微专题二 全等三角形的常见模型-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学精讲本

微专题二全等三角形的常见模型 模型1平移型 模型2轴对称型 模型归纳：沿同一直线(BC)平移可得两三角形 模型归纳：所给图形可沿某一直线折叠，直线两 重合(BE=CF).解题关键是加（减）共线部分， 旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三 得对应边相等：利用平行线性质找对应角相等. 角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即 K444 公共边或公共角或对顶角相等， [例1]如图，B是AD的中点，BC∥DE,BC DE.求证：∠C=∠E. 令P酒A [例2](2024·乐山)已知：如图，AB平分∠CAD, AC=AD.求证：∠C=∠D. 思维导引：AB是公共边，由AB平分∠CAD 可得∠CAB=∠BAD,再结合AC=AD即 可得证 跟踪演练 L放已知：如图，点A,B,C,D在同- 条直线上，AE∥BF,AE=BF.若 则AB=CD 跟踪演练 2.(2024·岳阳开学考试)如图，在△ABC中， DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF,求证：AE=AF. 请从①CE∥DF;②CE=DF;③∠E=∠F 这3个选项中选择一个作为条件（写序号）， 使结论成立，并说明理由. 第四章三角形69 模型3旋转型 跟踪滴练端 模型归纳：如图所示，此模型可看成是将三角形 3.(2024·云南改编)如图，在△ABC和△AED 绕某一个点旋转而成，故一般有一对相等的角 中，AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求 隐含在平行线、对顶角、某些角的和或差中. 证：BC=DE. 1.共顶点旋转型 2.不共顶点旋转型 4.如图，点B,F,C,E在直线1上(F,C之间不 能直接测量)，点A,D在I异侧，测得AB= DE,AB∥DE,∠A=∠D. [例3](1)(2024·连云港节选)如图，AB与CD相 (1)求证：△ABC≌△DEF; 交于点E,EC=ED,AC∥BD.求证：△AEC≌ (2)若BE=10m,BF=3m,求FC的长度 △BED. D B (2)(2024·广州模拟)如图，已知AB∥CD AB=CD,AE=DF.求证：∠B=∠C 模型4一线三等角型 模型归纳：已知∠1=∠2=∠3. 1.两个三角形在直线同侧，如图1，若AP BD,则有结论：△APC≌△BDP B 2 图1 图2 2.两个三角形在直线异侧，如图2，若AP= BD,则有结论：△APC≌△BDP 70中考复习指南·数学 3.特殊情况：三垂直型，已知A,B,C三点共线， 6.如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一 如图3，若AB=CE或AD=CB或BD= 点，且BE=CD,∠B=∠AED=∠C EB,则有结论：△ABD≌△CEB;如图4，若 AF=CE或AD=CB或DF=EB,则有结 论：△AFD≌△CEB. (1)求证：∠EAD=∠EDA; (2)若∠C=60°，DE=4,求△AED的面积 图3 图4 [例4]如图，在△ABC中，∠B=90°，作CD1 AC,且使CD=AC,作DE⊥BC,交BC的延 长线于点E.求证：CE=AB. 模型5手拉手模型 模型归纳： 双等腰：AB=AC,AD=AE. 共顶点：线段AB,AC,AD,AE交 于点A. 跟踪演练 顶角相等：∠BAC=∠DAE. 5.(2024·宜宾)如图，点D,E分别是等边三角 旋转得全等：连接CE,BD,△ADE绕点A旋转 形ABC边BC,AC上的点，且BD=CE,BE 得△ABD≌△ACE. 与AD交于点F,求证：AD=BE. [例5](2024·杭州二模改编)综合与实践 如图1是实验室中的一种机械装置，BC在 地面上，所在等腰直角三角形ABC是固定 支架，机械臂AD可以绕点A旋转，同时机 械臂DM可以绕点D旋转，已知∠BAC= 90°，AD=6,DM=2.如图2，把机械臂AD 顺时针旋转90°，点D旋转到点E处，连 接DE 图 图2 第四章三角形71 (I)连接CD,探究BE与CD的数量关系和 2.过顶点作垂线：过点C分别作OA,OB的垂 位置关系，并说明理由； 线，垂足分别为M,N. (2)当∠AEC=135°，CE=7时，求BE的长. [例6](2024·广州改编)如图，在△ABC中， ∠A=90°，AB=AC,D为边BC的中点，点 E,F分别在边AB,AC上，且∠EDF=90°. 求证：BE+CF-号8C 银踪演练 7.