第6节 一元二次方程及其应用-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学精讲本

去分母，得3.x一1一2=2x, (2)a(1+x)2(3)nm-1 n(n-1) 移项，得3x一2.x=1十2， 合并同类项，得x=3. (4)(a-2x)(b-2.x）(a-x)(b-x) [例5]7[例6](1)A(2)C 知识巩固·素养提升 [例7]解：设技术改进后该汽车的A类物质排 [例1](1)8[变式]D 2)-或好 放量为xmg/km, [例2](1)D[变式]9(2)A 则B类物质排放量为(40-x)mg/km, [例3](1)A(2)-4[例4]6[例5]C 40-x 由题意得1-50%十-76=92， [例6]解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x, 由题意得128+128(1+x)+128(1+x)2= 解得x=34, 608,化简得4x2+12x一7=0， 3435, 解得x=0.5=50%,x=一3.5（舍去）. ',这次技术改进后该汽车的A类物质排放 答：进馆人次的月平均增长率为50%. 量符合“标准” (2)由于进馆人次的月平均增长率为50%， 随堂演练·学以致用 则第四个月的进馆人次为128×(1+50%)3= x=3, 1.B2.D3.B4. 432500. y=1 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次。 5.解：若每次购买都是100把， 随堂演练·学以致用 则200×8×0.9=1440≠1504. 1.B2.63.(45-x)(20+4x)=2100 ∴.一次购买少于100把，另一次购买多于100把 4.75.3 .设一次邮购折扇x(x<100)把，则另一次 6.解：(1)，x1,2是关于x的方程x2-2kx十 邮购折扇(200-x)把. k2一k+1=0的两个不相等的实数根，∴.△>0， 由题意得8x(1+10%)+0.9×8(200一x)= 即△=(-2k)2-4×1×(k2一k+1)=4k2 1504,解得x=40. 4k+4k一4=4k一4>0，解得k>1. .'.200-x=200-40=160. (2).k<5,由(1)得k>1,.1<k<5, 答：两次邮购的折扇分别是40把和160把. .整数k的值有2,3,4， 第6节一元二次方程及其应用 当k=2时，方程为x2-4x十3=0， 解得=1，x2=3(都是整数，此情况符合题意)： 教材梳理·基础落实 当k=3时，方程为x2-6x十7=0， 要点12.a.x2+bx十c3.相等 解得x=3士√2（不是整数，此情况不符合题意）： 要点2 当k=4时，方程为x2一8x十13=0， x=一n士E x=m士√元 m 解得x=4士3（不是整数，此情况不符合题意）. 综上所述，k的值为2. r=- -b士-4ac 6 2a x1=0,x2= a 第7节分式方程及其应用 ax=-d 教材梳理·基础落实 要点31.不相等相等没有 要点11.未知数 2.- C 2.(1)最简公分母(2)整式方程 (3)最简公 aa 分母(4)不等于分式方程 要点42.(1)a(1+m)2a(1-m)2 3.无解零 4·3 数学文化中国古代数学著作《九章算术》中 5.(2024·连云港)我市将5月21日设立为连云 2024·成都 港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才 记载了这样一个题目：今有共买避，人出半， 与城市“双向奔赴”.活动主办方分两次共邮 盈四：人出少半，不足三.问人数，进价各几 购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一 何？其大意是：今有人合伙买进石，每人出 1 项活动的纪念品.折扇单价为8元，其中邮费 钱，会多出4钱；每人出号钱，又差了3钱.问 和优惠方式如下表所示： 邮购数量 199 100以上（含100） 人数，进价各是多少？设人数为x,进价为y, 邮寄费用 总价的10% 免费邮寄 则可列方程组为 ( 折扇价格 不优惠 打九折 y=2x+4, y= 2x4, 若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮 A. B. 购的折扇各多少把？ y= 3t+3 y= 3x+3 y= 2x4, y= 2x+4, C. D. y= 3x3 y= 3x3 2x十y=7, 4.（2024·苏州改编)方程组 的解为 2x-3y=3 友情提示请完成精练本P1第5节 第6节 一元二次方程及其应用 。课标要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程， 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 3.