第14节 线、角、相交线与平行线-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学精讲本

第四章 三角形 考情分析 2024年湖北中考数学既注重了对三角形基础知识、基本技能的考查，也注重了对学生思维过程 和分析问题、解决问题能力的考查.考题侧重于培养学生几何直观、推理能力、运算能力等核心索 养.考情分析如下： 题型 题号 分值 占比 难易程度 考点 核心索养 选择 4 3 2.5% 易 平行线的性质 几何直观 三角形及其性质、 几何直观 全等三角形的性质、 填空 15 2.5% 难 推理能力 等边三角形的性质、 运算能力 相似三角形的判定与性质 儿何直观 解直角三角形， 解答 18 5% 易 推理能力 相似三角形的判定与性质 运算能力 合计 12 10% 体系构健 亚线 角平分线 平行线 相交线 布 中点 直线 射线 线段 几何初步 边 边 定义 角 全等三角形 三角形 年要线段 性质 关系 分类 总定性] 重要线段 三角形 判定 相似二角形 轴对称性 长、面积 等驶边) 应用 三府形 定义 特殊三形 性质 位似 判定 白角三 形 锐角三角函数 实际应用 勾股定理 第四章三角形59 第14节线、角、相交线与平行线 。课标要求P 1.了解从物体抽象出来的几何体，平面，直线和点等概念：了解平行于同一条直线的两条直线平行： 了解定义、命题、定理、推论的意义：了解原命题及其逆命题的概念：知道证明的意义和证明的必 要性.了解反例的作用 2理解线段的和、差，以及线段中点的意义：理解对顶角，余角、补角等概念：理解垂线、垂线段等概 念；理解两点间距离的意义，能度量和表达（新增）两点间的距离：理解点到直线的距离的意义：理 解平行线、线段垂直平分线的概念，理解角平分线的概念（新增）， 3.探素并掌握对顶角相等、同角（或等角）的余角相等、司角（或等角）的补角相等的性质：探索并证 明平行线的判定定理：掌握平行线的判定定理和性质定理：探索并证明角平分线和线段垂直平分 线的性质定理及其逆用：掌握五个基本事实。 教材梳理 基础落实 要点1 直线与线段 3.角平分线 L,直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且 (1)定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这 只有 简单说成：两点确定一条 个角分成 的角的射线，叫做这个角 的平分线， 2.线段的基本事实：两点的所有连线中， (2)性质：角平分线上的点到角两边的距离 最短.简单说成：两点之间， 最短。 3线段的和与差：点B为线段AC上一点，则有 (3)判定：在角的内部，到角的两边的距离 的点在角的平分线上： AB+BC= :AB= -BC; =AC-AB. 要点3 相交线 4.线段中点的性质：若点M是线段AB的中 1.邻补角 (1)定义：如果两个角有一条 ,它们 点，则有AM= 1 2 AB或AB= 的另一边互为反向延长线，那么这两个角互 2.AM=2 为邻补角. 要点2 角的相关概念及性质 (2)性质：互为邻补角的两个角之和等于180 2.对顶角 1.度、分、秒的转换：1周角 ,1平角= (1)定义：如果一个角的两边分别是另一个角 ,1°=60'，1'= 的两边的 延长线，则称这两个角是 2.余角、补角的定义及性质 对顶角。 (1)余角的定义：如果两个角的和等于 (2)性质：对顶角相等 则这两个角互为余角： [提示]相等的两个角不一定是对顶角 性质：同角（等角）的余角 3.三线八角 (2)补角的定义：如果两个角的和等于 (1)同位角：如∠1与∠5： 则这两个角互为补角： (2)内错角：如∠2与∠8： 性质：同角（等角）的补角 (3)同旁内角：如∠2与∠5. 60中考复习指南·数学 4垂线性质 3.两条平行线之间的距离 (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线 (1)定义：两条平行线中，一条直线上任意一 与已知直线垂直： 点到另一条直线的 叫做这两条平行 (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线 线间的距离. 段中，垂线段最短。 (2)性质：两条平行线之间的距离处处 夹在两条平行线间的平行线段处处相等. 5.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 垂线段的长度 要点5 定义、命题、定理、公理、证明 6.线段垂直平分线 1.定义：能明确指出概念、含义或特征的句子， (1)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段 它必须 2.命题 两个端点的距离相等。 (1)定义：判断一件事情的语句，由题设和结 (2)判定：到一条线段两个端点距离相等的点 论两部分组成。 在这条线段的垂直平分线上 (2)真命题：正确的命题称为 要点4 平行线 (3)假命题：错误的命题称为 L平行公理及推论 (4)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命 (1)公理（基本事实）：经过直线外一点，有且 题的题设是第二个命题的结论，而第一个命 只有一条直线与这条直线平行. 题的结论是第二个命题的题设，那么这两个 (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平 命题称为 3,定理：经过推理证实的真命题叫做定理.因为 行，那么这两条直线也互相平行，即如果b∥ 定理的逆命题不一定都是 ,所以不 a,c∥a,那么b∥c. 是所有的定理都有逆定理， 2.判定与性质 4.公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实 (1)同位角相等两直线平行：此判定方法 践中总结出来的并把它们作为判断其他命题真 性质 伪的原始依据，这样的真命题叫做 是基本事实 5,证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑 (2)内错角 判定 性质 两直线平行： 思维推理来判断一个命题是否正确，这个推 (3)同旁内角 判定两直线平行 理过程称为 性 6.反证法：首先假设原命题不成立，然后推理出 [提示]在同一平面内，垂直于同一条直线的 明显矛盾的结果，从而推出假设不成立，原命 两直线平行 题得证， 知识巩固 素养提升 要点1 角、线段的性质及运算 (2)宣传委员制作黑板报时想要在黑板上画 例1](1)(2024·广西)如图，2时整，钟表的时 出一条笔直的参照线，由于尺子不够长，她 针和分针所成的锐角为 想出了一个办法：①在一根长度合适的毛线 上涂满粉笔末：②两个同学分别抓住毛线的 两端，绷紧，靠近黑板要画线的位置，在中间 将线一拉再松开，毛线弹回到黑板上，这样 黑板上就出现了一条笔直的线.这种画法的 A.20 B.40° C.609 D.80 数学依据是 第四章三角形61 A两点之间，线段最短 C.BC边的垂直平分线上 B.两点确定一条直线 D.AB边的中线上 C.线段的中点的定义 [例4】(1)(2024·凉山)如图，在Rt△ABC中， D两点的距离的定义 ∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点 [例2](1)(2024·北京)如图，直线AB和CD相 D,若△ACD的周长为50cm,则AC+BC= 交于点O,OE⊥OC.若∠AOC=58°，则 () ∠EOB的大小为 A.25 cm B.45 cm A.29 B.32 C.45° D.58 C.50 em D.55 cm (2)如图，点A,B,C在数轴上，点A表示的 (2)(2024·武汉期中)如图，在△ABC中， 数是-1，点B是AC的中点，线段AB=√2， AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E, 则点C表示的数是 F,若∠BAC=100°，则∠EAF为 () A C -1 0 要点2 角平分线及垂直平分线的性质与 判定 A.15 B.20° C.25 D.30 [例3](1)(2024·青海)如图，OC平分∠AOB, 点P在OC上，PD⊥OB,PD=2,则点P到 要点3 平行线的判定和性质 OA的距离是 [例5](1)(2024·湖北)如图，一条公路的两侧 铺设了AB,CD两条平行管道，并有纵向管 道AC连通.若∠1=120°，则∠2的度数是 A.4 B.3 C.2 D.1 (2)已知△ABC,两个完全一样的三角板如 图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB, AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点 A.50° B.60° C.70° D.80° M,点M一定在 ( (2)(2024·凉山)一副直角三角板按如图所 示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当 DF∥AB时，∠EDB的度数为 () A.∠A的平分线上 B.AC边的高上 A.10° B.15° C.30° D.45 62中考复习指南·数学 [例6](1)跨物理季科当光线从空气射人水中 2024·达州 时，光线的传播方向发生了改变，这就是光 的折射现象（如图所示）.图中∠1=80°， A.80 B.90 C.100° D.120° ∠2=40°，则∠3的度数为 要点4 命题和证明 [例7]下列命题是假命题的是 ( ) A.如果两个实数是正数，那么它们的积也 A.30 B.40 是正数 C.50 D.70 B.在一个三角形中至少有两个锐角 (2)跨扬理学科如图，两个平面镜平行放置， 2024·南充 C.