第5节 一次方程(组)及其应用-【中考复习指南】2025年湖北新中考数学精讲本

第4节 二次根式 跟踪演练 1.1.2×1072.1.42×1093.B4.√7 教材梳理·基础落实 要点11.a≥a 非负数 5解：原式=1×号+23-}+2-号2 2.被开方数二次根式 6.解：原式=-（一8）十√3+2-√3+1=8+2+ 3.分母开得尽方的因数或因式 4.被开方数 1+3-3=11. 7.a(a+3)(a-3)8.3a(x-y)29.C 要点21.a2.la3.√a·b 4.a 10.x>1 要点31.(1)√ab abc mn√ab 2,号 山.解：-生)÷2=+D x2+2.x 2.不含根号3.乘方加减4.相邻开方 (x十2)(x-2)=-1.x 1 x(x+2) x x-2 2-x 知识巩固·素养提升 [例1](1)B(2)B[例2]C 当x=3时，原式=2二3=一1. [例3]解：(1)原式=3√3-2√3=√3. (2)原式=3-√7+1-8+7+27+1=4+√7. 第二章方程（组）与不等式（组) 随堂演练·学以致用 1.A2.C 第5节一次方程（组）及其应用 3.解：原式=2+3-√12×3=2+3-√36=2+ 教材梳理·基础落实 3-6=-1. 要点1 4.解：原式=5-1-4+23×5-3v2 2.相等a士c=b士c移项相等ac=b 4=b 去分母、系数化为1 5.解：原式=ab(a-b)=(2+√5)(2-5)(2+ 5-2+5)=[22-(W5)2]×2V5=-25. 要点21.含有未知数的等式 2.使方程左、右两边的值相等的未知数的值 第一章易错集锦 3.求方程解的过程 [例]C[例2]D 要点3 [例3]解：()厂+1-31-2c0s30°-(x 1.(1)一1(2)a.x+b=0(a≠0)(3)x= b 68°=4+3-2x5 -1=4+3-3-1=3. 2.漏乘改变变号不变符号分母 要点4 [例4]2.x(.x-2)(.x十2)[例5]x≥2 1.(1)两1(3)两1 两(4)公共解 [例6]解：原式=+2)二x2.+2-2 (x-2)(x+2) a(x+1) 2.一元一次代入加减 =x2+2x-x2+2x.(x+2)(x-2) 要点5 (x+2)(x-2) r(x+1) 1.(1)未知量(2)未知数(3)等量关系 Ax (x+2)(x-2)_4 (4)未知数(5)题意或生活实际(6)单位 (x十2)(x-2) x(x+1) x+1' ,x-2≠0且x十2≠0且x≠0且x+1≠0， 知识巩固·素养提升 x可以取1， [例1](1)D(2)2[例2]-1[例3]C [例4幻解：亮亮的解答过程有错误，正确的解答 当x=1时，原式==2 过程为： 3 去分母，得3.x-1-2=2x, (2)a(1+.x)2(3)n(n-1) 移项，得3x-2x=1十2， 2 2(n-1) 合并同类项，得x=3. (4)(a-2x)(b-2.x)(a-x)(b-x) [例5]7[例6](1)A(2)C 知识巩固·素养提升 [例7]解：设技术改进后该汽车的A类物质排 [例1](1)8 [变式]D(2)-或好 放量为xmg/km, [例2](1)D [变式]9(2)A 则B类物质排放量为(40-x)mg/km, [例3](1)A(2)-4[例4]6[例5]C 由题意得1-0以+”7成=2， [例6]解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x, 解得x=34, 由题意得128+128(1+x)+128(1+x)2= 608,化简得4x2+12x一7=0. .3435, 解得x=0.5=50%,x=-3.5(舍去). ,'.这次技术改进后该汽车的A类物质排放 答：进馆人次的月平均增长率为50%. 量符合“标准” (2)由于进馆人次的月平均增长率为50%， 随堂演练·学以致用 则第四个月的进馆人次为128×(1+50%)3= x=3, 1.B2.D3.B4. 432500. y=1 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次 5.解：若每次购买都是100把， 随堂演练·学以致用 则200×8×0.9=1440≠1504. 1.B2.63.(45-x)(20+4x)=2100 ∴.一次购买少于100把，另一次购买多于100把 4.75.3 .设一次邮购折扇x(x<100)把，则另一次 6.解：(1)x1,x2是关于x的方程x2一2kx十 邮购折扇(200一x)把. k2一k十1=0的两个不相等的实数根，∴.△>0， 由题意得8x(1+10%)+0.9×8(200-x) 即△=（一2k)2-4×1×(k2-k+1)=4k2 1504,解得x=40. 4k2+4k一4=4k-4>0,解得k>1. ,∴.200-x=200-40=160. (2).k<5,由(1)得k>1,∴.1<k<5, 答：两次邮购的折扇分别是40把和160把. .整数k的值有2,3,4， 第6节一元二次方程及其应用 当k=2时，方程为x2-4x十3=0， 解得=1,2=3（都是整数，此情况符合题意）： 教材梳理·基础落实 当k=3时，方程为x2-6x十7=0， 要点12.a.x+bx十c3.相等 解得x=3士√2（不是整数，此情况不符合题意）： 要点2 当k=4时，方程为x2-8x十13=0， x=一n士p 公 x=m士√n 解得x=4士3（不是整数，此情况不符合题意）. 综上所述，k的值为2. -b±√b-4ac b 2a x1=0,2=- a 第7节分式方程及其应用 a'=-d 教材梳理·基础落实 要点31.不相等相等没有 要点11.未知数 2.-b 2.(1)最简公分母(2)整式方程 (3)最简公 C aa 分母(4)不等于分式方程 要点42.(1)a(1十m)2a(1-m)2 3.无解零 4第二章 方程（组）与不等式（组) 考情分析 2024年湖北中考数学注重对方程（组）与不等式（组）的基本考查，揭示数学中最基本的数量关 系（相等关系和不等关系），侧重于培养学生的抽象能力、模型观念和运算能力等核心素养.考情分 析如下： 题型 题号 分值 占比 难易程度 考点 核心素养 选择 5 3 2.5% 易 一元一次不等式的解法及表示 运算能力 选择 7 3 2.5% 中 二元一次方程组的应用 抽象能力、模型观念 解答 24(2) 3.3% 中 一元二次方程的应用 模型观念、运算能力 合计 10 8.3% 体系构建 等式的概念和性质 一元一次 方程 定义与解 解法步骤：去分母，去括号、移项、合并同类项、系数化为1 定义与解 二元一次 方程组) 代人消元法 解法 方程组) 加减消元法 有关概念定义、一般形式、解、判别式 元二次 方程 直接开平方法 配方法 解法 公式法因式分解法 定义与解增) 分式方程 方程组与不等式组 解法步骤：去分母化为整式方程、解整式方程、检验 步骤 审题→设未知数一→列方程→解方程→检验→作答 方程的应用 购头问避销售利润问题增长率问避 常见类型 工程问题行程问题图形何题分配问题 不等式及相关概念基本性质、定义、解、解集 一元一次 不等式 解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 不等式 表示方法 借助数轴 组) 解法：求各个不等式的解集、借助数轴确定不等式组的解集 元一次 不等式组 不等式与方程 不等式与函数 应用 最佳方案问题 最后一个分配问题 18中考复习指南·数学 第5节一次方程（组）及其应用 课标要求 1,能根据现实情境理解方程的意义（新增），能针对具体间题列出方程：理解方程解的意义，经历估 计方程解的过程（调整）， 2.掌握等式的基本性质：能解一元一次方程.掌握消元法（调整），能解二元一次方程组. 3.能解简单的三元一次方程组（选学）.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性（调整）. 教材梳理 基础落实 要点1 等式的概念和性质 步骤 注意事项 1,等式的概念：用等号“=”来表示相等关系的 移项 移项要 式子，叫做等式 合并同类项 系数相加，字母及其指数均 2.等式的基本性质 不要漏掉 不要颠倒分子、 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式 系数化为1 的位置 子)，结果仍 ,即如果a=b,那么 是它在解方程中的应用. 要点4 二元一次方程（组） 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个 1.二元一次方程（组）的相关概念 不为0的数，结果仍 ,即如果a=b,那 (1)二元一次方程：含有 个未知数， ;如果a=b(c≠0)，那么 并且含有未知数的项的次数都是 的 是它在解方程中的应用. 整式方程叫做二元一次方程. 要点2 方程的有关概念 (2)二元一次方程的解：使二元一次方程两边 1 叫做方程 的值相等的两个未知数的值 2 叫做方程的解。 (3)二元一次方程组：有 个未知数， 叫做解方程 含有未知数的项的次数都是 ,并且 一共有 个方程，这样的方程组叫做 要点3 一元一次方程及其解法 二元一次方程组， 1.一元一次方程 (4)二元一次方程组的解：二元一次方程组中 (1)定义：只含有 个未知数（元），未知 两个方程的 数的次数是 (系数不为0)的整式方程 2.解二元一次方程组的方法步骤 (2)一般形式： (3)方程一般形式的解： 二元一次方程组 消元，转化 方程.消 2.一元一次方程的解法步骤与注意事项 元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元法和 消元法。 步骤 注意事项 要点5 一次方程（组)的实际应用 去分母 不要 不含分母的项 1,一次方程（组）实际应用的一般步骤 若括号前有负号，去括号后括号内的 去括号 (1)审：弄清题意，分清题中的已知量、 每一项都要 符号 (2)设：设关键 ,可以设直接未知数， 第二章方程（组）与不等式（组）19 也可以设间接未知数，并注意单位，对含有两 常见类型 关系式 个未知量的问题，需设两个未知数； 增长前的量×(1十增长率)=增长后的 (3)列：找出适当 ,列方程（组）： 增长率 量，诚少前的量×(1一减少率)=减少后 问题 (4)解：解这个方程（组），求出 的值： 的量 (5)验：检验方程（组）的解是否正确且是否符 工作总量（常设为“1”）=工作效率×工 合」 作时间=人均效率×人数×工作时间， 工程问题 (6)答：写出答案（包括 名称). 甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率十 2.常见类型 乙的工作效率 常见类型 关系式 基本量间的关系：路程一速度×时间： 相遇问题（相向而行）：全路程=速度和× 总价=单价×数量，甲单价×甲数量十 相遇所用时间， 追及问题：(1)同地不同时出发：前者走 购买问题 乙单价×乙数量=总价：甲数量十乙数 的路程=追者走的路程：(2)同时不同地 量=总数量 出发：前者走的路程十两者间的距离 行程问题 追者走的路程： 售价=标价×折扣，销售额=售价×销 环形问题：(1)环形追及：快者路程一慢 者路程=环形周长：(2)环形相遇：甲路 销售利润 量，利润=售价一进价=进价×利润率， 问题 利润率一型器售价=进价十进价×利 程十乙路程=环形周长； 航行问题：顺水速度=静水速度十水流 润率=进价×(1+利润率) 速度，逆水速度=静水速度一水流速度 知识巩固 素养提升 要点1 等式的性质 思维导引：把x=1代入一元一次方程再进 [例1](1)(2024·襄阳期末)下列根据等式的性 行求解即可. 质变形不正确的是 ( [例4](2024·台州二模)以下是亮亮解方程 A.由a=b得a-2=b-2 3x一1-1=x的解答过程。 2 B.由a=b得-2a=-2b 解：去分母，得3x-1一1=2x, C.由a=b得ac=bc 移项，得3.x-2x=1十1， D.由ac=bc得a=b 合并同类项，得x=2 (2)若x=2y(y≠0)，则工= 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误， 写出正确的解答过程. 要点2 一元一次方程及解法 [例2]已知(a-1)xa+2024=0是关于x的 一元一次方程，则a= 思维导引：一元一次方程中未知数的次效为 1,同时含未知数的项的系数不能为0 [例3]关于x的一元一次方程2x+a=4的解 为x=1,则a的值是 ( A.-8B.0 C.2 D.8 20中考复习指南·数学 要点3 二元一次方程（组）及解法 [例7](2024·北京)(7分)为防治污染，保护和 x=1 改善生态环境，自2023年7月1日起，我国 例5们(2024·河源一模)已知 是二元 y=3 全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下 ax十by=1, 简称“标准”).对某型号汽车，“标准”要求A 次方程组 2ax一y=8的解，则。-66的值 类物质排放量不超过35mg/km,A,B两类 为 物质排放量之和不超过50mg/km.已知该 型号某汽车的A,B两类物质排放量之和原 x=1, 思维导引：将 y=3 代入方程组，求出a和b 为92mg/km.经过一次技术改进，该汽车的 的值，再代入所求代数式即可；也可以采用 A类物质排放量降低了50%，B类物质排放 整体思想求解，用下面的方程减上面的方程 量降低了75%，A,B两类物质排放量之和 即可得出答案， 为40mg/km,判断这次技术改进后该汽车 要点4 一次方程（组）的实际应用 的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明 理由 [例6](1)整经《九章算术)冲记载这样一 评分标准 个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和 1分（设未知数） 羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设 2分（列方程） 2分（解方程） 每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程为 2分（检验作答） ( 5x+2y=10, 2x+5y=10, A. 2.x+5y=8 5x+2y=8 5x+5y=10, 5x+2y=10, C. D. 2x+5y=8 2x+2y=8 (2)(2024·宜宾)某果农将采摘的荔枝分装 为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克 荔枝，每个小箱装3千克荔枝.