微专题七 与圆切线有关的常见模型-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学精讲本

4.传统文化如图，等边△ABC内切的图形来 (1)求证：BE是⊙O的切线： 自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中 (2)当⊙O的半径为2，BC=3时，求tan∠AEB 的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的 的值 内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积 与△ABC的面积之比是 5.(2024·廿肃)如图，AB是⊙0的直径，BC-BD, 点E在AD的延长线上，且∠ADC-∠AEB. 友情提示请完成精练本P0第23节 微专题七 与圆切线有关的常见模型 模型1切线性质的常作辅助线及常见设问 (3)求锐角三角函数值：①构造直角三角形， 1.常作辅助线 根据边角关系求解： (1)已知切线：连接圆心和切点. ②若所求角不在构造的直角三角形中，则将 已知AB是⊙O的切线，点B是 0 所求角转化到直角三角形中求解。 切点，连接OB,得∠OBA=90° [例1](2024·乐山节选)如图，⊙O是△ABC的 (2)已知切线和直径：连接直径端 外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线 点与切点，连接圆心和切点。 CD交BA的延长线于点D,点E为CB上一 已知AB是⊙O的切线，点BC 点，且AC=CE.求证：DC∥AE. 、0 是切点，CD是⊙O的直径，连 接OB,BC,BD,得Rt△BCD, ∠ABO=90 2.常见设问 (1)求角度：连接圆心和切点，构造直角三角 思维导引：连接OC,由余角的性质推出∠B 形，由两锐角互余和圆周角定理进行角度转 ∠DCA,由圆周角定理得到∠B=∠CAE, 化求解 因此∠CAE=∠DCA,推出DC∥AE (2)求线段长：①利用直角三角形的边角关系 求解； ②利用勾股定理求解，注意直径所对的圆周 角是直角，也是构造直角三角形的常用方法； ③利用相似三角形求解，找出所求线段相关 的两个三角形相似： ④利用等面积法求解. 第六章圆109 跟踪演练 4.切线长模型 1.(2024·天津)已知△AOB中，∠ABO=30°， (1)已知切点 AB为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C 条件：AC⊥BC,OA平分 (1)如图1，若AB∥MN,直径CE与AB相 ∠COD,AB与⊙O交于点D. 交于点D,求∠AOB和∠BCE的大小： 思路：连接OD,证△ACO≌ (2)如图2，若OB∥MN,CG⊥AB,垂足为G, △ADO,则∠ADO=∠ACO=90. CG与OB相交于点F,OA=3,求线段OF的长. 结论：AB是⊙O的切线. (2)未知切点 条件：AC⊥BC,QA平分∠COD 思路：过点O作OD⊥AB 于点D,证DO=CO,则OD 为⊙O的半径， 图 图2 结论：AB是⊙O的切线， [例2]（九上表材P102T12改编）如图，AB为 ⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为EB的 中点，过点C作CD⊥AE,交AE的延长线 于点D,延长DC交AB的延长线于点F. (1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若DE=1,DC=2,求⊙O的半径， 模型2证明切线的常见模型 1.等角代换模型 条件：AB是⊙O的直径，∠CAE= ∠B. 思维导引：(1)连接OC,证明AD∥OC,可得 思路：由∠B十∠BAC=90°，可 OC⊥DF,即可证得DF是⊙O的切线； 得∠CAE+∠BAC=90°. (2)过点O作OG⊥AD于点G,连接OE,易 结论：AE是⊙O的切线， 证四边形OCDG是矩形，在Rt△OGE中， 2.平行线模型 利用勾股定理建立方程即可求解 条件：点O在AB上，AC⊥ BC,BC与⊙O交于点E. 思路：连接OE,证OE∥AC, 则OE⊥BC. 结论：CB是⊙O的切线. 3.等腰三角形模型 条件：OA=OB. 思路：作OC⊥AB于点C,证 OC等于半径. 结论：AB是⊙O的切线， 110中考复习指南·数学 跟踪滴练 (2)如图2，延长AC到点M,使AM=AB,过 2.(2024·自黄)在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O 点M作MN⊥AB于点N.求证：MN是⊙O 是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F. 的切线。 (1)图1中三组相等的线段分别是CE=CF, AF= BD= ;若AC=3, BC=4,则⊙O的半径长为 图 图2 第24节 与圆有关的计算 ←课标要求 1.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. 2.会计算圆的弧长、扇形的面积。 教材梳理基础落实 要点1 正多边形和圆 2.扇形弧长：l= 1.相关概念 3.圆面积：S=xr2. (1)正多边形的中心：正多边形的外接圆的 4.扇形面积：S= ir. 要点3 圆锥的侧面积与全面积 (2)正多边形的半径：正多边形 与正多 1.圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是 边形顶点的连线，即正多边形外接圆的半径. ,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆 (3)正多边形的边心距：中心与边的距离. 的 等于圆锥的母线长， 2.