第13节 二次函数的实际应用&第三章 函数 易错集锦-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学精讲本

0)之间，与y轴交于点C,对称轴为直线x= 2,则下列结论正确的是 x=2 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 7.如图，已知抛物线y=一x2十m.x十3经过点 A.b=4a M(-2,3). B.4a+b+c<0 (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标： C.a-b+c>0 (2)当一3≤x≤0时，直接写出y的取值范围： D.m(am十b)≤4a十2b(其中m为任意实数) (3)当y≥3时，请根据图象直接写出x的取 6.(2024·十摄模松)抛物线y=a.x2十bx十c交 值范围. x轴于点A(一1,0)，B(3,0),交y轴的负半 轴于点C,顶点为D.下列结论：①2a十b=0: ②2c<3b:③当m为任意实数时，a十b<anm+ bm:④方程cx2十bx十a=0的两个根为x1= -1=号：⑤抛物线上有两点P()和 Q(x2,y),若x1<1<x2,且x+x>2,则 为<y2.其中正确的有 ( 官友情提示请完成精练本P1第12节 第13节 二次函数的实际应用 课标要求 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 2.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问題. 教材梳理基础落实 要点 二次函数的实际应用 (2)确定二次函数的解析式： 1.实物抛物线 (3)确定二次函数的 或建立方程，解 求解步骤：(1)建立方便求解析式的 决实际问题 (2)利用 确定抛物线的解析式： 3.二次函数在面积问题中的应用 (3)利用 解决实际问题。 求解步骤：(1)根据几何面积知识探求图形的 常用类型：桥梁、隧道、体育运动等。 面积关系式： 2.二次函数在销售问题中的应用 (2)根据 关系式确定函数解析式： 求解步骤：(1)读懂题意，借助销售问题中的 (3)利用二次函数的 或建立方程，解 利润等公式寻找 关系： 决实际问题。 52中考复习指南·数学 知识巩固素养提升 要点1 实物抛物线 ②改变水管的长度，调节喷水头的角度，使 [例1]（九上教林P36T4改编）某广场要建一个 得水柱满足y=a(x-1.2)十3.6. 圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一 若要使两种调试的水珠落地点相同（即水柱 根带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水 落地时与池中心的水平距离相等)，求出。 柱在与池中心的水平距离为1m处达到最 的值 高，高度为3m,水柱落地处离池中心的水 平距离也为3m,那么水管喷水头的设计高 2 度应为 m. 01234 思维导引：(1)①通过观察表格x=0即可得 c的值，即水管的长度.②由表格可知顶点， 再找一点，即可求解.(2)调试①相当于二次 3m 函数的图象向上平移，即可求解水柱落地 [变式](10分)某公园修建一个圆形喷水池， 点，由调试②：y=a(x-1.2)2十3.6过水柱 在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶 落地点，即可求解a. 端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水 评分标准 头喷出的水柱形状是一条抛物线.