第11节 反比例函数-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学精讲本

第11节反比例函数 。课标要求 L.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式：能利用反比例 函数解决简单实际问题。 2.能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式y= (k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的交 化情况 教材梳理 基础落实 要点1 反比例函数的概念和表达形式 点N,则S形ow=PM·PN=|y|·Ix|= 1.概念：一般地，形如y (k为常数， |xy|=|k|=2S△m,=2S△PwO,是一个定值，与 k≠0)的函数，叫做反比例函数.自变量x的 点P在双曲线上的位置无关，同时要注意它的 取值范围是 的一切实数。 演变图形 2.表达形式： 或 要点4 反比例函数解析式的确定 (k为常数，k≠0). 1.待定系数法求解析式 要点2 反比例函数的图象和性质 (1)设反比例函数解析式为 (2)找出满足反比例函数解析式的点P(a,b). 函数 y=(≠0) (3)将点P(a,b)代入解析式求出k的值. k的符号 k>0 k<0 (4)确定反比例函数解析式为y= 2.利用比例系数k的几何意义求解析式 若题中已知某反比例函数图象上一点到 图象 坐标轴的垂线与坐标轴所围成的图形的面 积，由面积得k,再结合图象所在象限确定k 的符号，从而确定k的值，代入解析式即可. 象限 分布在 象限 分布在 象限 要点5 反比例函数的应用 范围 x≠0，y≠0 1,反比例函数应用题的解题步骤 在每个象限内，y随 在每个象限内，y随x 增减性 x的增大而 的增大而 (1)根据实际情况建立反比例函数模型： 渐近 左、右方向无限接近x轴，上、下方向无限接 (2)利用待定系数法或其他公式等确定函数 趋势 近y轴，但与坐标轴水不相交 解析式： (3)根据反比例函数的图象和性质解决实际 既是 对称图形，又是 对称 问题 对称性 图形，两条对称轴为直线y= ,对称 中心是 2.实际问题中常见的反比例函数关系 要点3 比例系数的几何意义 1行程问题：速度爵骨（路程-定。 反比例函数y=(k为常 (2)工程问题：工作效率= 工作量 工作时间 工作量一定). 数，k≠0)的图象是双曲线，过 (3)压强问题：压强= 受力面积（压力一定）. 压力 双曲线上任意一点P(x,y),作 PM⊥x轴于点M,PV⊥y轴于 (4)电学问题：电阻= 电压（电压一定）. 电 第三章函数41 知识巩固 素养提升 要点1 反比例函数的图象和性质 要点3 反比例函数的实际应用 [例1](2024·武汉四调)点A(1,y1),B(x2, [例1)费季#发河南是中原粮仓，粮食 为)在反比例函数y=上的图象上，下列推断 x 的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮 正确的是 食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都 A若x1<x2,则y1<y2 具有十分重要的意义.其中，电阻式粮食水 B.若x<x,则y1> 分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放 C.若x1十x=0,则y十y2=0 在湿敏电阻R,上，使R,的阻值发生变化， D.存在x1=x2,使得≠y 其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙 [例2]若点A(-1,a),B(1,b),C(2,c)在反比 所示.观察图象，下列说法不正确的是 例函数y=的图象上，则a,6,c的大小 关系是 ( 粮食 A.a<<c B.<c<a C.c<a<b D.a<c<b 要点2 系数k的几何意义及解析式的确定 02.557.51012.5水分含量% 乙 [例3](1)如图，在函数y=2(x>0)的图象上 A.当没有粮食放置时，R,的阻值为402 B.R1的阻值随着粮食水分含量的增大而 任取一点A,过点A作y轴的垂线交函数 减小 y= 8(x<0)的图象于点B,连接OA, C.该装置能检测的粮食水分含量的最大值 OB,则△AOB的面积是 是12.5% D.湿敏电阻R1与粮食水分含量之间是反 x0 比例关系 如季是头如图1.区饲测连是指检测 (2) A.3 B.5 C.6 D.10 机动车在两个相邻测速监控点之间的路段 (2)(2024·合肥三模)如 (测速区间)上平均速度的方法，小聪发现安 图，把一块直角三角板 全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一 (∠ABO=30)的直角顶 高速路的限速区间AB段的平均行驶速度 点O放在坐标原点处， v(km/h)与行驶时间t(h)是反比例函数关 系（如图2）.