两条平行直线被第三条直线所截，同位角 光线经过平面镜反射时，∠1=∠2=40°，则 一定相等 ∠3的度数为 ( D.如果两个角互余，那么它们的补角也互余 随堂演练 学以致用 1.(2024·陕西)如图，AB∥DC,BC∥DE,∠B= 50°，则反射光线与平面镜的夹角∠4的度 145°，则∠D的度数为 数为 A.25 B.35° C.45 D.55 A.40 B.50 C.60° D.70 2.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形 5.请写出命题“如果b一a<0,那么a>b”的逆 中，至少有一个内角小于或等于60”.假设三 命题： 角形中没有一个内角小于或等于60°，即三个 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=80 内角都大于60°，则三角形的三个内角的和大 (1)求∠BAD的度数： 于180°.这与“三角形的内角和等于180”这 (2)AE平分∠BAD交BC于点E,∠BCD 个定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一 50°.求证：AE∥DC. 个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明 方法是 ( A.反证法 B.比较法 C.综合法 D.分析法 3.如图，从学校A到书店B有①，②，③，④四 条路线，其中最短的路线是 ( ① B 2 ① A.① B.② C.③ D.④ 4.(2024·深圳)如图，一束平行光线照射平面 它友清提示请完成精练本P6第14节 镜后反射，若人射光线与平面镜的夹角∠1= 第四章三角形63,x为整数， 要点51.严密2.(2)真命题(3)假命题 ∴.x可取24,25,26,27,28,29,30， (4)互逆命题3.真命题4.公理5.证明 ∴.销售额超过1000元的共有7天. 知识巩固·素养提升 -x2+52x+620(1≤x≤30)， 5.解：(1)= [例1(1)C(2)B[例2](1)B(2)22-1 -40x十2480(31≤x≤60). [例3](1)C(2)A[例4幻(1)C(2)B (2)当1≤x≤30时， [例5](1)B(2)B[例6](1)B(2)C[例7]D =-x2+52x+620=-(x-26)2+1296. 随堂演练·学以致用 ,一1<0，∴.当x=26时，有最大值，最大 1.B2.A3.B4.B 值为1296： 5.如果a>b,那么b一a<0 当31≤x≤60时，=一40x+2480, 6.(1)解：AD∥BC, ,一40<0，∴.当x=31时，w有最大值，最大 .∠B+∠BAD=180°. 值为一40×31+2480=1240， ∠B=80°，∠BAD=100°. .1296>1240, (2)证明：，AE平分∠BAD, ∴.该商品在第26天的日销售利润最大，最大 .∠DAE=50°. 日销售利润是1296元 AD∥BC,∴.∠AEB=∠DAE=50° 第三章易错集锦 '∠BCD=50°，∠BCD=∠AEB. .AE∥DC [例1]D[例2]D[例3]y<<y [例4](1)(3，-2)(2)8 第15节三角形及其性质 (3-号-6或y=-号+4 教材梳理·基础落实 要点12.(1)直角(2)等边 [例5](1)-8或4或-2(2)k≤2且k≠0 3.(1)稳定性(2)大于小于 (3)①180° (3)m≤-4 ②互余③和大于 跟踪演练 1.(2,4)2.(6,2)3.x≥-3且x≠04.B 要点2(1)⊥ (2)2BC·AD(3)DCBC 5.x<-1或0<x<26.B7.一、二、四 (4)号 (5)∠DAC ∠BAC(9)2BC 9,1成0或号 (10)1:21:4(11)=⊥BD 第四章 三角形 知识巩固·素养提升 [例1](1)D(2)4(答案不唯一) 第14节线、角、相交线与平行线 [例2](1)B (2)30[例3]64° 教材梳理·基础落实 [例4](1)A(2)A[例5](1)D(2)C 要点11.一条直线直线2.线段 线段 随堂演练·学以致用 3.AC AC BC 4.BMBM 1.D2.C3.B4.100°5.100 要点21.360°180°60" 6.解：选择方法一，证明：过点A作DE∥BC,则 2.(1)90°（直角）相等(2)180°（平角） 相等 ∠B=∠BAD,∠C=∠EAC(两直线平行，内 3.(1)两个相等(2)相等(3)相等 错角相等).点D,A,E在同一条直线上， 要点31.(1)公共边2.(1)反向 ∴.∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°（平角的定 要点42.(2)相等(3)互补 义)，∴∠B+∠BAC+∠C=180°，即三角形 3.(1)距离(2)相等 的内角和为180°.（答案不唯一） ·13·