建立如 6分（第问） 图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱 4分（第二问） 的竖直高度y(单位：m)与到池中心的水平 距离x(单位：m)满足的关系式近似为y= a(x-h)2+k(a<0). (1)在某次安装调试过程中，测得x与y的 部分对应值如下表： 水平距离 0.5 1.5 2.5 r/m 竖直高度 2.252.812532.81252.251.31250 y m 根据表格中的数据，解答下列问题： ①水管的长度是 m; 答题规范：第一问的①是2分，第一问的② ②求出y与x满足的函数解析式y=a(x一 是4分，每计算正确一个字母系数得1分， h)2十k(a<0): 最后写出完整的解析式得1分，共4分：第 (2)安装工人在上述基础上进行了下面两种 二问分步给分，第一步先确定调试①的解析 调试： 式，第二步求出落地点的坐标，第三步分析 ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加 过落地，点，第四步将落地点的坐标代入调试 0.63m: ②中的解析式，最后一定要答：每一步1分 第三章函数53 要点2 二次函数在销售问题中的应用 元(0≤x≤20，且x为整数)，该民宿每天游 [例2]（九上表林P52T8改编）(6分)某宾馆有 客居住的房间数量为y间，所获利润为W 50个房间供游客居住，当每个房间每天的 元.为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽 定价为180元时，房间会全部住满：当每个 最大可能让利游客 房间每天的定价每增加10元时，就会有一 (1)分别求出y与x,W与x之间的函数关 个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对 系式 每个房间每天支出20元的各种费用.房价 (2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利 定为多少时，宾馆利润最大？最大利润是 润可以达到9600元： 多少？ (3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿 每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 评分标准 3分（第-步） 思维导引：(1)根据房间变化确定y与x之 2分（第一步) 间的函数关系式，利用销售问题中的利润公 1分（第步） 式确定W与x之间的函数关系式.(2)根据 利润可以达到9600元得到方程即可求解 (3)利用(1)中函数关系式再求最值。 评分标准 3分（第一问） 3分（第二问） 4分（第三问） 答题规范：分步给分，第一步先确定对称轴， 第二步写出二次函数的性质（开口方向，自 变量取值范围，增减性)，第三步确定最值， 最后一定要答 [变式1](10分)近年来，湖北省某地致力打造 特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿” 答题规范：第一问y与x之间的函数关系式 为代表的旅游度假区.为迎接旅游旺季的到 是1分，W与x之间的函数关系式是2分： 来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该 第二问分步给分，第一步先构造方程，第二 民宿有20个房间，当每个房间每天的定价 步解方程，第三步检验是否符合题意及实际 为500元时，所有房间全部住满：当每个房 问题，最后一定要答： 间每天的定价每增加50元时，就会有一个 第三问分步给分，第一步先确定对称轴，第 房间无人人住，如果有游客居住房间，民宿 二步写出二次函数的性质（开口方向，自变 每天需要对每个房间各支出100元的其他 量取值范围，增减性)，第三步确定最值，最 费用.设每个房间每天的定价增加x个50 后一定要答 54中考复习指南·数学 [变式2]在变式1的条件不变的情况下： 要点3 二次函数在面积问题中的应用 (1)民宿每天获得的利润不得低于8000 例3]（九上教材P49探究1）用总长为60m的 元，求民宿每天游客居住的房间数量y的最 篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边 小值： 长！的变化而变化.当！是多少米时，场地的 (2)当地民政部门规定，若该民宿每天每个 面积S最大？ 出租房间的定价不低于500且不超过700 元时，该民宿每天每个出租房间国家就补贴 a元(a>50).,通过出租房间记录发现，该民 宿每天获得的利润随每个房间每天的定价 的增大而增大，求a的取值范围. [变式]如图，用总长为60m的篱笆围成一个一 边靠墙的矩形菜园， (1)当墙长32m时，这个矩形的长、宽各为 多少时，菜园的面积S最大，最大面积是 多少？ (2)当墙长18m时，这个矩形的长、宽各为 多少时，菜园的面积S最大，最大面积是 多少？ 思维导引：(1)利用面积公式列函数解析式 再利用顶，点求最值.(2)利用面积公式列函 数解析式再利用增减性求最值. 归纳总结 二次函数在销售问题中的应用，常考查以下 四个方面： (1)列函数解析式（包括分段函数）： (2)确定函数最值的两种方法：利用顶点求 最值，利用增减性求最值； (3)考查二次函数与方程、不等式的联系： (4)利用对称轴左右增减性的不同求参数 值等。 第三章函数55 随堂演练 学以致用 1.如图，一位篮球运动员投篮时，球从A点出手 3.(2024·湖北)如图，某校劳动实践基地用总 后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高 长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形 度y(m)与篮球距离出手点的水平距离x(m) 实验田，墙长为42m.栅栏在安装过程中不 之间的函数解析式是y= -》+ 重叠、无损耗.设矩形实验田与墙垂直的一边 长为x(单位：m),与墙平行的一边长为y(单 位：m),面积为S(单位：m). (1)直接写出y与x,S与x之间的函数解析 式（不要求写x的取值范围）： 下列说法正确的是 (填序号). (2)矩形实验田的面积S能达到750m吗？ ①篮球行进过程中距离地面的最大高度为 如果能，求x的值：如果不能，请说明理由 3.5m: (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S ②篮球出手点距离地面的高度为2.25m. 最大？最大面积是多少？ 42m 2.真实情境嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学 借此情境编制了一道数学题，请解答这道题. 实验而 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代 表1m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包（看成 点)抛出，其运动路线为抛物线C,:y=a(x 3)+2的一部分，淇淇恰在点B(0,c)处接 住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物 线C2:y=- r+gr+c+1的一部分 (1)写出C的最高点坐标，并求a,c的值： (2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点 A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙 包，求符合条件的n的整数值. y/m 4.为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会 干部带领村民在网上直播推销农产品，在试 销售的30天中，第x天(1≤x≤30且x为整 数)的售价（元/千克）与x的函数解析式p mx十n,1≤x<20,且x为整数， 销量q(千克) 30,20≤x≤30，且x为整数， 与x的函数解析式为g=x+10,已知第5天 售价为50元千克，第10天售价为40元千克， 设第x天的销售额为W元. (1)m n= (2)求第x天的销售额W元与x之间的函数 解析式： 56中考复习指南·数学 (3)在试销售的30天中，销售额超过1000元 设该商品的日销售利润为w元 的共有多少天？ (1)直接写出与x的函数解析式： (2)该商品在第几天的日销售利润最大？最 大日销售利润是多少？ 5.某商店销售某种商品的进价为每件30元，这 种商品在近60天中的日销售价与日销售量 的相关信息如表所示 时间：第x天 (1≤x≤60，x为整数) 1≤x≤30 31≤x≤60 日销售价（元件） 0.5.x+35 50 日销售量（件） 124-2x 配友情提园请完成精练本Pm第13节 第三章 易错集锦 易错点1 混淆点关于轴（或y轴或原点） 眼踪演额 对称的点的坐标特征 1.点P(一2，一4)关于原点对称的点P的坐标 [例1门(2024·武汉月考改编)在平面直角坐标 是 系中，点P(2,一4)关于y轴对称的点P‘的 2.(2024·北京期中改编)在平面直角坐标系 坐标为 ( xOy中，点P(6,一2)关于x轴对称的点的坐 A.