5.必备公式、定理、性质等&6.降次法求高次代数式的值-【一战成名新中考·乾坤卷】2024云南中考原创压轴卷（全学科）

五、必备公式、定理、性质等 1.简单数列规律 (1)自然数列型：若一列正整数：1,2,3，·，依照此规律，则第n(n≥1)个数是： 这n(n≥1)个数的和为”(m+ 2； (2)奇偶型：若一列数：1,3,5,7,9，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是2n-1: 这n(n≥1)个数的和为n'; 若一列数：2,4,6,8，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是2n: 这n(n≥1)个数的和为n2+: 若一列数：-1,1，-1,1，-1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个 数是(-1)”； 若一列数：1，-1,1，-1,1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数 是(-1)*1： (3)平方型：若一列数：1,4,9,16，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是n2: 若一列数2,5,10,17，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是n2+1: 若一列数：0,3,8,15，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是n2-1: (4)固定累加型：若一列数：4,7,10，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是3n+1: (5)乘积型：若一列数：2,6,12,20,30，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是 n(n+1): 数 若一列数：1,3,6,10，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数 学 是”(n*1 2 (6)乘方型：若一列数：1,2,4,8,16，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是2"-. 2.一次函数y=x+b的图象与性质（图象→一条倾斜的直线】 k>0 k<0 k,b符号 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 大致图象 经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四 判断倾斜方k>0,图象呈“/”，必过第一、三象限，k<0,图象呈“”，必过第二、四象 向、增减性看ky随x的增大而增大 限，y随x的增大而减小 中考心法·云南数学 67 续表 b>0,图象交于y轴的正半轴，必过第一、二象限： 判断与y轴交 b=0,图象过原点： 点位置看b b<0,图象交于y轴的负半轴，必过第三、四象限 与y轴交点 令x=0,求对应的y值，交点坐标为(0，b】 与x轴交点 令y=0,求对应的x值，交点坐标为(-冬，0】 3.一次函数的实际应用 (1)利润、费用最值 解题思路：明确等量关系式→确定函数关系式→确定自变量取值范围→ 由函数增减性确定最值. (2)方案择优问题 ①当给定x值比较哪个方案花费更少时，直接将x值代入解析式，比较) 值大小； ②当给定y值比较哪个方案量更多时，直接将y值代入解析式，比较x 值大小： ③当x,y值均未给定时求解哪个方案更合算/省钱时，分别令织 学 之山<，计算出x的取值范围，再根据结果选取方案。 4.反比例函数的图象与性质（图象→双曲线） 图象 性质 表达式 ①图象分别位于第一、 共性： 三象限； ①图象关于直线 x ②在每一个象限内，y随 y=士x成轴对 (k>0) x的增大而减小 称：关于原点成 中心对称； ①图象分别位于第二、 ②图象上任意一 四象限； 点P(x,y）的 ②在每一个象限内，y随 横、纵坐标之积 (k<0) x的增大而增大 均为k,即xy=k 68 中考心法·云南数学 5.反比例函数图象上点的纵坐标大小比较 (1)在同一象限时，根据函数的增减性来比较，k>0,y随x的增大而减小； k<0,y随x的增大而增大； (2)在不同象限时，x轴上方的图象上的点的纵坐标大，反之则小 最简单的办法就是画出草图，标出各点，从图象中比较大小.如图，若x,< 0<x2<x,则y1<为<y2 6.与反比例函数k的几何意义有关的面积计算 初始图形 衍生图形 0(A)B O B 0AB花 S知形BCD=k SGAnCD =lkl SounCD IkI 数学 D B B彩 (AO=AB) SAAO =Ik1 SAAOB+SACOD= IkI S△wr=21k SAMBN =21kl 中考心法·云南数学 69 【失分警示】因为反比例函数y=冬(k0)中的k有正负之分，所以用居表 示面积时要给k加上绝对值符号，要根据函数图象所在的象限确定飞的 正负 7.