该果农现采 答题规范：一次方程（组）的实际应用，选设 摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小 箱都要装满，则所装的箱数最多为( 合适的未知数，根据题中的相等关系列方 程，解方程，最后根据解的实际意义进行 A.8箱 B.9箱 C.10箱 作答。 D.11箱 随堂演练 学以致用 1. 整体思想关于工，y的方程组 2xc-y=2m-1, 记载了这样一道题：“良马日行二百四十里， 2024·汕头一模 x-2y=n 驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问 的解满足x十y=一4，则4m÷2的值是 良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行 ( 240里，慢马每天行150里，慢马先行12天， A.8 问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的 天数是 ) C.6 D.-6 A.5天 B.10天 2意元朝朱世杰所著的算学启蒙)冲， C.15天 D.20天 第二章方程（组）与不等式（组）21 3 数学文化中国古代数学著作《九章算术》中 5.(2024·连云港)我市将5月21日设立为连云 2024·成都 港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才 记载了这样一个题目：今有共买避，人出半， 与城市“双向奔赴”.活动主办方分两次共邮 盈四：人出少半，不足三.问人数，进价各几 购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一 何？其大意是：今有人合伙买进石，每人出 1 项活动的纪念品.折扇单价为8元，其中邮费 钱，会多出4钱；每人出号钱，又差了3钱.问 和优惠方式如下表所示： 邮购数量 199 100以上（含100） 人数，进价各是多少？设人数为x,进价为y, 邮寄费用 总价的10% 免费邮寄 则可列方程组为 ( 折扇价格 不优惠 打九折 y=2x+4, y= 2x4, 若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮 A. B. 购的折扇各多少把？ y= 3t+3 y= 3x+3 y= 2x4, y= 2x+4, C. D. y= 3x3 y= 3x3 2x十y=7, 4.（2024·苏州改编)方程组 的解为 2x-3y=3 友情提示请完成精练本P1第5节 第6节 一元二次方程及其应用 。课标要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程， 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 3.了解一元二次方程的根与系数的关系（由选学内容调整为必学内容）. 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性（调整）， 教材梳理 基础落实 要点1 一元二次方程的有关概念 要点2 一元二次方程的解法 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数 解法 形式 方程的根 (一元)，并且未知数的最高次数是2（二次）的 直接开 ax2十c=0(a≠0，ac<0) 方程，叫做一元二次方程， 平方法 (mx十n)'=p(m≠0，p≥0) 2.一般形式： =0(a,b,c是常数，a≠0)， 配方法 可化为(x一m)2=n(>0) 其中ax2是二次项，a为二次项系数；bx是一 ax2+bx十c=0(a≠0且△= 公式法 次项，b为一次项系数；c为常数项. 形-4ac≥0) 3.一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左 因式 x(ax十b)=0(a≠0) 右两边 的未知数的值 分解法 (ax+b)(cx+d)=0(ac0) 22中考复习指南·数学