已知高速公路上行驶的小型载 顶点A在函数y1=一 1 客汽车最高车速不得超过120km/h,最低 的图象上，顶点B在函数y2=的图象上， 车速不得低于60km/h,小聪的爸爸按照此 规定通过该限速区间AB段的时间可能是 则k () 42中考复习指南·数学 (km/h) 入求得的一次函数解析式中，求得n的值， 抓拍点 拍点 第三步是将求得的点B的坐标代入反比例 。测速K问 80外- 起点A 终点B 00.3 函数解析式中，求出k的值，每一步都是2 图1 图2 分：而第二问则需要观察图象，根据反比例 A.0.1h B.0.35h 函数的性质得到结果. C.0.45h D.0.5h [例7刀如图，已知一次函数y=kx十b与反比例 要点4反比例函数与一次函数结合 函数y:=”的图象在第一、三象限分别交于 [例5](2024·武汉二模)已知直线y=kx+2与 A(6,1),B(a,一3)两点，连接OA,OB. y轴交于点A,与双曲线y=3相交于B,C (1)求一次函数和反比例函数的解析式： 两点，若AB=3AC,则k的值为 (2)求△AOB的面积： [例6](2024·湖北)(8分)如图，一次函数y (3)直接写出y1>时x的取值范围. x十m的图象与x轴交于点A(一3,0)，与反 比例函数y一（为常数，k≠0）的图象在 第一象限的部分交于点B(n,4). (1)求m,n,k: (2)若C是反比例函数y=在第一象限的 图象上的点，且△AOC的面积小于△AOB 的面积，直接写出点C的横坐标a的取值 范围. 归纳总结 反比例函数与一次函数结合的常见考查类型 (1)求函数解析式，一般根据一个已知交点 的坐标求得反比例函数的解析式，再由反比 评分标准 6分（第一问） 例函数的解析式求得另一个交点的坐标或根 2分（第二问） 据题意求得另一点过一次函数图象的坐标， 最后将这两个点的坐标分别代入一次函数的 解析式中求解即可， (2)求不等式的解集，实质是已知两函数的 大小，判断自变量的取值范围，只需以交点 为界限，观察交点左，右两侧的两函数图象 上、下的位置关系，从而得出自变量的取值 范围。 答题规范：本题第一问是分步骤给分，第一 (3)求图形面积，要善于把点的横、纵坐标转 步是将点A的坐标代入一次函数解析式 化为图形的边长. 中，求出m的值，第二步是将点B的坐标代 第三章函数43 随堂演练 学以致用 1.(2024·重庆B)反比例函数y= 10 x 的图象 5.(2024·十摆一模)如图，点A在反比例函数 一定经过的点是 ( y=(>0)的图象上，AB⊥y轴于点B,且 A.(1,10) B.(-2,5) OB=2AB=4,则这个反比例函数的解析式 C.(2,5) D.(2,8) 为 2.如图，点A是反比例函数y=(x>0)图象 上一点，过点A作AB⊥x轴于点B,连接 OA,已知S△om=2,则k的值为 ( 0 6.(2024·眉山)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx十b与反比例函数y=四 A.2 B.-2 C.4 D.-4 3.如图，一次函数y=ax十b与反比例函数y (x>0)的图象交于点A(1,6),B(n,2),与x (k>0)的图象交于点A(1,2),B(m,-1), 轴，y轴分别交于C,D两点。 (1)求一次函数和反比例函数的解析式： 则ax十6>的解集是 ( (2)若点P在y轴上，当△PAB的周长最小 时，请直接写出点P的坐标； (3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x 轴y轴分别交于E,F两点，当EF=2AB 时，求a的值， A.x<-2或0<x<1 B.x<-1或0<x<2 C.-2<x<0或x>1 D.-1<x<0或x>2 4.(2024·宜宾)如图，等腰三角形ABC中，AB AC,反比例函数y=上(k≠0)的图象经过点 A,B及AC的中点M,BC∥x轴，AB与y轴 交于点V,则A AB 的值为 A. B.7 C. n号 图友情提示请完成精练本P第11节 44中考复习指南·数学要点3 ∴.当x=52时，y的最大值为y=-3×52+ 2.(1)y=k.x+b(k≠0)(2)kb(3)kb 720=564. 要点41.横x12.x22 随堂演练·学以致用 3.(1)>(2)4.(1)上方(2)下方 1.C2.C3.B 知识巩固·素养提升 4.解：(1)设A,B两种柑橘礼盒每件的售价分 [例1](1)D(2)D 别为a元，b元， [例2](1)m>-2(2)-3(答案不唯一) a+20=b. [a=80, [例3](1)D(2)y=x+3(答案不唯一) 根据题意得 25a+15b=3500 解得b=100. [例4](1)A(2)2024 答：A,B两种柑橘礼盒每件的售价分别为80 [例5]解：(1)①0.15,0.6,1.5. 