精品解析：浙江省金华市东阳市2025年九年级中考二模数学试卷

东阳市2025年初中学业水平模拟考试 数学试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 3的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年，我市消费品以旧换新居家适老化改造申请693户，完成改造693户，完成系统审价补贴金额达元，数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列APP图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是( ) A. B. C. D. 5. 某校5名同学在歌唱比赛中的成绩（单位：分）分别为86，90，95，90，88，这组数据的中位数是（ ） A. 86 B. 88 C. 90 D. 95 6. 小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（ ） A. 蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B. C. 蜡烛火焰长 D. 线段中点与线段中点的连线不一定经过点O 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是由 个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则直角的面积为（ ） A. 7 B. 7.2 C. 7.5 D. 8 9. 已知反比例函数的图像上有，两点，下列说法正确的是( ) A. 当时， B. 当时， C. 当 时， D. 当时， 10. 如图， 是边长为1的正三角形，点D，E分别是边， 上的动点，连结 ， 交于点F，且．作 于点G， 于点H．下列两条线段的和，不随D，E的运动而改变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 12. 若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是__（写出一个即可）． 13. 如图，是 的弦， 与 相切于点， 经过圆心．若，则____． 14. 不透明袋子中装有10个球，其中有2个红球、5个绿球、3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是______． 15. 如图，在 中， 垂直平分 ，点 ， 分别是， 的中点，连结，交于 ，延长交 于点 ．若，则的长为____． 16. 如图，在中，O为对角线 上一点，且，线段与线段关于过点O的直线l对称，点A的对应点在线段 上，，与 相交于点E，连接，则四边形与的面积之比为____． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 如图，已知， ，， 在同一条直线上，，，， 与交于点 ． （1）求证： ． （2）若，，求的度数． 20. 如图，在中， ， ， ． （1）利用直尺和圆规在上取一点 ，使得，保留作图痕迹． （2）求的面积． 21. 某校九年级学生共600人，为了解九年级学生的体能情况，从中随机抽取部分学生进行1分钟的跳绳测试，小慧将这次测试结果的数据分成6组绘成如图所示频数直方图，并发现跳绳次数不少于105次的同学占，第①，②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组的频数都是12，第②，③，④组频数之比为． 根据小慧提供的材料，请解答如下问题： （1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？ （2）第④组的频数与频率分别是多少？ （3）现学校计划表彰前的学生，请结合频数直方图确定被表彰学生的1分钟跳绳次数，并说明理由． 22. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热100℃后自动进入保温模式．现有一壶20℃的水经过8分钟烧至100℃后进入保温模式，数学实验小组对这一过程进行了观察与记录，并绘制出水温y（℃）与时间x（分）的关系如图所示． （1）求a的值为． （2）已知时，，求当时水温y与时间x之间的函数关系式，并求出n的值． （3）当x=30时，求此时电热水壶中水的温度是多少℃． 23. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线经过点． （1）请用含的代数式表示． （2）若该抛物线向上平移 个单位后顶点恰好落在x轴上，求该抛物线的函数表达式． （3）已知和是该抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围． 24. 如图，在 中，直径 于点E，连结并延长交 于点 ，点G为上一点，且． （1）求 的度数． （2）求证：． （3）连结 ，如图2，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东阳市2025年初中学业水平模拟考试 数学试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 3的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数的定义可知． 【详解】解：3的倒数是， 故选：C 【点睛】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2. 2024年，我市消费品以旧换新居家适老化改造申请693户，完成改造693户，完成系统审价补贴金额达元，数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于 时， 是正整数；当原数的绝对值小于时， 是负整数． 【详解】解：数字用科学记数法表示为． 故选：D． 3. 下列APP图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别；根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：C． 4. 下列运算结果正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与合并同类项，利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，合并同类项对各项进行运算即可． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．和 不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 某校5名同学在歌唱比赛中的成绩（单位：分）分别为86，90，95，90，88，这组数据的中位数是（ ） A. 86 B. 88 C. 90 D. 95 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．先排序，再根据中位数的定义，即可求解． 【详解】解：从小到大重新排列为，，，， ，最中间的那个数是 ∴中位数是 故选：C． 6. 小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（ ） A. 蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B. C. 蜡烛火焰长 D. 线段中点与线段中点的连线不一定经过点O 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、位似变换，根据相似三角形的判定与性质以及位似图象的定义判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得： ，， ∴， ∵， ∴，故B正确； ∴，故蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形，故A正确； ∴， ∴，即蜡烛火焰长，故C正确； 线段中点与线段中点的连线一定经过点O，故D错误， 故选：D． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．此题考查了在数轴上表示不等式组的解集，以及解一元一次不等式组，把每个不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：由，得 ， 由，得， 不等式组的解集为 ． 在数轴上表示为： 故选：C． 8. 如图是由 个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则直角的面积为（ ） A. 7 B. 7.2 C. 7.5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式的意义；设，根据题意以及勾股定理可得，，根据完全平方公式变形可得，代入数据求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设 依题意，， ∴ ∴ ∴ 直角的面积为， 故选：A． 9. 已知反比例函数的图像上有，两点，下列说法正确的是( ) A. 当时， B. 当时， C. 当 时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，确定两点是否在同一支上，后根据性质解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，正确判定两点是否在同一支上时解题的关键． 【详解】解：A. 当时，，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内， 随的增大而减小， 当时，在第三象限，在第一象限， ，，，故B错误 当时，，，，都在第一象限， 则，故A，C错误 当时，， 反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内， 随的增大而增大， ∴在第二象限，在第四象限， ∴， ，则，故D选项正确 故选：D． 10. 如图， 是边长为1的正三角形，点D，E分别是边， 上的动点，连结， 交于点F，且．作 于点G， 于点H．下列两条线段的和，不随D，E的运动而改变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，在中，，则，，证明得出，则，在中，根据得，进而由勾股定理得，则，据此即可得出答案． 【详解】解：设， ∵ 是等边三角形，且边长为， ∴， ， ∵ ， ， ∴ 和都是直角三角形， 在中，， ∴，， ∵是的外角，且， ∴， ∵， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的值不随、 的运动而改变，始终是， 故选：D． 【点睛】此题主要考查的是等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，理解等边三角形的性顾，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活利用含有 角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 12. 若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是__（写出一个即可）． 【答案】答案不唯一（只要c<4即可），如：0，1等. 【解析】 【分析】已知一元二次方程有两个不相等的实数根，可得△=16-4c＞0，解得c＜4，只要符合这个条件c的值即可. 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△=16-4c＞0，解得c＜4， 故答案为：0（答案不唯一）． 13. 如图，是的弦， 与相切于点 ， 经过圆心．若，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键；连接 ，根据切线性质得 ，再由三角形的内角和求出 的度数，并根据同圆的半径相等求出结论． 【详解】解：连接 ， 是 的切线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 不透明袋子中装有10个球，其中有2个红球、5个绿球、3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是______． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】此题主要考查了概率，关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 利用概率公式可直接得到答案． 【详解】袋子中装有10个球，其中有2个红球、5个绿球和3个蓝球， 从袋子中随机取出1个球，它是蓝球的概率是：， 故答案为：． 15. 如图，在 中， 垂直平分 ，点 ， 分别是， 的中点，连结，交于 ，延长交 于点 ．若，则的长为____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质．解题的关键在于准确运用线段垂直平分线得到线段相等关系，利用三角形中位线定理确定线段平行及数量关系，再通过相似三角形对应边成比例来逐步推导所求线段的长度．本题主要围绕线段垂直平分线的性质、三角形中位线定理以及相似三角形的性质来求解．已知 垂直平分 ，可得到一些线段相等关系；又有 、 分别为、 中点，可利用中位线相关性质，通过线段之间的比例关系求出的长度． 【详解】解：∵ 垂直平分 ， ∴，且． ∵点 是的中点， ∴，且，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵点 是 的中点，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴, 故答案为：6． 16. 如图，在中，O为对角线 上一点，且，线段与线段关于过点O的直线l对称，点A的对应点在线段上，，与 相交于点E，连接，则四边形与的面积之比为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质，设直线与、相交于点 、 ，连接，由题意可得直线 ， 、 、三点共线，设，则，，证明，得出，设，则，，由对称性可得，，故，求出，，证明，得出的边 上的高为，求出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设直线与、相交于点 、 ，连接，如图： ， ∵线段与线段关于过点O的直线l对称，点A的对应点在线段上， ∴直线 ， 、 、三点共线， ∵， ∴设，则，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由对称性可得，，故， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与的对应高之比为， ∴的边 上的高为， ∴，， ∴，， ∴四边形与的面积之比为， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别根据负整数指数幂的运算法则、立方根的定义、绝对值的意义化简各式，再合并即可． 【详解】解： 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元是解题的关键．运用加减消元法直接解方程组即可． 【详解】解：， 得，， 解得； ， 将 代入②得，， 解得：， ∴方程组的解为：． 19. 如图，已知 ， ， ， 在同一条直线上，，，， 与交于点 ． （1）求证： ． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即 ， ∵， ∴， 在 和 中， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由得 ，根据平行线的性质求出，然后根据 可证明； （2）根据全等三角形的性质求出，由三角形内角和定理可得，根据平行线的性质可求的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，在中， ， ， ． （1）利用直尺和圆规在上取一点，使得，保留作图痕迹． （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，点D即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线性质及作法，等腰三角形判定、勾股定理解三角形等． （1）根据垂直平分线的点到线段两端距离相等即可得点D在的垂直平分线上，作图即可； （2）过点 作，垂足为 ，由，求出，设，则，在 中，由，列方程求解出，，再根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点 作，垂足为 ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在 中，， ∴，解得： ∴． ∴的面积. 21. 某校九年级学生共600人，为了解九年级学生的体能情况，从中随机抽取部分学生进行1分钟的跳绳测试，小慧将这次测试结果的数据分成6组绘成如图所示频数直方图，并发现跳绳次数不少于105次的同学占，第①，②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组的频数都是12，第②，③，④组频数之比为． 根据小慧提供的材料，请解答如下问题： （1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？ （2）第④组的频数与频率分别是多少？ （3）现学校计划表彰前的学生，请结合频数直方图确定被表彰学生的1分钟跳绳次数，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）被表彰学生的分钟跳绳次数是不少于次的学生 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，理解题意并正确列式计算是解此题的关键． （1）由题意可得第①组占，再求出第②组的频率，即可得解； （2）先求出第④组的频数，从而即可得出频率； （3）求出第③组的频率、第⑤组的频率，结合题意即可得解． 【小问1详解】 解：∵跳绳次数不少于105次的同学占， ∴第①组占， ∵第①，②两组频率之和为0.12， ∴第②组的频率为：， ∵第②组与第⑥组的频数都是12， ∴这次跳绳测试共抽取名学生； 【小问2详解】 解：∵第②，③，④组频数之比为，第②组与第⑥组的频数都是12， ∴第④组的频数为， ∴第④组的频率为； 【小问3详解】 解：∵第②，③，④组频数之比为， ∴第③组的频数为， ∴第③组的频率为， ∴第⑤组的频率为：， ∴第⑤组和第⑥组的频率之和为， ∵学校计划表彰前的学生， ∴被表彰学生的分钟跳绳次数是不少于次的学生． 22. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热100℃后自动进入保温模式．现有一壶20℃的水经过8分钟烧至100℃后进入保温模式，数学实验小组对这一过程进行了观察与记录，并绘制出水温y（℃）与时间x（分）的关系如图所示． （1）求a的值为． （2）已知时，，求当时水温y与时间x之间的函数关系式，并求出n的值． （3）当x=30时，求此时电热水壶中水的温度是多少℃． 【答案】（1） （2）当时，水温y与时间x之间的函数关系式，． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据保温模式工作原理，由重新加热到目标温度72，结合图象可得a值，y与x的函数关系式为 ，利用待定系数法求出解析式，再求出时，y的值， 时，x的值即可得到答案； （2）设y与x的函数关系式为 ，由工作模式可知，当 时，水温降至 ，开始重新加热，已知 时 ．利用待定系数法求出解析式，再求出时，x的值即可得到答案； （3）由（1）（2）所求可知，每分钟为一个循环，温度先从下降到 ，再从 上升到，其中温度下降的过程为 分钟，温度上升的过程为4分钟，据此可求出第30分钟的温度． 【小问1详解】 解：由图可见，水壶在保温模式下加热到的目标温度，即图中所示的水平线 ，即 ． 【小问2详解】 解：设时水温随时间的函数为 ，当 时，水温降至 开始重新加热，已知 时 ．可得 ，解得：， 因此， 时，． 当水温加热到时电路停止工作，故令得： ，解得． 答：当时，水温y与时间x之间的函数关系式，． 【小问3详解】 解：从至为降温()的10分钟，每分钟降温， 从至为升温()的4分钟， “从冷却到 ，需要（分钟） 再往后水壶会按“从冷却到 ，再加热回”的周期反复．可知每分钟完成一次“”的循环． 当  时水温刚到72 ℃，再经过7分钟后(即 )又回到72 ℃． 故 时，水温为． 23. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线经过点． （1）请用含 的代数式表示 ． （2）若该抛物线向上平移 个单位后顶点恰好落在x轴上，求该抛物线的函数表达式． （3）已知和是该抛物线上的两点．若对于，，都有，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 或  【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，即可求解； （2）根据（1）可得对称轴为直线，当平移后的抛物线当，，即可求解． （3）根据题意得出，根据得出不等式，进而分 和两种情况讨论，分别解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ∴， 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴抛物线解析式为 ∵该抛物线向上平移 个单位后顶点恰好落在x轴上，即的顶点在轴上， ∴当时 ∴ ∴ ∴抛物线解析式为 【小问3详解】 抛物线为 ，点 的横坐标 ， 对应 ． 对于 ，需满足： 即 分情况讨论： 当  ：需 ，最大值   时 ，解得 ． 当 ：需 ，最小值   时 ，解得 ． 所以：  的取值范围为  或 ． 24. 如图，在中，直径 于点E，连结并延长交于点 ，点G为上一点，且． （1）求 的度数． （2）求证：． （3）连结 ，如图2，若，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：如解图2，连接， ∵ ， ∴ ， ∵ ，是直径， ∴ ，， ∴ ∵， ∴ ， ∴ （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键， （1）连接 、 ，根据圆周角、弧、圆心角的关系证明 ，结合三角形外角的性质可得 ，由 ，即可得出 ． （2）连接，可得 ，由垂径定理可得 ，，进而可知，根据同弧所对圆周角相等可得 ，由此即可证明结论． （3）由（2）可求，设 ，进而可得 ， ， ，再根据解三角形求 ， ， ，由（1）得 ， ， 解三角形可求，， ，由勾股定理可求 ，进而可得 ，代入即可求出比值． 【小问1详解】 解：如解图1，连接 、 ， ∵， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接 、 、、过点 作 ，垂足为 ， 由（2）可知：， ∵， ∴， 设 ，则 ， ∴ ， ， ∵是直径， ∴ ， ∴，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 由（1）得 ， ， 又∵ ，， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $