微专题六 解直角三角形常见模型-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学精讲本

[例5]解：设山顶D所在线段为DG,过点C作 在Rt△APC中，∠A=37°，AP=100海里， CE⊥DG于E,CB的延长线交AG于F,如 ∴.PC=AP·sinA=100×sin37°≈100× 图所示 0.6=60(海里)， 1930 AC=AP·cos37°≈100×0.8=80（海里）， 在Rt△PBC中，∠B=45°， .BC=PC=60(海里)， 地而 ∴.AB=AC+BC=80十60=140（海里）， 在Rt△BAF中，a=30°，AB=50m, 答：B处距离A处有140海里。 [例2]51 则BF=AB·sima=50×2=25(m), [例3]解：由题意可知AB=24米，∠BDA=53°， ∴.CF=BC+BF=30+25=55(m). 在Rt△DCE中，∠DCE=1930',CD=180m, tan∠BDA=AB-24 ADAD≈1.33， ∴.DE=CD·sin∠DCE≈180X0.33≈59(m). ..AD= ,四边形CFGE是矩形，EG=CF, 1.33≈18.05（米）. 24 ,∴.DG=DE+FG=DE+CF=59+55=114(m. 'tan∠CAD=tan30°-CD- CD_3 答：山顶D的高度为114m. AD18.053' 随堂演练·学以致用 CD=18.05×5≈10.4（米）. 3 1.A2.A3.6-23 故办公楼的高度约为10.4米. 4.解：过点A作AF⊥MN,垂足为F,如图所示. 跟踪演练 1.解：如图，过点P作PE⊥AB于点E,过点C 作CF⊥PE于点F. 50 设BF=xcm,.BC=9cm,∴.CF=BC十BF= 63.6 x+9(cm), 在Rt△ABF中，∠ABF=∠DBN=35°， .AF=BF·tan35°≈0.7x(cm), 在Rt△ACF中，∠ACF=∠ECN=22°， 由题知∠NPC=∠PCF=63.6°，∠MPA ,∴.AF=CF·tan22°≈0.4(x+9)cm, ∠BAP=50°，BC=EF=12m,PE=60m, ∴.0.7x=0.4(x十9)，解得x=12, .'PF=PE-EF=48 m, .AF=0.7x=8.4(cm), ∴.新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm. 在R△PC中，am6a6产-器-2， ∴.CF=24m,∴.BE=24m, 微专题六解直角三角形常见模型 在R△APF中，tan50°=PE=6 [例1]解：过P作PC⊥AB于C, AE5· .'.AE=50 m,.'.AB=AE+BE=74 m. 2.A 3.解：(1)斜坡BE的坡度i=1:√3， 提清 m∠BEA-提-号∠BEA=30, AE ·20· BE-6 m,:AB-7BE-3(m). 724或14+278或5 答：点B离水平地面的高度AB为3m. 9.解：设经过x秒后，以点P,B,Q三点为顶点 (2)作BF⊥CD于点F,则四边形ABFC是 的三角形与△ABC相似， 矩形，AB=CF=3,BF=AC,设DF=x, 则AP=2x,BQ=x, AB=10,BC=20,.BP=10-2x. ,∠B为两个三角形的公共角， ①当船=瓷时，△ABC0△PBQ,即 10.2-箭解得x- 10 3； 在R△DBF中，tan∠DBF=D BF· ②当腮-器时，△ABC△QBP,即号= .BE= DF tan∠DBF-x, 100,解得x- 20 在Rt△ABE中，AE=√BE-AB=33, 答：经过号或号秒后，以点P,BQ三点为顶 在Rt△DCE中，DC=DF+CF=x+3, 点的三角形与△ABC相似. tan∠DEC DC EC· 第五章 四边形 x-品-+》. 第20节多边形与平行四边形 教材梳理·基础落实 又BF=AE+EC. 要点11.(2)①(n-2)×180° ②360° 35+5+3》==63+6, 3 2.(1)相等相等 360 .CD=6√3+6+3=65+9. (2)①0m-2)X180° ②n 答：电线塔CD的高度为(6√3十9)m. 要点21平行 2.(1)平行 (2)互补 (3)平分 第四章易错集锦 3.(2)相等(3)相等 (4)相等 (5)平分 [例1]50°，80或65°，65°[例2]45或135 知识巩固·素养提升 [例3]70或20°[例4幻5或9[例5]B [例1](1)900(2)9 [例2]C [例6]解：∠1=∠2， [例3]证明：，四边形ABCD是平行四边形， 理由如下：在△AOB和△DOC中， .AB∥DC,AB=DC, :AB=DC,∠A=∠D,OA=OD, ∴.∠BAE=∠DCF, ∴.△AOB≌△DOC(SAS). AB=CD, ∴.OB=OC,∴.∠1=∠2. 在△AEB和△CFD中，∠BAE=∠DCF, [例门5或7[例8或号 AE=CF, ∴.△AEB≌△CFD(SAS),∴.BE=DF. 跟踪演练 [例4(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 1.55°，55或70°，40°2.8或10 ∴.AB=CD,AD=BC,∠B=∠D, 3.√61m,√61m或10m,2√10m .AF=CE, 4.B5.D6.BC=EF(答案不唯一) ∴.AD-AF=BC-CE,即DF=BE, ·21·微专题六 解直角三角形常见模型 模型1 背靠背型 跟踪演练 模型两个直角三角形有一条公共直角边，另两条直角 1. 特点边在公共边两侧 靠合与实践在综合实践课上，数学兴趣小 2024·款安及编 组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽 若三角形中有已知角，则通过 CE) 度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无 在三角形内作高，构造出两个 人机，如图，无人机在河上方距水面高60米 模型 直角三角形求解，原则上辅助 原型线不破坏题中所给定的角度， 的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为 D(F 其中公共边CD是解题的关键， 50°，测得膝望台顶端C处的俯角为63.6°，已 等量关系：CD为公共边，AD十BD=AB 知瞭望台BC高12米（图中点A,B,C,P在 同一平面内)，那么大汶河此河段的宽AB为 多少米.