微专题一 反比例函数中的面积模型-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学精讲本

微专题一反比例函数中的面积模型 模型1一点一垂线 模型归纳：反比例函数图象上一点与坐标轴的 垂线，另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角 形面积等于2k. 模型2一点两垂线 模型归纳：反比例函数图象上一点与坐标轴的 两条垂线所围成的矩形面积等于k: S△AB= 例1门(2024·天门期末)如图，点P是反比例函 数y-(≠0)的图象上任意一点，过点P 四边形PN S=S [例2](2024·西安模拟)如图，正方形ABCD的 作PM⊥x轴，垂足为M,若△POM的面积 等于5，则k的值等于 顶点A,D分别在函数y=一三(r<0)和 6 y= (x>0)的图象上，点B,C在x轴上， 则点D的坐标为 A.2.5 B.10 C.-10 D.-5 很踪演终 眼踪演练 1如图，A是反比例函数y=(>0)的图象上 3.(2024·鄂州月考)如图，平面直角坐标系中， 一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B,若 O是坐标原点，点A是反比例函数y= 点C是x轴上一点，S△Me=1,则k的值为 (k≠0)的图象上一点，过点A分别作AM⊥x 轴于点M,AN⊥y轴于点V,若四边形 AMON的面积为2，则k的值是 2.如图，在x轴上方，平行于x轴的直线与反比 例函数y=和y=的图象分别交于A,B 4.(2024·威相模松)如图，矩形OBCD,矩形 两点，连接OA,OB,若△AOB的面积为6，则 OAPE在平面直角坐标系中的位置如图所 k1一k2= 示，A,B在x轴正半轴上，E,D在y轴正半 第三章函数45 轴上，顶点C,P在第一象限，M为BC的中 (1)求一次函数和反比例函数的解析式： 点，反比例函数y兰（>0k为洛数，≠0) (2)直线AB与x轴交于点C,点P(m,0)是 x轴上的点，若△PAC的面积大于12，请直 的图象恰好经过点M,P,若阴影部分的面积 接写出m的取值范围。 为8，则k的值为 模型3两点一垂线 模型归纳：反比例函数与正比例函数的两交点 及由交点向x轴（或y轴）所作垂线围成的三角 形面积为k:反比例函数与一次函数的交点及 坐标轴上任一点构成的三角形面积，等于坐标 轴所分的两个三角形面积之和. S△AMM=Saw十S△m 1 2OM·AM+2OM.BC 名刻十号刻=到 = 踪油练 5如图，已知反比例函数y一冬(k≠0)与正比例 S△MM=SaM十S△mM 函数y=2x的图象交于A(1,m),B(一1，一2) =20M·AM+ 20M·BC 两点 =号刻+安=肉 (1)求该反比例函数的解析式： (2)已知点C在x轴的正半轴上，且△ABC 的面积为3，求点C的坐标. SAM=SAMW十S2 MDy SA=S么m十Se -D1- [例3](2024·广安)如图，一次函数y=ax十b (a,b为常数，a≠0)的图象与反比例函数 y=(k为常数，k≠0)的图象交于A(2,4, B(n,一2)两点. 46中考复习指南·数学 6.如图，一次函数y=x十b与反比例函数y=的 (2)请直接写出关于x的不等式kx十b>m 图象交于A,B两点，点B的坐标为（一3，一2）. 的解集： (3)点P是x轴负半轴上一动点，连接AP, BP,当△ABP的面积为10时，求点P的 坐标。 (1)分别求出一次函数和反比例函数的解 析式： (2)已知点C的坐标为(2,0)，求△ABC的 面积 限踪璃绣 7.(2024·本庄三模)如图，在△ABC中，AB= AC,AB边经过原点O,BC∥x轴，双曲线y (k≠O)经过A,B两点.若S△C=8,则k 的值为 模型4两点两垂线 模型归纳：反比例函数与正比例函数的交点及 由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形 面积. A号 B.1 C.4 D.2 OC D S△ABc=2k S△A0x=S△aFD=S△ME十 8.(2024·荆门月考)如图，△ABC是等腰三角 S△ec-S△oe十Se形pF 形，AB过原点O,底边BC∥x轴，双曲线y= [例4(2024·成宁月考)如图，一次函数y=k.x+ 过A,B两点，过点C作CD∥y轴交双曲 b与反比例函数y一的图象相交于点A(2。 线于点D,若S△xD=12,则k 3),B(n,1). A.-4 B.