第8节 一元一次不等式(组)及其应用-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学精讲本

第8节一元一次不等式（组）及其应用 。课标要求+ 1.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质」 2能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定两个一元一次不等式 组成的不等式组的解集。 3能根据具体间题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题 教材梳理 基础落实 要点1 不等式及其相关概念 解集 在数轴上的表示 1.用 连接起来的式子叫做不等式。 2.使不等式成立的 的值叫做不等式的解。 0 3.一个含有未知数的不等式的 ,组成 0 不等式的解集。 要点2 不等式的基本性质 [提示]在数轴上表示解集时，要注意“<”和 “>”在数轴上表示为空心圆图，“≤”和“≥” 式子表示 在数轴上表示为实心圆，点 不等式两边加或诚同一个数（或式子），不等号 性质1 要点4一元一次不等式组的解法 的方向不变，即：a>b.则a士c b土e 1.一般解法步骤：分别求出不等式组中各个不 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号 等式的解集，再在数轴上表示出各个不等式 性质2 的方向不变，即：若a>a,c>0,则ac 的解集，然后利用数轴或根据口诀确定不等 c(或a 式组的解集， 2.解集的类型及表示（以两个不等式组成的不 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号 等式组为例) 性质3 的方向改变，即：若a>b,c<0,则ac br(或a 类型（其 图示 口诀 解集 中a<b) 要点3 一元一次不等式的解法 t>d 同大取大 1.一元一次不等式的概念：只含有 未 知数，并且未知数的次数是 的不等 dt 同小取小 r<a 式叫做一元一次不等式. <b 2.一般解法步骤： 去括号 T>d 大小小大 ,系数化为1， I<b 中间找 3.解集在数轴上的表示 大大小小 无解 解集 在数轴上的表示 找不到 要点5 一元一次不等式的实际应用 r<d 04 1.用不等式解实际问题的一般步骤 实际找不等关系列不 解不 问题 设未知数 等式 等式 检验一答 28中考复习指南·数学 2.解答不等式的实际应用问题时常见关键词与 (2)小于，少于，不足，低于用 表示： 符号的对应关系 (3)至少，不低于，不小于，不少于用 表示： (1)大于，多于，超过，高于用 表示： (4)至多，不超过，不高于，不大于用 表示 知识巩固 素养提升 要点1 不等式的基本性质 2x-6≤0①， [例4】(2024·杨州)解不等式组 [例1】(2024·上海)如果x>y,那么下列不等 式正确的是 ( 并求出它的所有整数解的和. A.x+5<y+5 B.x-5<y-5 C.5.x>5y D.-5.x>-5y 要点2 一元一次不等式的解法及表示 例2](1)(2024·湖北)不等式x十1≥2的解集 在数轴上表示为 A B -10 (2)(2024·卖城)求不等式片≥x一1的正 整数解， 要点4 确定不等式（组）中的参数 例5](1) 如是限不等式2r-3a<-20 的正整数解为1和2，则a的取值范围是 ( A.4≤u≤6 B.4<a<6 C.4<a≤6 D.4≤a<6 思维导引：先解不等式，表示出不等式的解 集，结合正整数解为1和2，从而得出a的取 值范围，即可得解。 要点3 一元一次不等式组的解法及表示 (2)(2024·南充)若关于x的不等式组 3x-2<2x+1, 2x-1<5, [例3](2024·遂宁)不等式组 的解集为x<3,则m的取值范 x≥2 x<m+1 的解集在数轴上表示为 围是 A.m>2 B.m≥2 C.m<2 D.m≤2 思维导引：先解不等式组，再根据不等式组 的解集，得到关于参数的不等式，进行求解 即可 第二章方程（组）与不等式（组）29 x-a>2, 每件80元销售，为满足销售完A,B两种商 (3)已知不等式组 的解集是一1< x+1<b 品后获得的总利润不低于1770元，则购进 x<1,则(a十b)2024= A商品的件数最少为多少？ A.0 B.-1 评分标准 C.1 D.2024 4分（第一创） 思维导引：根据解一元一次不等式组的步骤 4分（第二问） 进行计算得不等式组的解集为2十a<x b一1，再结合条件一1<x<1得2+a=一1， b一1=1，求出a,b的值，最后代入式子中进 行计算即可解答 要点5 一元一次不等式(（组)的实际应用 [例6](2024·泸州改编)(8分)某商场购进A, B两种商品，已知购进3件A商品比购进4 件B商品的费用多60元：购进5件A商品 和2件B商品的总费用为620元. 