微专题五 相似三角形的常见模型-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学精讲本

微专题五 相似三角形的常见模型 模型1A字型 模型归纳 (DR∥BC 正A字型 图1 图2 图1 2.斜8字型（蝴蝶型）：如图2，根据条件找另外 D与BC不平行 一对角相等或者对顶角的两边对应成比例， ∠ADE=∠AB或 ∠AED=ZB 得这两个三角形相似. 3.当没有说明对应角的关系时，需分情况讨论 [例2](1)如图，线段AE,BD交于点C,如果 C AC=9,CE=4,BC=CD=6,DE=3,AB 图2 图4 斜交型 (点E与点C重合)母子型 的长为 ∠ACn=90° /ACB=90, DE⊥AB CD⊥AB A 9 B C(E B.3 C.4 D. 2 图3 图5 双垂直共角型 双垂直角儿线型 (2)(2024·云南改编)如图， [例1门(2024·湖南)如图，在△ABC中，点D,E AB与CD交于点O,且AC∥ 分别为边AB,AC的中点，下列结论中，错 误的是 BD. 88+80+品 则品 1 浪蓝演练 A.DE∥BC B.△ADE∽△ABC 2.疹物理学科 物理课上学过 2024·扬州 C.BC=2DE D.SAADE= 1 小孔成像的原理，它是 康踪演药 种利用光的直线传播特 L.(2024·滨州)如图，在△ABC 性实现图像投影的方法 -30一7cm 中，点D,E分别在边AB,AC 如图，燃烧的蜡烛（竖直 上，添加一个条件使△ADE∽ 放置)AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成 △ACB,则这个条件可以是 (写出 像A'B'.设AB=36cm,A'B'=24cm.小孔 种情况即可) O到AB的距离为30cm,则小孔O到A'B'的距 模型28字型 离为 cm. 模型归纳 模型3一线三等角型 1.正8字型：如图1，根据内错角相等得到除对 模型归纳 顶角外另一组对应角也相等，得这两个三角 1如图，一线三等角模型的特点有： 形相似。 (1)∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线上： 84中考复习指南·数学 (2)∠1，∠2，∠3之间的关系是∠1=∠2=∠3. 限踪演练 3.(一题多解)如图，在□ABCD中，AB=3,BC= 4,∠B=60°，点E是AB边上一点，连接DE, 过点E作EF⊥DE,交BC边于点F,且 ∠EFD=60°，求AE的长. 2.一线三等角模型的结论： (1)△APC和△BDP的关系是△APC∽△BDP: (2)若在(1)中的条件下，增加条件AC=BP (或AP=BD或PC=DP),可以得到△APC≌ △BDP. 3.构造模型 (1)若图中存在一条直线上有一个直角时，根 据一线三等角的特点，从直角的两边上的已 知点向直角顶点所在直线作垂线，构造一线 三等角模型 ∠→A (2)若图中存在一条线上有两个等角时，根据 一线三等角的特点，补上一个与前两个角相 等的角 模型4旋转型 模型归纳 [例3](2024·杨州期中)如图，CA⊥AD,ED⊥ 1.(1)0A=OB,OC=OD; AD,点B是线段AD上的一点，且CB⊥ (2)∠AOB=∠COD: BE.已知AB=8,AC=6,DE=4. (3)将△OCD绕顶点O旋转，连接AC,BD, 可得△AOC≌△BOD. 简记：双等腰，顶角相等，绕顶角顶点旋转得 全等 (1)证明：△ABC∽△DEB: (2)求线段BD的长. 2.(1)OA≠OB,OC≠OD,CD∥AB: (2)∠AOB=∠COD: (3)将△OCD绕顶点O旋转，连接AC,BD, 可得△AOC∽△BOD. 简记：非等腰，共顶点的角相等，绕共顶点旋 转得相似。 第四章三角形85 3.构造模型 跟踪演练 如图1，①有公共端点（点A)的两条等线段 4.如图，△ABC和△CEF均为 (AD=AC); 等腰直角三角形，∠ABC ∠EFC=90°，点E在△ABC 内，连接BF,AE.若AE=2, 则BF的长为 图1 模型5对角互补型 ②已知两条等线段的夹角（α）： 模型归纳 ③有过公共端点的第三条线段(AB): 对角互补模型的特点：有一组对角互补 ④所求线段为BD. 