第12节 二次函数的图象和性质-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学精讲本

则S△AMe=Saoe+SAe=2OCX|yM十 第12节二次函数的图象和性质 20CX1yg=7c×4=3, 教材梳理·基础落实 要点11.y=a.x2+bx+c 解得c=昌∴点C的坐标为受0 2.y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) 6.解：(1)将(-3，一2)分别代入y=x+b与y= 要点2 中，得-2=-3+6，-2=冬3，解得6=1， 2 1.a>0a<0 向上向下x=一 b 2a k=6,∴.一次函数和反比例函数的解析式分 b 4ac-b2 2a'4a 减小增大 增大减小 别为=十1- 小大大小 (2)记直线AB与x轴的交点为D.把y=0 2.(1)向上向下(2)左侧右侧y 代入y=x+1,得x=-1, (3)正半轴 负半轴原点 .D(-1,0),则CD=3, 要点3 y=x+1, 加减加减 x=-3, x=2, 联立 y=6 解得 或 要点4 y=-2 y=3, 1.(1)两个交点 (2)一个交点 (3)没有交点 即A(2,3), 2.上方下方 ∴.S△AC=S△ADC十S△Bx 知识巩固·素养提升 [例1]D[例2]A =CD·w+号CD% [变式](1)38(2)-18(3)0或3 =2×3×(2+3)= 2 7.D8.B9.2.5 [例3](1)C(2)B 10.解：(1)在y=x十2中，令x=0得y=2,令 [例41(1)y=-2(x-2)2 y=0得x=-2,∴.A(0,2),B(-2,0). [变式](1)y=-22+2(2)y=-2(x-2)2+2 (3)y=-2x2-1 AB=2BCA为BC的中点C2,4. 例5](1)D(2)B(3)D 随堂演练·学以致用 把C2,4)代人y=得4=令，解得k=8, 1.A2.D3.D4.A5.D6.B ∴k的值为8. 7.解：(1)将M(-2,3)代入y=-x2+mx+3, y=x+2, 得3=-(-2)2-2m十3，解得m=一2， x=2, x=一4， (2)联立 8 解得 或 y=-x2-2x+3,y=-(x2+2.x+1 y=4 y=-2, 1)+3,.y=-(x+1)2+4, .D(-4,-2). .此抛物线的顶点坐标为（一1,4）. ∴.S△c0D=S△0B十S△DB= ×2×2+号 (2)由(1)可知抛物线的顶点坐标为（一1,4）， 对称轴为直线x=一1， 2×4=2+4=6, 当x=-3时，y=-(-3+1)2+4=0, .△COD的面积是6. ∴.当一30时，y的取值范围为0≤y≤4 ·10· (3)由抛物线的图象知， :-<0,二次函数开日向下，180≤1< 680,且x为整数， ∴.当x=350时，y最大=10890（元）. 答：当定价为350元时，宾馆利润最大，最大 利润为10890元. 点M(-2,3)关于对称轴x=一1的对称点 [变式1]解：(1)由题意得y=20-x,W=(500 为N(0,3), 100+50.x)(20-x)=-50x2+600.x+8000. .当y≥3时，x的取值范围是一2≤x≤0 (2)由题意得W=-50x2+600.x+8000= 第13节二次函数的实际应用 9600, ∴.x2一12x十32=0，解得x=4,x2=8, 教材梳理·基础落实 ,民宿尽最大可能让利游客，∴x=4, 1.(1)平面直角坐标系 (2)待定系数法 ∴.每个房间的定价为500十4×50=700（元）. (3)二次函数的性质 答：当定价为700元时，民宿每天获得的利 2.(1)等量(3)最值 润可以达到9600元. 3.(2)面积(3)最值 (3)W=-50.x2+600.x+8000=-50(.x 知识巩固·素养提升 6)2+9800, [例1号 .-50<0,二次函数开口向下，0≤x≤20， 且x为整数， [变式]解：(1)①2.25： ∴当x=6时，W有最大值为9800元，此时 ②分析题意可知h=1,k=3. 500+50×6=800(元). 把(3,0)代入y=a(x-1)2+3中， 得a(3-1)2十3=0，解得a=-0.75, 答：当每个房间的定价为800元时，民宿每 天获得的利润最大，最大利润是9800元. .y=-0.75(x-1)2+3. [变式2]解：(1)由题意设W=8000,即 (2)调试①：y=-0.75(x-1)2+3+0.63 -50x2+600x+8000=8000,解得x1=0, =-0.75(x-1)2+3.63, 由-0.75(x-1)2+3.63=0, x2=12, 解得x=3.2(负值舍去). ,民宿每天获得的利润不得低于8000元， 调试②：分析题意可知y=a(x一1.2)2十 ∴.根据W=一50.x2+600x+8000的图象 3.6过水柱落地点， 与性质知0≤x≤12. .把(3.2,0)代入上式 由(1)得y=一x十20，k=一1<0，此时y随 得0=a(3.2-1.2)2+3.6, x的增大而减小 解得a=一0.9. 又0≤x≤12，∴.当x=12时，y有最小值8. 答：a的值为-0.9. (2)由题意得y=20一x, [例2]解：设每个房间的定价为x元，宾馆所得 W=(500-100+50.x+a)(20-x)=-50zx2+ 利润为y元， (600-a)x+8000+20a, 由题意得180≤x≤680，且x为整数， 对称轴为r=600一4 100 则y=(x-20)×(50-180 10 10 :该民宿每天每个出租房间的定价不低于 500且不超过700元， 70x-1360= 10x-350)2+10890. ∴.600≤500+50x≤700，即2≤x≤4. ·11第12节二次函数的图象和性质 课标要求 1.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. 2.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. 3.知道二次函数和一元二次方程之间的关系（新增），会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 教材梳理 基础落实 要点1 二次函数的定义及解析式 函数 y=a.x+br十c(a,b,c是常数，a≠0) 1,二次函数的概念：一般地，形如 开口方向 (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数， 对称轴 直线 其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的 顶点坐标 二次项系数、一次项系数和常数项。 在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧，即 2.二次函数的解析式 时y随r 即当x<一 (1)一般式： (a≠0)：顶点 当x<- 2a a时 随x的增大而 式： (a≠0)，其中抛物线的 的增大而 :在对称轴的 顶点坐标为(h,k):交点式： 增减性 在对称轴的右侧，即 (a≠0)，其中x1,x2为抛物线与x轴交点的 当x> 名时y随： 右侧，即当>一品 横坐标 时，y随x的增大而 的增大而 (2)根据已知条件确定二次函数解析式，通常 ,简记为 简记为“左减右增” “左增右诚” 利用待定系数法，用待定系数法求二次函数 抛物线有最高点， 的解析式必须根据题目的特点，选择适当的 抛物线有最低点，当 形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几 当x=- 品时y有 最值 种情况： 会时y有最 值，y大童= ①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 值，ya=0c一日 Aa 4ac-2 Au ②已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值， 一般选用顶点式： 二次项 a的大小决定抛物线的开口大小，|a|越 系数a ,抛物线的开口越小：|a|越 ③已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标， 的特性 ,抛物线的开口越大 般选用交点式。 要点2二次函数的图象和性质 2.二次函数y=a.x2十b.x十c(a,b,c是常数，a≠ 1,二次函数的图象和性质 0)的图象与字母系数的关系 (1)a的符号决定抛物线的开口方向，当au>0 函数 y=a.r2十bax十c(a,b,c是常数，a≠0) 时，开口 :当a<0时，开口 (2)当a,b同号时，对称轴在y轴 图象 当a,b异号时，对称轴在y轴 ；当 b=0时，对称轴是 轴， (3)c的符号确定抛物线与y轴的交点位置. a的符号 当>0时，抛物线与y轴的交点在y轴的 第三章函数49 :当c<0时，抛物线与y轴的交点 的交点坐标.因此一元二次方程中的△=b一 在y轴的 当c=0时，抛物线经 4ac,在二次函数中表示图象与x轴是否有 过 交点 要点3 二次函数图象的平移 (1)当△>0时，图象与x轴有 (2)当△=0时，图象与x轴有 y=,0不变an>0个单拉长度】 -国+=x±卫-j+ (3)当△<0时，图象与x轴 2.二次函数与一元二次不等式的关系 不学接变因一=-回 nn>0)个单位长度 抛物线y=ax2+b.x十c(a,b,c是常数，a≠0) 在x轴 的部分点的纵坐标都为正， 二次函数图象的平移规律为“上 ,左 右 所对应的x的所有取值就是不等式ax2+ 要点4 二次函数与方程、不等式的关系 bx十c>0的解集：在x轴 的部分点 L,二次函数与一元二次方程的关系：一元二次 的纵坐标都为负，所对应的x的所有取值就 方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴 是不等式a.x2+bx十c<0的解集. 知识巩固 素养提升 要点1 二次函数的图象和性质 归纳总结 [例1门(2024·十摄模拟)已知抛物线y=x 已知y=a(x-h)2十k,a>0,x1≤x≤x2 4x十5，下列结论错误的是 (1)x2<h或x1>h时，如图①②，最值在 A.抛物线的开口向上 x=x1,x=x2处取得. B.抛物线的对称轴为直线x=2 (2)x≤h≤x2时，如图③，最小值在x=h处 C.抛物线的顶点坐标为(2,1) 取得，最大值在离对称轴最远的端点处取得. D.当x≥一2时，y的值随x值的增大而 增大 [例2]已知二次函数y=x2一4x十3，则它的最 小值为 ( 若自变量取值范围含参或解析式含参时， A.-1 B.-2 c D.1 般要分类讨论对称轴h和自变量取值范围 [变式]本例2条件不变 x1≤x≤x2的相对位置关系 (1)当一1≤x≤0时，二次函数的最小值为 要点2 二次函数的图象与字母系数的关系 ,最大值为 [例3](1)(2024·湖北)抛物线y=a.x2+bx+c (2)当1≤x≤5时，二次函数的最小值为 的顶点为（一1，一2），抛物线与y轴的交点 ,最大值为 位于x轴上方.以下结论正确的是() (3)当a≤x≤a十1时，二次函数的最小值为 A.a<0 B.c<0 0,则a的值为 C.a-b+c=-2 D.b2-4ac=0 (4)当一1≤x≤1时，二次函数y=x2一41.x十3 (2)(2024·十堰模拟)抛物线y=ax2十b.x十 的最小值为一2，则t的值为 c的顶点为A(2,m),且经过点B(5,0),其 50中考复习指南·数学 部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四 要点4 求二次函数的解析式 个结论：①ac<0:②a-b十c>0:③m十9a [例5](1)（九上教#P42T10(4)改编）已知二 0:④若此抛物线经过点C(t,n),则1十4一 次函数的图象经过(1,2)，(3,0)，（一2,20） 定是方程a.x2十bx十c=n的一个根.其中所 三点，则该函数解析式为 () 有正确结论的序号是 A.y=-x2-5.x+6B.y=x2+5x+6 C.y=-x2+5.x+6 D.y=x2-5.x+6 (2)顶点为M(一2,1)，且图象经过原点的二 次函数解析式是 ( A.y=(x-2)2+1 A.①② B.①③ C.③④ D.①④ By=-+2+1 要点3二次函数的图象的平移规律 C.y=(x+2)2+1 [例4]把抛物线y=一2向右平移2个单位长度， 则平移后所得抛物线的解析式为 D.y=x-2y+1 变式](1)把抛物线y=一2x2向上平移2个单 (3)二次函数的部分图象如图所示，对称轴是 位长度，则平移后所得抛物线的解析式为 直线x=一1，则这个二次函数的表达式为 ( (2)把抛物线y=一2x2先向右平移2个单 位长度，再向上平移2个单位长度，则平移 后所得抛物线的解析式为 3-1D (3)若抛物线y=一2x2保持不动，将x轴向 上平移1个单位长度(y轴不动)，则在新坐 A.y=-x2+2x+3 B.y=x2+2x+3 标系下抛物线的解析式是 C.y=-x2+2.x-3 D.y=-x2-2.x+3 随堂演练 学以致用 1.(2024·广西)将抛物线y=x2先向右平移2 的大小关系正确的是 个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到 A.y>y2>y B.y2>y9> 的抛物线是 ( C.ya>y1>y D.y>ys>yz A.y=(x-2)+5 B.y=(.x+2)2+5 4.(2024·云南模拟)下列关于二次函数y= C.y=(x-2)2-5 D.y=(x+2)2-5 1 (3x一2)2+5的说法正确的是 ( 2.已知抛物线y=x2一2x-1,则当0≤x≤3 时，函数的最大值为 A顶点坐标为（号5） A.-2 B.-1 以对称轴为直线：一号 C.0 D.2 C.函数y的最小值为5 3(2024,凉山)抛物线y=号(x-102+c经过 D.图象与x轴没有交点 5.如图，二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象 （-2).(0(侵）三点，则 与x轴交于A,B两点，点B位于(4,0)，(5， 第三章函数51 0)之间，与y轴交于点C,对称轴为直线x= 2,则下列结论正确的是 x=2 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 7.如图，已知抛物线y=一x2十m.x十3经过点 A.b=4a M(-2,3). B.4a+b+c<0 (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标： C.a-b+c>0 (2)当一3≤x≤0时，直接写出y的取值范围： D.m(am十b)≤4a十2b(其中m为任意实数) (3)当y≥3时，请根据图象直接写出x的取 6.(2024·十摄模松)抛物线y=a.x2十bx十c交 值范围. x轴于点A(一1,0)，B(3,0),交y轴的负半 轴于点C,顶点为D.下列结论：①2a十b=0: ②2c<3b:③当m为任意实数时，a十b<anm+ bm:④方程cx2十bx十a=0的两个根为x1= -1=号：⑤抛物线上有两点P()和 Q(x2,y),若x1<1<x2,且x+x>2,则 为<y2.其中正确的有 ( 官友情提示请完成精练本P1第12节 第13节 二次函数的实际应用 课标要求 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 2.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问題. 教材梳理基础落实 要点 二次函数的实际应用 (2)确定二次函数的解析式： 1.实物抛物线 (3)确定二次函数的 或建立方程，解 求解步骤：(1)建立方便求解析式的 决实际问题 (2)利用 确定抛物线的解析式： 3.二次函数在面积问题中的应用 (3)利用 解决实际问题。 求解步骤：(1)根据几何面积知识探求图形的 常用类型：桥梁、隧道、体育运动等。 面积关系式： 2.二次函数在销售问题中的应用 (2)根据 关系式确定函数解析式： 求解步骤：(1)读懂题意，借助销售问题中的 (3)利用二次函数的 或建立方程，解 利润等公式寻找 关系： 决实际问题。 52中考复习指南·数学