圆与正多边形的计算（正多边形的边数为， 2.圆锥的侧面积：S假锥侧= (r为底面圆 外接圆的半径为R) 半径，1为母线长). (1)正多边形的边长：a,=2Rsin180 3.圆锥的全面积：S维全一 180° 要点4阴影部分面积的计算方法 (2)正多边形的周长：C=2 Rsin 1.公式法：适用于如扇形、弓形、圆环、特殊四边 (3)正多边形的边心距：rm=Rcos 180° 形等规则图形的面积计算， 2.和差法：所求图形是不规则的图形，可通过转 要点2弧长与扇形面积 化变成规则图形的和或差求解， r为圆的半径，n为弧所对的圆心角的度数，l是 3.等积转化法：直接求面积较麻烦或根本求不 扇形弧长 出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公 1,圆的周长：C=2πr. 式法或和差法创造条件。 第六章圆1110D=300=5asC-2-号 .∠B=∠DCA, AC=CE,∴∠B=∠CAE, 在R△0CA中，osC-C-青， ∴∠CAE=∠DCA,∴.DC∥AE. [例2](1)证明：连接OC, :点C为EB的中点， [例3]D ∴.EC=BC,∴∠EAC=∠BAC, 随堂演练·学以致用 .'OA=OC,∴.∠BAC=∠OCA, 1.D2 .∠EAC=∠OCA, ∴.AD∥OC,.∠ADC=∠OCF, 5.(1)证明：连接BD,OC,OD, CD⊥AE,∠ADC=90°， ∴.∠OCF=90°，即OC⊥DF, 又OC为⊙O的半径，∴.DF是⊙O的切线. .BC=BD,.'.BC=BD, ,OC=OD,∴.点O,B在CD的垂直平分线上， ∴.OB垂直平分CD,.∠AFD=90°， ,∠ADC=∠AEB,.CD∥BE (2)解：过点O作OG⊥AD于点G,连接OE, ∴∠ABE=∠AFD=90°，∴.AB⊥BE, ,∠ADC=∠OCD=∠OGD=90°， AB是⊙O的直径，.BE是⊙O的切线. ∴四边形OCDG是矩形， (2)解：⊙O的半径为2，.AB=2×2=4, ..OG=CD=2,DG=OC, .AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°， 设⊙O的半径为r,在Rt△OGE中， ,BC=3,.AC=√AB-BC=√4-3=√7， .OG+GE=OE2, ∴tnLABC-8C-, 22+(-1)2=2,解得r= 2, AC=AC,∠ADC=∠ABC, :⊙0的半径为号 :∠AEB=∠ADC,∴∠AEB=∠ABC, 跟踪演练 tan∠AEB=tan∠ABC= 3 1.解：(1)，OA=OB,∴.∠A=∠ABO=30°， ∴.∠AOB=180°-2∠ABO=120°， 微专题七与圆切线有关的常见模型 '直线MN与⊙O相切于点C,CE为⊙O的 [例1叮证明：连接OC, 直径，∠ECM=90°， AB∥MN,∴.∠CDB=∠ECM=90°， ∴.∠BOE=90°-∠ABO=60°， ∠BCE=2∠BOE=30 .CD为⊙O的切线，点C在⊙O上， (2)如图，连接OC ∴.∠OCD=90°，∴.∠DCA+∠OCA=90°， .AB为⊙O的直径，.∠ACB=90°， ∴.∠B+∠OAC=90°. .OC=OA,∴.∠OAC=∠OCA, ·24· ,直线MN与⊙O相切于点C,∴.∠OCM=90°， BD=BC, ,OB∥MN,.∠COB=∠OCM=90, 在△OBD和△OBC中，OD=OC, CG⊥AB,∴∠FGB=90, OB=OB, :∠ABO=30°，∴.∠BFG=90°-∠ABO=60°， .△OBD≌△OBC(SSS), ∴.∠CFO=∠BFG=60°， ∴∠ODB=∠OCB=90°，∴.OD⊥AB, 在R△0F中，m∠CP0-8S.0C-0A=3, ,OD是⊙O的半径，.AB是⊙O的切线， ∴.OF= OC 3 (2)解：设⊙O的半径为r, tan∠CFO tan60=V3. 在Rt△OAD中，AD+OD=AY, 2.(1)AD,BE,1. ∴.(3)2+2=(1十r)2,解得=1，∴.OD=1, (2)证明：如图，过O作OH⊥MV于H,连接 OD,OE,OF, ∴tam∠A0D-0-5. ∠AOD=60°，∴.∠COD=120°， .△OBD≌△OBC, ÷∠BOD=∠B0C-7∠COD=60, 币的长为00G-景 '∠ANM=90°=∠ACB,∠A=∠A,AM=AB, [例3]3000π[例4幻C[例5]C ∴.△AMN≌△ABC(AAS),.AN=AC, .AD=AF, 随堂演练·学以致用 ..AN-AD=AC-AF,DN=CF, 1.B2.4π3.20π4.116 由题可得，CF=OE,DN=OE, 5.(1)证明：连接OC, ,∠ANM=∠ODN=∠OHN=90°， ∴.四边形OHND是矩形，∴.OH=DN, ∴.OH=OE,即OH是⊙O的半径， .'OH⊥MN,∴.MN是⊙O的切线. ,AB是直径， 第24讲与圆有关的计算 ∴.∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°， .OA=OC,∠BCD=∠A, 教材梳理·基础落实 ∴.∠OCA=∠A=∠BCD, 要点11.(1)圆心中心 ∴.∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°， 要点22需 4需 .OC⊥CD. 要点31.扇形周长半径 .OC是⊙O的半径， 2.xrl3.πrl+πr2 ∴.直线CD是⊙O的切线. 知识巩固·素养提升 (2)解：，∠ACD=120°，∠ACB=90°， [例1]B ∠A=∠BCD=120°-90°=30°， [例2](1)证明：连接OD, ∴.∠DOC=2∠A=60°， 在Rt△OCD中， tan∠DOC- CD OC =tan60°，CD=2√3， :2 OC =√3，解得OC=2, ·25·