二次函数三种表达式的图象与性质 表达式 y=ax'+bx+c y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) a>0, 开口 大 向上 致 图 象 a<0, 开口 向下 2 对称轴 直线x=-2a 直线=h 直线x=5 2 数学 顶点坐标 -品 (h,k) 当米=一 b时 2 当x=h时， 当x= x+1时， a>0 2 4ac-b2 y最小=k y最小= y有最小值 最 4a 值 b时， 当x=- 当x=h时， 当x= 1+时， a<0 2 4ae-b2 y大= y振大=k Aa y有最大值 在对称轴左侧时，y随x增大而减小： 增 a>0 在对称轴右侧时，)随x增大而增大 减 性 在对称轴左侧时，y随x增大而增大： a<0 在对称轴右侧时，y随x增大而减小 70 中考心法·云南敛学 8.二次函数y=ar2+br+c(a≠0)与一元二次方程ar2+bx+c=0的关系：二 次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c=0的根. 当△=b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根： 当△=b-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根： 当△=b2-4ac<0时，一元二次方程无实数根 9.平行线的性质与判定 同位角相等 判定两直线平行： 性 内错角相等 判定 =两直线平行： 性质 同旁内角互补。 判定 性质 两直线平行。 10.三角形中的重要线段 (1)高线：从三角形的一个顶，点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之 数 间的线段 学 ①如图1，AD为△ABC的边BC上的高线，则有： a.∠ADB=∠ADC=90°；b.SAARD:S AACD=BD:CD: B D C 图1 ②锐角三角形的三条高线在其内部：直角三角形的两条高线是其直角 边，斜边上的高线在其内部：钝角三角形两条较短边上的高线在其外 部，较长边上的高线在其内部 中考心法·云南数学 71 (2)中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段 ①如图2，AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的中线，则有： a.RD=CD-BC,AE-CE-TAC: b.S△Bm=Sa4D=2SaC,S△Ec=Sa服=2S△ ②重心：三角形的三条中线的交点.如图2，点O为△ABC的重心，则有： 0泥2 AO BO (3)中位线：连接三角形两条边中点的线段， 如图3，DE为△ABC的中位线，则有： ①位置关系：DE∥BC: ②数量关系：DB=BC: ③△ADE的周长等于△ABC的周长的一半； ④△ADE的面积等于△ABC的面积的好 学 B 1) 图2 图3 图4 (4)角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的 顶点与交点之间的线段： ①如图4，AD,BE分别为△ABC的角平分线，则有： a∠B4D=∠CAD-LBAC,LCBE=LAE=∠ABC: b.SAD:S AACD BD:CD AB:AC,SABAE:SANCE =AE:CE BA:BC; ②内心：三角形三条角平分线的交点.如图4，点O为△ABC的内心，则 点O到△ABC三条边的距离相等。 72 中考心法·云南数学 11.等腰三角形和等边三角形的性质与判定 等腰三角形 等边三角形 图形 60 三条边均相等：三个内角均 边、角 两腰相等：两底角相等 为60° 高线、 顶角的平分线、底边上的中线 每条边上的高线、中线、角 性 中线、 底边上的高线重合（三线合一） 平分线均重合（三线合一） 质 角平 两腰上的中线、高线、角平分线 三条高线、三条中线、三条 分线 分别对应相等 角平分线均相等 轴对 是轴对称图形，对称轴为顶角的 是轴对称图形，有3条对称轴 称性 平分线所在的直线 (1)三条边都相等的三角形 (1)有两条边相等的三角形是 是等边三角形（定义）； 等腰三角形（定义）： (2)三个角都相等的三角 判定 (2)有两个角相等的三角形是 形是等边三角形； 等腰三角形（等角对等边） (3)有一个角是60°的等腰 学 三角形是等边三角形 面积 =1 h h S=1 12.直角三角形的性质与判定 概念 有一个角是90°的三角形叫作直角三角形 (1)直角三角形两锐角之和等于90°，如图，∠A+ ∠B=90°： (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，如 性质 图，CD是斜边上的中线，CD=AB; (3)勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为 a,b,斜边长为c,那么c2=a2+b 中考心法·云南数学 73 续表 (1)有一个角是90°的三角形是直角三角形（定义）： (2)有两个角互余的三角形是直角三角形： (3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a,b,c满 判定 足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形； (4)某边上的中线等于该边的一半的三角形是直 角三角形（需证明）】 面积 计算 S=1 2b三2h,其中a,b为两直角边长，c为斜边 公式 长，h为斜边上的高 13.