微专题三 角平分线的常见模型-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学精讲本

微专题三 角平分线的常见模型 模型1角平分线+边的垂线 构造双垂直 已知OC平分∠AOB. 情况1：如图1，点P在角平分线OC上. 模型归纳：过角平分线上一点P向角两边作垂 线，这两条垂线段相等，两个垂足到角顶点的距 辅助线作法：作PD∥OB. 结论：△ODP是等腰三角形 离相等， 如图，点P在∠AOB的平分线 上，PD⊥OA. 辅助线作法：作PE⊥OB. 结论：PD=PE, 图1 图2 原理：角平分线上的点到角两边的距离相等， 情况2：如图2，点P在角的一边上 [例1](2024·陕苟)如图， 辅助线作法：作PD∥OC 在△ABC中，AB= 结论：△ODP是等腰三角形. AC,E是边AB上一 注：若已知△ODP是等腰三角形，可证DP∥OC 点，连接CE,在BC右 [例2](2024·江西)追本湖源： 侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若 题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答， AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积 提炼方法并完成题(2). 为 跟踪滨练 1.感知：如图1，AD平分∠BAC,∠B+∠C= 180°，∠B=90°，易知：DB=DC. 图1 图2 探究：如图2，AD平分∠BAC,∠ABD十∠ACD= (1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC, 180°，∠ABD<90°.求证：DB=DC 交AC于点D,过点D作BC的平行线，交 AB于点E,请判断△BDE的形状，并说明 理由. 方法应用： 图 (2)如图2，在□ABCD中，BE平分∠ABC, 交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC 的延长线于点F,交BC于点G ①图中一定是等腰三角形的有 () A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ②已知AB=3,BC=5,求CF的长. 模型2角平分线+平行线构造等腰三角形 模型归纳：过角平分线上一点P作平行线，构造 等腰三角形 76中考复习指南·数学 跟踪滴练 AC,∠BAC=90°，点D在线段BC上，且 2.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分 ∠BDE=号∠ACB,BE⊥DE于点E,DE交 线相交于点E,过点E作MN∥BC交AB于 AB于点F,请直接写出BE和DF之间的数 点M,交AC于点N. 量关系为 B (1)若BM+CN=9,则线段MN的长为 图1 图2 ®3 (2)若∠BAC=80°，∠ABC:∠ACB=3:2, 则∠MEC= 模型3 角平分线+角平分线的垂线构造等 腰三角形 模型归纳：过角平分线上一点P作垂线，构造等 腰三角形 如图，点P在∠AOB的平分线 上，DP⊥OP 辅助线作法：延长DP交OB于 点E 结论：△ODE是等腰三角形 [例3](2024·江苏练习)如图，D为△ABC内 一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A ∠ABD,若AC=5,BC=3,则BD的长为 模型4利用角平分线作对称轴梅遵全等三 () 角形 模型归纳：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的 平分线，AB>AC.在AB上截取AF=AC,连接 DF.结论：△ACD≌△AFD. A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 跟踪演练 [例4)如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点， 3.（2024·感期末)探究性学习 PN⊥OB于点N,点M是线段ON上一点. (1)[特例证明]如图1，PO平分∠MON,点 已知OM=3,ON=4,点D为OA上一点， A为OM上一点，过点A作AC⊥OP,垂足为 若满足PD=PM,则OD的长度为 C,延长AC交ON于点B,求证：AC=BC: (2)[类比探究]如图2，在△ABC中，AB= AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD 交CD的延长线于点E,试探究BE和CD的 数量关系，并证明你的结论： 思雏导引：过点P作PE⊥OA于点E,点D (3)[拓展运用]如图3，在△ABC中，AB= 的位置在OE上或在EA上两种情况. 第四章三角形77 跟踪演练 和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,AE 4.如图，∠AOB=30°，点M,N分别在边OA, 交BC于E,BF交AC于F,过点O作ODL OB上，且OM=3,ON=5,点P,Q分别在边 BC于D,下列四个结论：①∠A0B=90+号∠C, OB,OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 ②当∠C=60°时，AF十BE=AB;③若OD= ( a,AB十BC+CA=2b,则S△Ac=ab.其中正 确的是 () A.√/34 B.√35 C.√34-2 D.√35-2 A.①② B.②③ 5.(2024·浙江练习)如图，在△ABC中，∠BAC C.①②③ D.①③ 微专题四 中点问题中的常见模型 模型1遇中点找中点，构造三角形中位线 模型2 遇直角三角形斜边的中点，构造斜 模型归纳：在三角形中，如果有中点，可构造三 边中线 角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理 模型归纳：直角三角形中有斜边中点时，常作斜 得：DE∥BC且DE=2BC,解决线段之间的相 边上的中线，利用“斜边上的中线等于斜边的一 等、比例关系或平行问题， 半，即CD=AD=BD=AB"来证明线段间的 数量关系，且可以得到两个等腰三角形：△ACD, 取另一边中点 △BCD,该方法经常会与中位线定理一起综合 构造中位线 应用. [例1](2024·浙江)如图，D,E分别是△ABC边 构造直角三角 形斜边上的中线 AB,AC的中点，连接BE,DE.