(2,-4) B.(-2,4) 标是 C.(2,4) D.(-2,-4) 易错点2忽视限制自变量取值范围的条件 不止一个 易错提示：点关于x轴的对称，点的坐标特征 是横坐标不变，纵坐标变为相反数：点关于y [例2](2024·荆门月考改编)若分式士2 3有 轴的对称点的坐标特征是横坐标变为相反 意义，则x的取值范围是 ( 数，纵坐标不变：点关于原点的对称点的坐标 A.x≠3 B.x>-2 特征是横、纵坐标都变为相反数. C.x>-2且x≠3 D.x≥-2且x≠3 第三章函数57 易错提示：只考虑了被开方数必须是非负 易错提示：只考虑了距离，忽略了各个象限 数，忽略了分式的分母不能为0，从而致错 内点的特征，从而致错。 饭宗演 (2)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,一2)， 在坐标轴上确定点P,使△AOP为等腰三 3.函数y= x+3 的自变量x的取值范围是 角形，则符合条件的点P有 个 易错提示：只考虑了一个坐标轴，忽略了另 易错点3 利用反比例函数增减性解题时， 一个坐标轴，从而致错 忽略分析点是否在同一象限内 (3)若一次函数y=kx十b,当自变量的取值 [例3](2024·荆州阶段练习)已知A(x1,”), 为一2≤x≤6时，对应的函数值为一11≤y≤ B),C()都在反比例函数y=一6 9,则函数解析式为 易错提示：只考虑了增大而增大，忽略了增 的图象上，且满足x<0<<,则y,2, 大而减小，从而致错。 ”的大小关系是 (用“<”连接) 易错提示：笼统地认为反比例函数中当k>0 [例5](1)已知抛物线y=x2一(k+2)x+9的 时，y随着x的增大而减小，当k<0时，y随 顶点在坐标轴上，则k的值为 着x的增大而增大，忽略了条件“在同一象 易错提示：只考虑了△=0，忽略了顶点在y 限内”，从而致错. 轴上，从而致错。 跟综演练 (2)二次函数y=k.x2一4x十2的图象与x轴 有公共点，则飞的取值范围是 4.(2024·黄5月考)若点A(-3,m),B(-1, ),C(3,t)在反比例函数y= 1十的图象上， 易错提示：只考虑了△≥0，忽略了当k=0 时，函数是一次函数，从而致错 则m,n,t的大小关系是 (3)函数y=x2+mx一4，当x<2时，y随x的 A.m<n<t B.n<m<t 增大而减小，则m的取值范围是 C.Km< D.m<t<n 易错提示：只考虑了对称轴，忽略了一侧都 5.如图，一次函数y1=kx十b(k≠0)的图象与反 可以，从而致错 比例函数2=”(m为常数且m≠0)的图象 跟踪海练 都经过A(一1,2)，B(2,一1)两点，结合图象， 6.已知二次函数y=-3(x一h)2+5,当x>-2 则不等式kx>”-b的解集是 时，y随x的增大而减小，则有 () A.h≥-2 B.h≤-2 C.h>-2 D.h<-2 7.一次函数y=kx十b,y随x的增大而减小，若 b>0,则它的图象经过第 象限 8.如果P(2,m),A(1,1),B(4,0)三点在同一直 线上，则m的值为 易错点4考虑问题不全面导致漏解 [例4](1)在平面直角坐标系xOy中，点P在第 9.已知关于x的函数y=(m一1)x2+2x+m图 四象限内，且点P到x轴的距离是2，到y 象与坐标轴只有2个交点，则m 轴的距离是3，则点P的坐标是 友情提示请完成精练本P:章末检测题 58中考复习指南·数学(3)由抛物线的图象知， ”-0<0,二次函数开口向下，180≤≤ 680,且x为整数， .当x=350时，y最大=10890（元）. 答：当定价为350元时，宾馆利润最大，最大 利润为10890元. 点M(一2,3)关于对称轴x=一1的对称点 [变式1]解：(1)由题意得y=20-x,W=(500 为N(0,3), 100+50x)(20-x)=-50x2+600x+8000. .当y≥3时，x的取值范围是一2≤x≤0. (2)由题意得W=-50x2+600x+8000= 第13节二次函数的实际应用 9600, ∴.x2-12.x十32=0，解得x1=4,x2=8, 教材梳理·基础落实 :民宿尽最大可能让利游客，x=4, 1.(1)平面直角坐标系 (2)待定系数法 ∴.每个房间的定价为500十4×50=700（元）. (3)二次函数的性质 答：当定价为700元时，民宿每天获得的利 2.(1)等量(3)最值 润可以达到9600元 3.