全等三角形的判定定理与判定思路 (1)判定定理：三角形全等的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS,HL: (2)判定思路 找夹角+SAS ①已知两边相等 找直角→HL或SAS l找另一边→SSS 找两角的夹边→ASA ②已知两角相等 数 找其中一角的对边→AAS 学 边为角的对边→找另一角+AAS 找已知角的另一边→SAS ③已知一边和一角相等 边为角的邻边→ 找已知边的另一角→ASA 找已知边的对角→AAS 14.相似三角形的判定定理与判定思路 (1)判定定理 ①定理一：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形 与原三角形相似； ②定理二：三边成比例的两个三角形相似； ③定理三：两角分别相等的两个三角形相似： ④定理四：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似： (2)判定思路 ①有平行截线一一用判定定理一 ②有一对等角—找 另一对等角 该角两边对应成比例 74 中考心法·云南数学 「夹角相等 ③两边成比例 找 第三边成比例 对锐角相等 ④直角三角形 找 两组直角边的比相等 斜边及一组直角边成比例 顶角相等 ⑤等腰三角形—找 一对底角相等 底和腰成比例 15.平行四边形 (1)性质 两组对边分别平行： ①边 两组对边分别相等： ②角：两组对角分别相等； ③对角线：对角线互相平分： ④平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，任意一 条经过对称中心的直线均平分该平行四边形的周长和面积. (2)判定 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形： ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形： 数 ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形： 学 ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形（人教版独有）； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形， 16.矩形 (1)性质：矩形是特殊的平行四边形，矩形除了具有平行四边形的所有性质 外，还具有以下性质： ①四个角都是直角(90°)： ②对角线相等： ③既是中心对称图形又是轴对称图形，两条对称轴是过对角线的交点 且与边平行的直线 (2)判定 ①有一个角是直角的平行四边形是矩形： ②有三个角是直角的四边形是矩形： ③对角线相等的平行四边形是矩形 注：判定矩形时，先明确前提是四边形还是平行四边形，再选择合适的定理 中考心法·云南敛学 75 17.菱形 (1)性质：菱形是特殊的平行四边形，菱形除了具有平行四边形的所有性质 外，还具有以下性质： ①四条边相等： ②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角： ③既是中心对称图形又是轴对称图形，两条对称轴是两条对角线所在 的直线 (2)判定 ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形： ②四条边相等的四边形是菱形： ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形 注：判定菱形时，先明确前提是四边形还是平行四边形，再选择合适的定理 18.正方形 (1)性质：正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，具有平 行四边形、矩形、菱形的所有性质. ①两组对边分别平行，四条边相等； ②四个角都是直角(90°)： ③对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角： 数 ④既是轴对称图形，也是中心对称图形 学 (2)判定： ①有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形： ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形： ③有一组邻边相等的矩形是正方形： ④对角线互相垂直的矩形是正方形： ⑤有一个角是直角的菱形是正方形： ⑥对角线相等的菱形是正方形 19.切线的性质与判定 (1)切线的性质 ①数量方面：圆心到切线的距离等于半径： ②位置方面：切线垂直于过切点的半径， (2)切线的判定 ①定义法：满足切线的定义（直线和圆只有一个公共，点时，这条直线就 是圆的切线)即可得证 76 中考心法·云南敛学