如图，在△ABC中，AB=AC,D为△ABC外 一点，AE⊥BD于E,∠BDC=∠BAC,DE= 3,CD=2,求BE的长 眼踪演练 8.如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE 于F,BC=DE,AC=AE,∠ACF+∠AED= 180°.求证：AB=AD. 模型6对角互补模型 模型归纳： 图形特点：有一组对角互补，且有一组邻边相 等.常见四边形对角互补模型：90°的对角互补 模型，120°的对角互补模型. 常用辅助线作法： 1.通过旋转构造全等三角 形：将△COD绕点C旋 转，使CD与CE重合，得 到△CFE; 72中考复习指南·数学第16节 全等三角形 [例3]证明：(1)，AC∥BD, ∴∠A=∠B,∠C=∠D 教材梳理·基础落实 ∠A=∠B, 要点11.重合 在△AEC和△BED中，∠C=∠D, 2.(1)相等相等(2)相等相等相等 EC=ED, 要点21.(1)边边边SSS(2)边角边SAS ∴.△AEC≌△BED(AAS). (3)角边角ASA(4)角角边AAS (2),AB∥CD,.∠A=∠D, 2.斜边、直角边HL .AE-DF. 知识巩固·素养提升 ∴.AE十EF=DF十EF,即AF=DE, [例1](1)D(2)D .AB=CD, [例2](1)证明：AD=BE, .△ABF≌△DCE(SAS),∴.∠B=∠C ∴.AD+DB=BE+DB,即AB=DE. [例4幻证明：DC⊥AC于点C, .AC=DF,BC=EF, .∠ACB+∠DCE=90°， ∴.△ABC≌△DEF(SSS). .∠ABC=90°， (2).△ABC≌△DEF,∠A=55°， ∴.∠ACB+∠A=90°，∴∠A=∠DCE, ∴.∠A=∠FDE=55°， DE⊥BC于点E, ∠E=45°，∴∠F=180°-∠FDE-∠E=80. ∴∠E=90°，∴∠B=∠E 随堂演练·学以致用 ∠B=∠E, 1.B2.B3.C4.100°5.3 在△ABC和△CED中，∠A=∠DCE, 6.证明：(1)：D为BC的中点，.BD=CD. AC=CD. ,BE∥AC,.∠E=∠DAC,∠DBE=∠C ∴.△ABC≌△CED(AAS),.AB=CE. ∠E=∠DAC, [例5]解：(1)连接CD, 在△BDE和△CDA中，{∠DBE=∠C, BD=CD, ∴.△BDE≌△CDA(AAS). (2)·△BDE≌△CDA,∴.ED=AD. 图2 :AD⊥BC,∴BD垂直平分AE,.BA=BE. 由旋转可知，AE=AD,∠DAE=90°， 微专题二全等三角形的常见模型 ,△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°， ∴.AB=AC,∴∠BAE=∠CAD, [例1]证明：B是AD的中点，AB=BD, .△BAE≌△CAD(SAS), BC∥DE,∠ABC=∠D, ∴.BE=CD,∠ABE=∠ACD AB=BD, ∠BAC=90°， 在△ABC和△BDE中，∠ABC=∠D, ∴.∠ABE+∠CBE+∠ACB=90°， BC=DE, .∠ACD+∠CBE+∠ACB=90°， ∴.△ABC≌△BDE(SAS),∴.∠C=∠E. ∴.BE⊥CD [例2]证明：：AB平分∠CAD, (2).AD=6,∠DAE=90°，AE=AD, ∴.∠CAB=∠DAB, ∴.ED=6V2,∠AED=45°. AC=AD, 在△CAB和△DAB中，{∠CAB=∠DAB, .∠AEC=135°，∴.∠CED=90° AB=AB. ED=62,CE=7, .△CAB≌△DAB(SAS),.∠C=∠D. ∴.CD=√CE+DE=11,∴.BE=CD=11. ·14 [例6]证明：如图，连接AD, 4.(1)证明：，AB∥DE,.∠ABC=∠DEF, ∠ABC=∠DEF, 在△ABC与△DEF中，AB=DE, ∠A=∠D, .△ABC≌△DEF(ASA). :∠BAC=90°，AB=AC,D为边BC的中点， (2)解：，△ABC≌△DEF,∴.BC=EF, ∴.AD=BD=CD,∠BAD=∠C=45°， .BF+CF=CE+CF,..BF=EC, AB-=号C .'BE=10 m,BF=3 m, ∴.FC=10-3-3=4m. ,∠EDF=90°，∴∠EDA+∠ADF=90°， 5.证明：.△ABC是等边三角形， :∠ADF+∠FDC=90°，∴∠EDA=∠FDC ∴.AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°， I∠EDA=∠FDC, 又BD=CE, 在△ADE和△CDF中，AD=CD, .△ABD≌△BCE(SAS), ∠BAD=∠C, ..AD=BE. ∴.△ADE≌△CDF(ASA),.AE=CF, 6.(1)证明：：∠B=∠AED=∠C,∠AEC= BE+CF=BE+AE=AB=号BC ∠B+∠BAE=∠AED+∠CED, ∴.