条件：如图，在四边形ABCD中，∠ABC+ 如图2， ∠ADC=180°. ①将线段AB绕点A顺时针旋转α，得到线段 辅助线作法： AE; ①作垂线构相似，过点D分别作其互补角两边 ②连接BE,CE; 的垂线 ③构造△ABE和△ADC为共顶点的手拉手 结论：△ADF∽△CDE. 模型（其中CE,BD为拉手线）： 结论：△ABD≌△AEC:△ABE∽△ADC [例4]【问题发现】(1)如图1，△ABC和△ADE 、/ 八。 是有公共顶点的等边三角形，BD,CE的关 系是 (填“相等”或“不相等”)： 如图，△ODE∽△OHF. 【类比探究】(2)如图2，△ABC和△ADE是 有公共顶点的直角三角形，∠DAE=∠BAC, 且架-船=，(1)中的结论还成立吗： ②作等角构相似，在BC的延长线上找一点E, 请说明理由。 连接DE,使得∠CDE=∠ADB. 结论：△ABDC∽△CED [例5]探究式学习是新课程倡导的重要学习方 式，某兴趣小组拟做以下探究。 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,D是 AB边上一点，且部-(m为正整数).E 是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交 直线BC于点F 【初步感知】如图1，当n=1时，兴趣小组探 究得出结论：AE+BF=号AB 【深入探究】如图2，当n=2,且点F在线段 86中考复习指南·数学 BC上时，试探究线段AE,BF,AB之间的 限踪演练 数量关系，请写出结论并证明。 5.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°， 将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC上 的点P处，求证：PC·PD=PB·PE 图2 第19节 锐角三角函数与解直角三角形 。课标要求 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA),知道30°，45°，60°角的三 角函数值. 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它的对应锐角， 3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题， 教材梳理 基础落实 要点1 锐角三角函数的定义 要点2 特殊角的三角函数值 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的 sin a cos a tan a 对边分别为a,b,c,则tanA= ∠A的对边 ∠A的邻边 30 ,sinA=∠A的对边 斜边 45 c0sA=∠A的邻边】 60 斜边 [提示](1)互余两角三角函数之间的关系：∠A十 ∠B=90°时，sinA=cosB,cosA=sinB: (2)同角三角函数之间的关系：sinA十cosA= [提示](1)注意自变量的范围：锐角三角函数 1,tan A=sin A. 的自变量是角度，其取值范围是0°<a<90°. 00sA: (2)注意函数值的范围：锐角三角函数的值是 (3)不同锐角三角函数增减的区别：在锐角范 直角三角形各边的比值，0<sinA<1,0< 围内，sinA和tanA的值随∠A的增大而增 cos A<1,tan A>0. 大，0sA的值随∠A的增大而减小 第四章三角形87要点41.相等成比例相似比 ,∴.∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE, 2.(1)相等成比例 即∠BAD=∠CAE. (2)相似比相似比的平方 要点5(kx,ky)(一kx,一ky) 又架怨-号.∠BAD=∠CAE, 知识巩固·素养提升 ∴.△ABDO△ACE, [例1](1)A(2)2[例2](1)A (2)C [例3]D[例4幻6[例5](3,1)9：1 2能-受BD-cE 随堂演练·学以致用 故(1)中的结论不成立 1.C2.D3.8 4.(1)证明：BD=BE,∴∠BDE=∠BED, [例5]解：AE+号BF=号AB,理由如下： ,∠BDE+∠ADC=18O°=∠BED+∠BEC, 如图，过点D作DN⊥AC于N,DH⊥BC于H, .