若∠AED= ∠BEC,DE=2,则BE的长为 [例2](2024·昆明开学考试改编)如图，在 △ABC中，AB=AC,BC=12,AD⊥BC于 点D,E为AC的中点，AD=8,则DE= 银踪演练 L.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是AB,BC 的中点，BD=12,则EF的长为 A.10 B.8 C.6 D.5 跟踪演练 2.(2024·永州期末)如图，在正方形ABCD和正 78中考复习指南·数学.'∠BDC=∠BAC,∴.∠ABN=∠ACD. 要点3(1)互余(2)一半 (3)一半(4)2 AB=AC, (6)互余 在△ABN和△ACD中，∠ABN=∠ACD, 知识巩固·素养提升 BN=CD. [例1](1)5(2)2[例2]B ∴.△ABN≌△ACD(SAS),∴.AN=AD. :AE⊥BD,∴.∠AEN=∠AED=90 C创3C[例g 在R△ANE和R△ADE中，AE-AE, (AN=AD, [例5](1)证明：：DE∥BC,∴.∠AED=∠C, :∠EDF=∠C,∴∠EDF=∠AED, '.Rt△ANE≌Rt△ADE(HL). .DF∥AC,∴.∠BDF=∠A. .'.NE=DE,.'.BE=BN+NE=CD+DE= (2)解：△ABC是等腰直角三角形. 2+3=5. ∠BDF=∠A,∴∠BDF=∠A=45, 方法二 .DF平分∠BDE, 解：过点A作AF⊥CD,交CD的延长线于点F. ∴.∠BDE=2∠BDF=90°， :DE∥BC,∴.∠B=180°-∠BDE=90°， ∴.∠C=180°-∠A-∠B=45°=∠A, ∴.△ABC是等腰直角三角形. 则∠AFC=90°，AE⊥BD, [例6]B .∠AEB=∠AED=90. 随堂演练·学以致用 ,∠BDC=∠BAC, 1.B2.A3.C4.6-√2 .∠ABE=∠ACF, 5.证明：，BD是等边△ABC的中线， .'.△ABE≌△ACF(AAS), ∴.BD⊥AC,∠ACB=60°，∴.∠DBC=30°， .'BE=CF,AE=AF. ,BD=DE,∴.∠E=∠DBC=30° 在R△ADF和R△ADE中，AF=AE, AD=AD. ∠CDE+∠E=∠ACB=60°， ∴∠E=∠CDE=30°，.CD=CE. ∴.Rt△ADF≌Rt△ADE(HL), .'.DF=DE=3, 微专题三角平分线的常见模型 ∴.CF=CD+DF=5,∴.BE=CF=5. [例1]60 8.证明：∠ACF+∠AED=180°，∠ACF+ [例2]解：(1)△BDE是等腰三角形；理由如下： ∠ACB=180°，.∠ACB=∠AED, :BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠CBD, ,'BC=DE,∠ACB=∠AED,AC=AE, ,DE∥BC,∴∠BDE=∠CBD, .△ABC≌△ADE(SAS),∴.AB=AD. ∴.∠BDE=∠ABD,.EB=ED, 第17节等腰三角形和直角三角形 ∴·△BDE是等腰三角形 教材梳理·基础落实 (2)①△ABE,△ABG,△ADF,△CGF是等 要点1等腰(2)等角(3)平分线中线高 腰三角形，共有四个，故选B (4)中角平分高(5)两(6)等边 ②.□ABCD中，AB=3,BC=5, ah ∴.AB=CD=3,BC=AD=5, 要点2等边 (2)60 (3)三 (4)所有 由①知△AFD是等腰三角形，∴.DA=DF, (7)60° 3 ∴.CF=DF-CD=5-3=2. 4 [例3]A[例4]3或5 ·16· 跟踪演练 4.A提示：作M关于OB的对称点M',作N 1.证明：过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交 关于OA的对称点N',连接MN',即为MP+ AC的延长线于点F PQ+QN的最小值.在Rt△MON'中，计算 得M'N'=√32+5=√34.故选A. 5.C 微专题四中点问题中的常见模型 :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, [例1]4[例2]D[例3]D[例4幻A ∴.DE=DF,∠F=∠DEB=90 ,∠EBD+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD= [例5)号 180°，∴.∠EBD=∠FCD. 跟踪演练 ∠FCD=∠EBD, 1.62.B3.C4.B 在△DFC和△DEB中，∠F=∠DEB, 5.证明：(1).AD∥EF, DF=DE, ∴∠CAD=∠F,∠DAB=∠AGF. ∴.△DFC≌△DEB(AAS),..DB=DC ,AD为△ABC的角平分线， 2.(1)9(2)160 ∴.∠CAD=∠DAB, 3.(1)证明：.OP平分∠MON,∴∠AC=∠BC, ∴.∠F=∠AGF,∴.AF=AG. :AC⊥OP,.∠ACO=∠BCO=90°， (2)延长GE至点H,使EH=EG,连接CH, .OC=OC. ∴.△OBC≌△OAC(ASA),.AC=BC (2)解：结论：CD=2BE,证明如下： 如图，延长BE交CA的延长线于点F, H 则可证△BGE≌△CHE, ∴∠BGE=∠H,BG=CH. CD平分∠ACB,∴∠FCE=∠BCE, :∠F=∠AGF=∠BGE=∠H, 在△CEF和△CEB中，∠FCE=∠BCE, ∴CF=CH,∴.BG=CF CE=CE,∠CEF=∠CEB=90°， (3)AB+AC=(BG+AG)+(CF-AF)=BG+ ∴.△CEF≌△CEB(ASA), CF=2BG. ∴FE=BE=BF,即BF=2BE 第18节 相似三角形 ∠DAC=∠CEF=∠BAF=90°， 教材梳理·基础落实 .∠ACD+∠F=∠ABE+∠F=90°， 要点11.相等bc2.bc c士d ∴∠ACD=∠ABE, 在△ACD和△ABF中，∠ACD=∠ABF, 3.5-1 2 0.618 AC=AB,∠CAD=∠BAF=90°， ∴.△ACD≌△ABF(ASA), 要点32.相似三角形相似比 ∴.CD=BF,.CD=2BE. 3.(1)相等成比例(2)相似比 (3)解：结论：BE=DF. (3)相似比相似比的平方 4.平行三边成比例夹角相等成比例 。17·