元，100元. ②0.075. (2)设售出A种柑橘礼盒x盒，则售出B种 ③当0≤x≤4时，y=0.15x: 柑橘礼盒(1000一x)盒， 当4<x≤19时，y=0.6; x≤1.5(1000-x), 当19<x≤25时，y=0.15.x-2.25. 根据题意得 150.x+60(1000-x)≤54050， (2)张华爸爸的速度为 解得595≤x≤600. 1.5÷20=0.075(km/min), 设收益为y元，根据题意得，y=(80一50)x十 设张华爸爸距家y'km, (100-60)(1000-x)=-10x+40000, 则y'=0.075(x-8)=0.075.x-0.6, 一10<0，∴y随x的增大而减小 当两人从画社到文化广场的途中(0.6<y< ∴.当x=595时，y取得最大值，最大值为 1.5)两人相遇时， -10×595+40000=34050(元)， 有0.15.x-2.25=0.075x-0.6,解得x=22, .,售出B种柑橘礼盒1000一595=405（盒）. .y=0.075.x-0.6=0.075×22-0.6= 答：要使农户收益最大，销售方案为售出A种 1.05km, 柑橘礼盒595盒，售出B种柑橘礼盒405盒， 故从画社到文化广场的途中(0.6<y<1.5) 最大收益为34050元. 两人相遇时离家的距离是1.05km. 8a+7b=670 a=40, 第11节 反比例函数 [例6]解：(1)由题意知 4a+5b=410 解得b一0. 教材梳理·基础落实 (2),购买A种型号吉祥物的数量为x个， 要点11. 不为0 则购买B种型号吉样物的数量为(90一x)个， A种型号吉祥物的数量不少于B种型号 2.y= y=kx-I xy=k 吉祥物数量的， 要点2第一、三 第二、四减小 增大轴 六≥号（90-），解得x≥3860， 中心士x 坐标原点 7 ,A种型号吉祥物的数量又不超过B种型 要点4 1.y=0) (4)6 号吉祥物数量的2倍， 知识巩固·素养提升 六≤2(90-)，解得.≤60，即360<≤60. [例1]C[例2]B[例3](1)B (2)3 由题知y=(40-35)x十(50-42)(90一x), [例4](1)D (2)B[例5]1或-4 整理得y=-3.x+720, [例6]解：(1)·一次函数y=x十m的图象经过 y随x的增大而减小，x为正整数， 点A(-3,0), .-3十m=0,∴.m=3. k+b=6, k=一2， 解得 ,'一次函数y=x十3的图象经过点B(n,4), 3k+b=2, b=8, .n十3=4，∴.n=1. ∴.一次函数的解析式为y=一2x十8. :反比例函数y=的图象经过点B(1,4), (2)如图，作点A关于y轴的对称点A',连接 A'B交y轴于P, k=4. (2)a>1. [例7]解：(1)把A(6,1)代入反比例函数2=”m 得m=6, 一反比例函数的解析式为=6 此时△PAB的周长最小， 点A(1,6),.A'(-1,6) “点Ba,一3)在反比例函数y=的图象上， 设直线BA'的解析式为y=cx十d, ∴.-3a=6,解得a=-2,∴.B(-2,-3), 十2得日 -c+d=6, 一次函数yM=kx十b的图象经过点A和B, .直线BA的解析式为y=一x+5, (1=6k+b, 解得 2 当x=0时，y=5, -3=-2k+b, 1b=-2, 点P的坐标为(0,5). ·一次函数的解析式为y=2一2。 (3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x 轴，y轴分别交于E,F两点， (2),A(6,1),B(一2，一3)，一次函数的解 ∴.直线EF的解析式为y=一2x+8一a, 析式为”=司一2， E(322,0F08-a 令y=0,解得x=4,即一次函数图象与x轴 8-u 的交点为(4,0)， EF-7AB. +(8-a2=7× .S△A0B= ×4x0+3》=8. √(1-3)2+(6-2)2，解得a=6或a=10. (3)x的取值范围是一2x<0或x>6. 微专题一反比例函数中的面积模型 随堂演练·学以致用 [例1]C[例2](2,3) 1.B2.C3.C4.B5.y=8 [例3]解：(1)：A(2,4)在反比例函数y= 6.解：(1)一次函数y=k.x十b与反比例函数 (k≠0)的图象上， y=m(x>0)的图象交于点A(1,6),B(m,2), ∴.k=2X4=8, %=6,m=6, ∴反比例函数的解析式为y=8 一反比例函数的解析式为y=6 把B,一2)代入y=,得n=-4, .B(-4,-2), 把B(n,2)代人y=2,得2-， 把A(2,4),B(-4,-2)都代入一次函数 .n=3..B(3,2) 2a+b=4, y=ax十b中，得 把A(1,6),B(3,2)代入y=kx+b,得 -4a+b=-2 解得a1, b=2, ·8·