-4.5 (1)求一次函数及反比例函数的解析式： C.-6 D.-7.5 第三章函数47 9.(2024·恩施阶段练习)如图，已知A,B是反 (1)直接写出b,m,n的值： 比例函数y=9(x>0)图象上的两点，AC1z (2)求△OAB的面积： (3)直接写出y<y2时x的取值范围. 轴于点C,OB交AC于点D,若△OCD的面 积是△BCD的面积的2倍，则△AOD的面 积为 模型5两点十原点 模型归纳： 1.反比例函数与一次函数的交 点和原点所围成的三角形面 眼跨演练 积，若两交点在同一支上，用 A 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标 减法. 原点，直线y=x十2交y轴于点A,交x轴 方法一：S△DP=S△mD一S△00. 方法二：作EMLx轴于点M,交OF于点B, 于点B,与双曲线y=(k≠0)在第一、三象 FA⊥x轴于点A,则S△OB=S网边形F(划归 限分别交于C,D两点，AB= 号BC,连接 到模型4)，则S△0F=S直角梯题BAF: 2.反比例函数与一次函数的交 CO.DO. 点和原点所围成的三角形面 积，若两交点分别在两支上 用加法 方法-：S6Mw=2OD·xB一xw=20C· (1)求k的值： lya-ynl. (2)求△COD的面积. 方法二：S△B=S△0e十S△D+S△0wD. 方法三：作AE⊥y轴于点E,BF⊥x轴于点F, AE与BF相交于点N,则S△m=S△N SAWE一S△Br一S形EvF· [例5](2024·鄂州模拟)一次函数y1=一x十 m+1与双曲线”=(x>0)交于点A1, 4)和点B(n,1),连接OA,OB. 48中考复习指南·数学.-3十m=0,∴.m=3. k十b=6, k=一2， 3k+b=2, 解得 :一次函数y=x十3的图象经过点B(,4), b=8, .n+3=4,∴.n=1. ∴.一次函数的解析式为y=一2.x十8. “反比例函数y=的图象经过点B(1,4), (2)如图，作点A关于y轴的对称点A',连接 A'B交y轴于P, ∴.k=4. (2)a>1. [例7]解：(1)把A(6,1)代入反比例函数2= x 得m=6, “反比例函数的解析式为为=￡ 此时△PAB的周长最小， 点A(1,6),.A'(-1,6), “点Ba,一3)在反比例函数为一的图象上， 设直线BA的解析式为y=cx十d, .-3a=6,解得a=一2，.B(-2,-3), -c+d=6, 3c+d=2,解得5 ·一次函数为=kx十b的图象经过点A和B, .直线BA'的解析式为y=一x十5， (1=6k+b, 解得 当x=0时，y=5, 1-3=-2k+b b=-2 ∴点P的坐标为(0,5) ·一次函数的解析式为=一2。 (3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x 轴，y轴分别交于E,F两点， (2).A(6,1),B(一2，一3)，一次函数的解 .直线EF的解析式为y=一2x十8一a, 析式为y=2一2， E(22.0F0.8-a 令y=0,解得x=4,即一次函数图象与x轴 的交点为(4,0)， EF-7AB. 8-a +(8-a)2-× .S△0B= ×4x1+3)=8 √1-3)2+(6-2)，解得a=6或a=10. (3)x的取值范围是一2<x<0或x>6. 微专题一反比例函数中的面积模型 随堂演练·学以致用 [例1]C[例2](2,3) 1,B2.C3.C4.B5.y=8 [例3]解：(1)：A(2,4)在反比例函数y= 6.解：(1)，一次函数y=kx十b与反比例函数 (k≠0)的图象上， y=”m(x>0)的图象交于点A(1,6),B(n,2), .k=2×4=8, %=6m=6, 反比例函数的解析式为y=8 ·反比例函数的解析式为y= 把B(,一2)代人y=三，得n=-4, 把B,2)代人y=,得2=9， .B(-4,-2), 把A(2,4),B(一4，一2)都代入一次函数 .n=3,.B(3,2) 2a+b=4, y=a.x十b中，得 把A(1,6),B(3,2)代入y=x十b,得 -4a十b=-2 解得al, b=2, …8 ,.一次函数的解析式为y=x十2. [例5]解：(1)，一次函数y=一x十m十1与双 (2)令y=x十2=0，解得x=-2,.C(-2,0), P(m,0),.CP=m+2, 曲线的=兰(x>0)交于点A1,4)和点 △PAC的面积大于12， B(n,1), ∴号×4m+21>12,即m+2>6: .