∠BEC=∠ADC, ,∠ACB=∠BED,∠BED=∠EBC+∠BCE, ∠ACB=∠ACD+∠BCE, ∴.∠EBC=∠ACD,.△BECP△CDA (2)解：：BD=BE,∠BDE=∠BED, ∠C=90°，AC=BC,∴.∠A=∠B=45. :∠ACB=∠BED,∴.∠BDC=∠ACB, ,DN⊥AC,DH⊥BC, :∠CBD=∠ABC,∴.△CBDD△ABC, .△ADN和△BDH是等腰直角三角形， 思認即- ..AN-DN.DH=BH,AD=2AN.BD- √2BH,∠A=∠B=45°=∠ADN=∠BDH, AB=空AD=AB-BD-空-4=是， ∴△ADNn△DBH,品- 由1器需即3E 设AN=DN=x,BH=DH=2x, 4 .AD=√2x,BD=2√2x,∴.AB=3W2x, 整理得CE+3CE-9=0, .,DN⊥AC,DH⊥BC,∠ACB=90°， 解得CE=3)一3（边长为正值，舍去负值. 2 .四边形DHCN是矩形， ∴.∠NDH=90°=∠EDF, 微专题五相似三角形的常见模型 .∠EDN=∠FDH, [例D[例2]D(2)号 又：∠END=∠FHD, ∴.△EDN∽△FDH, [例3](1)证明：，CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥ BE,∴.∠A=∠CBE=∠D=90, }8器-PH=2NE. ∴.∠C+∠CBA=90°，∠CBA+∠DBE=90°， AE+7BF-x+NE+2(2r-FH)= ∴.∠C=∠DBE,∴.△ABC∽△DEB. (2)解：，△ABC△DEB, 品提高-是BD=8 2r9a 跟踪演练 [例4幻解：(1)相等(2)不成立，理由： 1.∠ADE=∠C(答案不唯一)2.20 在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠DAE= 3.解：解法一： ∠BAC=30°， 如图，延长BC至点G,连接DG,使∠G=60°， ·18- 2+x B 4.2 :∠B=∠EFD=60°， 5.证明：过点P作PM LAB于点M,PN⊥AC ∴∠BFE+∠BEF=∠BFE+∠GFD=12O°， 于点N,则四边形PVAM为矩形， ∠BEF=∠GFD, ∴.PM=AN.由折叠可知，∠DPE=∠A=90, ∠B=∠G=60°，∴.△BEF∽△GFD, 器部需 :四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,CD=AB=3, ∴∠ADP+∠AEP=180°， '.∠DCG=∠B=∠G=60°， :∠PEN+∠AEP=180°， ∴.△DCG是等边三角形， ∴∠ADP=∠PEN. ..CG=DG=CD-3...BG=7, 又，∠DMP=∠ENP=90°， BE BF 1 72BF32 ∴.△DMP∽△ENP. BF=多BE- 混微：☑c=6, 4 ∴.△PNC是等腰直角三角形，∴.PN=NC :.AE-AB-BE- 1 .∠PNC=∠A=90°， 解法二：如图，过点F作FM⊥AB于点M,过 PN/aB腮 点D作DN⊥AB,交BA的延长线于点N, 兴腮腮腮 PC·PEPC ∴PC·PD=PB·PE. 第19节 锐角三角函数与解直角三角形 ,'∠MEF+∠DEN=∠NDE+∠DEN=90°， 教材梳理·基础落实 ∴.∠MEF=∠NDE, 要点1分 a .∠EMF=∠DNE=90°， ∴.△EMFc△DNE. 要点2 3③ 2 1 3 2 2 3 ,四边形ABCD为平行四边形，∠B=60°， 要点3 .AD∥BC,AD=BC=4, 1.(1)a2+2=2 (2)∠A+∠B=90° .∠NAD=∠B=60°， (3)4 b AN=号AD=,DN=AD=23. b a 2.已知元素 未知元素 ,∠EFD=60°，∠DEF=90°， 要点41.上方下方 院有贤福慌店-2 2.水平宽度坡比坡角tana 3.水平线或铅垂线 设AE=x,则BM=AB-AE-EM=1-x, 知识巩固·素养提升 NE=AN+AE=2+x. 在Rt△BMF中，MF=√3BM=√3-√3x, [例1A[例2]C[例3竖+1[例幻D ·19