了解一元二次方程的根与系数的关系（由选学内容调整为必学内容）. 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性（调整）， 教材梳理 基础落实 要点1 一元二次方程的有关概念 要点2 一元二次方程的解法 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数 解法 形式 方程的根 (一元)，并且未知数的最高次数是2（二次）的 直接开 ax2十c=0(a≠0，ac<0) 方程，叫做一元二次方程， 平方法 (mx十n)'=p(m≠0，p≥0) 2.一般形式： =0(a,b,c是常数，a≠0)， 配方法 可化为(x一m)2=n(>0) 其中ax2是二次项，a为二次项系数；bx是一 ax2+bx十c=0(a≠0且△= 公式法 次项，b为一次项系数；c为常数项. 形-4ac≥0) 3.一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左 因式 x(ax十b)=0(a≠0) 右两边 的未知数的值 分解法 (ax+b)(cx+d)=0(ac0) 22中考复习指南·数学 要点3 一元二次方程根的判别式及根 2.常见类型 与系数的关系 (1)平均增长率（下降率）问题：增长率=增长 1,一元二次方程根的判别式 量÷基础量×100%： (1)定义：-4ac叫做一元二次方程ax2+bx十 设a为初始量，当m为平均增长率，2为增长 c=0(a≠0)的根的判别式，通常用“△”表示. 次数，b为增长后的量时， =b;当m (2)与根的关系 为下降率，2为下降次数，b为下降后的量时， ①△>0台H方程有两个 的实数根 =b. ②△=0台方程有两个 的实数根。 (2)传播问题（与增长率类似）：若开始数量为 ③△<0台方程 实数根 2.一元二次方程根与系数的关系：如果方程 a,每轮感染的数量为x,经2轮感染后的总 ax2十bx十c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2, 数量为b,则有 =b. 那么x1十x2= ,x1x2 (3)赛制问题（握手问题）：单循环赛，n支球 3.根与系数的关系求值时的前提和有关变形 队总比赛次数为 ;双循环赛，n支球 前提是△=b-4ac≥0： 队总比赛次数为 相关变形：(1)x十x=(x1十x2)2-2x1x2 (4)面积问题：如图1，设空白部分宽为x,则 (2)1+1=西十2 有S阴影= ;如图2,3,4，设空白 部分宽为x,则有S翻影= (3)(1-x2)2=(x1十x2)2-4x1x2 (4)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1. (5)五+=好十道=红十x2)2-2x1型 I1T2 (6)|x1-x2|=√(x1+x2)2-4x1x2 图1 图2 要点4 一元二次方程的应用 1.解决实际问题的步骤 实际同圈找等品关系例元三次方国一解一元三次方园 设未知 实际问题的解，检验元三次方程的相 图 知识巩固 素养提升 要点1 一元二次方程的解法 d-bas0), (2) 新定义型 2024·广州 定义新运算：a⑧b [例1](1)用配方法解方程x2-6x十1=0时，将 -a+b(a0), 方程化为(x一3)2=a的形式，则a的值是 例如：一2☒4=(-2)2一4=0,2☒3=一2十 [变式]用配方法解方程x2一2x一1=0时，配方 3=1,若⑧1=-子，则x的值为 后所得的方程是 ( A.(x+1)2=0 B.(x-1)2=0 思维导引：根据新定义的运算，分x≤0和x>0 C.(x+1)2=2 D.(x-1)2=2 两种情况讨论，列出对应方程求解即可 第二章方程（组）与不等式（组）23 要点2 一元二次方程根的判别式 体代入的方法计算，再利用完全平方公式求 [例2](1)(2024·上海)以下一元二次方程有两 解即可. 个相等实数根的是 ( 要点4 一元二次方程的应用 A.x2-6.x=0 B.x2-9=0 [例5] 费季资聚古我国南宋数学家杨辉在（田 C.x2-6.x+6=0 D.x2-6.x+9=0 亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题： [变式]若关于x的一元二次方程x2一6x十c= “直田积八百六十四步，只云阔与长共六十 0有两个相等的实数根，则实数c的值为 步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积 是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽 (2)(2024·广安)若关于x的一元二次方程 和长各几步？