答题规范：第一问分步骤作答：设未知数(1 (1)求A,B两种商品每件进价各为多少元？ 分)，列、解方程组(2分)，作答(1分)：第二 (2)该商场计划购进A,B两种商品共60 问分步骤作答：列不等式(2分)，解不等式 件，若A商品按每件150元销售，B商品按 (1分)，根据实际意义检验并作答(1分) 随堂演练 学以致用 1.(2024·陕西)不等式2(x一1)≥6的解集是 5(2024·眉山)解不等式：安-1<22，把 ( 它的解集表示在数轴上。 A.x≤2 B.x≥2 C.x≤4 D.x≥4 5-43-2-1012345 2.(2024·河南)下列不等式中，与一x>1组成 的不等式组无解的是 ( A.x>2 B.x<0 C.x<-2 D.x>-3 2x+3≥-1①， 3就赞6关于x的不等式m一<1-x有 6.(2024·成都)解不等式组：，1-1<号②， 2 正数解，m的值可以是 (写出一个 即可) 4.某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打 折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可 打 折。 30中考复习指南·数学 7.(2024·郑州调研)郑州市雾霾天气趋于严 (2)若商场准备用不多于17200元的金额再 重，丹尼斯商场根据民众健康需要，代理销售 采购这两种型号的空气净化器共30台，超市 每台进价分别为600元、560元的A,B两种 销售完这30台空气净化器能否实现利润为 型号的空气净化器，如表是近两周的销售 6200元的目标，若能，请求出最多能采购A 情况： 种型号的空气净化器的台数：若不能，请说明 销售数量 理由. 销售时段 销售收人 A种型号 B种型号 第一周 4台 5台 7100元 第二周 6台 10台 12600元 (进价、售价均保持不变，利润=销售收入 进货成本) (1)求A,B两种型号的空气净化器的销售 单价： 友情提示请完成精练本P1g6第8节 第二章 易错集锦 易错点1 在解（不等式）方程中去分母时 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误， 漏乘公分母 写出正确的解答过程. 此类题目主要错误原因是在去分母步骤时 某一项没有乘以公分母.正确把握并关注去分 母的步骤细节是解题关键。 [例门(2024·陇南三模)方程3,5-21+2 3 1的解为 ( A.x=-2 B.x=-1 C.x=2 D.x=1 易错点2运用整体思想时思路不清晰 易错提示：此题在解方程中，等式两边的三 此类题考查了解含有字母参数的二元一次 项中容易出现某一项漏乘公分母6的情况， 方程组的能力，关键是能应用整体思想进行求 从而导致出错 解，易错的是找错解题思路，增大解题难度。 限踪演练 [例2](2024·临诉二模)已知关于x,y的方程 装轻吸以下是圆圆解方程8“写-1- ax+by=C, x=2, 2024·杭州一模 组 mx+ny=C: 的解是 =3,则关于y 4。上的解答过程. 6 a(.x-1)+3by=2C 的方程组 的解为 解：去分母，得2(3x-1)=1-4x-1, m(x-1)十3ny=2C2 去括号，得6.x-1=1一4.x-1, 移项，得6x-4.x=1一1十1， x=2, x=5, A. B. 合并同类项，得2.x=1, y=1 y=2 x=2, 两边同除以2，得x=司 x=5, C. D. y=5 y=1 第二章方程（组）与不等式（组）31要点2解题意或生活实际 则还需要更新设备费用为10×50+20×45 知识巩固·素养提升 70=1330(万元). [例1](1)A(2)D 答：还需投入1330万元更新生产线的设备. [例2]解：方程两边都乘(x+2)(x一2)， 第8节一元一次不等式（组）及其应用 得3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2), 去括号得3.x-6十x2-4=x2+2.x, 教材梳理·基础落实 解得x=10. 要点11.不等号2.未知数3.所有的解 经检验，x=10是原方程的根. 要点2>>> [例3]B[例4幻D 要点31.一个1 [例5]解：设B型机器每天处理x吨垃圾， 2.去分母移项合并同类项 则A型机器每天处理(x十40)吨垃圾， 3.x>a x<a xa 根据题意，得500 _300 要点42.x>ba<x<b x十40x 要点52.(1)>(2)<(3)≥(4)≤ 解得x=60. 知识巩固·素养提升 经检验，x=60是所列方程的解. [例1门C 答：B型机器每天处理60吨垃圾。 [例2](1)A 随堂演练·学以致用 (2)解：去分母得，1十x≥3(x一1)， 1.A2.C3.34.x=-1 去括号，得1十x>≥3.x一3， 5.解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千 移项，得x-3x≥一3一1， 瓦·时，则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x 合并同类项，得一2x≥一4， 32)千瓦·时，根据题意，得092-90。 系数化为1，得2， ∴.不等式的正整数解为1,2. 整理得5x=3(2x-32),解得x=96, [例3]B 经检验，x=96是原分式方程的解. [例4]解：由①得，2x≤6，解得x≤3； 则2x一32=160（千瓦·时）. 由②得，2x<4.x-1, 答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千 瓦·时. 移项，得2红一4<-1，解得> 6.解：(1)设该企业甲类生产线有x条， ∴原不等式组的解为<≤3， 则乙类生产线有(30一x)条， 则3.x+2(30-x)=70,解得x=10, .所有整数解为1,2,3 则30-x=20. .所有整数解的和为1十2十3=6. 答：该企业甲类生产线有10条，乙类生产线 [例5](1)D(2)B(3)C 有20条. [例6]解：(1)设A,B两种商品每件进价各为x (2)设购买更新1条甲类生产线的设备为 元，y元， 万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为 3.x-4y=60, x=100, 由题意得， n万元·则0解得n=50. 5.x+2y=620, 解得 y=60, m 答：A,B两种商品每件进价各为100元，60元 经检验，m=50是原方程的根，且符合题意， (2)设购进A商品的件数为m件，则购进B 则m-5=45, 商品的件数为(60一m)件， 由题意得(150一100)m十(80一60)(60一m)≥ 去括号，得6.x一2=6-4x+1, 1770,解得m≥19， 移项，得6.x十4x=6十1十2， :m为整数，∴m的最小值为19. 合并同类项，得10x=9, 答：购进A商品的件数最少为19件. 两边同除以10，得x=0 随堂演练·学以致用 1.D2.A3.0(答案不唯一)4.8.8 2.B3.D4.土35.B6.D 5.解：去分母，得2(x十1)-6≤3(2-x), 第三章函数 去括号，得2x十2一6≤6一3.x, 第9节平面直角坐标系及函数 移项，得2x十3.x≤6十6一2， 合并同类项，得5.x≤10， 教材梳理·基础落实 要点11.(1)> > (2)<> (3)< 系数化为1，得x≤2， (4)> 其解集在数轴上表示如下： 2.(1)不属于 (2)y (3)x (4)(0,0) 5432101234 3.(1)相等 (2)互为相反数 6.解：解不等式①，得x≥一2 4.(1)纵 (2)横 解不等式②，得x<9, 要点2 .该不等式组的解集为一2≤x<9. 1.(1)(a,-b) (2)(-a,b) (3)(-a,-b) 7.解：(1)设A种型号空气净化器的销售单价为 2.(1)(x+a,y) (x-a,y） x元/台，B种型号空气净化器的销售单价为 (2)(x,y+b) (x,y-b) y元/台， 3.lyl ll 2+y 则x+5y=710. x=800, 解得 4.(1)|x1-x2 (2)y1-y2 6.x+10y=12600, y=780, (3)W(-2)2+(y-y) 答：A种型号空气净化器的销售单价为800 要点31.发生变化 始终不变 元/台，B种型号空气净化器的销售单价为 2.唯一确定自变量 780元/台. 要点41.列表法 图象法 解析式法 (2)设采购A种型号空气净化器a台，采购B 2.列表、描点、连线 种型号空气净化器(30一a)台， 知识巩固·素养提升 则600a十560(30-a)≤17200，解得a≤10， [例1](1)B(2)A[例2](1)B(2)x>2 (800-600)a+(780-560)(30-a)≥6200， [例3]C[例4]C[例5]D 解得a≤20， 随堂演练·学以致用 则最多能采购A种型号空气净化器10台，即 1.A2.C3.(4,2) 4.二 5.165 可实现目标 第10节 一次函数及其应用 第二章易错集锦 教材梳理·基础落实 [例1B[例2]B[例3]B 要点11.kx十b0k.x [例40或2[例5]-2<a<0 2.(1)原点-2 b(2)>,=>,> >， 跟踪演练 <<,= <,> <,<(3)增大减小 1.解：圆圆的解答过程有错误。 要点21.加减加减 正确过程：去分母，得2(3x一1)=6一(4x一1)， 2.平行平移 6