+)E 第 % 题图 ' 第 ! 题图 ","猜押第 + 题#如图#(为 . #$&内一点#&( 平分 / #&$#$( 0 &(于点 (# / #$(< / #, 若$(<%#$&<$#则#&的长为 !''" &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& & & & & & & & & & & & & & &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& & & & & & & & & & & & & & ' ' ' ' 1&! 2&$ 4&( 5&) '全角度考法探究(延长 $(交 #&于点 *# 若#&<%"#$&<*#则$(的长为 !''" 题图 1%'''2%,)'''4&!'''5!,) #,"猜押第 , 题#如图#在WP . #$&中# / #&$< -"E##(为中线#*为 #(的中点#'为 $*的 中点#连接(',若 #& 槡<( $#('0$*#则 (' 的长为 !''" 第 $ 题图 槡1&% 2&$ 4&! 5&!, &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& & & & &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& & & & ' ' ' ' ) '全角度考法探究( / &#(的度数为'''# #*与$(的数量关系为'''', $,"猜押第 %" 题#在等边 . #$&中##$<(##( 是中线#点 *是 $(上一点"不与点 $%(重 合##点'是#&上一点#连接*'交#(于点 %#&'<!$*#以下结论错误的是 !''" 1&当*' 4 #$时#$*< ( $ 2&当*' 0 #&时#*&<($* 4&*% 3 '% 5&点%不可能是#(的中点 %,"猜押第 %" 题#如图# . #$&和 . #(*都是 等腰直角三角形# / $#&< / (#*<-"E# #$<#&<(#)为 #&的中点#若点 (在直线 $&上运动#连接 )*#则在点 (运动的过程 中#线段)*的最小值是 !''" 1& % ! 2& 槡! ! 槡4&% 5&! 第 ) 题图 ' 第 * 题图 &,"猜押第 %! 题#如图#在 . #$&中#以点$为 圆心#$#长为半径画弧交边$&于点(#连接 #(# / $<("E# / &<$*E#则 / (#&的度 数是'''', ',"猜押第 %$ 题#如图# . #$&和 . #(*都是 等边三角形#点 (在 $&上#(*交 #&于点 '#若('<!#*'<(#则&(的长是'''', 第 + 题图 '' 第 , 题图 (,"猜押第 %( 题#如图#在 . #$&中# / #&$< ()E##( 0 #&交$&边于点(#点*在#(上# 连接$*#&*#(*<!#*#$*<&*, !%"若$(<(*#则 / *$(<' '''' !!"若 > . #$& <*#则线段#$的长为 ' " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " , '& 乾卷加练!安徽数学 数 学 ),"猜押第 %- 题#为了增强学生体质,锤炼学 生意志#某校组织一次定向越野拉练活动,如 图##点为出发点#途中设置两个检查点#分 别为$点和&点#行进路线为# + $ + & + #, $点在#点的南偏东 !)E方向 槡$ ! 9?处#& 点在#点的北偏东 ,"E方向#行进路线#$和 $&所在直线的夹角 / #$&为 ()E,求检查点 $和&之间的距离"结果保留根号#, 第 - 题图 !*,"猜押第 !" 题#为了提升某片区网络信号# 如图#在坡度为N<%F!,( 的山坡#(上加装 了信号塔9=#信号塔底端 =到坡底 #的距 离为 ),! 