若设长为x步，则下列符合题 (m+1)x2一2x+1=0有两个不相等的实数 意的方程是 根，则m的取值范围是 ( A.m<0且m≠-1B.m≥0 A.x.60,工=864 2 B.x(60+x)=864 C.m≤0且m≠-1 D.m<0 C.x(60-x)=864 D.x(30-x)=864 要点3 一元二次方程的解的意义、根 [例6们(2024·大连三模)某校为响应我市全民 与系数的关系 阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图 [例3](1)(2024·凉山)若关于x的一元二次方 书馆.据统计，第一个月进馆128人次，进馆 程(a十2)x2十x十a2一4=0的一个根是x 人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608 0,则a的值为 ( 人次，若进馆人次的月平均增长率相同， A.2 B.-2 (1)求进馆人次的月平均增长率； C.2或-2 n吃 (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力 不超过500人次，在进馆人次的月平均增长 思维导引：由一元二次方程的定义，可知a十 率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个 2≠0；一根是0，代入(a十2)x2+x十a2-4= 月的进馆人次 0可得a2一4=0，即可求出答案. (2)整体思想已知m是方程2十4红一1=0 2024·南充 的一个根，则(m十5)(m一1)的值为 思维导引：根据m是方程x2十4x一1=0的 一个根，可得出m2十4m=1,再化简代数式， 整体代入即可求解。 [例幻盏若一元二次方程22-4红 1-0的两根为m,n,则3m2一4m+n2的值 为 思维导引：根据根与系数的关系得m十n 2,mn= ,2m2-4m=1,再把3m2-4m+ 1 n2变形为2m2一4m十m2十n2,然后利用整 24中考复习指南·数学 随堂演练 学以致用 1.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传播后， 5.(2024·凉山)已知y2-x=0,x2-3y2十x 共有196人患流行性感冒，则每轮传染中平 3=0,则x的值为 均一人感染的人数是 ( 6.(2024·南充)已知x1,x2是关于x的方程 A.14 B.13 C.12 D.11 x2一2kx+k2一k+1=0的两个不相等的实 2.(2024·杨州三模)为增强学生身体素质，提 数根 高学生篮球运动竞技水平，我市开展“市长 (1)求k的取值范围： 杯”篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之 (2)若k<5,且k,x1,x2都是整数，求k的值. 间赛一场)，现计划赛程3天，每天安排5场 比赛，则应邀请 个球队参赛. 3.(2024·重庆模拟)某商场销售一批名牌衬 衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元， 为了扩大销售、增加盈利，商场决定采取适当 的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降 1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平 均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少 元？设每件衬衫应降价x元，根据题意，所列 方程为 4.(2024·成都)若m,n是一元二次方程x2-5.x十 2=0的两个实数根，则m十(n一2)2的值为 友情提示请完成精练本P1第6节 第7节 分式方程及其应用 课标要求 1.能解可化为一元一次方程的分式方程。 2.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性， 教材梳理基础落实 要点1 分式方程的概念及其解法 (4)结论：如果最简公分母 0,那么整 1.概念：分母里含有 的方程叫做分式 式方程的解是原 的解；否则，这个解 方程 不是原分式方程的解 2.解法 3.增根与无解：分式方程无解有两种情况：一是 (1)去分母：方程的两边都乘 ,化成 去分母后整式方程 ,所以该分式方 整式方程 程无解；二是去分母后整式方程有解，但是这 (2)解方程：解这个整式方程，得 的解. 个解使最简公分母为 ,分式无意义， (3)检验：把整式方程的解代入 ,看 所以该分式方程无解，这个整式方程的解叫 其值是否为0. 做分式方程的增根. 第二章方程（组）与不等式（组）25