∠BAE=∠CED, 跟踪演练 ∠BAE=∠CED, 1.解：选择①CE∥DF,.AE∥BF,CE∥DF, 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C, ∴.∠A=∠FBD,∠D=∠ECA, BE=CD, .AE=BF, .△ABE≌△ECD(AAS). ∴.△AEC≌△BFD(AAS),.∴.AC=BD, ∴AE=ED,∴.∠EAD=∠EDA. ∴.AC-BC=BD-BC,即AB=CD (2)解：.∠AED=∠C=60°，AE=ED 选择②CE=DF,无法证明△AEC≌△BFD, ∴.△AED为等边三角形， 无法得出AB=CD. ∴.AE=AD=ED=4, 选择③∠E=∠F,:AE∥BF, 如图，过点A作AF⊥ED于F, ∴∠A=∠FBD, AE=BF,∠E=∠F, ∴.△AEC≌△BFD(ASA),.∴.AC=BD. ∴.AC-BC=BD-BC,即AB=CD. 2.证明：DE⊥AB,DF⊥AC,且DE=DF, :在R△ADE与R△ADF中，AD=AD, (DE=DF, ∴EF=2ED=2, .Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),∴.AE=AF. ∴.AF=VAE-EF=√4-2=2√3， 3.证明：，∠BAE=∠CAD, ∴SaeD=2ED·AF=号X4X23=4V3. ∴.∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC, 7.方法一 即∠BAC=∠EAD, 解：在BD上截取BN=CD,连接AN. AB-AE. 在△ABC和△AED中，∠BAC=∠EAD, AC=AD. ∴.△ABC≌△AED(SAS),∴.BC=DE. ·15 ,·∠BDC=∠BAC,∴.∠ABN=∠ACD 要点3(1)互余(2)一半 (3)一半(4)2 AB=AC, (6)互余 在△ABN和△ACD中，∠ABN=∠ACD, 知识巩固·素养提升 BN=CD, [例1](1)5(2)2[例2]B ∴.△ABN≌△ACD(SAS),∴.AN=AD ,AE⊥BD,∴.∠AEN=∠AED=90 [例3]C[例幻g 在R△ANE和R△ADE中，AE=AE, AN=AD, [例5](1)证明：，DE∥BC,.∠AED=∠C, ∠EDF=∠C,∴∠EDF=∠AED, .Rt△ANE≌Rt△ADE(HL), DF∥AC,∴∠BDF=∠A .'NE=DE,.'.BE=BN+NE=CD+DE= (2)解：△ABC是等腰直角三角形 2+3=5. .∠BDF=∠A,.∠BDF=∠A=45°， 方法二 ,DF平分∠BDE, 解：过点A作AF⊥CD,交CD的延长线于点F .∠BDE=2∠BDF=90°， ,DE∥BC,∴∠B=180°-∠BDE=90°， ∴.∠C=180°-∠A-∠B=45°=∠A, ,.△ABC是等腰直角三角形. 则∠AFC=90°.'AE⊥BD, [例6]B .∠AEB=∠AED=90° 随堂演练·学以致用 :∠BDC=∠BAC, 1.B2.A3.C4.V6-√2 ∴.∠ABE=∠ACF, 5.证明：，BD是等边△ABC的中线， ∴.△ABE≌△ACF(AAS), ∴.BD⊥AC,∠ACB=60°，.∠DBC=30°， ∴.BE=CF,AE=AF. .BD=DE,∴.∠E=∠DBC=30°. 在R△ADF和R△ADE中，AF=AE, (AD=AD, '∠CDE+∠E=∠ACB=6O°， ∴.∠E=∠CDE=30°，.CD=CE ∴.Rt△ADF≌Rt△ADE(HL), ..DF=DE=3, 微专题三角平分线的常见模型 ..CF=CD+DF=5,..BE=CF=5. [例1]60 8.证明：：∠ACF+∠AED=180°，∠ACF+ [例2]解：(1)△BDE是等腰三角形；理由如下： ∠ACB=180°，.∠ACB=∠AED, BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD, .'BC=DE,∠ACB=∠AED,AC=AE, DE∥BC,∴∠BDE=∠CBD, ,∴.△ABC≌△ADE(SAS),∴.AB=AD. ∴∠BDE=∠ABD,.EB=ED, 第17节等腰三角形和直角三角形 .△BDE是等腰三角形 教材梳理·基础落实 (2)①△ABE,△ABG,△ADF,△CGF是等 要点1等腰(2)等角(3)平分线中线高 腰三角形，共有四个，故选B (4)中角平分高(5)两(6)等边 ②'□ABCD中，AB=3,BC=5, ah ..AB=CD=3,BC=AD=5, 要点2等边 (2)60(3)三 (4)所有 由①知△AFD是等腰三角形，.DA=DF, (7)60° ∴.CF=DF-CD=5-3=2 4 [例3]A[例4幻3或5 ·16·