将A(1,4)代入=-x十m十1和y2= 当m≥-2时，m+2>6,解得m>4; (x>0),得-1+m+1=4,片=4， 当m<-2时，一m-2>6,解得m<-8: ∴.m=4,b=4. ∴.m>4或m<-8. .一次函数的解析式为y1=一x十5，反比 [例4幻解：1)将A(2,3)代入y=兴，得3=受 例函数的解析式为为=兰（x>0), 解得m=6, 将B(n,1)代人y=-x+5,得-n+5=1, 一反比例函数的解析式为y= .n=4. x (2)在y=一x十5中，令x=0,则y=5,令 将点B(,1D代人y=9得1=号解得n y=0,则-x十5=0，∴.x=5, 6,.B(6,1) 则D(5,0),C(0,5),过点B作BE⊥x轴于 将A(2,3),B(6,1)代入y=kx十b中，得 点E,过点A作AF⊥y轴于点F, 2k+b=3·解得 =一 6k+b=1, =4, ∴.一次函数的解析式为y=一 2+4. .'SAOB=SAD-S△cA-S△0BD (2),A(2,3),B(6,1),反比例函数图象的 另一支在第三象限， -0CXOD-0CXAF-ODXBE 不等式kx十>”的解集为2<6或<0. =3×5X5-×5×1-×5×1= (3)设直线AB交x轴于点H,设点P(x,0), (3).y<y2 一次函数图象在反比例函数图象下方对 应的交点横坐标的取值范围即为该不等式 的解集， ∴.0<x<1或x>4. 跟踪演练 “直线AB的解析式为y= 2x+4, 1.22.-123.24.8 当)y=0时，0=一2x十4，解得x=8。 5.解：(1)把B(-1,-2)代入y=(k≠0)得 ∴.H(8,0), k=-1X(-2)=2,y=2 .S△BP=SAPHA一S△PHB= 号×PHX(yA y= 2 (2)解方程组 yg)=7×(8-x)×(3-1)=10, x得x二1·击x一一1， =2或=一2. 解得x=一2，即点P的坐标为（一2,0）. .A(1,2),设点C的坐标为(c,0), 。9 则SA=S0C+S0x=号OCX1n|十 第12节二次函数的图象和性质 20C×g=2c×4=3, 教材梳理·基础落实 要点11.y=a.x2+bx十c 解得c=号∴点C的坐标为（侵.0以 2.y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) 6.解：(1)将(-3，-2)分别代入y=x+b与y= 要点2 中，得-2=-3十6，-2=3，解得b=1, 1.a>0a<0 向上 向下x= 2a k=6,.一次函数和反比例函数的解析式分 b 4ac-b 别为y=十1y=是 -2a' 减小增大增大减小 小大大小 (2)记直线AB与x轴的交点为D.把y=0 2.(1)向上向下 (2)左侧右侧y 代入y=x+1,得x=-1, (3)正半轴 负半轴 原点 .D(-1,0),则CD=3, 要点3 y=x+1, 加减加减 x=一3， x=2, 联 ly-6 解得 或 要点4 y=-2 y=3, 1.(1)两个交点 (2)一个交点 (3)没有交点 即A(2,3), 2.上方下方 .SAAI =SMADX+SABDC 知识巩固·素养提升 [例1门D[例2]A -号CDa+号CDl [变式](1)38 (2)-18(3)0或3 =号×3×(2+3)=5， 7.D8.B9.2.5 [例3](1)C(2)B 10.解：(1)在y=x+2中，令x=0得y=2,令 [例4](1)y=-2(x-2)2 y=0得x=-2,∴.A(0,2),B(-2,0) [变式](1Dy=-2x2+2(2)y=-2(x-2)2+2 (3)y=-2x2-1 AB=2BCA为BC的中点C(2,4) [例5](1)D(2)B(3)D 把C2.4)代入=得4=会：解得=8， 随堂演练·学以致用 1.A2.D3.D4.A5.D6.B ∴k的值为8. 7.解：(1)将M-2,3)代入y=-x2+mx+3, y=x+2, 得3=-(-2)2-2m十3，解得m=-2, x=2, x=一4， (2)联立 8 解得 ∴y=-x2-2x+3,.y=-(.x2+2x+1 y=4 或 y=-2, 1)+3,∴.y=-(x+1)2+4, .D(-4,-2), ∴.此抛物线的顶点坐标为（一1,4）. ×2×2+7× (2)由(1)可知抛物线的顶点坐标为（一1,4）， ∴.SA0D=SAoB+SAOB= 对称轴为直线x=一1， 2×4=2+4=6, 当x=-3时，y=-(-3+1)2+4=0, .△COD的面积是6. .当一3≤x≤0时，y的取值范围为0≤y≤4. ·10