米,同时为了提醒市民#在距离斜 坡底#点 (,! 米的水平地面上立了一块警 示牌F<,当太阳光线与水平线成 )$E角时# 测得信号塔9=落在警示牌上的影子*<长 为 ( 米#求信号塔9=的高,"结果精确到十 分位%参考数据+BGH)$E 6 ",,%A\B)$E 6 ",*% PMH)$E 6 %,$%N<%F!,( <)F%!# 第 %" 题图 " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " (& 乾卷加练!安徽数学 数 学 !!,"猜押第 !! 题#如图#在等边三角形 #$& 中#点9是边#&上的一个动点"不与点 #% &重合##连接 $9#将 . $&9绕点 &顺时针 旋转至 . #&(#过点&作&= 4 $9#交9(的 延长线于点=#连接#=, !%"若#$<(#点9是#&的中点#求9(的长' !!"求证) . #9( 7. =(&' !$"若延长 #(交 &=于点 *#&*<!*=#求 / &#=的正切值, 第 %% 题图 !","猜押第 !! 题#问题情境! 在 . #$&中##$<#&# / $#&<-"E#(为斜 边$&上一动点"点 (不与点 $%&重合## 以#(为斜边作等腰直角 . #(*, 特例发现! !%"如图 %#当点 *在线段 #&上时#求证) (*<&*' 类比探究! !!"如图 !#当点 *在 . #$&内部时#!%"中 的结论是否仍然成立$ 并说明理由' 学以致用! !$"如图 $#在 . #$&内部确定一个四边形 #*('#且满足下列条件) ! 四边形 #*('的顶点 #与 . #$&的顶点 #重 合#顶点(#'分别在 . #$&的边$&#$# 上' " #*<(*# / #*(<-"E' # 四边形 #*('的对角线#(#*'交于点 F#直线 *'经过 . #$&的顶点 &,已知 #$<(# *' 槡<)#求四边形#*('的面积 >的值, 图 % 图 ! 图 $ 第 %! " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 题图 该部分常考知识点见中考心法 (̂$ /̂ (* )& 解得小=1， ②当公共点不是顶点时， lc=4. 六当x=-1时，1-1+c≤0：当x=1时，1+1+c>0, 1 “戴物线的解析式为y=一-+4 解得-2<c≤0， （2):抛物线的解斩式为y:一-+4 综上所述，e的取值范周是c=子或-2<c≤0： (3)由(1)知6=1. 当y=0时，解得=-4，=2， 方程x2+x+c=0的两实数根为名1x, .4(-40),C(2.0). 抛物线y=2+x+与x轴交点的横坐标为，，名， 抛物线的对称轴为直线x=二4+2。-1。 2 1 2 A(-4,0),C(2,0)关于x=-1对称. 1+2=-1,即3=-1-1 如答案图1，点C与点A关于对称轴对称，直线AB与对称轴 交于点M, 3≤1-1<9 ∴，MB+WC=MB+MA=AB。 3≤(-1-x)-<9, 此时MC+B取得最小侻 -5<x,≤-2， 当x=-1时，y=-1+4=3, p=x-3对 .M(-1,3）: =-3(-1-) =-2+2+2 ,当-5<，≤-2时，随x的增大而增大， 六当名，=-2时，的最大值为1. (四)三角形 图1 图 第6题答案图 1.D【解析】如答案图，，AB∥DE,∴.∠BGF=∠EDF=45 (3)如答案图2，过点P作PE∥OB交AB于点E,则△PDE一 :∠BGF是△MGF的一个外角，.∠BGF=∠AFG+∠GAF, 即45°=∠AFG+30°，∠AFG=15°，∠EFD=90°， △ODB. ∠EFC=180°-∠AFG-∠EFD=180°-15°-90°=75°. 品器 设点P(m,-2m-m+4)(-4<m<0. .E(m,m+4) PE=-)m-m+4-m-4=- 2m2-2m. 