(2)面积(3)最值 (3)W=-50x2+600x+8000=-50(x 知识巩固·素养提升 6)2+9800, [例号 .一50<0，二次函数开口向下，0≤x≤20， 且x为整数， [变式]解：(1)①2.25： ∴.当x=6时，W有最大值为9800元，此时 ②分析题意可知h=1,k=3. 500+50×6=800(元). 把(3,0)代人y=a(x-1)2+3中， 答：当每个房间的定价为800元时，民宿每 得a(3-1)2+3=0,解得a=-0.75, 天获得的利润最大，最大利润是9800元 .y=-0.75(x-1)2+3. [变式2]解：(1)由题意设W=8000,即 (2)调试①：y=-0.75(x-1)2+3+0.63 =-0.75(x-1)2+3.63, -50x2+600x+8000=8000,解得x1=0, 由-0.75(x-1)2+3.63=0. x2=12, 解得x=3.2(负值舍去). ·民宿每天获得的利润不得低于8000元， 调试②：分析题意可知y=a(x一1.2)2十 ,.根据W=-50x2+600x+8000的图象 3.6过水柱落地点， 与性质知0≤x≤12， .把(3.2,0)代人上式 由(1)得y=一x+20,k=一1<0，此时y随 得0=a(3.2-1.2)2+3.6, x的增大而减小 解得a=-0.9. 又0≤x≤12，∴.当x=12时，y有最小值8. 答：a的值为-0.9. (2)由题意得y=20-x, [例2]解：设每个房间的定价为x元，宾馆所得 W=(500-100+50x+a)(20-x)=-50zx2+ 利润为y元 (600-a)x+8000+20a, 由题意得180≤x≤680，且x为整数， 对称轴为x=600一a 100 则y=(x-20)×(50-x180 10 该民宿每天每个出租房间的定价不低于 500且不超过700元， 70.x-1360=- 10x-350)2+10890. ∴.600≤500+50x≤700，即2≤x≤4. ·11。 又，-一50<0，二次函数开口向下，民宿每天 1=a(6-3)2+2,a=- 获得的利润随每个房间每天的定价的增大 9 而增大，对称轴为x= 600-a ∴.抛物线C:y= g(x-3)2+2, 100 ÷9002≥4，即a<20m 当x=0时，c=1. (2).嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A 又.a>50,∴.50<a≤200. 水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包， [例3]解：矩形场地的周长是60m,一边长为 .点A的坐标范围是(5,1)~(7,1)， 1m,所以另一边长为(9-)m 当经过6,1时，1=一名×25+号×5+1+1， 由于>0，且30->0，所以0<1<30. 场地的面积S=l(30一)， 解得=， 即S=-12+30l(0<130). 当经过，1时，1=一名×49+名×7+1+1， 因此，当1=一品= 30 2×(-D=15时，S 解得号号< 有最大值ac一： -302 Aa 4×(-1) =225. ,n为整数， 答：当l是15m时，场地的面积S最大. ∴.符合条件的n的整数值为4和5. [变式]解：(1)设垂直于墙的边长为xm, 3.解：(1)由题意，得2x十y=80,∴y=一2x十80. 由0<-2x+80≤42，且x>0,.19≤x<40. 则平行于墙的边长为(60一2.x)m, 由题意，得S=x(一2x十80)=一2x2+80x. 矩形菜园的面积 (2)由题意，令S=-2x2+80x=750, S=x(60-2x)=-2.x2+60x. 解得x=15(舍去)或x=25. 由题意得0<60-2x≤32，即14≤r<30. 答：当x=25时，围成的矩形实验田的面积S ,S=-2.x2+60x=-2(x2-30x) 能达到750m. =-2(x-15)2+450, (3)S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800, .一2<0，二次函数开口向下，14≤x<30, 又，-2<0，且19≤x<40, .当x=15m时，S取最大值，此时S=450m2. .