（参考数据：sin40°≈号，sin63.6≈ ,tan50'≈gtan63.6e≈2》 9 模型 变式 图1 图2 P 50Y63.6 等量关系：如图1，CE=DA,CD=EA,CE十BD= AB:如图2，CD=EF,CE=DF,AD十CE十BF= AB [例1](2024·廿孜州)如图，一艘海轮位于灯塔 P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东45°方向上的B处.这时，B 处距离A处有多远？（参考数据：sin37°≈ 0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 模型2母子型 模型两个直角三角形有一条公共直角边，另两条直角 特点边在公共边同侧且共顶点 45 若三角形中有已知角，则通过在三角形内作高，构 造出两个直角三角形求解，原则上辅助线不破坏 题中所给定的角度，其中公共边BC是解题的 关键 模型 原型 等量关系：BC为公共边，AD十DC=AC 第四章三角形91 (续表) 跟踪滴练 2.(2024·雅安)在数学课外实践活动中，某小 组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在 A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方 图2 向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这 栋楼的高度为（人的身高忽略不计）() B(D -130 60P A.253米 B.25米 C.25√2米 D.50米 模型 变式 模型3拥抱型 模型两个直角三角形有一条公共直角边，另两条直角 特点边在公共边同侧且不共线 B-- 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题 的关键。 图7 等量关系：如图1，BE+EC=BC:如图2，EC 模型 BC=BE;如图3，AC=FG,AF=CG,AD+CD= 原型 FG,BC+AF=BG:如图4，BC=FG,BF=CG, AC+BF=AG,EF+BC=EG:t如图5，EF+ B(F) C(E) BC=EG,BD+DF=CG,AC+BD+DF=AG: 等量关系：BC为公共边 如图6，DE=FC,DF=EC,BF+DE=BC,AE+ DF=AC,如图7，AF=CE,AC=FE,BC+ AF-BE [例2] 警盒食交受黄鹤楼是武汉市著名的旅游 图 景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一 模型 次综合实践活动中，某数学小组用无人机测 变式 量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图， C(F) 将无人机垂直上升至距水平地面102m的 图2 C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端 等量关系：如图1，BF+FC+CE=BE:如图2， B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是 AB=GE,AG=BE,BC+CE=BE=AG m.(参考数据：tan63°≈2) [例3](2024·聊城月考)在一次数学课外实践 63 活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部 102m B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从 综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰 地面 角恰好是30°，综合楼高24m.请你帮小明 92中考复习指南·数学 求出办公楼的高度.（结果精确到0.1，参考 银踪演练 数据：tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，√3≈ 3.(2024·巴中)某兴趣小组开展了测量电线塔 1.73) 高度的实践活动.如图所示，斜坡BE的坡度 53 i=1:√3，BE=6m,在B处测得电线塔CD 综 顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD 顶部D的仰角为60°. 思维导引：由题意可知AB=24米，∠BDA= 53图为an∠BDA-8,可求出AD,又 由an30-品可求由CD,即得到答案： (1)求点B离水平地面的高度AB: (2)求电线塔CD的高度（结果保留根号）. 第四章 易错集锦 易错点1等腰三角形“无图多解”，出现 [例2]已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的 漏解 夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角度数 [例1]已知等腰三角形一个角的度数为50°，则 为 它的另两角的度数为 易错提示：由于等腰三角形一腰上的高与等 易错提示：当已知条件中未指明已知角是顶 腰三角形的位置关系不确定，故只考虑一腰 角还是底角时，已知角既可以作顶角，又可 上的高在等腰三角形内部或外部其中一种 以作底角.故只考虑可以作顶角或作底角其 中一种情形时，就会掉进命题“陷阱”，出现 情形时，就会掉进命题“陷阱”，出现漏解现 漏解现象，所以此类问题应分为已知角作顶 象，所以此类问题应分为一腰上的高在等腰 角和作底角两种情况来讨论. 三角形内部和外部两种情况来分类讨论. 第四章三角形93