第1题答案图 数 2w2-2m 2.D【解析】如答案图，延长BD交AC于E,:CD平分∠ACB 学 PD 4 8 m 2 .∠BCD=∠DCE,BD⊥CD,∴.∠BDC=∠EDC=90°，又 8 (m+2)+立 ,CD=CD..△CDB≌△CDE(ASA),DE=BD=1.CE= -8<0 CB=3,:∠A=∠ABD,∴EA=EB=2,AC=AE+CE=2+ 当m=-2时，品有最大值品的最大值为宁 3=5. 7,解：(1)抛物线经过A(-3,n),B(2,n)两点 愁物线的对称销为直线一子 1 第2题答案图 解得b=1: 【全角度考法探究】C【解析】由第2题可得BD=DE,CE= (2)由(1)得，抛物线的解析式为y=x2+x+c, BC=6.∴.AE=AC-CE=4.又∠A=∠ABD.∴，BE=AE= 对称轴为直线=子，且当-1<<1时， 4..BD-DE2. 抛物线与x轴有且只有一个公共点。 3.C【解析】如答案图，连接CE,,AD是BC边上的中线，F为 BE的中点，DF为△BCE的中位线，，CE=2DF,DF∥CE, ①当公共点是顶点时.4=1-4e=0,解得c=} .∠BDF=∠DCE.∠EDF=∠DEC,'DF⊥BE,∠DFE= 乾卷加练答案及解析·安搬致学 21 EF=BF, AQ=A0, ∠DFB=90°，在△DEF和△DBF中， ∠DFE=∠DFB.∴ 在△4QD和△AOE中， ∠QAD=∠OAE.∴.△AQD≌△AOE DF =DF. AD=AE, △DEF≌△DBF(SAS),.∠EDF=∠BDF.,∴，∠DEC= (SAS),QD=OE,点D在直线BC上运动，.当QD⊥BG ∠DCE.,,CD=ED.E为AD的中点.∠ACB=90°，CE= 时，QD最小，即OE最小，△ABC是等腰直角三角形， ED=CD-AD.AD=4DFCAD(AD) ∠BAC=90°.AB■AC,.∠B=45°，QD⊥BC,∴.△QBD是 =AC=48,解得AD=8,DF=2. 等暖直角三角形六0-号0,0=宁=20= E线段OE的最小值是2 第3题答案图 B D 【全角度考法探究】30：AE=BD【解析】由第3题可知，CE 第5题答案图 =ED=CD,,△CDE是等边三角形.∠CDA=60°，在R6.34°【解析】：∠B=40°，∠C=36°，∠BAC=180°-∠B △ACD中，∠ACD=90°，∠CMD=309EF=BF,DF⊥ -∠C=104,AB=BD..∠BMD=∠ADB=(180°-∠B) BE,.'.DE =BD,AE =DE,.'.AE BD. ÷2=70°..∠DAC=∠BAC-∠BAD=34 4.C【解析】：△ABC是等边三角形，AD是中线.∴∠B=∠C 76⑦ 【解析】：△ABC和△ADE都是等边三角形，AB=AC =∠BAC=60°，AB=CB=4,L.如答案图1，EF∥AB,六 ∠CEF=∠B=60°，∠CFE=∠BAC=60°，∴△EFC是等边 =BC,AD=AE=DE=DF+EF=2+4=6,∠ABD=∠DCF= 三角形CE=CE,CF=2BE,CE=2BEBE=号C ∠ADE=60°，Y∠BAD+∠ABD=∠ADC=∠ADF+∠CDF, ∠B4D=LCnF△MD△CF瓷-0-0. =兰，故选项A正确，不符合题意；B,如答案图2，“EF上 C=分=3，设CD=,则AB=AC=BC=3x,六BD=2, AB 6 AC,,∠EFG=90°，，∠C=60°，∴.∠CEF=30°，.EG= 2CF,:CF=2BE,.EC=4BE,故选项B正确，不符合题意： 3=2器CF=号Af=AC-F=B-CF3-子 C.如答案图3，过点F作F)⊥BC于点.在R△CFI中， ∠FJC=90°，∠CFJ=30,,CF=2CJ.,CF=2BE.∴，BE= 3,∠ADF=∠AGD,LDAF=∠CAD,△ADF△ACD. CJ,BD=CD,AB=AC.AD⊥CB,DE=DI,∴DG∥FJ, EG=FG,故选项C错误，符合题意：D.若点G是AD的中点， 光品眼装是是 3,解得=6五 EG=FG,∴，四边形AEDF是平行四边形.显然不可能.放选 数 (负值已合去)，经检验，=6是该方程的解，D的长 项D正确，不符合题意. 学 是 8.(1)225:(2)7【解折】(1)∠ACB=45°，AD⊥AC, LADC=45,BD=DB,∠EBD=∠BED=子∠AC= 22.5:(2)如答案图，过点A作AM⊥BC于点M,过点E作 图 EN⊥BC于点N,AM∥EN,.△EDN△ADM,:DE= 2器-货=子N=子，∠40B=45,AD AC,.△ACD是等腰直角三角形，∴.AM是R△ACD斜边CD 上的中线，L0C=45°AM=CM=子CD,六EN=号CD, :EN⊥BC,∠ADC=45°，△EDN是等腰直角三角形，∴DN 图3 =EN=子CDCN=子CD,BE=CEBN=CN=子CD 第4题答案图 5D【解析】如答案图，设Q是AB的中点，连接DQ,:∠B4C BC=号D,Sm=62BC·AM=6.即7x×等CD =∠DAE=90°.，∠BMG-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即 ∠BAD=∠CAE,:AB=AC=4,O为AC的中点，AQ=AO, 专CD=6①=3负价已含去仙=C:32,Bc 22 乾卷加练答案及解析·安搬致学 =4EBM=BC-CM=4E-3E_5E在m△4BM 11.(1)解：△ABC是等边三角形， 2 ∴.∠ACB=60°，AC=AB=4. 中，AB=√/F+BF=入 32+5m 又“点P是AC的中点， cP-74C=2, ",将△BCP绕点C颍时针旋转至△ACD: ∴.∠BCP=∠AGD=60°，GP=CD △PCD是等边三角形， 第8题答案图 .PD=CP=2: 9.解：由题意得∠NAC=80°，∠BMS=25°， ,∠CAB=180°-∠NAC-∠BAS=75 (2)证明：由(1)知△P℃D是等边三角形， ∠ABC=45 PD=CD,∠PDC=∠CPD=∠PCD=60°， ∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=60°， ∴.∠APD=∠CD0=120° 如答案图，过点A作AD上BC于点D, 又÷CQ∥BP .∠CBP+∠QCB=180°， ∠CBP+∠DCQ=60°， ,将△BCP绕点C顾时针旋转至△ACD, ∠CBP=∠CAD. .∠CAD+∠DQ=60° 又∠DCQ+∠D0C=∠PDC=60°， 第9题答案图 ∠CAD=∠DOC, 在R1△ABD中，AB=3Ekm,∠ADB=90°，∠ABC=45, 在△APD和△QDC中， 0=0=48a5e3Ex号=3(am ,∠PAD=∠DOC, ∠APD=∠QDC 在B△ADC中，∠ADC=90°，∠ACB=60. APD=DC. 品清a ∴.△APD≌△QDC(AAS): (3)解：如答案图，过点P作PW⊥AB于点， ∴，BC=BD+CD=(3+3)km. 设QE=x(x>0), 答：检查点B和C之间的距离是(3+3)km .CE=2EQ. 10.解：如答案图，过点E作EF⊥PQ于点F,延长PQ交BA于 CE=2x,易得CQ=BP=3x, 点G,易得QG⊥BM,FG=EN,EF=NG,∠PEF=53°， ,△APD≌△QDC. Q4=5.2,QG4G=1:2.4. ∴.设QG=x.则AG=2.4x. .∠ADP=∠OCD,AP=D0, .∴在R1△AQG中，∠ACQ=90°， 又*∠ODE=∠ADP 数 由勾股定理得QG+AG2=0A,即x2+(2.4x)2=5.22, .∠QDE=∠QCD. 学 解得x=2(负值已舍去)， 又∠DQE=∠CQD 0G=2,4G=2.4x=4.8。 △DQE∽△CQD, ,,EF=NG=AG+AN=4.8+4.2=9 在△EF中，m3器-g-13 器品 DQ=GQ·EQ, 解得PF=11.7 ..DQ =/3x. .0=FG-OG=EN-QG=4-2=2. P0=PF+FQ=11.7+2=13.7. ..AP DQ =/3x 答：信号塔P0的高约为137米。 :△ABC是等边三角形. 53P .∠BAC=60°， ∠APW=30 PW=AD·sin60°= 2, 3 02 C 六eos∠PM= 第10题答案图 ..∠BPM=60, 乾卷加练答案及解析·安搬致学 23 六∠APB=∠APM+∠BPM=90, DE=CE: .∠BPC=90°. 又：BP∥CQ. ∠ACQ=90°， ..AC =AB =2AP=23x, ∴tm∠c40=g2=3x-E Ac252 图 图2 第12题答案图 太∠C40的正切值为号 (3)解：如答案图2.由(1)(2)的证明过程可知，E4=EC =ED, ∠ECA=∠EAC, ,:∠BAC=90°， .∴.∠FCA+∠CFA=∠EAC+∠EAF=90°， 又∠ECA=∠EAC. 第11题答案图 ∴.∠EFA=∠EAF. I2.(1)证明：：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， ∴.EF=EA ∠C=45", ∴EA=EC=ED=EF :以AD为斜边作等樱直角△ADE, 四边形ACDF是圆内接四边形，且CF为直径， ∠EDA=∠EAD=45e. ∠FDC=90°.CF=2EF=25】 ∠ADC=180°-∠C-∠EAD=90°， AC=AB=4,∠B4C=90°， 六∠CDE=45, ∠B=45°，AF=CF-AC=2.BC=2AB=42, 六∠C=∠CDE=45°， .DE =CE: am=B·AC= 2×4×4=8 (2)解：仍然成立， 理由如下：如答案图1，取BC中点F,连接EF,AF, BF=AB-AF=2,Sar5ae=7×宁AF·AC= 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AF是边BC上的中线， 7×7x2×4=2, 11 AFLRC.LFAB-4S".AF-BF=CFC. ,∠FBD=∠CBA=45°，∠BDF=90°， ∴.∠BFD=∠FBD=45°， 六AF=2B. 2 DF=BD=BF·cos45°=2. :以AD为斜边作等腰直角△ADE, CD=BC -BD =3, 数 ∠B0=45,ED=BA.A=号0， Sm=D:F=×万x万=， 学 EA AF 1 11 AD-AB' 器 2 :∠FAE+∠FAD=45=∠BAD+∠FAD. 7 S=Se-Sam-Sx-Sx=8-1- 3 -2=2 2 ∴∠FAE=∠BAD △EAF∽△DAB (五)平行四边形 ,.∠B=∠EFA=45° 1.C【解析】A.BD∥CF,DE∥BC,.四边形BCFD为平行 .AF⊥BC.即∠AFC=90°： 四边形，故选项A不符合题意：B.:DF∥BC,DF=BC,四 六∠CFE=45, 边形BCFD为平行四边形.故选项B不符合题意：C,由DF∥ 在△CEF和△AEF中， BC,BD=CE,不能判定四边形BCFD为平行四边形，故选项 CF=AF. C符合题意：D.DE∥BC,∠B+∠BDF=180°，：∠B= ∠CFE=∠AFE ∠F,∴.∠F+∠BDF=180,∴BD∥CF,.∴.四边形BCFD为 LEF =EF. 平行四边形.故选项D不符合题意 △CEF≌△AEF(SAS), 2.D【解析】：在口ABCD中，AB=4,BC=6,∴AD∥BC,AB= ∴CE=AE DC=4,AD=BC=6,∠AEB=∠EBC,∠EDF=∠DFC, DE =AE, BE平分LABC,DF平分∠ADC,∴LEBA=∠EBC,∠EDF= 24 乾卷加练答案及解析·安搬致学