当x=20时，S取最大值为800. (2)设垂直于墙的边长为xm, 答：当x=20时，矩形实验田的面积S最大， 由(1)知S=-2x2+60x=-2(x2-30x)= 最大面积是800m2. -2(x-15)2+450. 4.解：(1)2,60. 由题意得0<60一2x≤18，即21≤x<30 一2<0，二次函数开口向下， (2)当1≤x<20时，W=pg=(-2x+60)· (x+10)=-2.x2+40.x+600: 当21≤x<30时，在对称轴右侧，此时S随 当20≤x≤30时， x的增大而减小， W=pq=30(x+10)=30x+300. .当x=21时，S取得最大值，此时S=一2× -2.x2+40x+600(1≤x<20), (21-15)2+450=378(m2). .W= 30x+300(20≤x≤30). 随堂演练·学以致用 (3)在W=-2x2+40x+600中， 1.①② 令W=1000得-2x2+40x+600=1000, 2.解：(1)，抛物线C:y=a(x一3)2+2， 整理得x2一20x+200=0,方程无实数解： .C的最高点坐标为(3,2)， ,点A(6,1)在抛物线G:y=a(x-3)2+2上， 由30x+300>1000,得x>233, ·12· ,x为整数， 要点51.严密2.(2)真命题(3)假命题 .x可取24,25,26,27,28,29,30， (4)互逆命题3.真命题4.公理5.证明 .销售额超过1000元的共有7天 知识巩固·素养提升 -x2+52x+620(1≤x30), 5.解：(1)w= [例1](1)C(2)B[例2](1)B(2)2√2-1 -40x+2480(31≤x≤60). [例3](1)C(2)A[例4幻(1)C(2)B (2)当1≤x≤30时， [例5](1)B(2)B[例6](1)B(2)C[例7]D =-x2+52x+620=-(x-26)2+1296. 随堂演练·学以致用 ,一1<0，.当x=26时，有最大值，最大 1.B2.A3.B4.B 值为1296： 5.如果a>b,那么b-a<0 当31≤x≤60时，w=一40x+2480, 6.(1)解：，AD∥BC, :一40<0，当x=31时，w有最大值，最大 .∠B+∠BAD=180. 值为-40×31+2480=1240， ∠B=80°，.∠BAD=100° .1296>1240, (2)证明：AE平分∠BAD. .该商品在第26天的日销售利润最大，最大 .∠DAE=50°. 日销售利润是1296元， AD∥BC,.∠AEB=∠DAE=50° 第三章易错集锦 ,∠BCD=50°，∴.∠BCD=∠AEB. .AE∥DC [例1]D[例2]D[例3]<<y [例4](1)(3，-2)(2)8 第15节三角形及其性质 (3)y=号x-6或y=-+4 教材梳理·基础落实 要点12.(1)直角(2)等边 [例5](1)一8或4或-2(2)k≤2且k≠0 3.(1)稳定性(2)大于小于 (3)①180 (3)m≤-4 ②互余③和大于 跟踪演练 1.(2,4)2.(6,2)3.x≥-3且x≠04.B 要点2(1)L(2)号BC·AD (3)DC BC 5.x<-1或0<x<26.B7.一、二、四 (4)2 (5)∠DAC ∠BAC(9)BC &号 1或0或岁 (10)1:21:4(11)=⊥BD 第四章三角形 知识巩固·素养提升 [例1](1)D(2)4(答案不唯一) 第14节线、角、相交线与平行线 [例2](1)B(2)30[例3]64 教材梳理·基础落实 [例4](1)A(2)A[例5](1)D(2)C 要点11.一条直线直线2.线段 线段 随堂演练·学以致用 3.ACAC BC 4.BM BM 1.D2.C3.B4.100°5.100° 要点21.360°180°60" 6.解：选择方法一，证明：过点A作DE∥BC,则 2.(1)90(直角)相等(2)180°（平角） 相等 ∠B=∠BAD,∠C=∠EAC(两直线平行，内 3.(1)两个相等(2)相等(3)相等 错角相等).点D,A,E在同一条直线上， 要点31.(1)公共边2.(1)反向 ,∴.∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°（平角的定 要点42.(2)相等(3)互补 义)，∴.∠B+∠BAC+∠C=180°，即三角形 3.(1)距离(2)相等 的内角和为180°.（答案不唯一） ·13·